课时作业43 复数-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦复数核心考点，以高考真题与教材改编题为载体，系统整合运算技巧、几何意义及公式应用，构建“概念-运算-应用”的逻辑链条，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|5题|复数乘法/除法法则、模的性质、共轭复数应用|从实部虚部概念出发，通过四则运算建立代数表达体系| |几何意义|4题|复平面向量转化、圆的轨迹分析、距离最值求解|将复数与平面向量、解析几何结合，实现数与形的转化| |公式应用|3题|欧拉公式转化、棣莫弗公式展开、方程根的性质|以公式为桥梁，连接三角函数与复数运算，拓展应用场景|

课时作业(四十三)　复数 一、单项选择题 1．(2025·全国一卷)(1＋5i)i的虚部为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．6 2．(2025·北京卷)已知复数z满足i·z＋2＝2i，则|z|＝(　　) A． B．2 C．4 D．8 3．(人教A版必修第二册P80习题7.2T2改编)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　) A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i 4．(2025·成都月考)设z＝，则z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．(2025·内蒙古期末)若复数z＝1＋i是方程z2＋az＋b＝0的根，其中a，b∈R，则a＋2b的值为(　　) A．－4 B．－2 C．0 D．2 6．(苏教版必修第二册P143阅读材料改编)欧拉公式exi＝cos x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，则(　　) A．eπi＝1 为实数 C．＝ D．复数e2i在复平面内对应的点位于第三象限 二、多项选择题 7．(2026·广州模拟)已知复数z1，z2满足3z1＋z2＝－1－2i，z1＋3z2＝5＋2i，则(　　) A．z1＝－1－i B．z2＝2＋i C．z1－z2＝－3＋2i D．＝－i 8．(2025·铜仁市月考)设复数z在复平面内对应的点为P，则下列说法正确的是(　　) A．若|z|＝1，则z＝1 B．若z＝2＋3i，则＝2－3i C．若z的实部是1，则点P的集合所构成的图形是直线 D．若1≤|z|≤，则点P的集合所构成的图形的面积为π 9．(人教A版必修第二册P81习题7.2T9改编)已知复数z满足|z－1＋i|＝3，则(　　) A．复数z虚部的最大值为2 B．复数z实部的取值范围是[－2，4] C．|z＋1＋i|的最小值为1 D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限 三、填空题 10．(2025·沈阳期末)若复数m－2＋(m2－4)i≥0，则实数m的值为 __________． 11．(2025·天津卷)已知i是虚数单位，则＝________． 12．(2025·漳州期末)法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)．据此公式，复数的实部为 ________． 课时作业(四十三) 1．C　[(1＋5i)i＝－5＋i，其虚部为1．故选C．] 2．B　[法一：由i·z＋2＝2i，得i·z＝－2＋2i，则z＝＝2＋2i， 得|z|＝＝2．故选B． 法二：由i·z＋2＝2i，得i·z＝－2＋2i， ∴|iz|＝|－2＋2i|，∴|z|＝2．] 3．D　[由复数的几何意义可知，＝(－1，－3)＋(－2，－1)＝(－3，－4)，所以向量对应的复数是－3－4i．故选D．] 4．C　[因为2 025÷4＝506……1，所以i2 025＝i， 则z＝ ＝， 所以z＝＝－i，对应复平面内的点为，位于第三象限． 故选C．] 5．D　[因为复数z＝1＋i是方程z2＋az＋b＝0的根， 所以复数z＝1－i也是方程z2＋az＋b＝0的根， 所以－a＝(1＋i)＋(1－i)，且b＝(1＋i)(1－i)， 即a＝－2，b＝2，则a＋2b＝2．故选D．] 6．C　[对于A选项，eπi＝cos π＋isin π＝－1，A错误； 对于B选项，＝cos ＋isin ＝i，为纯虚数，B错误； 对于C选项，，C正确； 对于D选项，2∈，则cos 2<0，sin 2>0，所以复数e2i＝cos 2＋isin 2在复平面内对应的点位于第二象限，D错误． 故选C．] 7．ABD　[∵3z1＋z2＝－1－2i，z1＋3z2＝5＋2i， ∴z1＝－1－i，z2＝2＋i， ∴z1－z2＝－3－2i，＝－i． 故选ABD．] 8．BCD　[若z＝i，满足|z|＝1，故A错误； 若z＝2＋3i，则＝2－3i，故B正确； 若z的实部是1，则点P的集合所构成的图形是直线，故C正确； 若1≤|z|≤， 则点P的集合所构成的图形是以原点为圆心，1，为半径的两个圆所夹的圆环， 故所求面积为π×()2－π×12＝π，故D正确． 故选BCD．] 9．ABC　[ 满足|z－1＋i|＝3的复数z在复平面内对应点的轨迹是以(1，－1)为圆心，3为半径的圆，如图，由图可知，虚部最大的复数z＝1＋2i，即复数z虚部的最大值为2，故A正确； 实部最小的复数z＝－2－i，实部最大的复数z＝4－i，所以实部的取值范围是[－2，4]，故B正确； |z＋1＋i|表示复数z在复平面内对应的点到(－1，－1)的距离，所以|z＋1＋i|的最小值为3－2＝1，故C正确； 由图可知，复数z在复平面内对应的点位于第一、二、三、四象限，故D错误．故选ABC．] 10.2　[∵m－2＋(m2－4)i≥0(m∈R)， ∴解得m＝2．] 11．　[．] 12．－8　[由棣莫弗公式[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)， 可得 ＝24＝16 ＝－8＋8i， 故所求的实部为－8．] 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $