专题03 函数单调性与奇偶性（专项训练）（全国通用）2027年春季高考数学

专题03 函数单调性与奇偶性 内容导航 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 函数单调性 2 题型02 函数奇偶性 2 题型03 单调性与奇偶性综合问题 3 03 分层训练・达标过关 4 巩固过关 4 能力提升 5 1、 解决单调性问题的基本思路是： （1）明范围：先求函数定义域，单调性只在定义域内讨论。 （2）作差判号：在指定区间任取x1<x2，计算f(x1)﹣f(x2)，因式分解变形，判断结果正负。 （3）下结论：差>0，f(x1)>f(x2)，函数递减；差<0，f(x1)<f(x2)，函数递增。 多个单调区间之间用逗号隔开，不能写并集。 2、 解决奇偶性问题的基本思路是： （1）查定义域：判断定义域是否关于原点对称。不对称→非奇非偶，直接结束。 （2）代换化简：计算f(﹣x)，对比f(﹣x)与f(x)：f(﹣x)=f(﹣x)，偶函数； f(﹣x)=﹣f(x)，奇函数。 （3）得出结论：写出奇偶性；若函数定义域包含0，奇函数满足f(0)=0（可用来验证）。 题型01 函数单调性 单调性的解题技巧 （1）熟记基础模型：直接利用一次、二次、反比例、指数对数、幂函数的固有单调性，不用每次都用定义证明。 （2）复合函数同增异减：复合函数y=f(g(x))，内外层单调性相同则整体递增，内外相反则整体递减；必须优先看内层函数定义域。 （3）巧用单调性性质：增+增=增，减+减=减；增函数取负变为减函数，减函数取负变为增函数；解抽象不等式时，脱去f外壳，注意定义域限制。 1．（24-25·云南·合格考）下列函数中，在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·福建·合格考）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 3．（2025·山东·学业水平考试）若函数是增函数，则实数的取值范围是_________. 4．（2026·广东·春季高考）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 题型02 函数奇偶性 奇偶性的解题技巧 （1）定义域优先：定义域不关于原点对称，直接判定非奇非偶；判断时先看定义域，避免化简半天做无用功。 （2）结论速记与简化计算： 奇±奇=奇，偶±偶=偶；奇×奇、偶×偶为偶函数，奇×偶为奇函数； 奇函数含x=0，必有f(0)=0，可快速用来排除参数。 1．（2026·广东·春季高考）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏·合格考）函数（    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 3．（25-26·云南·合格考）已知函数是定义域为的奇函数.若，则（    ） A． B． C． D． 题型03 单调性与奇偶性综合问题 单调性与奇偶性的解题技巧 （1）利用对称性，区间转移 奇函数：左右对称区间单调性相同； 偶函数：左右对称区间单调性相反。 已知一侧图像/增减，直接推另一侧性质。 （2）脱去抽象函数符号f（核心） 利用奇偶性把不等式全部转化到同一个单调区间，再用单调性去掉f，转化自变量大小关系；全程不能丢定义域限制。 1．（2024·福建·合格考）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东·合格考）下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东·学业水平考试）已知函数图象如图所示，则该函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·福建·合格考）已知函数． (1)判断的奇偶性，并加以证明． (2)若在上恒成立，求的取值范围． 巩固过关 1．（25-26·云南·合格考）下列函数中，在上单调递减的为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南·学业水平考试）下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26·云南·合格考）下列函数中，是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二·云南·合格考）已知函数的图象关于轴对称.若，则（   ） A． B． C．0 D．2 5．（2025·江苏·合格考）已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·云南·学业水平考试）已知函数是奇函数．若，则__________． 能力提升 1．（2026·广东·春季高考）已知函数，若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津南开大学附属中学·模拟）下列函数是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为R，为偶函数，在上单调递减，且．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东·合格考）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 6．（2025·山东·学业水平考试）已知函数． (1)若是偶函数，求实数的值； (2)若函数，，，使得，求实数的取值范围． 7．（2024·福建·合格考）已知函数，. (1)若是奇函数，求a的值并判断的单调性（单调性不需证明）； (2)对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数a的取值范围. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数单调性与奇偶性 内容导航 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 函数单调性 2 题型02 函数奇偶性 4 题型03 单调性与奇偶性综合问题 5 03 分层训练・达标过关 8 巩固过关 8 能力提升 10 1、 解决单调性问题的基本思路是： （1）明范围：先求函数定义域，单调性只在定义域内讨论。 （2）作差判号：在指定区间任取x1<x2，计算f(x1)﹣f(x2)，因式分解变形，判断结果正负。 （3）下结论：差>0，f(x1)>f(x2)，函数递减；差<0，f(x1)<f(x2)，函数递增。 多个单调区间之间用逗号隔开，不能写并集。 2、 解决奇偶性问题的基本思路是： （1）查定义域：判断定义域是否关于原点对称。不对称→非奇非偶，直接结束。 （2）代换化简：计算f(﹣x)，对比f(﹣x)与f(x)：f(﹣x)=f(﹣x)，偶函数； f(﹣x)=﹣f(x)，奇函数。 （3）得出结论：写出奇偶性；若函数定义域包含0，奇函数满足f(0)=0（可用来验证）。 题型01 函数单调性 单调性的解题技巧 （1）熟记基础模型：直接利用一次、二次、反比例、指数对数、幂函数的固有单调性，不用每次都用定义证明。 （2）复合函数同增异减：复合函数y=f(g(x))，内外层单调性相同则整体递增，内外相反则整体递减；必须优先看内层函数定义域。 （3）巧用单调性性质：增+增=增，减+减=减；增函数取负变为减函数，减函数取负变为增函数；解抽象不等式时，脱去f外壳，注意定义域限制。 1．（24-25·云南·合格考）下列函数中，在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合指数函数、对数函数单调性逐项判断. 【详解】函数、、在上都单调递减，ABC不是； 函数在上单调递增，D是. 故选：D 2．（2024·福建·合格考）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【详解】的对称轴为，开口向上，递减区间为. 所以，所以. 3．（2025·山东·学业水平考试）若函数是增函数，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【详解】因为函数是增函数， 所以函数在范围内是单调递增， 范围内也要保持单调递增，则， 还需要在处保持单增，即，可得， 所以的取值范围是. 4．（2026·广东·春季高考）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 【答案】(1)； (2)单调递增，证明如下： 的定义域为， ∴任取， 则 ， ，，又有， 所以，即， 是上的单调递增. 【分析】（1）根据二次根式的被开方数大于等于0，列式求解； （2）利用函数单调性的定义判断证明. 【详解】（1）由，所以，解得， 所以函数定义域为. （2）在上单调递增，证明略. 题型02 函数奇偶性 奇偶性的解题技巧 （1）定义域优先：定义域不关于原点对称，直接判定非奇非偶；判断时先看定义域，避免化简半天做无用功。 （2）结论速记与简化计算： 奇±奇=奇，偶±偶=偶；奇×奇、偶×偶为偶函数，奇×偶为奇函数； 奇函数含x=0，必有f(0)=0，可快速用来排除参数。 1．（2026·广东·春季高考）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】A：，定义域关于原点对称，且有，故为奇函数； B：，定义域关于原点对称，且有，故为偶函数； C：，定义域关于原点对称，但是，，故非奇非偶函数； D选项，，定义域，不关于原点对称故为非奇非偶函数． 故选：A 2．（2024·江苏·合格考）函数（    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【分析】根据奇偶函数的定义判断选项. 【详解】由，定义域为， 又， 所以函数是奇函数不是偶函数. 故选：A. 3．（25-26·云南·合格考）已知函数是定义域为的奇函数.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，可得， 又因为，可得. 故选：D. 题型03 单调性与奇偶性综合问题 单调性与奇偶性的解题技巧 （1）利用对称性，区间转移 奇函数：左右对称区间单调性相同； 偶函数：左右对称区间单调性相反。 已知一侧图像/增减，直接推另一侧性质。 （2）脱去抽象函数符号f（核心） 利用奇偶性把不等式全部转化到同一个单调区间，再用单调性去掉f，转化自变量大小关系；全程不能丢定义域限制。 1．（2024·福建·合格考）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性和奇偶性的定义，对各个选项中的函数逐一做出判断，从而得出结论． 【详解】对于A，，当，，在上单调递减，所以在定义域内不是增函数，故A错误； 对于B，，设，是一个偶函数，故B错误； 对于C，，如图，由函数的图像可以看出既是奇函数又是增函数，故C正确； 对于D，是一个偶函数，故D错误. 故选：C. 2．（2024·山东·合格考）下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A是指数函数，不是偶函数； B是对数函数，不是偶函数； 对于C，是偶函数，在单调递增； 对于D，在单调递减． 3．（2025·山东·学业水平考试）已知函数图象如图所示，则该函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：函数在和上单调递减，与图象不符合，故A错误； 选项B：由对勾函数性质，时，在上递减，在上递增； 时，在上递增，在上递减，故B正确； 选项C：在上单调递增，在和上单调递增， 故在和上单调递增，故C错误； 选项D：，则不是奇函数或偶函数，图象不关于原点对称，故D错误． 4．（2025·福建·合格考）已知函数． (1)判断的奇偶性，并加以证明． (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)是奇函数， 证明如下： 的定义域为，关于原点对称. 对任意，有，满足奇函数定义，因此是奇函数. (2) 【分析】（1）根据奇偶性定义判断即可； （2） 求导得在上单调递增，利用奇函数将不等式化为，得恒成立，再根据基本不等式求的取值范围. 【详解】（1）略. （2）对求导得恒成立，因此是上的单调增函数. 原不等式，结合是奇函数，即， 不等式可化为，由是增函数，不等式等价于在上恒成立. 由基本不等式，，当且仅当时取等号，即的最小值为. 因此，即的取值范围是. 巩固过关 1．（25-26·云南·合格考）下列函数中，在上单调递减的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式逐一判断每个函数是否满足题目中的条件即可. 【详解】对于A，在上单调递增，不符合题意； 对于B，在上单调递增，不符合题意； 对于C，在上单调递增，不符合题意； 对于D，在上单调递减，符合题意. 故选：D 2．（2024·云南·学业水平考试）下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见函数的单调性分析判断即可. 【详解】对于，这里，其图象开口向下，对称轴为. 在上单调递增，在上单调递减，在上不为增函数.  故A错误. 对于函数，这里. 根据一次函数的单调性，在上单调递增， 故B正确. 是周期函数，它的周期是. 在上单调递增，在上单调递减，在上不为增函数， 故C错误. 也是周期函数，周期为. 在上单调递增，在上单调递减，在上不为增函数.故D错误. 故选：B. 3．（25-26·云南·合格考）下列函数中，是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义或性质，逐一判断各选项，即可得答案. 【详解】函数的定义域为，函数为非奇非偶函数，A错误； 的定义域为R，，则，故该函数为偶函数，B正确； 的定义域为R，令，则，函数不是偶函数，C错误； 的定义域为R，其图象为直线，不关于y轴对称，故函数不是偶函数，D错误， 故选：B 4．（24-25高二·云南·合格考）已知函数的图象关于轴对称.若，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据偶函数定义计算求解. 【详解】函数的图象关于轴对称，所以函数是偶函数， 因为，则. 故选：A. 5．（2025·江苏·合格考）已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性比较大小即可逐项判断． 【详解】函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减， ，故A错误； ，又，即，故B正确； ，故C，D错误. 故选：B． 6．（2024·云南·学业水平考试）已知函数是奇函数．若，则__________． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】依题意，是奇函数， 所以. 故答案为： 能力提升 1．（2026·广东·春季高考）已知函数，若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数的单调性，利用分段函数单调性法则列不等式组求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 解得． 故选：B 2．（2026·天津南开大学附属中学·模拟）下列函数是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义，结合单调性判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为R，而，函数不是偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，不是偶函数，B不是； 对于C，函数在上不单调，C不是； 对于D，函数的定义域为，，是偶函数 当时，在上单调递增，D是. 故选：D 3．已知函数的定义域为R，为偶函数，在上单调递减，且．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是偶函数推得的图象关于直线对称，利用函数的对称性与单调性,结合题设条件求解抽象不等式即可. 【详解】因为是偶函数，所以，即的图象关于直线对称． 又在上单调递减，且，则在上单调递增，且， 故等价于．所以． 4．定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得在上单调递减，在上是减函数，且，再讨论和，可得不等式的解集. 【详解】由定义在上的奇函数在上单调递减， 可得在上是减函数；又， 不等式，等价为或， 所以时，即有，解得； 时，即有，解得； 综上可得的解集为. 5．（2024·山东·合格考）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2)在上单调递减， 证明：，设， , 因为，则，，， 所以，即，所以函数在上单调递减． (3) 【分析】（1）根据求出，再证明时，即可得解； （2）设，利用作差法证明，即可证明在上单调递减； （3）利用函数的奇偶性和单调性可将不等式化为，令，不等式化为，再令，不等式可化为，利用单调性求出的最小值，即可求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 即，得， 当时，， ，为奇函数，符合题意，故. （2）略. （3）不等式， 由奇函数得， 因为函数在上单调递减，所以， 令，则， 整理得，则恒成立， 设， 则，当且仅当，即时取等号， 因为，所以恒成立， 因为在上单调递增，所以， 所以的最大值是1，所以， 所以实数的取值范围是． 6．（2025·山东·学业水平考试）已知函数． (1)若是偶函数，求实数的值； (2)若函数，，，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义结合的解析式列出等式，即可求出的值； （2）分别求出在上的值域，在上的值域，根据两者值域的关系列出不等式，从而求出的取值范围． 【详解】（1）因为是偶函数，所以． 已知，则． 由，可得，化简得． 因为上式对于任意都成立，所以． （2）已知，，则． 根据正弦函数的性质，可得， 故． 函数的图象开口向下，对称轴为． ①当，即时，在上单调递减， 则，， 所以的值域为； ②当，即时，在上单调递增，则，， 所以的值域为； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则，，． 比较和的大小：． 当时，，， 所以的值域为； 当时，，， 所以的值域为 ． 因为，，使得， 所以的值域是的值域的子集． （1）当时，，解得； （2）当时，，此时无解； （3）当时，，此时无解； （4）当时，，此时无解． 综上，实数的取值范围是． 7．（2024·福建·合格考）已知函数，. (1)若是奇函数，求a的值并判断的单调性（单调性不需证明）； (2)对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数a的取值范围. 【答案】(1)，在上单调递增 (2) 【分析】（1）函数为奇函数，举特例求出的值，再证明函数为奇函数，根据的正负，可观察出 在上单调性. （2）由题意可知，而，分，， 讨论求解. 【详解】（1）∵为奇函数， 则，解得. 此时， 又，又的定义域为， 此时为奇函数 所以若为奇函数，， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 又为定义在上的连续函数， 故在上单调递增. （2）当时，，∴ . ①当时，在上单调递增，∴，，∴. ②当时，在上单调递减，在上单调递增. ∴，，∴. ③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ∴，，不成立. 综上可知，. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $