小练25 平面向量的概念与线性运算-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

数学 10.100√15【解析】由题意，∠DCB=30°，∠CDB= 60°，所以∠CBD=90°，所以在Rt△CBD中，BD= CD=30,BC=9cD=0.又∠DCA=75, 1 ∠CDA=45°，所以∠CAD=60°，在△ACD中，由正 弦定理得A=0所以AC-×号 3 2 2 200√6，在△ABC中，∠ACB=∠ACD-∠BCD= 75°-30°=45°，由余弦定理得，AB2=AC2十BC 2AC·BCcos,∠ACB=(200√6)+(300√3)2-2× 200V6×3005×5=150000,所以AB= 2 100√/15. 11.解：①需要测量的数据有：A点到M,N点的俯角 a1,B;B点到M,N点的俯角a2,B2:A,B间的距离 (4分) B a( ②第一步：计算AM.由正弦定理得AM= dsin a2 sin(a1十am)i (7分) 第二步：计算AN.由正弦定理得AN= dsin B2 sin(B-B) (10分) 第三步：计算MN.由余弦定理得MN= √/AM+AN2-2AM·ANcos(a1-B).(13分) 12.解：(1)依题意，得PA-PB=1.5×8=12(km), PC-PB=1.5×20=30(km), 所以PB=(x-12)(km), PC=(x+18)(km). (4分) 在△PAB中，AB=20km, 由余弦定理，得cOS∠PAB=PA+AB-PB 2PA·AB 2+202-(x-12)2_3z+32 2x·20 5x 同理在△PAC中，c0s∠PAC=2, 3x (7分) 由于cos∠PAB=cos∠PAC, 所以22-2，解得=号（km）.10分) (2)如图，作PD⊥a,垂足为D, 参考答案及解析 在Rt△PDA中，PD=PA·cOs∠APD=PA· cos∠PAB=x.3+32≈17.71(km). 5x 所以目标P到海防警戒线a的距离约为17.71km. (15分) 小练25平面向量的概念与线性运算 1.C【解析】由平面向量加法的平行四边形法则可知， 四边形ABCD为平行四边形，又|AC1=|BD1,所以 该平行四边形是矩形.故选C. 2.D【解析】当e1∥e时，因为e1≠0，则存在实数k, 使得e=he1,则a=e1十e1=(1+ak)e,=+达b, 2 此时a∥b:当e,e不共线时，因为a∥b,则存在实数 ,使得a=b,即e十e=2e:,所以211所以若a λ=0. 与b共线，则e1∥e2或入=0.故选D. 3.A【解析】∵BC=4CD,.AC-AB=4(AD-AC), “AD=A心-子A店故选A 4.A【解析】由向量a=e1十3e2,b=-2e1十ke2,且a 与b共线，可得e1十3e2=入(-2e1十e2),可得 二一2以·解得k=一6，故选A 13=k入， 5.C【解析】对于A,假设存在实数入，使得AB=入BC, 则A,B,C三点共线.由a十2b=λ(-5a十6b),得 (=一5入·无解，所以假设不成立，故A错误：对于 2=6以， B,假设存在实数A,使得BC=入CD,则B,C,D三点 其线由-5a+0=10-20得{6以无解，所 以假设不成立，故B错误；对于C,BD=BC+CD=2a十 4b,假设存在实数λ，使得AB=入BD,则A,B,D三点 共线由a十2=A2a十40二纵解得入=专 所以假设成立，故C正确：对于D,AC=AB+BC= 一4a十8b,假设存在实数λ，使得AC=λCD,则A,C, D三点共线.由-4a十8b=A(7a-2b),得 (一4=71'无解，所以假设不成立，故D错误.故选C, 8=-2λ， 6.A【解析】∵PA+PB+PC=AB,PA+Pi+Pd -AB=0,即PA+PB+PC+BA=0,∴.PA+PA+ P元=0，∴2PA+P心=0，点P在线段AC上，且 AC=3PA,∴.△PAB的面积与△ABC的面积之比是 参考答案及解析 子故选A 7.C【解析】对于①，BF-HF+HD=BF+Fi+ HD=Bi+HD=BD≠0，①错误；对于②，由正八边 形性质知：OA⊥OC,OA=OC=OB=1,设OB∩AC=M, :∠AOB=∠COB=45,∴M为AC中点，.OA+ -=2oi.:0M=之Ac-=竖，：0成=号o啦. :.OA+O元=√2oi,又Oi=-O市，.Oi+O元 -√2O市，②正确：对于③，AE+F心-GE=A正+EG +F心=AG+F花，由正八边形性质知：AG∥CE且 AG=CE,即AG=CE,∴.AE+FC-GE=AG+FC CE-CF=FE,X FE=AB,.AE+FC-GE=AB ③正确；对于④，OA+OB+O心+OD+O龙+O市+O元 +OH=(OA+OE)+(OB+OF)+(OC+0G)+ (O币+Oi)=0,④正确.故选C. 8.C【解析】由M,V分别是边OP,OQ的中点，得OP =2OM,OQ=2ON,而O求=xOP+yO反，于是O求= 2xOM+2yON,又点R在直线MN上，因此2x+2y =1,即y=-x,则√x+y-x-y+2= √2+(2-x)-x-(合-x)+ √22-x+，所以当x=子时， √P+y--y十取得最小值故选C 9.BC【解析】对于A,只有当a与b的模长相等且方 向相同时，才有a=b,故错误：对于B,因为两个向量 的方向是相反的，所以是共线向量，故正确；对于C, 假设点M与点N重合，则向量AM=AN,与已知矛 盾，所以假设不成立，即点M与N不重合，故正确： 对于D,因为x轴与y轴只有方向没有大小，所以都 不是向量，故错误.故选BC. 10.ABD【解析】对于A,由AD=BC得AD=BC,AD ∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形，A正确；对 于B,AD∥BC,且AB与CD不平行，则AD∥BC,AB 与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形，B正确： 对于C,由AB=DC得四边形ABCD是平行四边形， 又|AB1=|AD|,即AB=AD,所以四边形ABCD 是菱形，C错误：对于D,由AB=DC得四边形ABCD ·5 数学 是平行四边形，由|AC|=|BD1,得AC=BD,故四 边形ABCD是矩形，D正确.故选ABD. 11.AC【解析】OP=OA+OB+O心=O心+GA+OG +G+O元+G式=3O心+GA+G+cd,因为点G 为△ABC的重心，所以GA+GB+GC=0,所以O产 =3OG,所以O,P,G三点共线，故A正确，B错误； AP+BP+CP=AO+OP+BO+OP+CO+OP= (Aò+B0+C⑦)+3O币，因为O币=oA+Oi+OC, 所以(A0+B0+Cδ)+3OP=-Op+3OP= 2O币，即2O市-A市+B萨+C范，故C正确：因为 OP=3O心，所以点P的位置随着点O位置的变化 而变化，故点P不一定在△ABC的内部，故D错误. 故选AC. 12.0【解析】A1A2十A2A十AA十…十An-1A十 AA=AA+AA十…+A1A+AA=AA 十…十An-1An+AnA1=…=A1An十AnA1=0. 13.(1)51 (2)|a=|b 【解析】(1)|a十b|≤||a|+|b||=2+3=5,当 且仅当a,b同向时取等号，∴.|a十bmx=5,又 |a+b|≥|1a-|b||=2-3|=1,当且仅当a, b反向时取等号，∴.|a十b|mn=1. (2)当|a=|b|时，a十b为以a,b为邻边的平行四 边形的对角线，此时的平行四边形为菱形，对角线恰 好平分a与b的夹角. 【解析】PO=入P方+PA→PO-PA=λP市→ AQ=λPD,取DE的中点H,连接AH,因为BD= DE,故BD=2HD,又BP=2AP,所以器-器 号放DP∥AH,且明器=号所以AH=号PD,则 入的最大值为三，此时点Q与点H重合， D P 15.解：(1)DC=3E式， '.E是线段CD的一个三等分点（靠近C点），(2分) 又D为AB中点， :.CD-2AB-AC-2a-6. Di=号心-号市-号b-, 数学 故花=d+D成=号a+(号6名a）=名a+号6 (6分) (2)设AF=m十b, A,E,F三点共线， ∴.存在入，使A京=入AE (7分) 由1)知，A花=名a+号b, “证=合a+号， 3 =合y=号 2 (8分) 又C,F,B三点共线，x十y=1, 即合+号=1=号 x=号y=号∴Ai=吉a+号b ∴A=。A正，即A正+E求=号A .A它=5Ei,AE:EF=51. (11分) 函-A亦-A店=方a+6-a=-吉a+b, 武=A花-A=b(行a+号)=-号a+号， :.BF=4FC,..BF:FC=4:1. (14分) 综上，A市=号a+号b,AEEF=51,BFFC=41. (15分) 小练26平面向量基本定理及坐标表示 1.A【解析】ka十2b=k(1,2)十2(-3,2)=(k-6, 2k+4),a-2b=(1,2)-2(-3,2)=(7,-2),且 (ka十2b)∥(a-2b),∴.(k-6)×(-2)=7(2k+4), .k=-1.故选A. 2.A【解析】由题意得BC=AC-A言=(3,1)，BD= AD-AB=(m十1，-5)，因为B,C,D三点共线，所 以BC∥BD,则m十1=-15，得m=-16.故选A 3.B【解析】(3，-2)=(-1,2)+g(-1,1)=(-p g2十9则g32六故法B 4.C【解析】因为a=(5,4),b=(3,2),所以2a-3b =(10,8)-(9,6)=(1,2),又|2a-3b|=5,所以 与2a-3b平行的单位向量为士号(2a-3b),即 (5)或(-号，-2)故选℃ 参考答案及解析 5.A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， y b 则易知a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),若c= a十b,则(-1，-3)=1(-1,1)+(6,2)， |-λ+6=-1，. 1=-2, +2=-3, 14=1.故选A. =一2 6.A【解析】建立如图所示的直角坐标系. B C 030° A :|OA|=1OB|=1,1OC1=√3，∠A0C=30°， B0,D,C5,0),A(9,）人设元-0i+ oi,(6,0)=x(,-）+a(0,1), 解得A=2,:.0元=2OA+0成故 -A+=0, =1, 选A. 7.B【解析】以C为坐标原点，CD,CA所在直线分别 为x,y轴建立如图所示的直角坐标系， D C 由题意得AC=22,则A(0,22),B(2w2), C(0,0),D(-2,0),AB=(2,-2),AC (0,-2√2)，DB=(2+2,√2).因为DB=λAB+ AC,所以E+2-, λ=√2十1， =-Ex-2厄，解得a=-1-巨.所 解得 2 以计=号故选B 8.C【解析】：A(1,2),B(1-√2,2+22)，∴AB=拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练25平面向量的概念与线性运算 (考试时间：30分钟满分：93分) 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 7.八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八 1.(教材改编题)在四边形ABCD中，若AC 卦模型图，其平面图形记为图2中的正八 AB+AD,1AC|=|BD|,则四边形 边形ABCDEFGH,其中OA=1,给出下列 ABCD是 结论： A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 2.已知向量e1≠0，λ∈R,a=e1+e2,b=2e1, 若a与b共线，则 A.λ=0 B.e2=0 图1 图2 C.e1∥e2 ①BF-HF+HD=0: D.e1∥e2或入=0 ②0A+0C=-2Oi: 3.(教材改编题)设D为△ABC所在平面内 ③AE+FC-GE=AB: 一点，若BC=4CD,则下列关系中正确 ④OA+OB+O心+OD+O龙+O求+O心+ 的是 oi=0. A.AD=-A店+AC 其中正确的结论为 B.AD-A店-Ad A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③ C.AD-5AB+1AC 8.如图，在△OPQ中，M,N分别是边OP,OQ 的中点，点R在直线MN上，且OR= D.AD-A店-Ad xOP+yOQ(x,y∈R),则代数式 4.(教材改编题)已知e1,e2是两个不共线的 向量，a=e1+3e2,b=-2e1十be2,若a与b √x+-xy+2的最小值为 是共线向量，则实数k的值为 A.-6 B.6 c D-号 5.(教材改编题)已知a,b是不共线的向量，且 4.2 B② 6 AB-a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a 2b,则 c n号 A.A,B,C三点共线B.B,C,D三点共线 9,(多选，教材改编题)下列结论正确的是 C.A,B,D三点共线D.A,C,D三点共线 A.若a与b是平行向量，则a=b 6.在△ABC所在平面内有一点P,满足PA十 B.方向为南偏东60的向量与北偏西60°的 PB+PC=AB,则△PAB与△ABC的面积 向量是共线向量 之比是 C.若用有向线段表示的向量AM与AV不相 A号 c号 D. 等，则点M与N不重合 D.直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量 10.(多选，教材改编题)对于四边形ABCD,15.(15分)如图所示，△ABC中，AB=a, 下列说法正确的是 AC=b,D为AB中点，E为CD上一点， A.若AD=BC,则四边形ABCD是平行四 且DC=3EC,AE的延长线与BC的交点 边形 为F. B.若AD∥BC,且AB与CD不平行，则四边 形ABCD是梯形 C.若AB=DC,且AB=|AD,则四边 形ABCD是正方形 D.若AB=DC,且AC=|BD,则四边 Aa D 形ABCD是矩形 11.(多选)△ABC的重心为点G,点O,P是 (1)用向量a与b表示AE; △ABC所在平面内两个不同的点，满足 (2)用向量a与b表示AF,并求出AE:EF OP=OA+OB+OC,则 和BF:FC的值. A.O,P,G三点共线 B.OP=2 OG C.2 OP-AP+BP+CP D.点P在△ABC的内部 12.（5分)在n边形A1A2A3…A,中，化简： A1A,+A,A十AA+…+A,-1A十 AA- 13.(10分)(1)若a,b满足a=2,b=3,则 |a+b的最大值为 ,最小值 为 (2)当非零向量a,b满足 时，a十b 平分a与b的夹角. 14.(5分)赵爽是我国古代数学家、天文学家， 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一 书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵 爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到 的正方形).类比“赵爽弦图”，构造如图所 示的图形，它是由三个全等的三角形与中 间的一个小等边三角形拼成的一个大等 边三角形，且DF=AF,点P在AB上， BP=2AP,点Q为△DEF内（含边界） 点，若PQ=入PD+PA,则入的最大值 为 —50