5.1 平面向量(实战册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

专题五 平面向量与复数 5.1平面向量 过去考什么 山东新高考全练 o答案：P401 1.(2025新课标I卷，6,5分；考点1)帆船比 A轻风 B.微风 赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小 C.和风 D.劲风 和方向，测出的结果在航海学中称为视风风 2.(2024新课标I卷，3,5分；考点1)已知向 速，视风风速对应的向量是真风风速对应的 量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b一4a),则 向量与船行风速对应的向量之和，其中船行 x=( ) 风速对应的向量与船速对应的向量大小相 A.-2 B.-1 等，方向相反.如表给出了部分风力等级、名 C.1 D.2 称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动 3.(2023新课标I卷，3,5分；考点1)已知向 员在某时刻测得的视风风速对应的向量与 量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+b) 船速对应的向量如图（风速的大小和向量的 (a十b),则( ) 大小相同，单位m/s),则真风为( A.λ十μ=1 B.λ十μ=-1 等级 风速大小m/s 名称 C.4=1 D.=-1 2 1.1～3.3 轻风 4.(2022新高考I卷，3,5分；考点1)在 3 3.4~5.4 微风 △ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记 5.57.9 和风 CA=m,Ci=n,则C克=( ) 5 8.0~10.1 劲风 A.3m-2n B.-2m+3n C.3m++2n D.2m++3n H 3 5.(2020新高考I卷，7,5分；考点1)已知P 视风疯速一 是边长为2的正六边形ABCDEF内的一 2 船速 点，则A户·A的取值范围是() A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 将来考什必 山东模拟专练 ,答案：P401 考点闯关) 考点①平面向量的概念及运算 号AC,则X=( 1.(2025山东临沂一模)在△ABC中，点D是 AB的中点，点P在CD上，若AP=λAB+ A日 B号 3 3 55 实战 实战高考·数学 2.(2024山东临沂一模)已知向量a=(3,m), (-] b=(-1,3)若a∥b,则实数m=( ) B(侵，+o∞】 A.1 B.-1 C.9 D.-9 考点②平面向量的夹角与模 c(-，) 3.(2024山东菏泽一模)若a=(1,√3)，|b= D(o,-u(-3,号》 √3，a-2b=2,则向量a与b的夹角 考点3平面向量的数量积及其应用 为() 6.(2025山东青岛一模)已知a=(1,1),b= A.30° B.60° (1,-2),则a在b上的投影向量为() C.120° D.150° A(-3) B(,) 4.(2025山东菏泽一模)已知e1,e2是两个相 互垂直的单位向量，且向量a=2e1一e2,b= C(-5,25 5,5 (停，2) e1十e2,则|a-b=() 7.(2024山东菏泽一模)已知向量a=（sin0, A√5B.2 C.√3 D.1 cos0),b=(√2,1)，若a·b=b,则tan0 5.(2025山东泰安二模)已知平面向量a= =( (-2,3),b=(1,λ)，若a与b的夹角为钝 B.2 C.√5 角，则实数入的取值范围是() A号 n 分层闯关) 基础题组 A.-6 c号 D.6 1.(2024山东潍坊一模)已知平面向量a= 4.(2024山东枣庄模拟)已知平面向量a= (1,2),b=(-1,λ)，若a⊥b,则实数入 (一1,1)，b=(2,0),则a在b上的投影向量 =( 为() A号 A.(-1,0) B.(1,0) C.(-√2,0) D.(√2,0) C.-2 D.2 5.(2024山东实验中学一模)若|a十b= 2.(2024山东济南一模)已知a=(m,1),b= a一b,a=(1,2),b=(m,3),则实数m (3m-1,2),若a∥b,则m=() =() A.1 B.-1 A.6 B.-6 c n-号 C.3 D.-3 6.(2024山东泰安一模)已知非零向量a,b满 3.(2024山东菏泽二模)已知向量a= (-2,1),b=(3,x),且|a十b=a-b,则 足a-2y21b,若a+b1a-26,则 x的值是() a与b的夹角为() 56 O专题五平面向量与复数 A.晋 B号 c D.π 12.(多选)(2025山东菏泽一模)已知平面向 量a=(2,sin0),b=(cos0,1),则下列说 7.(2025山师附中一模)已知向量a,b满足a 法正确的有() =(-2,1),b=(-1,3),则b在a上的投影 A.向量a,b不可能垂直 向量为() A.(-2,1) B.(-2,3)》 B.向量a,b不可能共线 c(-,) C.a+b不可能为3 D.(-1,3) 8.(2025山东淄博一模)已知向量a=(1,0),b D.若0=受，则a在b上的投影向量为b =(0,1),a·c=b·c=1,则向量a在向量c 能力题组 上的投影向量为( ) 13.(多选)(2024山东潍坊二模)已知向量a, A(分》 R(竖 b,c为平面向量，a=1,b=2,a·b= c(-》 D(-,》 0,c-a=,则( 9.(2025山东泰安一模)已知向量a=|b=1, A.1le Id-g,且a+b- 2c=0,则cos〈a,c〉 B.(ca)·(c-b)的最大值为+25 4 =() C.-1≤b·c≤1 A-合 B.3 D.若c=a十b,则λ十μ的最小值为1 2 c n 4 10.(2025山东齐鲁名校大联考一模)在 14.（多选)创意题(2024山东济南二模)如图， △ABC中，AB=2,AC=3,Bi=DC,Ai 在直角三角形ABC中，AB=BC=√2，AO =2E范.若AD+CE=λA官+uAC,则λ十 =OC,点P是以AC为直径的半圆弧上的 μ的值为( 动点，若B卫=xBA十yBC,则( A号 B号 c号 n名 11.(多选)(2024山东聊城二模)已知向量a= (-1,2),b=(1,λ)，若b在a上的投影向 量为a,则( A.BO-2BA+7EC A.λ=3 B.a∥b B.C克·B0=1 C.a⊥(b-a) C.B2·BC最大值为1十√2 D.a与b的夹角为45° D.B,O,P三点共线时x十y=2 57 实战册 实战高考·数学 培优题组 (2)若a=8,b=5,CH是边AB上的高，且 15.(2024山东枣庄一模)在△ABC中，角A, Ci=mC+nC,求 B,C的对边分别为Q,6,c,且是 C =sin Atan 2 (1)求C; 他省考什么 高考全国视野 m答案：P404 真题精练 C.10 D.√5 1.(2023全国甲卷，4,5分)向量a=|b|= 3.(2025福建泉州一模)已知向量a,b满足 -1,c=√2，且a+b十c=0,则cos(a一c, a=|b=1,且a-2b=3,则a与b的 b-c>=() 夹角为() A号 B.-2 A君 B c c哥 D 2.(2025新课标Ⅱ卷，12,5分)已知平面向量 4.(2025湖南长沙模拟)如图，在△ABC中，点 a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则 O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点 |a= O的直线分别交直线AB,AC于点M,N. 3.(2025天津卷，14,5分)△ABC中，D为AB 设AB=mAM,AC=nAN,则2m十n的值 边中点，C龙=}C市，A$=a,AC=b,则A在 为( = (用a,b表示)，若A1=5,AE ⊥CB,则A龙.C市= 模拟精练 1.(2025福建厦门二模)已知向量a,b满足 |a=b1=a-b=2,则a·b=() A.1 B.2 A.0 B.2 C.3 D.4 C.2√2 D.2√5 5.(2025江西赣州一模)已知向量a=(1,2),b 2.(2025河北保定一模)已知向量a=(1,2),b =(-1,m),且(a-5b)⊥a,则|b= =(6,一8)，则a在b上的投影向量的模 6.(2025河北秦皇岛一模)已知向量a= 为() (1,一2)，b满足a⊥(a-2b),则b在a上的 A.1 B.-1 投影向量的坐标为 58Q实战册参考答案及解析 cos∠ACB,即号-a2+4a2-4a2·cs∠ACB,① 又：C=2A,A+B+C=元， 2a 由AD=2BD,则Cd=3Ci+子Ci,又b=2a, sin(x-3A) sin A' 2a 0市=（兮i+号，即1=音2+号。+号c… sin 2Acos A+cos 2Asin A sin A' cos∠ACB.② 2 2sin A cosA(2 cos2A-1)sin A sin A' 由①②联立可得，a= 2 :0sA=士3，又A为△ABC中较小的角 解法三： 在△ABC中，由正弦定理，得b6。 sin B sin A' A=否C=2A=子，则B=受，ia= 21 专题五。平面向量与复数 5.1平面向量 山东新高考全练 ①A解析由题意及图，得视风风速对应的向量为= ④B解析方法一：因为点D在边AB上，且BD=2DA, (0,2)-(3,3)=(-3,-1), 所以Bi=2DA,即C市-C第=2(CA-Ci), 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风 所以C3=3Cd-2CA=3n-2m=-2m+3n.故选B. 速对应的向量之和， 方法二：设C克=λCA+μC市=m+n,因为A,D,B共 船速方向和船行风速的向量方向相反， 线，所以入十μ=1，排除C,D,结合图象及三角形法则，可 设真风风速对应的向量为1，船行风速对应的向量为2， 得入<0，排除A,故选B. .n=十2， 5A解析 船行风速：2=-[(3,3)一(2,0)]=(-1，-3)， .m=n-2=(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2), |=√(-2)2+22=2√2≈2.828，故由表得，真风风 速为轻风. 2D解析因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以 b2-4a·b=0,即4十x2-4x=0,故x=2. 3D解析因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a十b=(1 +λ，1-λ)，a+b=(1十k,1-), AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到A护在A官方 由(a+b)⊥(a十b)可得， 向上的投影的取值范围是（一1,3），结合向量数量积的定 (a+b)·(a+b)=0, 义式，可知A下·AB等于AB的模与A萨在AB方向上的投 即(1+λ)(1+)+(1-λ)(1-)=0，整理可得4=-1. 影的乘积，所以A卫·AB的取值范围是（一2,6）. 山东模拟专练 考点闯关) 号〔合去。 考点①平面向量的概念及运算 0B解折由题意点D是AB的中点，所以Cd-Ci+ 2B解折因为向量a=(3,m),b=（-1,3),且a∥b, 得3X3=(-1)×m,得m=-1. 考点②平面向量的夹角与模 又A=入A市+子A心，所以AC+C=1(AC+C市)十 3A解析由a=(1,√3)，b|=3,1a-2b|=2, 34花， 则a-2b|2=|a2-4a·b+4|b|2=4, 解得C市=（号-）+xC弦. 而a=W12+(W3)2=2,即得a·b=3, 1 又因为点P在CD上，所以，解得-或X 所以sab一治-， 又0°≤a,b)≤180°，所以(a,b》=30° ④A解析方法一：由题意得a-b=e1一2e2, 401 答案 实战高考·数学 所以|a-b|2=|e12-4e1·e2+4|e2|2=5,则 |a-bl=5; 所以cos(a,b》= a·b 方法二：因为e1,e2是两个相互垂直的单位向量，且向量a a·1b22b1.b 奖又0 3 =2e1-e2,b=e1+e2, 所以不妨设e1=(1,0),e2=(0,1),则a=(2,一1)，b ≤a,b)≤，则a与b的夹角为 =(1,1), 7A解析由题意a·b=-2X(-1)十1X3=5, 故a-b=(1,-2),则|a-b|=√5. |a=5, ⑤D解析因为a与b的夹角为钝角， 所以在a上游这影的重为后日一后，》- 所以a·b=-2+31<0,且-2λ≠3， (-2,1) 部得号且X让一是， ⑧A解析设c=(x,y),因为a=(1,0),b=(0,1),a· 故选D. c=b·c=1, 考点3平面向量的数量积及其应用 1×x+0×y=1,。 x=1, 所以 日A解析a在b上的投影向量为|acos(a,b〉·Tb 0xx+1xy=1,解得 y=1, .c=(1,1), -9合-品ba-》-(-吉号 即向量0在向量c上的投彩向童为·日-方： 7B解析由a·b=|b,得√2sin8+cos0=√2+1= -(,) √2 √，又sin20+cos20=1, ⑨D解析a十b一2c=0,所以a十b=2c,两边平方可得 故sin20+(W3-√2sin0)2=1, a2+2a·b+b2=4c2, 即3sin20-2W6sin0+2=0, 解得sin0=,故cos0=5-2sin0=5-2y5_5,故 又a=61=1,d=9,所以1+2a6叶1=3， 31 3 3 tang=sin2g×3=2. 故ab=号， cos0√3W3 a·c 所以cos(a,c》=1aTd a…2a+b》-a2+ab- 1 分层闯关) √3 基础题组 2 ①A解析平面向量a=(1,2),b=(-1,),由a⊥b, 1 1+立B 得ab=-1+2以=0，所以X=2 2 2A解析因为a=(m,1),b=(3m-1,2),a∥b,所以 OC解析因为BD=D心，所以D为BC的中点，所以 2m-(3m-1)=0,解得m=1. A市=2$+A沁). 3D解析因为a十bl=|a-bl,即|a+b|2= |a一b2,化简，整理得a·b=0, 又应=2成，所以正=号A市，所以C市=+花 则a·b=-6十x=0,解得x=6. -恋-花， ④A解析a=(-1,1),b=(2,0),∴.a·b=一2， b=2, 所以A市+C在=A迹+AC+号A店-AC=名A 0在b上的提影向量为的·合-子0,0=（一1,0以 2花， ⑤B解析因为|a十b|=|a-b|,所以(a十b)2= (a-b)2,即a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,所以a·b 所以=舌=-合所以+一景 2 =0,即m十6=0，解得m=-6. 们ACD解桐对于A,因为b在a上的投影向量为a,即 6C解析因为(a十b)⊥(3a-2b),所以(a十b)· (3a-2b)=0,则a·b=2|b|2-3|a2, 又a=291a,则a·b=21b12-321b)月 所以的1，即清经=1，解得X=3,故A正确 (W5)2 =-号1， 对于B,a=(-1,2),b=(1,3),所以(-1)×3-2×1≠ 0,故B错误； 402 Q实战册参考答案及解析 对于C,a·(b-a)=(-1,2)·(2,1)=-2+2=0,所以 a⊥(b-a),故C正确； -9如0时p+1. 对于Daa一岛一后拾-号两以a与力 故当sin(0十p)=-1时，入十4取得最小值，最小值为1- 原，故DE动 的夹角为45°，故D正确. 12BD解析由题意知a=(2,sin0),b=(cos0,1). 14ACD解析因为AO=OC,即O为AC的中点，所以 对于选项A,若向量a⊥b,则a·b=2cos0十sin0=0,即 B0-号A+号C,故A正确； tan0=-2, 显然此式能成立，故A错， 如图建立平面直角坐标系，则B(0,0),C(√2,0)，A(0, 对于选项B,若向量a∥b,则有2X1-sin0cos0=0,即2 ,0(号号》， -7sn20-=0, 即sin20=4,显然此式不成立，故B正确； 所以=（一20）动-（竖，，则.动=-巨 对于选项C,|a+b|=√(2+十cos0)2+(sin0+1)2= ×号+0×号-1，故B特联， V6+4cos 0+2sin 0-V6+25cos(0-), 则当a0到-3时，a+h=3,放C错： 又|AC1=√(W2)2+(W2)2 =2,所以圆O的方程为 A 对于选项D,若0=受，则a=(2,1),b=(0,1), (-)°+(-}=1. 则a在b上的投彩狗量为合·合=☆6-6，放D正 设P(号+cos0,号+sm0）,0 确. 能力题组 3BCD解析对A,设a=(1,0),b=(0,2),c=(x,y), ∈[-至，]，则-（竖+ 根据1c-a-2有Vx-1)2+乎=号， eos0,9+sin）,又Bt-(,o), 即（红一12+y2=子，为圈心是(1,0，半径是方的周，又 所以B动.BC=2(受+os)+0×(受+sn0）=1 |c=√2十y2的几何意义为原点到圆(x-1)2十y2= +√2cos0. 上的点(，)的距离，则≤c≤号，故A错误； 因为c[-]，所以sc[号1]，所以ams0 对B,(c-a)·(c-b)=(x-1)x十y(y-2)=x2-x十y2 -2y=(x-号)}+0-1)2-，则转化为求圆 ∈[-1，W2], 所以B萨.BC∈[0,1+√2]，故B泸·BC最大值为1+2， (x-1)2+y2=上的点到（分，1）的距离最大位， 故C正确； 为√01-2)}+12+2）) 因为B,0,P三点共线，所以B驴/BO,又BO-(竖，号)， --(+)°- D=(9+os0,+sn0), -1+25,故B正确； 4 所以号×（竖+s血）=号×（竖+cos0小，即sin0= 对Cbc=2,因为-<y c0s0,所以0=牙， ≤2，故-1<b·<1,故C正确) 所以B2=(2,W2),又BC=（W2,0),BA=(0w2), 对D,因为（红-1）2+y2=,故x=09+1y=09,0 2 且B=xBA+yB武，即(2，V2)=x(0,V2)+y(2,0 ∈[0,2x]. =(2y,w2x), 又因为c=a十b,故A=x以=岁， =1, A+=-变+1+-=5(2cs6+9n)+1 2x=E·所以 所以 2 W2y=2,y=1, 所以x十y=2,故D正确. 403 答案 实战高考·数学 培优题组 即(mCA+nC)·(C范-CA)=(m-n)(C3.Ci) C ⑤解：(I)△ABC中，是=sin Atan氵，由正弦定理和同 mCA2+nCB2=20(m-n)-25m+64n=0. 角三角函数的商数关系， 所以5m=4,所以受-号 方法二：△ABC中，由余弦定 0品 sinA·sin 卫，由倍角公式得 sin A 理得2=a2+b2-2 abcos C-= C cos 2 C in ·cos2 82+52-2×8×5× 如A·如呈 =49, 所以c=7. 又因为A,C为△ABC的内角，所以A∈(0，π)，2 又因为SAABC=2 absin C-2c·CH, ∈(o,5) 所以CH=absin C8X5X3 220 7 7 所以mA0,s号≠0，所以s号-}，如号- 所以AH=-VCA2-CP=克，Ag=5 7’AB49 则有S=晋，得C=子 所以C殖=i+A=耐+表速-C)-格i+ (2)方法-：a=8,b=5,C=5,Ci·Ci=1Ci· c成 |Ci1·cosC-abs C--5X8×cos3=20, 44 由平面向量基本定理知，m一49，n一49， 5 所以CA2=b=25,C2=a2=64,由题意知CH⊥AB,所 以Ci.AB=0, 所以严-=44 高考全国视野 真题精练) A迹-名A+号AC-石a+号a ①D解析因为向量a=|b1=l,lc=√2，且a+b+c =0,所以-c=a十b,所以c2=a2+b2+2a·b,即2=1十 又因为A=5,AE1CB,所以A葩-（合a+号b) 1+2×1X1Xcos(a,b),解得cos(a,b)=0,所以a⊥b,又 a-c=2a+b,b-c=a+2b, 02+号ab叶号=25。 所以(a-c)·(b-c)=(2a+b)·(a十2b)=2a2+2b2+ 证.Ci-(后a+号)小a-b)=言2+2a·b-号 5a·b=2+2+0=4, =0,所以a2+3a·b=4b, la-c==W√4a2+4a·b+b2=√4+0+1=√5， 所以a2+4a·b=180, |b-cl=√a2+4a·b+4b2=√1+0+4=√5， 所以cos(a-c,b-c)=(a-c):(b-c0=4 4 所以aA证.市-（合a+号b)(一叶2a)-a2+ga· 1a-cb-c5√5=5 2√2解析a-b=(1,1-2x),因为a⊥(a-b),则a· b号=a2+2a.b-86) (a-b)=0,则x十1-2x=0,解得x=1.则a=(1,1),则 ai t2a+-2a-6a. |a=√2. 日6a+号b 一15解析如图， -b(-a2-4a)-15. 模拟精练) 因为C市=号Cd,所以A花-AC ①B解析由a-b=2,得a2-2a·b十b2=4,:la= =号（动-心，所以迹 |bl=2,∴.4-2a·b+4=4,即a·b=2. 号a动+号d 见A醒园向量a在6上的授影向量为c=×合 因为D为线段AB的中点，所以 -6s1+56-8b, 62+(-8)2 404 O实战册参考答案及解析 故d=-b=b1=6×v6+(-8=1. 所以号m=1一，方=6，故号m十宁=1-十表=1，因 3C解析由a-2b|=3,得a2-4a·b十4b2=3,而 此，2m十n=3. 1a=b=1,则ab-2, ⑤V2解析因为向量a=(1,2),b=(-1,m),则a一5b =(1,2)-5(-1,m)=(6,2-5m). sia,b-8治-号而0Cab≤所以a与6的夫 因为(a-5b)⊥a,所以(a-5b)·a=6+2(2-5m)=10 -10m=0,所以m=1, 角为5 所以|b=√(-1)2+12=√2. ④C解析连接AO,因为点O是线段BC上靠近，点B的 6(分，-1)解折已知a=(1,-2),则1a= 三等分点，则C0=2O, √12+(-2)z=√5. 即Aò-AC=2(AB 因为a⊥(a一2b),根据向量垂直的性质可知a·(a一2b) A动，所以A动=号A店+ =0,即|a2-2a·b=0. 将al=√5代入上式可得(W5)2-2a·b=0,即5-2a·b 花 =0,解得a·b=号 又因为AB=mAM,AC= 根据投影向量的计算公式，向量b在向量a上的投影向量 nAN, 所以A亦-子mAi+}nA 为品 因为M,N,O三点共线，设M心=kMN,则Aò-AM= 将a·b=号，a=5,a=1,-2》代入可得： (A衣-A应M), 所以AO=(1-k)AM+kAN,且AM,A衣不共线， 6W5)1,-2)= ，-2》-，-2》-（ 5.2 复数 山东新高考全练 ①C解析因为(1+5i)i=十52=一5十i,所以其虚部为1. ④D 解折由i01-)=1,得1-=}=-i,所以=1 园c限颗因为，马=中-1计之=1+i所以 +i,故之十之=(1+i)+(1一i)=2,故选D】 =1+}=1-i ⑤C解析因为之=2一i,所以之=2十i,故x(之十i)= 3A 面周为=得二=2 (2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i. 2i,所以z=2i,即-=-i 同D际品二器-- 山东模拟专练 考点闯关) 为(-2,1). 考点①复数的概念 考点2复数的运算 4B 糊由题意可得=斜=9PD 2i(1-i) 日A断向：1十)=以，得== 1 aDl号，长复教的庭海为一合 2(i叶1)=1十i,则其共轭复数z=1一i 2 2B解析因为(1-i)(2+ai)=2-2i+ai-ai2=2+a 同8原频-年+2-名-书8号+2效-1号引+2 2 a十2=0， +(a-2)i,所以 解得a=一2. a-2≠0， =2+,则11-√合广+合}-9 5i 5i·(1+2i) ⑥C解析因为在复平面内，点Z(1,一2)对应的复数为 3A解析因为之=12：=-21+20 之，所以之=1一2i, 5(计2)=一2十i,所以复数之对应点的坐标 5 所以9+瑞=+吉 405