小练23 解三角形及其应用(一)-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练23解三角形及其应用（一）】 (考试时间：30分钟满分：90分) 1.(13分，教材改编题)已知a,b,c分别为3.(15分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别 △ABC三个内角A,B,C的对边，且acos C 为a,b,c,且asin A-csin C-=(a-b)sinB. +√3 asin C-b-c=0. (1)求角C的大小： (1)证明：B,A,C成等差数列； (2)若ab=1,A>B,角C的平分线交AB (2)若a=2,△ABC的面积为√5，求△ABC 边于D.Cn-2石求品的值， 的周长。 2.(13分，教材改编题)在△ABC中，a,b,c分 4.(15分)已知锐角△ABC中，sin(A+B)= 别是角A,B,C的对边，且√3sinA+cosA 3 siM-B)=吉 =2. (1)求证：tanA=2tanB; (1)若mbc=b2+c2-a2,求实数m的值； (2)若AB=3,求AB边上的高. (2)若a=√3，求△ABC面积的最大值. 45 5.(17分)在①(a十c)(sinA一sinC=b(sinA-6.(17分)已知在任意一个三角形的三条边上 sinB):②2ba-cosA=0:③向量m= 分别向外作出三个等边三角形，则这三个 c cos C 等边三角形的中心也构成一个等边三角 (c,√3b)与n=(cosC,sinB)平行，这三个 形，我们称由这三个等边三角形中心构成 条件中任选一个，补充在下面题干中，然后 的三角形为其外拿破仑三角形.在锐角 解答问题 △ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为 b,c,且a=√6，以△ABC的边BC,CA,AB a,b,c,且满足 分别向外作的三个等边三角形的中心分别 (1)求角C; 记为A1,B1,C,且△ABC1的面积为√3， (2)若△ABC为锐角三角形，且c=2,求 记R为△ABC的外接圆半径. △ABC周长的取值范围： (3)在(2)的条件下，若AB边中点为D,求 中线CD的取值范围. (1)若R=√6，求B1C·C1B; (2)若R∈[√3，√6]，求△ABC面积的取值 范围. 46数学 48cosC,所以20-16cosA=52-48cosC,又因为 cosC=-cosA,可得64cosA=-32,所以cosA= -号，又0<A<180,所以A=120,所以S= 16sin120°=8V3. 16.2π33 4 【解析】在△ABC中，cos2B=2 5cos(A+C)=2-5cos(π-B)=2+5cosB,即 2cos2B-1=2+5cos B,2cos2 B-5cos B-3=0, 解得c0sB=一子或c0sB=3(舍)，由Be(0,),得 B=答由△ABC的外接圆直径为2，则品B 2√3，解得b=3.由余弦定理得8=a2十c2-2 accos B, 得9=a+c2+ac.又点D在边AC上，DC=2AD, BD=1,则D=子B武+号BA,故励=号心十 号成.Bi+号B亦，得1=号a2+音eeosB+ 号e=寸a-号ac+号c2,即9=a+4c2-2a由 9=a十4C-2ac解得a=c=尽，所以△ABC的 19=a2+c2十ac, 面积为S=合acsinB=号×厅X5×写 =33 4 小练23解三角形及其应用（一） 1.解：(1)由acos C+√3 asin C-b-c=0及正弦定理， 得sin Acos C+√3 sin Asin C-sinB-sinC=0, 即sin Acos C+√3 sin Asin C=sinB+sinC, 也即sin Acos C+√3 sin Asin C=sin(A+C)+sinC, (3分) 所以sin Acos C+√3 sin Asin C=sin Acos C+ cos Asin C+sin C, 整理得3sinA-cosA=1, 即号A-子osA=名， 所以sin(A-吾)）=安， (6分) 又A∈(0，π)， 所以A-若=否，则A=受 所以2A=B+C=2匹 3 即B,A,C成等差数列. (8分) ·45 参考答案及解析 (2)由A=号，Sa慨=号esin A=厅，得c=4. 由余弦定理得a2=6十c2-2 bccos A=(b+c)2-2bc -2bccos A, 则(b+c)2=a2+3bc=4+12=16, 所以b十c=4,则a十b十c=6, 即△ABC的周长为6. (13分) 2.解：因为√3sinA十cosA=2, 所以号nA十子sA=1 1 则sin(A+晋)=1， 由A为三角形内角， 得A十晋=受， 则A=子 (5分) (1)mk=8+2-a'可变形为+-d= 2bc 2 由余弦定理，可知cosA=十c一Q=四 2bc 2 即受-方，所以m=1. (9分) (2)因为bc=B+c2-a2≥2bc-a2, 即bc≤a2=3,当且仅当b=c时取等号， 故Sam=ein A<号X3x号-39 2 4 即△AC面积的最大值是 (13分) 3.解：(1)已知asin A-csin C=(a-b)sinB,由正弦定 理得a2-c2=(a-b)b, 整理可得a2十6-c2=ab, 所以oC-+。之-2 2ab 由于0<C<π，所以C=牙 (5分) (2)如图， D 由C=号，ah=1得Sae=nC-, 4 由角C的平分线交AB边于D, 得∠ACD=∠BCD=吾， 且Sam十San=SaBc=Y, 41 所以(b+a)CD=, 4 (10分) 参考答案及解析 又CD=2,所以计= 5 联立a6=1,解得a=2,6=号或a=号，6=2， 因为A>B,所以a>6,所以a=2,6=号， 由角平分线定理可得品瓷名子。 (15分》 4,解：(1)因为sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= 号，sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=号， 因此sin Acos B+cos Asin B=3(sin Acos B cos Asin 可得2 sin Acos B=4 cos Asin B. (3分) 由A,B,C为锐角△ABC的内角， 可知c0sA≠0，c0sB≠0， 所以sinA=2sinB cos B 即tanA=2tanB. (5分) cos A (2)由锐角三角形，知受<A十B<π， 由saA+m=号， 可得cos(A+B)=-√1-sin(A十B)=- 5 因此tan(A十B)=sin(A十B) 3 cOs(A十B) 4 即tanA十tanB 1-tan Atan B 将anA=2anB代入，可解得tanB=2± .(10分) 2 又因为B是锐角，所以tanB=2士6 2 因此tanA=2tanB=2十√6. (12分) 设AB边上的高为CD, 则AB=AD+BD=CD CD 3CD 3CD tan A tan B2tanB2+√6 =3, 解得CD=2十√6. 即AB边上的高为2十√6. (15分) 5.解：(1)选①，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA sin B), ∴.(a+c)(a-c)=b(a-b), 即a+b-c2=ab, 由余弦定理可得cosC=Q+一C= 2ab 2 又Ce(0,x)C=号 (5分) 选②，26a_c0s cos C =0, .2sin B-sin A cos A sin C cos C ..2sin Bcos C-sin Acos C=sin Ccos A, ·46 数学 2sin Bcos C=sin Acos C++sin Ccos A=sin(A+C) =sin B, (3分) 又B∈(0，π)，sinB≠0， cos C :Ce0m)C=号 (5分) 选③，：向量m=(cw3b)与n=(cosC,sinB)平行， .csin B=√3 bcos C, .'.sin Csin B=3sin Bcos C, 又B∈(0，π)，sinB≠0， tanC=√3， C∈(0，π)，C=牙 (5分) (2)C=号6=2， a b ·A-sin B-sin C后 C 4 a+b+c=(sin A+sin B)+2 =后[mA+如（停-A)]+2 春（号A+号A2 =4(停mA+zcoA)+2 1 =4sin(A+否）+2. (8分) :△ABC为锐角三角形， 0<A<艺， 10<B=-A<· <A<受， m(a+吾)e(9.1] ∴.△ABC周长的取值范围为(23+2,6].(11分) (3)由C=罗，c=2及余弦定理可得4=a2+-ab, 又由中线公式可得(2CD)2+4=2(a2+b)=2(4+ ab), c=4+2春nAnB 3 =4+号nAsm(g-A) =4+号（停in AcosA+2nA) =4+号9m2A-子cas2A+) =4+号[片+7m(2A-号)] (14分) 数学 ,△ABC为锐角三角形， 0<A<受， 0<B=要-A<受， 3 “晋<A<受， <2A-<晋 ∴sin(2A-晋)e(分，1]， 则号<4CD<12, @<CD≤， 3 即中线CD的取值范周是（石5] (17分) 6.解：1)由A=2R得sinA=, 因为△ABC为锐角三角形，所以A=30°，(1分) 连接AB,AC,如图所示， 由等边三角形中心的位置可知∠B:AC=∠CAB= 30°，故∠B1AC1=90°， 又546-9BC=5。 4 则aG=2,且AB=号×96-号6 同理AC, 由AB+AC=B1C9,得6十c2=12. (4分) 又a2=b+c2-2 bccos30°=6，则bc=2√3， 所以B,C.CB=(AC-AB)·(AB-AC) =AC.AB-AC.AC-AB·AB+AB·AC =bcc0s30°-6.Ec 3ccos60 3bccos60°+0 (7分) (2因为BC=2,AB=号AC-号，且BC- ABi+ACi-2ABL.AC cos(A+60), 所以62+c2-2 bccos(A+60°)=12， 又a2=b+c2-2 bccos A=6, 所以2 bccos A-2 bccos(A+60°)=6， 4 参考答案及解析 则bc= 6 (10分) cosA+√3sinA 所以S△Bc= 子osin A=-于 3sin A cosA+√3sinA 3 1 tanA十3 a6 由iA=2R,a=6,得sinA=录-泉， 因为R∈[55]：所以mA[合，号]a3分) 又△ABC为锐角三角形，所以A∈[30°，45°]， 所以anAe[91]: 则+B∈1+5,2]. 「35-D 所以S∈· 2 即△AC面积的取值范用为[夸，3》].17分) 小练24解三角形及其应用（二） 1.B【解析】如图所示，由题意知，∠CAB=30°， ∠ABC=120°，所以∠ACB=30°，则AB=BC=4,因 为BD=2,∠CBD=60°，则∠CDB=90°，则CD= √/4-2严=2√5.故选B. A B 2.A【解析】由题意，在△BCD中，∠CBD=180°-75 -5一加，由正张定理可知0一0，即碧 50 3 2 BC,所以BC=50, 3 2.在△ABC中，易知AB⊥BC, 2 ∠ACB=60,所以AB=BCXtan60°=506X,5= 3 50√2.故选A. 3.C【解析】如图，过点P作PM⊥AC,垂足为M, p AD M EB C 由题意可知∠PAM=∠PBM=45°，则△PAM, △PBM均为等腰直角三角形，可得AM=BM=PM, 且∠PCM=30°，可得MC=√3PM,因为BC=