专题2 课时作业11 解三角形-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习练习手册

班级： 姓名： 课时作业11解三角形 (分值：100分) 基础巩固 A.46 B.2√6 C.4 D.8 1.(5分)(2025·陕西汉中二模)已知△ABC的内角 6.(5分)(2025·云南昆明一模)如图， A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=√5，A= 3 测量河对岸的塔高AB时，可以选取 与塔底B在同一水平面内的两个测 sinB=7,则b 量基点C与D.现测得∠BCD=C B③ 75°，∠BDC=45°，CD=30米，在点 7 C测得塔顶A的仰角∠ACB=60°，则塔高AB约 C.14 2 0.7 为（参考数据：√2≈1.414） () A.30.42米 B.42.42米 2.(5分)(2025·山东聊城模拟)已知△ABC的三个 C.50.42米 D.60.42米 内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若csin B= 7.(6分，多选)在△ABC中，已知sinA十cos2B十 2 osin A,且a,b,c成等差数列，则cosA= √sin Asin C=cos2C,则下列结论中正确的是 A号 A.cos B3 B.cos B=- 3 C.-i n 2 3.(5分)(2025·江苏南京一模)在锐角△ABC中，角 C.sin B=1 2 D.tan B=3 3 A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b一2c= 8.(6分，多选)(2025·浙江金华二模)已知△ABC中 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足a2+b2一 acos C-2 acos B,则S 1 c_4,5SA以，则下列条件能使△ABC成为锐角 3 三角形的是 C.1 D.2 AA=音 B.a=2,b=3 4.(5分)(2025·重庆万州区一模)已知△ABC的角 A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,b+c=2, C.a=2,c=3 D.b=3,c=2 A=年则sinB+simC- 9.(5分)(2025·湖北十揠二模)在△ABC中，角A, B,C的对边a,b,c成公差为2的等差数列.若 号 B2® 7sinA=3sinC,则△ABC的面积为 3 得分 C.1 D.√2 10.(5分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a, 5.(5分)(2025·辽宁辽阳一模)在△ABC中，角A, b,c,且△ABC的周长为 asin B B,C所对的边分别为a,b,c,若a=5,b=7,c=4, sin A+sin B-sin C' 则△ABC的面积为 ( 则C= 得分 (横线下方不可作答) 183 专题二 三角函数与平面向量 11.(18分)(2025·山东临沂一模)已知a,b,c分别为 13.(5分)我们把到三角形三个顶点距离之和最小的 △ABC三个内角A,B,C的对边，且√5 acos C+ 点称为费马点，若三角形内角均小于120°，则该 csin A-√3b=0. 得分 三角形的费马点与三角形三边的张角均为120°. (1)求A; 已知三角形ABC中内角A,B,C所对的边分别 (2)若c=3,asin B=2√3，求a. 是a,b,c,且|a-b1=√c2-6,C=60°，若三角 形ABC的费马点为O,则OA·OB+OB·OC+ OC·OA= 得分☐ 14.(20分)(2025·河南南阳一模)如图，a是海面上 一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有 一个水声监测点，另两个监测点B,C分别在A的 正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到 发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A, 20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气 象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s. 创新拓展 得分 12.(5分)圭表是我国古代一种通过测量正午日影长 (1)设A到P的距离为xkm,求x的值； 度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标 (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果 竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放 精确到0.01km). 的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照 射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与 圭面所成的角也就是太阳高度角.圭面上日影长 度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一 天定为夏至.如图是根据某市的地理位置设计的 圭表示意图，已知该市冬至正午太阳高度角为 0.(tan0。=),夏至正午太用高度角为0，表高 42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 BD的长)为50厘米，则sin(0一0)的值为 夏至正午阳光 A 冬至正午阳光 表 圭面南 北 C夏至线圭B冬至线 2 c.2 ng 红对勾讲与练 184 高三二轮数学B错误；对于C,当a=π时，t= 2wx∈[0,2wx],y=√1+sint 的单调递增区间是[kx,x十]， k∈z,则2wx≤受0<u 故 1 C正确；对于D,若B中有3个不同元 素，则方程|sin2wx|=1在A上怡 有3个不同的实根，2w.z∈[0,2wa], 所以 π <2a< ≤wa<, 7π 故D正确.故选ACD 解析：T=受，由0<m<T,得0< 2m<元，则2m=乞，即m=子 13[ 解析：由f(x)的最小正周期为π，得 @= 2,故f(x)=3sim(2x+石） 1,则g(x)=f(x-) 3sim(2x-F）-1.因为x∈ 所以 2 2x- ∈ ]则gx)∈[2] .5 故gx)在区间[0，]上的位城 为[ 14. 解析：令f(x)=2cosw.x一1=0，得 =,由x∈[0,2]，得 wT ∈[0,2wx].令t=w.x∈[0， 2wx],因为函数f(x)在区间[0,2π] 上有且仅有4个零点，所以y=cost 的图象与直线y=号在[0,2w]上 有且仅有4个交点，如图所示， y=cos I 5π7π 11元13元 33 33 11x 由图可知 ≤2wr< 13m, 解得 3 13 6 ≤w< ,，即。的取值范 ) 是 课时作业11 解三角形 1.D在△ABC中，由正弦定理得 a b ,所以b= asin B sin A sin B sin A √3X 7 2 故选D. sin 3 2.D因为csin B=2 bsin A,由正弦定理， 可得c=2ba,所以c=2a,又因为a,b, c成等差数列，可得a十c=2b,所以b= a,所以cosA= 3 b2+c2-a9 2bc a+ha:-a 9 7 2×2×3。 8,故选D, a 3.D方法一因为b-2c=a cos C 2 acos B,由正弦定理可得sinB- 2sin C=sin Acos C-2sin Acos B, sin(A+C)-2sin(A+B)=sin A. cos C-2sin Acos B,sin Acos C+ cos Asin C-2sin A cos B-2cos A. sin B sin Acos C-2sin Acos B, cos Asin C=2 cos Asin B.因为 △ABC为锐角三角形，所以cosA≠ 0,所以c=2b,即 =2.故选D. 5 方法二因为b-2c=acos C-2 acos B, 所以6-2c=aXa+b-c -2aX 2ab a2+c2-b2 ,化简可得(c一2b)(b2+ 2ac c2-a2)=0.因为△ABC为锐角三角 形，所以b2十c2一a2≠0，故c-2b= 0,即￡=2.故选D. 4.D因为a=16+e=2A=至由 正弦定理得 b+c sinA=sinB十sinC,则 1 2 2 =snB十snC,所以sinB+ sinC=√2.故选D. 5.A在△ABC中，因为a=5,b=7, a2+c2-b2 c=4,所以cosB= 2ac 25+16-49 、 2×5×4 5,所以sinB √1-cos2B = -() 2V6 5 ,因此△ABC的面积为S△Ax= 1 1 2acsin B2 X5X4x26=4W6. 5 故选A. 6.B由题意，在△BCD中，∠CBD= 180°一75°-45°=60°，由正弦定理可知 30 BC 30 sim60°= in45→ BC今BC= √3 √2 2 2 10√6米.在△ABC中，易知AB⊥ BC,∠ACB=60°，于是AB=BCX tan60°=10√6X√3=30√2≈ 42.42(米).故选B. 7.BC因为sinA+cos2B+√3sinA· sinC=cosC,可得sinA+1 sinB+√3 sin Asin C=1-sin2C,整理 可得sinA-sinB+√3 sin Asin C= -sim2C,所以a2+c2-b2=-3ac, 由余弦定理可得cOsB= a2+c2-b2 2ac 3ac= 2ac -周为 B∈(0，x),所以sinB= √/1-cos2B= 2,tan B sin B cos B 故选BC 31 8.BC 因为a十6-c产=455 由余弦定理可得2 abcos C= 43 2 absin C,所以tanC=V原.因为C∈ 1 0,),所以C=子对于A,当A 答时，B=受，此时△ABC为直角三 角形，故A错误；对于B,当a=2,b= 3时，由余弦定理可得c2=a2十b2一 2 abcos C=4+9一2×2×3×cos 7,所以c=√7，所以cosB= 4+7-9 >0,所以B为锐角，由b> 2×2X√7 c>a,得B>C>A,此时△ABC为 锐角三角形，故B正确；对于C,当a= 2,c=3时，由余弦定理可得9=b十 4-2×2Xb×cos”,解得b=1+ 3 √6（负值舍去），所以cosB= 4+9-(1+√6) ·>0,所以B为锐 2×2×3 角，由b>c>a,得B>C>A,此时 △ABC为锐角三角形，故C正确；对于 D,当b=3,c=2时，由余弦定理可得 4=a2+9-2×3Xa×cosT,即a2- 3 3a+5=0,由于△=9一4×5<0，方 程无实根，所以不存在△ABC,故D错 误.故选BC. 153 9. 4 解析：因为a,b,c成公差为2的等差数 列，所以c=a+4,由7sinA=3sinC 及正弦定理，得7a=3c,则可得a=3, b=5,c=7,所以c0sC= a2+b2-c2 9+25-49 =- 2ab 2×3×5 2·图 为C∈(0，π)，所以C= 3,所以 2 △ABC的面教为a6sinC=2×3x 2π 5Xsin 155 3 4 10. 3 解析：由题意知， asin B sin A +sin B-sin C =a十b+c,由 正弦定理，得 ab a+6-c =a+b十c,即 ab=a2+2ab+b2-c2,所以a2+ 62 一c1 =一ab,所以cosC= a2+b2-c2 -ab 2ab 2ab 2又C∈ (0,π)，所以C= 2x 11.解：(1)由正弦定理可得√3sinA· cos C+sin Csin A-3sin B=0, 即√3 sin Acos C+sin Csin A= 参考答案 353 √3sinB=√3sin(A+C)=√3sinA· cos C+3cos Asin C, 所以sin Csin A=√3 cos Asin C. 因为sinC>0,cosA= sin A >0, √3 所以tanA=√3，又A∈(0，π)，所以 A= 罪 3 (2)设R是三角形ABC外接圆的 半径， 由c=3,asin B=2√3，得asin B= 2Rsin Asin B -bsin A 2b= 2√3，解得b=4, 由余弦定理可得a= √b+c2-2 bccos A= 作+3-2x4X3x万 =3. 3 12.C,tan∠ABC=tan0。= 4 AC=42厘米，..BC=56厘米.又 BD=50厘米，.CD=6厘米，根据 勾股定理可得AD=30√2厘米.在 △ABD中，根据正弦定理可得 BD AD ,即 sin∠BAD sin∠ABD 50 30√2 sin(0-0) ,解得sin(0 3 )② 故选C 13.6 解析：由|a-b|=√c一6，得c2= a2+b2-2ab+6.由C=60°，得c2 = a2+b2一ab.两式相减得ab=6,所 以S△ABx 6mC=} ×6× 53 2 2，所以 S△ABC= 204· 0Bsin120°+ 。OB·OC sin120°+ 号0A.0Csin120°= 33 ,所以OA· 2 OB+OB·OC+OC·OA=6. 14.解：(1)依题意，得PA一PB=1.5× 8=12(km), PC-PB=1.5×20=30(km), 所以PB=(x一12)km, PC =(x+18)km. 在△PAB中，AB=20km, cos∠PAB PA:+AB*-PB: 2PA·AB x2+202-(x-12)2_ 3x+32 2x·20 5x 同理，在△PAC中，cos∠PAC= 72-x 3x 因为cos∠PAB=cos∠PAC,所以 3x+32 72一工，解得x= 132 5x 3x (2)如图，作PD⊥a,垂足为D,在 Rt△PDA中， PD=PA·cos∠APD=PA· 354红对勾讲与练·高三二轮数学 cs∠PAB=x.3x+32-132 8×9 +32 5×132 ≈17.71(km). 7 所以静止目标P到海防警戒线a的距 离约为17.71km. a 课时作业12平面向量 1.A因为A,B,C三点共线，所以 AB∥BC,因为AB=(1,4),BC= (m,2),所以1×2-4m=0,解得m 2故选A 2.C因为a=(1,-2),b=(-3,2),所 以a+b=(-2,0).又c=(1,1),所以 (a+b)·c=-2.故选C. 3.D由(a+b)⊥(a-2b)可得(a+ b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=0, 故2|b12-21b1|b|cos(a,b〉 2|b12=0→cos(a,b〉=0，由于(a, b)∈[0，x],所以(a,b》=牙.故选D. 2 4.C、在□ABCD中，PA+2PB+2PC+ PD =PA+2PB-2PA-PB =PB- PA=AB.故选C. 5.C、由向量的线性运算可知O元 OA+AC =OA +AB +BC =OA+ 专O成-Oi)=-4+专0.故 选C. 6C周为市=号花，所以花 多A市，则A花=B耐+专成= (-)+号-)=号花 (:+)=君×号市 (红+含）应 =2 AD (2十号)A店，因为B,E,D三点共 线，所以-(+) 1 =1,解得 x=- 吾选C 7.D如图， 以(AB,AD}为基底，则AB2=16, AD:=4,AB.AD=4X2cos60°=4， 且=A市+D成=子A店+A市， 成-武+成=a店+市，所以 成B成=（任店+）(-店+ 3 16 A市 品×16+号×4+4=品故 选D. 8.C 依题意设OM=m=(x3y3), ON=n=(x4y:),则OP=p= 入m+n=(入x3+ux4,入y3十 uy.),S(m,n)=lz:y:-ziy;,S(m, p)=z3 (Ay3 +py -(λx3+ x:)y3|=|4 z3y-zys1,S(n, p）=x(Ay3+uy:)-(入x3+ x:)y:|=|入|xy:-x4y3|,则 S(m p)+S(n p) S(m,n） =1入|+|41.故 选C 9.AC对于A,由a∥b,得2.x-1=0, 解得x= 2,故A正确：对于B,a 2b=(2,1)十2(1，x)=(4,1+2x), |a+2b|=5,.√16+(1+2x)2= 5,解得x=1或x=一2，故B错误；对 于C,当x=1时，b=(1,1),.a在b 上的投影向量为 ·b 心b=b,故C b12 正确；对于D,当a与b的夹角为锐角 时，a·b>0,且a与b不共线， 12+x>0, 解得x>一2且x≠ 2x一1≠0， ,故D错误.故选AC 2 10.ACD ,由OA +OB+0元=0，得 OA =-OB -OC,又1OC|= 20店1=2,0B.0元=0，所以 OA1=1-0B-0元1= √-oB-Oc)2= √0B12+0元2+20B.0 √1+4=√5，故A正确；由O元12= (-OA-OB)2=10B*+0A 20A.OB=1+5+21OA11OB1 cos∠AOB=4,得cos∠AOB 故B错误：1A店1=1O品 √5 OA1=√O-0A)= √ōA2+OB2-20A.0B √/5+1-21 DA IOB |cos∠AOB 6-2×5×1x(） √6+2=22，故C正确：号A店 At=子(Oi-O)+ (0元 3 0=10成+10元-20 3 3 3 3 3 2O=-OA=A0,故D正确.故 选ACD. 11.ABC对于A,|a-b1=|a1 2a·b+Hb|2=1,因为a,b为单位向 量，所以ab=子，所以a在b上的