小练21 三角函数的图象与性质-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练21三角函数的图象与性质 (考试时间：30分钟满分：92分) 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 1.函数y=5cosx十7sin2x的最小正周期 5.将函数y=2sin(3x十p)的图象向右平移哥 个单位长度，得到的函数图象关于y轴对 和最大值分别为 称，则的最小值为 A.,1+3 2 B.π，1+√5 B.ig C红+9 D9-, c D若 2.图中的曲线对应的函数解析式是 6.函数f(x)=tan(wx十p)(w>0,p<) 的图象如图所示，若图中阴影部分的面积 为3π，则0 A.y=sin x B.y=sin x C.y=-sin x D.y=-sin x 3.(教材改编题)有以下四种变换方式： ①向左平移于个单位长度，再将每个点的横 5π 坐标缩短为原来的号； A.一12 B.-π 6 ②向右平移买个单位长度，再将每个点的横 c. D是 7.已知函数f(x)=2cos2wx+sin2wx-1 坐标缩短为原来的分： (w>0),f()=f()= 2,xx2的 ③每个点的横坐标缩短为原来的行，再向右 最小值为经，则。 平移器个单位长度： A B.1 C.2 D.3 ④每个点的横坐标缩短为原来的号，再向左 8.(多选)古人立杆测日影以定时间，后来逐 步形成了正切和余切的概念.余切函数可 平移器个单位长度。 以用符号表示为f(x)=cotx,其中cotx= 其中能将y=sinx的图象变换成函数y= tan(爱一x小，则下列关于余切函数的说法正 sin(3z+零)的图象的是 确的是 A.①和③ B.①和④ A.定义域为{xx≠kπ，k∈Z C.②和④ D.②和③ B.在区间（受x上单调递增 4.(教材改编题)函数y=3sinx十1 sin x-2 的值域为 C.与正切函数有相同的对称中心 [-4】 B.[-4,4] D.将函数y=一tanx的图象向右平移罗个 c[-1 n.[4] 单位长度可得到函数y=cotx的图象 9.(多选，教材改编题)水车在古代是进行灌 12.(5分)已知函数f(x)=2sin(wx-) 溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以 水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载， (w>0)在区间(0，)上不单调，且在区间 水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多 年的历史，是人类的一项古老的发明，也是 上单调，则a的取值范园 人类利用自然和改造自然的象征.如图是 是 一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3, 13.(15分，教材改编题)已知函数f(x)= 一3√3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋 转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水 sin(x+若)十sin(x-)十cosx+a的最 斗旋转到P点，设点P的坐标为(x,y),其 大值为3. 纵坐标满足y=f(t)=Rsin(wt十o) (1)求常数a的值； (2)求函数f(x)在x∈[0，π]上的单调递 (≥0，w>0,<),则下列结论正确 减区间； 的是 (3)求使f(x)≤0成立的x的取值集合. 14.(15分)某港口的水深y(单位：m)是时间t A9=一等 (0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是该港口 B.当t∈(0,60]时，y=f(t)单调递增 的水深数据： C.当t∈(0,60]时，f(t)的最大值为6 t/h 0 3 9121518 2124 D.当t=100时，|PA|=6 y/m 10139.97101310.1710 10.(5分，教材改编题)函数f(x)=Asin(wx+ 一般情况下，船舶航行时船底与海底的距 p)(A>0,w>0,0<≤π)在一个周期内的 离不小于4.5m时就是安全的， 图象如图所示，将八)的图象向左平移晋 (1)若有以下几个函数模型：y=at十b,y= 个单位长度，得到函数g(x)的图象，则 Asin(wt+o),y=Asin wt-+K,你认为哪个 g(x)的解析式为 模型可以更好地刻画y与t之间的对应关 系？请你求出该拟合模型的函数解析式； (2)如果船的吃水深度（船底与水面的距 离)为7m,那么该船在什么时间段能够安 全进港？若该船欲当天安全离港，它在港 内停留的时间最多不能超过多长时间？ 11.(5分)已知函数f(x)=2(sinx十cosx) 2引sinx-cosx小，则f(x)的值域 是 42参考答案及解析 B=a,因此y=2a,从而sinY=sin2a=2 sin acos a= 24 7 25,cosY=cos2a=2cosa-1=25,所以siny+ cos y=25 31 20 12. 【解析折】依题意答=子所以m8=号，所以 1 sin 2a -tan a= sinatcos'a tan atana 2sin acos a 2tan a tan a=tan'a+1-2tan'g =1-tan'g 1-() 2tan a 2tan a 2× 20 18.解：1因为m9=7, 2tan B 2×号 77 所以tan23= 1-tan 1-(分)8 49 an2p-an平 7 所以an(2g平)】 21 1+tan2g·tan买 1+2 17 一24 1 31 (5分) 3 24 (2)因为a,3e(0,5), 所以a十B∈(0，π)， 因为cosa+g》=25>0. 5 所以a+B∈(0，受)， 所以2a十B∈(0，π)， 所以ma+》怎， tan(a十B)= sin(a+B)1 cos(a+B) 2 2tan(a+B) 2X1 tan[2(a+B)]-1-tan'(aFB 2 1-1 3 4 则tan(2a十B)=tan[2(a十B)一B] 4 25 tan[2(a十B)]-tanβ 37 1+tan[2(a十B)]·tanB 1+× 2 1 =1, 因为2a十B∈(0，π)， 所以2a十月=子 (13分) 数学 14.解：在Rt△OBC中，BC=sina,OB=cosa, 在R△AD0中识=an号=E, 所以OA=5AD=5BC= 3 3 3sin a, 所以AB=OB-0A=as。9ine: (5分) 设矩形ABCD的面积为S, 则S=AB·BC (aw。9 in ain =sin acos a- 2sin2a+ 6cos 2a 6 n(a+吾）g, 6 (10分) 由0a<得<2a+< 所以当2a十若=受，即a=吾时 所以当a=若时，矩形ABCD的面积最大，最大面积 (13分) 小练21三角函数的图象与性质 1.A【解析】因为y=5cosx+2sin2x=in2z +9os2x+号=sim(2x十号）+号，所以最小正 周期为，最大值为1十故选A 2.C【解析】对于A,当0<x<π时，y=|sinx|>0, A错误；对于B,当0<x<π时，0<|x|<π，y= sin|x|>0,B错误；对于C,令f(x)=-sinx|,该 函数的定义域为R,f(一x)=一sin|一x|= 一sin|x|=f(x),故f(x)为偶函数，当x>0时， f(x)=一sinx,由三角函数图象可知，C正确；对于 D,当π<x<2π时，y=-|sinx|<0,D错误.故 选C. 3.B【解析】①向左平移于个单位长度，可变为y= sin(x十牙)，再将每个点的横坐标缩短为原来的 数学 号，变为y=sin(3x十平)：②变换为y sin(3x一无)：③每个点的横坐标缩短为原来的写， 可变为y=sin3x,向右平移是个单位长度，变为y- sin3(x-是）=sim(3x-平)：④可变换为y= sin3(x+晋)=sin(3x+牙).故①④正确.故选B. 4.A【解析】：y=3simr十号-3(sinx-2）+7=3十 sin x-2 sin x-2 sinx-2,-1≤sinx≤1，-3≤sinx-2≤-1， 7 1 72≤号，y=m∈ -4≤3十7 sin x-2 [-4,号]故选A 5,D【解析】函数y=2sin(3x十p)的图象向右平移否 个单位长度得到y=2sin[3(x-哥)十g]- 2sin(3x-号+9)，又y=2sin(3x-牙+9)的图象 关于y轴对称，所以-哥十9=受十kπ(k∈Z),解得 g=要十x(k∈Z),当及=-1时，g取得最小值 否故选D, 6.A【解析】如图所示，区域①和区域③面积相等，故 阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积，可得AB= 3,设函数f(x)的最小正周期为T,则AD=T,由题 意可得3T=3元，解得T=元，故号=元，可得a=1,即 f(x)=tan(x+o),由图可知f(x)的图象过点 (,-1),即tan（若+p）=-1,9∈ (-芝，受)，则否+9∈(-受，)，·+ 一平，解得9=一受故选A 2 06 7.A【解析】f(x)=2cos2wx十sin2wx-1=cos2wx+ 4 参考答案及解析 sin2ar=Esin(2wr+于），因为f(x)=f(x)= 号，所以s血(2am+子)=sn(2a+子)=之，因 为当x∈[0,2x]时，sinx=合对应的x的值分别为 吾，，所以y=snx与y=合相交的两个交点的最 近距离为号-吾=答又一的最小值为号，所 以(2m+受）-(2as+)=2w= -号即2w×号-子则a=分故选A 8.ACD【解析】由正切函数的定义域可知牙一x≠ x十受，k∈乙，则x≠-kx,k∈乙，所以余切函数的定 义域为{xx≠kπ，k∈Z},故A正确；当x∈ (受，x)时，-受<受-<0，因为t=受-x单调递 减=ant在区间（一受，0）上单调递增，所以由复 合函数的单调性知f(x)=cotx=an(艺-x)在区 间（受，π）上单调递减，故B错误：y=tanx的对称中 心为（馁，0），k∈Z,令受-x=经，k∈Z,得x= )还，k∈五，则x=受，n=1-k∈五，所以 2 f(x)=cotx的对称中心为(，0），n∈Z,故余切函 数与正切函数有相同的对称中心，故C正确；将函数 y=一amx的图象向右平移受个单位长度得y -tan(x-罗)=tan(受-x)=cotx,故D正确.故 选ACD. 9.ACD【解析】对于A,由A(3,-35),得R √3+(-35)=6，且T=120,所以w=年=斋 当t=0时，点P在点A位置，有-3√3=6sinp,解得 s血p=又因为g<受，所以g=-吾放A正 确：对于B由选项A可知f)=6sin(品一号），当 t0,60]时，高1-晋∈(-晋，]，所以函数 f(t)先增后减，故B错误；对于C,当t∈(0,60]时， 品t-受e(-号，]则sim(品-晋)e (一，1]，所以0的最大值为6，放C正确：对于 参考答案及解析 D,当1=10时，需1-号=经，此时P点坐标为 (-3,-3√3)，所以|PA|=|-3-3|=6,故D正 确.故选ACD. 10,g(x)=-2sin2x【解析】由图可知，T= 2(登+号)=，放可得w=2红=2.因为最大值为 2,且A>0,故A=2,此时函数解析式为f(x)= 2sin(2x十9)(0<p≤π)，因为图中最高点的坐标 为（一登2），所以-是×2十g=2x+受，解得 g=2kx十三，k∈乙又因为0<9≤m,所以k=0,9 5,所以f(x)=2sin(2x+),则g(x) f(x+否）=2sin(2x+x)=-2sin2x. 1[-19] 【解析】易知f(x)的最小正周期为2π. 当sinx≥cosx时，f(x)=号(sinx+cosx） 号(sinx-c0sx)=c0sx当sinx<cosx时， f(x)=合(sinx+cosx)+号(sinx-cosx)= sinx.且-个周期[0,2π]内，当x∈（买，平）时， sinx>cosx;当x∈(o,王)U(,2元)时，sinx< cosx,绘制函数f(x)在[0,2π]内的图象如图（实 线)所示，观察可得，函数)的值被为[-1，号] y=f(x) 12.[号，号]【解析】因为。>0，所以当0<x<号 时，一否<r-吾<弩-石.因为函数f(x)在区 间(0，号)上不单调所以弩-若>受，解得>2. 当号<x<x时，罗吾<-吾<w吾因为 函数f(x)在区间(，π)上单调，所以 (2-吾w-晋)9（如-受，km+受) (k∈Z),所以 3一6元2’甘中b仁Z.解得 w一晋<k十受， ·42 数学 多k-}<w<k+号(ke).由号k-}<k+号， 得≤子，又因为w>2,所以6=2，此时号≤w≤ 令，所以。的取值范围是[，号]， 13.解：1)f(x)=sin(x+）+sin(x-答)+cosx 十a =√/3sinx+cosx十a =2sin(x+否)+a. (3分) 因为f(x)的最大值为3， 所以a十2=3，所以a=1. (5分) (2)由(1)知，fx)=2sin(x+若)+1， 令登+2k≤+晋<受+2m(∈z 得晋+2kr<≤智+2m(k∈Z), 取=0，得晋<≤号， 又x∈[0，π]， 所以函数∫(x)在x∈[0，π]上的单调递减区间是 [吾 (10分) (3)f(x)≤0，即2sin(x+F)+1≤0， 所以sim(x+晋)长-是 所以-晋+2m≤x+若≤-吾+2x(k∈2)， 解得-π十2kr≤≤-否+2kr(k∈Z), 所以使∫(x)≤0成立的x的取值集合是 (-x+2kr<≤-号+2k6∈7 (15分) 14.解：(1)函数y=Asin wt十K可以更好地刻画y与t 之间的对应关系， (1分) /A+K=13, 根据数据可得二A十K=1, .A=3,K=10, (3分) 又：T=15-3=12,w=9=吾， ∴y=3sin石t+10(0≤≤24). (5分) (2)由题意，要满足题意，需y≥4.5十7=11.5， 即3sin若+10>11.5， 1 数学 合[2+号2+晋]kez 解得12k十1≤t12k十5，k∈Z, (10分) 又0≤t≤24， 当k=0时，t∈[1,5]：当k=1时，t∈[13,17]. ∴.te[1,5]或[13,17]， .该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全 进港， 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不 能超过16个小时. (15分) 小练22正孩定理与余孩定理 1.A【解析】a。 CosA=c名5=cosG·由正弦定理 《 得热A-识月-识光：mA=anB=anC又 0<A,B,C<π，∴A=B=C.故△ABC为等边三角 形.故选A. 2.B【解析】由AB·AC=2S,得bccos A=bcsin A,即 sinA=cosA,因为cosA≠0，所以tanA=1,因为 0°<A<180°，所以A=45°.故选B. 3.B【解析】在△ABC中，因为A=60°，b=1,△ABC 的面积为万，所以Sac=号besinA=号X1XcX 5=5,所以c=4,因为a2=B+c-2 bcos A= 2 1+-2X1×4×分=13，所以a=V5,所以 sin C 正_239.故选B sin A 3 3 2 4.D【解析】对于A,:a=7,b=14,A=30°，.sinB= bsin A 14x 7 =1,又B为三角形的内角，B= 90°，故只有一解，不合题意：对于B,:a=30,b=25, A=150,mB=A_25X0150=是·又A 30 为钝角，B为锐角，故B只有一解，不合题意；对于 C,”a=72,b=50,A=135°，.sinB=bsin A a 60X0135=25,又A为钝角，B为锐角，故B 72 只有一解，不合题意；对于D,:a=30,b=40,A= 26°，sinB=6sin4=40sin26=4sin26,:a<b, a 30 3 .A<B,即26°<B<180°，则满足题意的B有两解， 符合题意.故选D. 5A【解折】由需票=2(1+5B)及正弦定理得 62 =2(1+V3sinB),即=2a2(1+5sinB),由 a=c及余弦定理可得b2=a2十c2-2 accos B= 参考答案及解析 2a2(1-cosB),∴.2a2(1+3sinB)=2a2(1- cos B),:sin B=-cos B,:'tan B= 3 B<B=要故选A 6.D【解析】由于A=于，且△ABC外接圆的半径为 2a=2 Rsin A=2X2×=22.由余弦定理得 2 a2=8=b2+c2-2 bccos A=b+c2-√2bc≥2bc E6cc≤8+4E,则sac=besin A<是X (8+42)×号-2E+2故选D 7.C【解析】如图， 由题意可知BD=B,BC=45-4,A=180°-B 2 -C=75°，所以由正弦定理得AB=BCsin45°= sin75° 8x号 4√2 sin(30°+45)√2+√6 =8√3-8.在△ABD中，由 4 余弦定理可知，AD=BD十AB-2AB·BDcos B =(43-4)2+(8√5-8)2-(4√3-4)(8√3-8)= 48(5-1)2,所以AD=4(3-√3).故选C. 8.B【解析】由a=1,bcos A=1十cosB,得bcos A= a十acos B,由正弦定理可得sin Bcos A=sinA十 sin Acos B,即sin Bcos A-sin Acos B=sinA,所以 sin(B-A)=sinA,所以B-A=A或B-A+A=π （舍去)，所以B=2A,由正弦定理得，b=asin B= sin A in2A=2c0sA,而0<A<,0<B=2A<π，0<C- sin A 元-3A<,所以0<A<吾，所以合<c0sA<1,所以 b=2cosA∈(1,2)，所以b的取值范围为(1,2).故 选B. 9.BC【解析】由正弦定理，得sinC=csin B-2sin30 b 2 -.因为c>b,B=30,所以30°<C<180,于是 C=45°或C=135°.①当C=45°时，A=105°，此时a= bsin A √2sin105° 2sin(60°+45°) sin B sin30° sin30° √2(sin60°cos45°+cos60°sin45°)_ sin30°