小练18 任意角和弧度制、三角函数的概念-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练18任意角和弧度制、三角函数的概念 (考试时间：30分钟满分：108分) 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 7.(多选)以下说法错误的是 1.集合A={aa=-2025°+k·180°，k∈Z} A.第一象限角一定是锐角 中的最大负角a为 B.终边相同的角一定相等 A.-2025 B.-225° C.小于90°的角一定是锐角 C.-45° D.-25° D.钝角的终边在第二象限 2.如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角a8.(多选)已知角a的终边经过点P(一2，m), 的集合是 则下列结论正确的是 A.若sina= 5 则m=1 5元 5 -6-4-20 246 B.若m=1,则sina=5 5 A. 5π+2kr≤a≤(2k+1)π，k∈Z C.若cosa= 2则=1 . 5π 25 +kπ≤a≤(k+1)π，k∈Z D.若m=1,则cosa= 9.(多选)中国传统扇文化有着极其深厚的底 C.a +2kx≤a≤(2k-1)π，k∈☑ 6 蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面 D.a -否+2kx≤a≤2k元，k∈Z 中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面 6 积为S1,其圆心角为0，半径为r,圆面中剩 3.在△ABC中，A为钝角，则点P(cosA,tanB) 余部分的面积为S2,当S:与S2的比值为 A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限 52时，扇面为“美观扇面”，下列结论正 4.(教材改编题)已知α是锐角，则 确的是 A.cos 2a>0 B.tan 2a0 C.0<sin 2a<1 D.0<sin2a≤1 S2 5.已知a是第一象限角，则号是 A.=0 S22π-0 A.第一象限角 B.第二象限角 =21=3,则S=2x C.第一或第二象限角 C.若扇面为“美观扇面”，则=(3一√5)π D.第一或第三象限角 D.若扇面为“美观扇面”，r=20,则扇形面 6.如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面 积为200(3-√5)π 积取最大值时，弦长AB 10.(5分)已知集合A={x2km+晋<x< 2x+经∈Z,集合B=kx+< A.3sin 1 B.3sin 2 C.3sin 1 D.3sin 2 <kx+智，k∈Z,则AnB= 35 11.(5分，教材改编题)已知一扇形所在圆的14.(15分，教材改编题)中国最早用土和石片 半径为2，该扇形的周长为8，则该扇形中 刻制成“土圭”与“日晷”两种计时工具，成 所含弓形的面积是 (注：弓形是 为世界上最早发明计时工具的国家之一， 指由弦及其所对的弧组成的图形.) 铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元 12.(5分，教材改编题)已知相互啮合的两个 初四年，张衡发明了世界第一架“漏水转 齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转 浑天仪”，元初郭守敬、明初詹希元创制 动一周时，小轮转动的角是 rad. “大明殿灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代 如果大轮的转速为180r/min(转/分)，小 的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针 轮的半径为10cm,那么小轮周上一点每 和分针一天内重合的次数，从午夜零时算 2s转过的弧长是 cm. 起，假设分针走了tmin(t>0)会与时针重 13.(15分)(1)已知角a的终边上有一点P的 合，一天内时针和分针重合n次， 坐标是(3a,4a),其中a≠0，求sina, (1)建立t关于n的函数解析式； cosa,tana的值； (2)求一天内分针和时针重合的次数. (2)已知角a的终边在函数y=一 x的图 象上，求sina,cosa,tana的值. 15.(15分)设a是锐角，利用单位圆证明下列 不等式： (1)sin a+cos a>1; (2)sin a<a<tan a. 36数学 的零点， 「c>0, 则需 器a.g得0器 27 所以c的取值范围为(o,器)。 (9分) (3)当△=4a2-12b<0时，f(x)=3x2+2ax+b> 0,f(x)单调递增， 此时函数f(x)不可能有三个不同的零点；(11分) 当△=4a2-12b=0时，f(x)=3x2+2ax+b≥0， f(x)单调递增， 此时函数f(x)不可能有三个不同的零点；(13分) 综上所述，若函数f(x)有三个不同的零点，则必有 △=4(a2-3b)>0. 故a一3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件. (15分) 当a=b=4,c=0时，a2-3b>0, 此时f(x)=x3十4x2十4x=x(x十2)2只有两个不 同的零点， 所以a2-3b>0不是函数f(x)有三个不同零点的充 分条件 所以a-3b>0是函数f(x)有三个不同零点的必要 不充分条件： (17分) 6,解：(1)由题意可知，对于任意x∈(0，十∞)，都有 ax'<x(1-In x), 所以a<(-lnx) (1分) x min 令F(x)=1-ln工，x∈(0，十oo), x 则F(x)=nx2 x2 当x∈(0，e)时，F(x)<0,F(x)单调递减； 当x∈(e,十o∞)时，F'(x)>0,F(x)单调递增， 所以F(x)mim=F(e2)=- 1 e 所以实数a的取值范围为(-©，-亡)： (5分) (2)由题可知函数y=g(x)一有两个零点x1,x2, 所以1(1-lnx1)=2(1-lnx2),且x1,x2>0, 1+ln 11+ln 1 整理得一 x2 1 (7分) xL Ty 设函数h(x)=1+ln(x>0), 则h'(x)=二nx x2, 当0<x<1时，h(x)>0,h(x)单调递增： 当x>1时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 令a- 1,b=1,0<a<1<b. 则h(a)=h(b). (10分) 设函数G(x)=(2-x)(1十lnx)-x[1+ln(2 ·3 参考答案及解析 x)],其中0x1, 则G(x)=-1h[x2-x)]+(2+2若x-2 >0, 所以G(x)在区间(0,1)上单调递增， 所以G(x)G(1)=0, 所以(2-x)(1十lnx)<x[1+ln(2-x)], 所以l+lnx<1+ln(2-x x 2-x 即h(a)=1+lna<1+l2-a=h(2-a),14分) 2-a 又h(a)=h(b),且0<a<1<b, 所以h(b)<h(2-a),且2-a>1, 又h(x)在(1，十∞)上单调递减， 所以b>2-a, 所以之2 即1+1>2 (17分) 小练18任意角和孤度制、三角函数的概念 1.C【解析】令-2025°+k·180°<0°，解得k< 11子，因为k∈.所以当k=1时，集合A=aa= -2025°+k·180°，k∈Z}中的最大负角a为-2025 +11×180°=-45°，故选C. 2.B【解析】终边落在阴影部分的角为十km≤a≤ (k十1)π，k∈Z,即终边落在阴影部分（包括边界）的角 。的集合是{a管+如<a<(k+1)kEZ小故 选B. 3.B【解析】在△ABC中，因为A为钝角，所以B为锐 角，所以cosA<0,tanB>0,所以点P(cosA,tanB) 在第二象限.故选B. 4.D【解析】因为a是锐角，所以a∈(0，受)，所以2a ∈(0，π)，所以cos2a∈(-1,1)，tan2a∈(-o∞，0) U(0,十oo),sin2a∈(0,1].故选D. 5.D【解析】因为a是第一象限角，所以2kπ<a<2kπ 十受，k∈7，所以km<受<m十平，k∈Z,当k=0 时，0<号<牙，属于第一象限角：当k=1时，π<号 <平，属于第三象限角综上，号是第一或第三象限 角.故选D 6.A【解析】设扇形的圆心角为a,半径为r,弧长为， 期十=6所以6-2由2g2>0.可得 0<<3,所以扇形的面积为S==(3-r)r≤ (3十)=号，当且仅当3-=，即r=号时取 参考答案及解析 等号，此时扇形的面积S最大，所以1=6一2r=3.因 为1=ar,则扇形的圆心角a==子=2，取线段AB 3 2 的中点E,连接OE, 由垂径定理可知OE⊥AB,因为OA=OB,则∠AOE =合∠A0B=×2=1,所以AB=2AE=20Asin1 =3sin1.故选A. 7.ABC【解析】对于A,如405°，-330°都是第一象限 角，但它们不是锐角，故A错误；对于B,如405°与45 的终边相同，但它们不相等，故B错误：对于C,锐角 的取值范围是(0°，90°)，故C错误；对于D,钝角的取 值范围是(90°，180°)，终边在第二象限，故D正确. 故选ABC. 8,ABD【解标】由ma=行，得示 5 解得m=1(负值舍去)，故A正确；由m=1,得sina= 1 -2 25 √/(-2)+1平 5,cos a= (-2)+1严 51 故BD正确；由cosa=一 ,得丽 -2 -25,解得m=士1，故C错误，故选ABD, 5 9.ACD【解析】对于A,S,S所在的扇形的圆心角分 1 ·0·2 别为0,2元-0，所以 2 S: 交·(2m-0)·2元-9 1 故A正确：对于B者是=”)合则9=行又 =3,则S=之·0·r=号×罗×9=3x,枚B错 误对于C者景-”。则g-(8-5) 故C正确；对于D,由C项知=（3一√5)π，又r= 20,所以S,=号·0·=号×(3-5)元×400= 200(3-√5)π，故D正确.故选ACD. 10.(2π+，2kπ+牙)(k∈Z)【解析】依题意得 B={红2kx+平<x<2kx+号，k∈ZU{z2x+ 要<x<2x+誓，k∈Z,所以A∩B= {z2kπ十平<<2kπ+号，k∈Z)=（2km+于， ·3 数学 2kx+号）k∈ZD. 11.4-2sin2【解析】由题意，扇形的弧长l=8-4=4, 故扇形的圆心角a=京=2，则扇形的面积S=专× 4×2=4,所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为 2e0s1,底为4sin1,该三角形面积为S=之·20s1 ·4sin1=4sin1cos1=2sin2,故扇形中所含弓形面 积为4-2sin2. 12.24红288元【解析】大轮有48齿，小轮有20齿， 5 ∴.当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿，小轮转 动号-号用小轮转动的角是号×2x=2告山 当大轮的转速为180r/min时，小轮转速为号×180 =432r/min,∴.小轮周上一点每1s转过的弧度数 为482×2x÷60-号，：小轮的半径为10cm,小 72 轮周上一点每2s转过的弧长为号π×10×2= 288πcm. 13.解：(1)由题可知r=√/(3a)十(4a)=5|a.(1分) 当a>0时，r=5a, (4分) 当a<0时，r=-5a, ..≥义一50=一6， -5a cos a=I=3a=3. r-5a 5 tana=义-4=4 x=3a=3 (7分) 4 3 4 综上可知，sina=行，cosa=号，tana=3或sina= 号60sa=- 3 .4 ，tana=3, (8分) (2)由题可知，角a的终边在函数y=一名x的图象 1 上，且函数)=一之x的图象既过第二象限也过第 四象限， (9分) 当角α的终边在第二象限时，在其终边上取一 点(-2,1)， 数学 则sina= 1 5 √/(-2)+1Ψ -2 2W5 cos a= √(-2)+1 1 tana=-2=-2 (12分) 当角α的终边在第四象限时，在其终边上取一 点(2，-1)， 则sina= -1 5 /22+(-1)2 51 2 2W5 cos a- √22+(-1)月 tan a= 1=-1 2 (15分) 2 2π 14.解：(1)因为分针旋转的角速度为 无(rad/min), 2π 时针旋转的角速度为12天60-360(rad/min), 所以(0一0)1=2m, 所以=空 (8分) (2)因为分针旋转一天所需的时间为24×60= 1440min, 所以22≤140， 解得n≤22， 故时针与分针一天内只重合22次. (15分) 15.解：(1)在如图所示的单位圆中，A(1,0),∠AOP= a,∠AOP的终边交单位圆于点P,作PM⊥x轴于 点M, 0 令P(x,y)(x>0,y>0), 由三角函数定义得sina=y=|PM|,cosa=x =1OM, 在Rt△OPM中，|PM+|OM>|OP|=1, 所以sina十cosa>1. (6分) (2)过点A作单位圆的切线交OP的延长线于点T, 劣弧AP的长为l=a×1=a, 由三角函数定义得sina=y=|PM,tana=|AT|, 所以△AOp的面积S,=令OAPM=令sina, ·3 参考答案及解析 扇形A0P的面积S,=OA=c, △A40T的面积S=号1OA1lAT=合ana,12分) 由图形得S<S<S, 即号sina<7a<7tana, 1 .1 所以sina<a<tana. (15分) 小练19同角三角函数基本关系式 及诱导公式 1.A【解析】易知cosa=1-sina=1-号=专 .'.sin'a-cos'a (sina+cos'a)(sin'a-cos a)= 吉号=-号故选A 55 2.C【解析】因为sin(x十a)=一号=一sina (0<a<号)，所以m。=子os。=2,所以 1 sin(经-a）=-cosa=- 9故运C 3.A【解析】√-2sin190cos190 c0s170°+√/1-c0s170° (sin190°-cos190)=sin190°-cos190 cos170°+√/sin170 cos170°+sin170° L-sin10°+cos10=-sin10°+cos10° -cos10°+sin10 -cos10°+sin10 =-1.故 选A. 4.B【解析】因为2sina-cosa=1,所以cosa=2sina -1,又sina+cos2a=1,所以sina+(2sina-1)2= 1,即5sina-4sina=0,又a∈(0，π)，所以sina= 专，所以c0sa=子，所以 3 1 2sin acos acosa 1 249-3·故选B 2525 cos x cos x(1+sin x) 5.A 【解析】二inx=(1-sinx)(1十sinx) cosx(1十sinx)=1+sin工=5.故选A. 1-sin'x cos I 6.C【解桥】由题可得88十ng2所以 sin 0 cos0<0且sin0<0,所以角0为第三象限的角.故 选C. 7.A 【解析】cos a /1-sin a /1-cos a 1+sin a 一sin a1十cosa (1-sin a) cos a 1-sin'a (1-cos a) -sin a1-cos'a ,a是第 二象限的角，∴.-1<cosa<0,0<sina<1,.原式= -(1-sina)-(1-cosa)=sina十cosa-2.故选A. 8.C【解析】由5十=2，得5na十c0sa=2,两 csc a'sec a