小练15 导数与函数的极值、最值-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 。。。。。。。。。。 小练15导数与函数的极值、最值 (考试时间：30分钟满分：112分) 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 6.(多选，教材改编题)若将一边长为4的正 1.(教材改编题)将一条长为8dm的铁丝截 方形铁片的四角截去四个边长均为x的小 成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正 正方形，做成一个无盖的方盒，则下列说法 方形的面积和最小，则两个正方形的边长 正确的是 各是 △，当x一时，方盒的容积最大 A.1 dm,1 dm B.1 dm,2 dm C.2 dm,2 dm D.3 dm,3 dm B.方盒的容积没有最小值 2.已知函数f(x)=e一ax2在R上无极值， C方盒容积的最大值为器 则实数a的取值范围是 A(-,】 B.(-∞， D方盒容积的最大值为盟 7.(多选)已知函数f(x)是定义域为R的可 C.[0,e) 导函数，若f(x十y)=f(x)+f(y)十 3xy(x+y),且f(0)=-3,则 3.若函数f(x)=xlnx 2一x十a在其定 A.f(x)是奇函数 义域内有两个不同的极值点，则实数a的 B.f(x)是减函数 取值范围是 C.f(3)=0 A(日，+ B.(0,1) D.x=1是f(x)的极小值点 8.(5分，教材改编题)已知函数f(x)=x(x一c) C.(0,e) D.(o2 在x=1处有极大值，则c的值为 4.当下，网校教学越来越受到广大学生的喜 9.(5分，教材改编题)若函数f(x)=2x2-lnx +2在其定义域内的一个子集(a一1，a+1)内 爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势， 存在极值，则实数a的取值范围为 假设某网校套题的每日销售量y(单位：千 套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式 0.(5分已知函数f(x)三x+x2,则 y=23十3(x-62,其中3<x<7,a为常 f(x)的极小值为 ;若f(x)在区 间(m,m十2)上存在最小值，则实数m的 数.已知当销售价格为5元/套时，每日可 取值范围是 售出53千套.假设该网校的员工工资、办 11.（13分，教材改编题)已知函数f(x)= 公损耗等所有开销折合为每套题3元（只 ex一ax. 考虑售出的套数)，要使得该网校每日销售 (1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切 套题所获得的利润最大，则销售价格x应 确定为 线与直线l:y=2x垂直，求a的值： A.3.5元/套 B.4元/套 (2)若曲线y=f(x)在与y轴的交点处的 C.5元/套 D.6元/套 切线斜率为一1，求f(x)的极值. 5.已知函数f(x)=4+lnx在区间[1，e]上 的最小值为号，则a的值为 A.1 C. D.e 12.(15分)求函数f(x)=(x-1)[2x2一(3a+14.(17分)对于函数f(x),g(x),若存在实数 4)x+9a一4]在区间[0,3]上的最大值与 m,n,使得f(m)十g(n)=0,则称f(x)与 最小值，其中0<a<2. g(x)为“互补函数”，m,n为“互补数” 1)判断函数f)=是+希(<0)与 g(x)=n严是否为“互补函数”，并说明 理由； (2)已知函数f(x)=。是(x<0)与 g(x)=(x+1)e为“互补函数”，且m,n 为“互补数”. (i)是否存在m,n,使得m+n=0?若存 在，求出m,n;若不存在，请说明理由； (i)若m+n∈[a,0),a∈(-1,0)，用含a 的代数式表示一n的最大值. 13.(15分，教材改编题)设函数f(x) 「x3-3x,x≤a, ={-2x,x>0 (1)若a=1,求f(x)的最大值； (2)若f(x)无最大值，求实数a的取值 范围. —30数学 所以6=e, 1e-l+b=2e, 解得a=2,b=e. (6分) (2)由(1)可知f(x)=xe2-r+ex, f(x)=(1-x)e2-x+e. 令g(x)=(1-x)e2-x十e, 则g'(x)=(x-2)e2-r, 当x>2时，g'(x)>0,g(x)单调递增； 当x<2时，g(x)<0,g(x)单调递减， (11分) 所以当x=2时，g(x)取得最小值，最小值为g(2)= e-1, 所以g(x)>0,即f(x)>0恒成立， 所以f(x)的单调递增区间为（一∞，十∞）.(15分) 14.证明：(1)要证e>1十x,只需证e-x-1>0, 令f(x)=e-x-1(x≠0)， 则f(x)=e-1, 因为f(0)=e-1=0, 所以当x<0时，f(x)<0,f(x)单调递减； 当x>0时，f(x)>0,f(x)单调递增， 故f(x)>f(0)=0, 即e-x-1>0, 所以e>1十x,x≠0得证， (4分) (2)要证lnxx,只需证x-lnx>0, 令f(x)=x-lnx(x>0), 则f(x)=1子 1 因为f(1)=1-1=0, 所以当0<x<1时，f(x)<0,f(x)单调递减； 当x>1时，f(x)>0,f(x)单调递增， 故f(x)≥f(1)=1在(0，十o)上恒成立， 即x-lnx>0, 所以lnx<x在(0，十∞)上恒成立. (7分) 要证xe,只需证e一x>0, 令g(x)=e2-x(x>0), 则g'(x)=e-1, 因为g'(0)=e°-1=0， 所以当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 故g(x)>g(0)=1在(0，十∞)上恒成立， 即e-x>0, 所以x<e在(0，十o∞)上恒成立. 综上，当x>0时，lnx<x<e. (10分) (3)设f(x)=e-(1十x),则f(x)=e-1, 当x≥0时，f(x)≥0，f(x)单调递增， 所以f(x)≥f(0)=0, 所以当x≥0时，e≥1十x>0, 所以号<十所以≤千 (12分) 令g(x)=n(1+x)-1十x 1 1 则g(x）=1十x1+x)十x) 2 参考答案及解析 当x≥0时，g'(x)≥0，g(x)单调递增， 所以g(x)≥g(0)=0, 所以千≤n1+, 所以是≤千≤n1+: 所以当x≥0时，xer≤ln(1十x). (15分) 15.解：(1)因为f(x)=2 rcos-1,x∈(0,5)： 所以f(x)=2cosx-2 rsin x, (2分) 令u(x)=2cosx-2 rsin tE(0,)小 u'(x)=-4sin x-2xcos <0, 所以u(x)即∫(x)在(0，乏)上单调递减， 所以f(x)=2 cos-1在(0，号)上是“上凸函 数”. (5分) (2)因为h(x)=-号r十合ar-ainx十ax x>0, 所以h'(x)=-x2十ax-alnx-a十a=-x2十a.x aln x, (7分) 令(x)=-x2十ax-alnx,x>0, 则(x)=-2x+a-是， 因为h(x)是其定义域上的“上凸函数”， 所以h'(x)即(x)在(0，十∞)上单调递减， 所以()=-2x+a-是≤0在xe(0,+o∞)上 恒成立， 即-2x2十a.x-a≤0在x∈(0，十∞)上恒成立. (10分) 一元二次函数g(x)=一2x2十ax一a的对称轴为直 线x=骨 当x=是<0，即a≤0时，只需g(0)≤0， 解得a≥0，则a=0; (12分) 当x=是>0，即a>0时，只需（号）≤0， 即-号+号-a<0,解得0<a<8 (14分) 综上，实数a的取值范围为[0,8]. (15分) 小练15导数与函数的极值、最值 1.A【解析】依题意设其中一个正方形的边长为xdm (0<x<2),则另一个正方形的边长为(2-x)dm,所 以两个正方形的面积和为S=x2十(2-x)2=2x2 4x十4=2(x-1)2十2(0<x<2),当x=1时，两个正 方形的面积和最小，此时另一个正方形的边长为2 1=1dm,所以两个正方形的边长分别为1dm,1dm. 故选A. 参考答案及解析 2.D【解析】由题意得f(x)=e-2ax,故f'(0)=1 >0,因为函数f(x)=e-ax2在R上无极值，所以 f(≥0在R上恒成立，当x>0时a≤（号），设 g(x)=,x>0,则g(x)= 2xe'-2e' 4x2 x一1)e,当0<x<1时，g(x)<0:当x>1时， 2x2 g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递减，在 (1,十∞)上单调递增，所以g(x)n=g(1)=分， 故a≤号：当r<0时，≥（层），因为器<0，且 max x趋向于-∞时，趋向于0，则a>≥0.综上，实数a 的取值范围是[0，号]，故选D 3.D【解析】由函数f代x)=xnx-号r-x十a,可得 f(x)=lnx一a.x,x>0,因为函数f(x)在其定义域 内有两个不同的极值点，所以方程f(x)=0在其定 义域内有两个根，即a=n工有两个实数根，即y=a x 与y=山严的图象有两个不同的交点，令g(x)= x n2,可得g(x)=1-n工，当0<r<e时，g(x)> x 0;当x>e时，g'(x)<0,所以函数g(x)在(0，e)上 单调递增，在(e,十∞)上单调递减，当x趋向于0时， g(x)趋向于一∞：当x趋向于十∞时，g(x)趋向于 0,且g(x)=g(e)=名8)=0，作出函数y=a 与y=n的图象如图所示， y =g(x) 结合图象，可得0<a< 。,即实数a的取值范围为 (0,)故选D. 4.B【解析】因为当x=5时，y=53,所以°3十3× 6-6)=53,解得a=10,所以y=g+3一6，所 以该网校每日销售套题所获得的利润为(x)= [09+3x-6](x-3)=10+3x-3)(z-6y (3<x<7),故f(x)=9(x-4)(x-6),令 f(x)=0,解得x1=4,x2=6,当3<x<4时， f(x)>0,f(x)单调递增：当4<x<6时，f'(x)< 0,f(x)单调递减；当6<x<7时，(x)>0, f(x)单调递增，又f(4)=112,f(7)=112,3<x< ·2 数学 7,所以当x=4时，该网校每日销售套题所获得的利 润最大故选B. 5.D【解析】因为f(x)=a+lnx(x>0),所以 f(x)=-号=，当a<0时f(x)>0, f(x)单调递增，此时f(x)的最小值为f(1)=a+ 1n1=号，解得a=号，不符合题意，舍去：当a>0时， 令f(x)<0,解得0<x<a;令f(x)>0,解得x> a,所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,十o)上单 调递增，①当0<a≤1时，f(x)在区间[1，e]上单调 递增，所以最小值为f(1)=a≤1，不符合题意，舍 去；②当1<a<e时，f(x)在[1，a)上单调递减，在 (a,e]上单调递增，所以最小值为f(a)=1十lna= 多，解得a=E:③当a≥e时，f()在[1，e]上单调 递减，所以最小值为f(e)=:+ne=号，解得a= 号，不符合题意，舍去.综上所述，a=,故选D, 6.ABC【解析】由题意知，方盒的底面为边长为4-2x 的正方形，方盒的高为x,其中0<x<2,则方盒的容 积为V(x)=x(4-2x)2(0<x2),∴.V(x)= (4-2x)2-4x(4-2x)=(2x-4)(6.x-4)= 4(x-2)(3x-2),则当x∈(0，号)时，V(x)>0: 当x(号，2)时，V(x)<0,V(x)在(0，号)上 单调递增，在（号，2）上单调递减，·V(x)= V(号)=，无最小值，放ABC正确，D错误.故 选ABC. 7.ACD【解析】令x=y=0,可得f(0)=f(0)十f(0), 解得f(0)=0;令y=-x,可得f(x)+f(-x)=0, 又函数f(x)的定义域为R,所以f(x)是奇函数，故 A正确；由f(x十y)=f(x)+f(y)+3x2y+3xy, 可得f(x十y)=f(x)十6yz十3y,令x=0,可得 f(y)=f(0)+3y,又因为f(0)=-3,则 f(y)=3y-3,可得f(y)=y-3y+c,则f(0)= c=0,所以f(y)=y3-3y,即f(x)=x3-3x,所以 f(√5)=0，故C正确；因为f(x)=3x2-3,令 f(x)>0,解得x<-1或x>1;令f(x)<0,解得 一1<x<1,所以f(x)在(-∞，-1)上单调递增， 在（一1,1）上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，所 以x=1是f(x)的极小值点，故B错误，D正确.故 选ACD. 8.3【解析】由题可得f(x)=3x2-4cx十c2,因为函 数f(x)=x(x-c)2在x=1处有极大值，所以 (1)=3-4c十c2=0,解得c=1或3.经检验当c=1 时，函数f(x)在x=1处取得极小值，不符合题意，舍 数学 去，故c=3. 9.[1,号）【解析】因为函数f(x)=2x-1nx十2 (x>0),所以f(x)=4x-1=(2x十1)(2x-1) x 当0<x<分时，()<0，f(z)单洞递减：当x>方 时，f(x)>0,f(x)单调递增，所以x=2是f(x)的 极值点，因为函数f(x)在(a一1，a十1)内存在极值， /a-1≥0， 所。一长宁将得1a<号，所以实数a的取债 3 a+1>2' 1 范周是[1，号)小 10.-2(-2,0)【解析】由函数f(x)=子2十x -2,可得f(x)=x2+2x=x(x十2)，令f(x)> 0,可得x一2或x>0:令f(x)0,可得一2<x <0,所以f(x)在(-∞，-2)，(0，十∞)上单调递 增，在(-2,0)上单调递减，所以当x=0时，f(x)取 得极小值，且极小值为f(0)=-2.令f(x)=一2， 即号十2-2=-2，解得x=-3或x=0,要使得 f(x)在区间(m,m十2)上存在最小值，则需满足 一3m<0, 解得-2<m<0,所以实数m的取值 m+2>0, 范围是(-2,0). 11.解：(1)由f(x)=e-ax,得f'(x)=e-a, 则f(1)=e-a, 由题意可得e一a=一2， 则a=e十2. (4分) (2)令x=0,则f(0)=e=1, f(x)与y轴的交点为(0,1). 又f(x)=e-a, ∴.f(0)=1-a=-1, 解得a=2, .f(x)=e-2x,f(x)=e-2, (8分) 令f(x)=e-2=0,解得x=ln2, 当x<ln2时，f(x)<0,f(x)单调递减； 当x>ln2时，f(x)>0,f(x)单调递增， ∴.当x=ln2时，f(x)有极小值f(ln2)=2-2ln2, 故函数f(x)的极小值为2-2ln2,无极大值. (13分) 12.解：.f(x)=2x3-3(a十2)x2+12ax-9a+4,0<a <2, .(x)=6x2-6(a+2)x十12a, 令f(x)=0,解得x1=a,x2=2. (2分) 当x变化时，f(x),f(x)的变化如下： 2 参考答案及解析 (2, 0 (0 (a, ) 2 3 3) f'(x) 0 0 单调 a 单调 单调 f(x)4-9a 3a-4 4 递增 递减 递增 9a+4 由表知，函数f(x)在x=a处取得极大值，在x=2 处取得极小值， (6分) 0<a<2, .4-9a-4=-9a<0,-a3+6a2-9a+4-4= -a(a-3)2<0, .函数f(x)的最大值为4， (8分) 又4-9a-(3a-4)=8-12a, 当8-12a>0,即0<a<号时，函数f()的最小值 为3a-4: (10分) 当8-12a<0,即号<a<2时，函数f(x)的最小值 为4-9a: (12分) 当8-12a=0,即a=号时，函数f(x)的最小值为 -2. (14分) 综上所述，函数∫(x)的最大值为4， 当0<a<号时，函数f(x)的最小值为3a-4: 当号<a<2时，函数f(x)的最小值为4-9a: 当a=子时，函数f(x)的最小值为-2. (15分) 1x3-3x,x1, 13.解：(1)若a=1,则f(x)= -2x,x>1, 13x2-3,x≤1， 所以f()={-2,x>1, (2分) 当x<一1时，f(x)>0,f(x)单调递增； 当一1<x<1时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x>1时，f(x)<0,f(x)单调递减， 故当x=-1时，f(x)取最大值，最大值为f(-1)=2. (6分) (2)由题意可得f(x)= (3x2-3,x≤a, 1-2,x>a, 令f(x)=0,解得x=士1， (8分) 若f(x)无最大值， fa>-1, 则a- ①或{-2a>a3-3a,② -2a>2, (12分) 由①得a∈（一o∞，-1），由②得a无解， 所以实数a的取值范围为(-∞，-1). (15分) 14.解：0因为f)=士+后<0， 参考答案及解析 所以了x)=一+品-65， 令f(x)>0,得x<-4; 令f(x)<0,得-4<x<0, 所以f(x)在（一oo,一4）上单调递增，在（一4,0）上 单调递减， 则fx)x=f(-4)=- 2 所以f)e(,] (3分) 因为(x)=>0, 所以g(x)=一nx 令g'(x)>0,得0<x<e 令g'(x)<0,得x>e, 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十o∞)上单 调递减， 则g(x)ms=g(e)= e 所以g(x)∈(-∞，17， e, (6分) 故不存在实数m,n,使得f(m)十g(n)=0, 所以∫(x)与g(x)不是“互补函数”， (7分) (2)(1)假设存在m,n,使得m十n=0. 由f(m)十g(n)=0,m+n=0, 得十(-m+1)e=0, 即m+1二”=0， em十 1 解得m=广en=e白' 1 故存在m,n,使得m十n=0,且m=1三e,n 1 e-1 (10分) (i)令g(n)=k,f(m)=-k,且k>0, 则m十kem-1=0,n-kem十1=0， 两式相加可得十n十1=一k(em-1一e"), 两式相减可得m一n-1=一k(em-1十e-"), 所以m十n十1 -k(em-ie)g"e m-n-1 一k(em-l十e")一em-l十em =em+m-1-1 em+m-十1' 故m一n=1十(c+1十1)(m十n十1) em+-1一1 (13分) 令h(x)=1+e+1)x+1山，xe(-1,0), e-1-1 则h'(x)={[el(x+1)+(e-1+1)](e1-1)- (e-l+1)(x+1)e-1}/(e-1-1)2 =e-8-(2x+2)e-1-1 (e1-1)9 因为x∈(-1,0)， 所以0<e2r-2<1,-(2x十2)e1<0, 数学 所以h'(x)<0, 所以h(x)在(-1,0)上单调递减. 因为m十n∈[a,0),a∈(-1,0)， 所以m-n的最大值为h(a)=1+(e1+1)(a十1) e-1-1 (17分) 小练16函数与导数综合应用（一） 存在性与恒成立问题 1.解：设F(x)=e-kx-1,x∈R, 由题可知F(x)≥0恒成立， 因为F'(x)=e一k, 当k≤0时，F'(x)>0, 所以F(x)在R上单调递增， 又F(0)=0, 所以当x∈(-∞，0)时，F(x)<0, 与F(x)≥0矛盾，故舍去； (3分) 当k>0时， 令F(x)>0,解得x>lnk, 令F(x)<0,解得x<lnk, 所以F(x)在区间(lnk,十∞)上单调递增，在区间 (一oo,lnk)上单调递减， 所以要使F(x)≥0恒成立， 只需F(x)im=F(lnk)=k-klnk-1≥0，(6分) 令g(k)=k-lnk-1,k>0, g'(k)=1-(In k+1)=-In k, 当0<k<1时，g'(k)>0,g(k)单调递增； 当k>1时，g'(k)<0,g(k)单调递减， 所以g(k)mx=g(1)=0, 即g(k)=k-lnk-1(k>0)的最大值为0.(9分) 故只有当k=1时，e≥kx十1恒成立， 所以k=1. (11分) 故f(x)=x2-2x=(x-1)2-1≥-1， 所以f(x)的最小值为一1， (13分) 2.解：(1)当a=0时，f(x)=e(2x-1), 则f(x)=e(2x十1)， (2分) 当x<-时，f(x)<0,f(x)单调递减： 当x>-时，f(x)>0,f(x)单调递增， “当x=-2时，a)m=f(-号)=-2e .f(x)≥-2e. (5分) (2)设g(x)=e(2x-1),y=ax-a, :'存在唯一的整数x。使得f(x)<0, ∴.存在唯一的整数xo,使得(xo,g(x))在直线y=