小练5 函数的单调性与最值-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 。。。。。。。。。。。 小练5函数的单调性与最值 (考试时间：30分钟满分：88分) 选择题（单选每题5分，多选每题6分） x+3a,x≥0， 6.已知函数f(x)= x2-a.x+1,x<0 在定 1.(教材改编题)已知函数f()=x十兰，则 义域R上是减函数，则实数a的取值范 “1<a<16”是“函数f(x)在区间(1,4)上 围为 存在最小值”的 A.充分不必要条件 A[0,] B0,) B.必要不充分条件 C.充要条件 C.[0,+o∞) D[台+) D.既不充分也不必要条件 7.已知函数f(x)对任意实数x都有 2.(教材改编题)已知函数f(x)=|x2一5x+十 f(1+x)=f(1-x),并且对任意x<x2< 6,则函数f(x)的单调递增区间是 1,总有f(x1)<f(x2),则 A.(-o, A.f(1.2)<f(1.5)B.f(-1)<f(3) C.f(-2)>f(2) D.f(-2)<f(5) B(侵+∞ x+4 8.已知函数f(x)=x2十8x+25+a,g(x）= C.(2,)和3，+∞) 6，若对Vu1∈(-4，十∞，， 4 D.(-,2)和（号3） ∈(-4，十o∞)，使得g(x2)<f(x1)< 3.(教材改编题)我国的烟花名目繁多，其中 g(x),则实数a的取值范围是 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果 A[-2,-) B(-2,-J 烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单 c.(-6+∞) D.[-g+∞ 位：s)之间的关系为h(t)=-5t+15t+ 20,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距 9.(多选，教材改编题)下列关于函数f(x) 地面高度约为 √/一x+2x+3的结论正确的是 A.33m A.单调递增区间是[-1,1] B.31m B.单调递减区间是[1，十∞) C.28m C.最大值为2 D.26m D.没有最小值 b 10.(多选)定义在(0，十∞)上的函数f(x)满 4.在R上定义新运算 =ad-bc,若存 d 足：对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2 x一4 在实数x∈[0,1]，使得 x ≥0成 时，恒有f）二f>0,则称函数 x1-x2 立，则实数m的最大值为 f(x)为“理想函数”.给出下列四个定义域 A.0 B.1 C.-3 D.3 均为(0，十∞)的函数，其中能被称为“理 5.已知函数f(x)在区间(0，十o∞)上单调递 想函数”的有 增，g(x)在区间(0，十∞)上单调递减，则下列 A.f(x)=1 函数在区间(0，十∞)上一定单调递增的是 B.f(x)=x2 A.f(x)+g(x) B.f(x)-g(x) C.f(x)=x2+1 C.f(x)·g(x) D.f(x)+[g(x]2 D.f(x)=x2+x 9 11.（多选)定义在(0，十∞)上的函数f(x)满15.(15分，教材改编题)某体育用品商场经营 足下列条件：①f(号)=f(x)-xfy: 一批进价为40元/件的运动服，在市场试 销中发现，该运动服的销售单价x(单位： ②当x>1时，f(x)>0,则 元)与销售量y(单位：件)之间有如下表所 A.f(1)=0 示的关系。 B.当0<x<1时，f(x)<0 x 60 62 64 66 68 C.f(x2)≥2f(x) D.f(x)在(1，十∞)上单调递减 y 600 580 560 540 520 12.(5分)设函数fx)=2x++6,其中> 根据表中数据，解答下列问题. (1)建立一个恰当的函数模型，使它能较 0,b∈R.若f(x)在[1,2]上不单调，则实 好地反映y与x之间的函数关系，并写出 数a的一个可能的值为 这个函数模型的解析式； 13.(5分)已知函数f(x)的定义域为R,对于 (2)试求销售利润z(单位：元)与x之间的 VG,<,有）二f)>-1,且 函数关系式（销售利润=总销售收入一总 C1一x2 进价成本)； f(1)=1,则不等式f(2-1|)<2一 (3)在(2)的条件下，当x为多少时，能获 2x一1的解集为 得最大利润？并求出此最大利润. 14.(5分)记maxe [a,b{f(x)}表示函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值，则当 maxre Co,1{|x2一x十c}取得最小值时， c= 10数学 12.[0,3)【解析】由题意可知mx2十2mx十3>0在R 上恒成立，若m=0,则3>0，符合题意；若m≠0，则 >0, 解得0m3.综上所述，实数 △=4n2-12<0, m的取值范围是[0,3)。 13.1(1,] [-5,+o∞) (2)(1,3][-6,十∞) 【解析】(1)因为f(x)的定义域为(1,2]，所以 g(x)=f(2x-1)中，有1<2x-1≤2，解得1<x≤ 三，所以g(x)的定义城为(1，号]，令=2x-1,可 知t∈(1,2]，因为f(t)的值域为[-5，十o∞)，所以 f(2x-1)即g(x)的值域为[-5，+oo). (2)因为g(x)=f(2x-1)+1的定义域为(1,2]， 所以1<x≤2，所以1<2x-1≤3，所以f(x)的定义 域为(1,3].因为g(x)的值域为[-5，十∞)，所以 f(2x一1)的值域为[-6，十∞)，所以f(x)的值域为 [-6,+∞). 14.5【解析】令f(x)=Tz+21=0,得|x+2- 4,解得x=2或x=-2:令f(x)=十21=1， 4 得|x|十2=2，解得x=0,易知当x>0时，f(x)= +21,(x)为减函数，又f(-x)=f(x),所以 4 f(x)为偶函数，作出f(x)的图象如图所示， 根据图象可知满足条件的整数数对(a,b)有 (-2,0),(-2,1),(-2,2),(0,2),(-1,2),共 5个. 15.解：(1)如图所示. x) -5-4-3-2-1万12345 3 =x) (5分) (2)函数h(x)=min{f(x),g(x)}的图象如图 所示： 参考答案及解析 4 -54-3-2-512345 -1 (9分) -x2十2x十1，x<0, 解析式为h(x)= |x-1|,0≤x≤2， (13分) -x2+2x+1,x>2, 由图象可知，函数h(x)的单调递增区间为 (-∞，0)，[1,2]，单调递减区间为[0,1)，(2， 十o∞)，函数h(x)的值域为(-o∞，1]. (15分) 小练5函数的单调性与最值 1.C【解析】因为函数f(x)=x+?在区间(1,4)上 存在最小值，所以函数f(x)在区间(1,4)上先减再 增，故a>0,由对勾函数单调性知，f(x)在 (1,√a)上单调递减，在（√a,4)上单调递增，则1< √a<4,所以1<a<16,故必要性成立；若1<a<16, 则1<√a<4,根据对勾函数单调性知，∫(x)在 (1,√a)上单调递减，在（√a,4)上单调递增，所以 (x)在x=√a时取得最小值，故充分性成立，所以 “1<a<16”是“函数f(x)在区间(1,4)上存在最小 值”的充要条件.故选C 2.C【解析】因为函数y=x2一5x十6的对称轴为直线 x=号由x-5x十6=0，可得x=2或x=3,作出函 数f(x)=|x2-5x十6|的图象如图所示： 25:3 2 由图可知，函数f(x)的单调递增区间为(2，号)和 (3,十o).故选C. 3.B【解标】h()=-5t+15t+20=-5(t-三)+ 15,则A()=h(号)=15≈31.故选B 4.A【解析】由已知，存在实数x∈[0,1]，使得 2一4m=x(x-4)-m≥0成立，则m≤ 1 z (x2-4x)mmx,因为f(x)=x2-4x在区间[0,1]上 参考答案及解析 单调递减，所以f(x)x=f(0)=0,所以m≤0，故 实数m的最大值为0.故选A. 5.B【解析】因为g(x)在区间(0，十∞)上单调递减， 所以一g(x)在区间(0，十∞)上单调递增，所以f(x) 一g(x)在区间(0，十∞)上一定单调递增.故选B. f3a1, 6.A【解析】根据题意得 1 ≥0 解得0≤a≤3 故选A. 7.D【解析】由f(1十x)=f(1-x),得f(x)的图象 关于直线x=1对称，又对任意x1<x2<1,总有 f(x1)<f(x2),故f(x)在(-∞，1)上单调递增， 所以f(x)在(1，十o∞)上单调递减，所以f(1.2)> f(1.5),故A错误；令x=-2,得f(-1)=f(3), 故B错误；令x=-3,得∫（一2）=f(4),因为 f(x)在(1，十∞)上单调递减，所以f(2)>f(4)= f(-2),故C错误；令x=-1一√2，得 f(1-1-√2)=f[1-(-1-√2)]，即f(-√2)= f(2+√2)，因为f(x)在(1，十∞)上单调递减，且 2+√2>3>1，所以f(2+√2)<f(5),故 f(-√2)<f(√)，故D正确.故选D. x十4 8.A【解析】f(x)=r+8x+25+a= a,令1=x十4∈(0，十o∞)n()=计是，由对勾函数 的性质得m(t)在(0,3)上单调递减，在(3，十o)上 单调通增，所以a(≥6：所以f()∈(a十合] 44 易知g(x)=一x十6在（一4，十∞）上单调递增，则 g(x)∈(-2,0)，因为对Hx1∈(-4，十o∞)，3x2, x∈(-4，十∞)，使得g(x2)<f(x1)<g(x),所 a≥-2， a+日<0， 以 解得-2≤a<-合.故选A 9.AC【解析】由题可知一x2十2x十3≥0，解得-1≤x ≤3，故函数f(x)的定义域为[-1,3]，故B错误； 函数f(x)=√/-x十2x十3由f(u)=√a与u= -x2+2x+3=-(x-1)2十4复合而成，当x∈ [-1,1]时，w=-x2+2x十3单调递增；当x∈ (1,3]时，u=-x2十2x+3单调递减，又f(u)=√a 在[0，十∞)上单调递增，所以f(x)= √/-x2十2x十3在[-1,1]上单调递增，在(1,3]上 单调递减，故f(x)mw=f(1)=2,又f(一1)= f(3)=0,所以f(x)mim=0,故AC正确，D错误.故 选AC. 10.BD【解析】由题可知，当x≠xg时，恒有 x2f()-f》>0,令西>x,则xf(x) x1一x2 数学 x1f(x2)>0,又f(x)定义在(0，十o∞)上，故 f(x)>f),即卫在(0，十∞)上单调递增. 对于A,=L在(0，十∞)上单调递减，故A错 误：对于B,C=x在(0，十o)上单调递增，故B x 正确：对于C,2-x十上在(0,1)上单调递减， 在(1，十∞)上单调递增，故C错误：对于D,f巴= x十1在(0，十∞)上单调递增，故D正确.故选BD. 1.AB【解析】对于A,由f(5)=f(x)-f(y) 取x=y=1,得f(1)=f(1)-f(1)=0,故A正确： 对于B,由f(号)=f(x)-xf(y),取x=1,因为 f1)=0,所以f(号)=-fy),即f(日) -fx,当0<x<1时，子>1，则f()>0,故 -f(x)>0,即f(x)<0,故B正确；对于C,由 f(5)=f(x)-f(),取x=y,可得f)= fy)-yfy,整理得f(y)=(+)f(y), 当>0时y十号>≥2，当且仅当)=1时取等号，但 f(y)的符号不能确定，故不一定有f(y)≥2f(y), 即f(x)≥2f(x)不一定成立，故C错误；对于D,任 取>>1，则子>1，依题意f(份）>0，且 f(份)=f()-f(),则f() xf(x)>0,即>f》,即g()=四 在(1，十oo)上单调递增，所以对于f(x)=xg(x),任 取x1>x2>1,因为g（x)>g(x2)>0,所以 x1g(x1)>2g(x2),即f(x1)>f(x2),即函数 f(x)在(1，十∞)上单调递增，故D错误.故选AB. 12.3(a∈(2,8)内的任意一个数均可)【解析】函数 f(x)的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)，由对勾函 数的性质可得函数f(x)在(-©，-√受)和 (W受+)上单调递增，在(-√受0)和 (0,√号)上单调递减，因为()在[12]上不单 调，所以1<√2 a <2,解得2<a<8,所以实数a的 一个可能的值为3. 13.(-∞，1)【解析】因为函数f(x)的定义域为R, 数学 对于1x<4,有西）二f)>-1,所以 x1一x2 f(x1)-f(x2)<-x1+x2,所以f(x1)+x1< f(x2)十x2,令g(x)=f(x)十x,则g(x)在R上 单调递增，因为f(1)=1,所以g(1)=2.不等式 f(2-1|)<2-|2-1|可化为f(|2-1)+ |2x-1|<2,即g(|2-1|)<g(1),所以 |2-1|<1,解得x<1. 14.令【解析】max.efo.{lx2-x十c)取得最小值， 即为f(x)=|x2-x十c|在区间[0,1]上的最大值 取得最小值，因为f(x)的对称轴为直线x=号，且 f(0)=f(1)=|c|,所以f(x)的最大值为 f(2)=-或f(0)=fa)=1.当 -=ll时，解得c=令所以fx)= (log 则f(x)mx的图象如图所示， 1e-g 所以当c=日时，f(x)取得最小值，最小值为名 15.解：(1)由数据知，点(60,600)，(62,580)，…在一条 直线上， 600=60k+b, 设函数为y=kx十b,则 (3分) 1580=62k+b, 解得k=-10,b=1200, 故解析式为y=一10x十1200. (5分) (2)由已知条件可得x=x(-10x十1200) 40(-10x+1200)=-10x2+1600x-48000(x> 40). (10分) (3)由(2)可得，之=-10x2十1600x-48000= -10(x-80)2+16000, x>40, 当x=80时，能获得最大利润，最大利润为 16000元. (15分) 参考答案及解析 小练6函数的奇偶性与周期性 1,C【解析】因为f(x)是奇函数，且在区间[3,7]上 是增函数，所以f(x)在区间「一7，一3]上是增函 数，且f(一x)=-f(x),由题可知f(x)在区间[3， 7]上的最小值为f(3)=5,所以f(x)在区间 [-7,-3]上的最大值为f(-3)=-f(3)=-5. 故选C. 2.B【解析】由题意可得x≠0，f(-x)=一f(x), :一+1)(-x+a)=-x+1)(x+a),整理可得 2(a十1)x=0,x≠0，.a十1=0，.a=-1.故选B. 3.C【解析】y=sin2x的最小正周期为红=，当x∈ （变x)时，2x∈（π，2m),所以y=sin2x在区间 (受，π)上先减后增，故A错误：y=c0sx的最小正 周期为纤=2x,故B错误：y=snz的最小正周期 为，在区间（受，元）上单调递减，故C正确：y c0s音的最小正周期为经=4，故D错误，故选C. 2 4.B【解析】由f(x)f(x十2)=4，可知f(x), f(x+2)均不为0，所以f(x+2)=(,则 4 4 f(x+4)=f(x+2)= 4 -=f(x),所以f(x)的 f(x) 4 周期为4，所以f(163)=f(3)=六-2.故选B 5.C【解析】因为奇函数f(x)=x3-sinx十b+2的定 义域为[a-4,2a-2],所以a-4十2a-2=0,解得 a=2,又f(-x)+f(x)=0,即(-x)3-sin(-x)+ b十2十x3-sinx十b十2=0，整理得2b十4=0，解得 b=-2,所以f(x)=x3-sinx,则f(a)+f(b)= f(2)+f(-2)=0.故选C. 6.B【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)=0,显然当x=0时，满足xf(x)≥0：因 为f(x)在(0，十∞)上单调递增，f(5)=0,所以 f(x)在(-∞，0)上单调递增，f(一5)=0，当x>0 时，由xf(x)≥0，可得f(x)≥0=f(5),因为f(x) 在(0，十∞)上单调递增，所以x≥5；当x<0时，由 xf(x)≥0，可得f(x)≤0=f(-5),因为f(x)在 (一∞，0)上单调递增，所以x≤一5，综上，不等式 xf(x)≥0的解集是(-∞，-5]U[5,十∞)U{0. 故选B 7.D【解析】对于A,因为D(x)=0或D(x)=1均为 有理数，所以D(D(x))=1>0,故D(D(x))没有零 点，故A错误；对于B,因为D(1)=D(2)=1,D(W2) =0,所以D(2)=D(1)>D(√2)，故D(x)不是单调函