小练12 函数模型及其应用-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 。。。。。。。。。。。。 小练12 函数模型及其应用 (考试时间：30分钟满分：80分) 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 忆经过的时间x(单位：h)的大致关系：y 1.(教材改编题)下列函数模型中，随着x的 1一0.6x.06,若陈同学需要在明天15时进 增长，y的增长速度最快的是 行语文考试时拥有复习背诵记忆的50%， A.y=50 B.y=1000x 则他复习背诵时间需大约在明天的 C.y=50x2 1 B.14:00 D.y=1000e A.14:30 C.13:30 D.13:00 2.如图，把直截面半径为25cm的圆柱形木料 5.(教材改编题)荀子《劝学》中说：“不积跬 锯成直截面为矩形的木料，设矩形的一边 步，无以至千里；不积小流，无以成江海.” 长为x(单位：cm),面积为y(单位：cm),则 所以说学习是日积月累的过程，每天进步 y关于x的函数解析式为 一点点，前进不止一小点.我们可以把 (1十1%)365看作是每天的“进步”率都是 25 cm 1%,一年后是1.01365≈37.7834；而把 (1一1%)365看作是每天的“落后”率都是 1%,一年后是0.99365≈0.0255，这样，一年 A.y=x√W2500-x 后的“进步值”是“落后值”的：01 0.9938≈1481 倍.那么当“进步值”是“落后值”的2倍时， B.y=x√625-x 大约经过的天数为（参考数据：lg101≈ C.y=x√2500-x2,0<x<50 2.0043,1g99≈1.9956,1g2≈0.3010) D.y=x√625-x2,0<x<50 A.19B.35 C.45 D.55 3.加工爆米花时，爆开且不蝴的粒数的百分 6.如图，在△ABC中，CDAB于点D,AD= 比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用 9,DB=3,CD=6,矩形的顶点E与点A重 率p与加工时间t(单位：min)满足函数关 合，EF=8,EH=4,将矩形EFGH沿AB 系p=at2+bt+c(a,b,c是常数)，图中记录 平移，当点E与点B重合时，停止平移，设 了三次实验的数据.根据上述函数模型和 点E平移的距离为x,矩形EFGH与 实验数据，可以得到最佳加工时间为 △ABC重合部分的面积为y,则y关于x 的函数图象大致为 0.8 0.9外 0.5 0 345t A.3.50 min B.3.75 min A(E) C.4.00 min D.4.25 min 4.遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯遗忘曲线”）由 德国心理学家艾宾浩斯(H.Ebbinghaus)研 究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的 4912x 912 Q 规律.人体大脑对新事物遗忘的循序渐进 的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握 遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆 能力.该曲线对人类记忆认知研究产生了 重大影响.陈同学利用信息技术拟合了“艾 宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记 7.(多选)英国经济学家凯恩斯(1883一1946) y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函 研究了国民收入支配与国家经济发展之间 数关系式为y= (a为常数)，根据 的关系，强调政府对市场经济的干预，并形 16 成了现代西方经济学的一个重要学派 图中提供的信息，写出从药物释放开始， 凯恩斯学派.凯恩斯抽象出三个核心要素： y与x之间的函数关系式 据测 国民收入Y,国民消费C和国民投资I,假 定，当空气中每立方米的含药量降低到 设国民收入不是用于消费就是用于投资， 0.125毫克以下时，学生方可进人教室学 饮有：名件.其中常藏太示房， 习，那么从药物释放开始，至少需要经 过 小时后，学生方能回到教室： 水电等固定消费，a(a≤1)为国民“边际消 费倾向”.则下列说法正确的是 A.若固定I且I≥0，则国民收入越高，“边 际消费倾向”越大 B.若固定Y且Y≥0，则“边际消费倾向”越 00.1 大，国民投资越高 11.(13分)渔场中鱼群的最大养殖量为mt C.若a=号，则国民收入增长量是国民授资 (>0),为了保证鱼群的生长空间，实际 养殖量xt小于mt,以便留出适当的空闲 增长量的5倍 量.已知鱼群的年增长量yt和实际养殖 D.若a=- ，则国民收入增长量是国民投 量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖 量的比值)的乘积成正比，比例系数为 资增长量的} k(k>0). 8.（多选，教材改编题)如图，某池塘里浮萍的 (1)写出y关于x的函数关系式，并指出 面积y(单位：m)与时间t(单位：月)的关系 该函数的定义域； 为y=a(a>0,且a≠1)，下列说法正确的是 (2)求鱼群年增长量y的最大值； A.浮萍每月的增长率 y (3)当鱼群年增长量y达到最大值时，求 为2 实数k的取值范围. B.第6个月时，浮萍面积 为64m2 12.(15分，教材改编题)从甲地到乙地的距离 C.浮萍每月增加的面积 约为240km,某汽车公司为测试一种新型 都相等 号的汽车的耗油量与行驶速度的关系进 01234 行了多次实地测试，收集到了该车型的每 D.若浮萍蔓延到3m2,5m,15m所经过 小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位： 的时间分别是t1,t2,t3,则t1十t2=t3 km/h)(0≤v≤120)的下列数据： 9.(5分，教材改编题)把物体放在冷空气中冷 却，如果物体原来的温度是01℃，空气的温 0 40 60 80 120 度是℃，则tmin后物体的温度0℃可由 p 0.0006.6678.12510.000 20.000 公式0=0+(0一0)e:求得，其中k是常 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关 数.若-h2,将55℃的物体放在15℃的 系，现有以下三种模型供选择：①Q=2.6× 10-5w3-4.16×10-3w2+2.914×101v: 空气中冷却，则物体冷却到35℃所需要的 ②Q=0.5”+2×103;③Q=2log2.6v 时间为 min. 4.16×10-3 10.(5分)为了预防某种病毒，学校对教室进 (1)选出你认为最符合实际的函数模型， 行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药 并说明理由； 量y(单位：毫克)随时间x(单位：小时)的 (2)从甲地到乙地，该车型的车应以什么 变化情况如图所示，在药物释放的过程中， 速度行驶才能使总耗油量最少？ 24数学 可得f(日)+f(-合)=是-(a+日 a-D 当a<0时，2<0a+日+a-日>0 所以f(日)+f(-是)<0： (6分) 当0<a≤1时，f(日)+f(-)=马 (a+是)+(a-)=0: (7分)》 当a>1时f(日)+f(-)=名-(a+日) (a-a)=2(日-a)=212<0. (8分)》 综上可得，当a≠0时，f(日)+f(-号)≤0.(9分) (3)设t=e(t>0), 因为t是关于x的单调增函数， 所以问题可转化为函数y=∫(t)有三个大于0的 零点， 当a=0时，f(t)=-t, 此时f(t)只有一个零点为0，不符合题意；(11分) 当a<0时，f(t)=at-|t-a<0, 此时f(t)无零点，不符合题意： (12分) 当a>0时，f(t)= |at-t+a,t≥a, lat2+t-a,0<t<a, 因为y=at十t一a的图象的对称轴为t= 2 0, 所以f(t)在(0，a)上单调递增， 所以f(t)在(0，a)上至多有1个零点： (13分) 又因为y=a一十a的图象的对称辅为1=云>0， 所以f(t)在[a,十∞)上至多有2个零点， 所以问题等价于f(t)在(0，a)上有且仅有1个零 点，在[a,十∞)上有且仅有2个零点， (f(0)=-a<0, 则满足 2a >a, f(a)=a3>0, +a<0, r(品）-a×(品)广-云 解得0<a<2, .1 所以a的取值范围为(0，) (15分) 16.解：(1)假设存在实数a,b,c,使得h(x)为f(x)的 “重组函数”， h(x)=af(2x)+bf(x)c, 因为f(x)=e+1,所以f(2x)=e2+1, 又h(x)=(e十1)2=e2x+2e+1, 所以e2a+2e+1=a(e2r+1)+b(e+1)+c, 参考答案及解析 即e2r+2e+1=ae2x十be+(a+b+c), (3分) (a=1, (a=1, 则{b=2, 解得b=2, a+b+c=1, c=-2, 所以存在实数a,b,c,使得h(x)为f(x)的“重组函 数”，且a=1,b=2,c=-2. (5分) (2)因为f(x)=2+1,所以f(2x)=22x+1. (1)当a=1,b=-2,c=-3时， h(x)=f(2x)-2f(x)-3=22x+1-2(2+1)-3 =(2x)2-2·2x-4, 令t=2x>0, H(t)=t-2t-4=(t-1)2-5,t>0, 则H(t)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 递增， (8分) 所以H(t)≥H(1)=-5, 则h(x)的值域为[-5，十o). (10分) (i)当a=1,c=2时， h(x)=22x+1+b(2+1)+2=(2)2+b·2+3 +b, 令m=2>0,F(m)=m2十b十3+b, 由题意可知F(m)=m2十bm十3十b在(0，十∞)上 只有一个零点， 当△=6-4(3十b)<0,即-2<b<6时，F(m)无 零点； (12分) 由△=-4(3十b)≥0，得b6或b≤-2， 当≥6时，一合<0，只需F(0)<0: 即3十b<0,则b<-3,显然无解： (14分) 当K-2时，-名>0， 则需满足F(0)<0或F(-合)=0， 即3汁0或一号 3+6=0, 则b≤-3或b=-2. (16分) 综上，实数b的取值范围为(-∞，一3]U{-2}. (17分) 小练12函数模型及其应用 1.D【解析】指数函数y=a,当a>1时呈爆炸式增 长，而且a越大，增长速度越快.故选D. 2.C【解析】如图， ,圆的直径AC=2OC=50cm,矩形的边AB=xcm, ∠ABC=90°，∴.由勾股定理，得BC=√/2500-xcm, ∴.矩形ABCD的面积y=AB·BC=x· 参考答案及解析 V2500-x,又.0<AB<AC=50,∴.0<x<50.故 选C. 3.B【解析】由图可知，三点(3,0.7)，(4,0.8)，(5， 0.5)都在函数p=a十bt十c的图象上，所以 9a+3b+c=0.7, fa=-0.2. 16a十4b十c=0.8,解得了b=1.5,所以p= 25a+5b+c=0.5, (c=-2, -0.2r+1.512=-0.2(:-9)+号所以当= 5=3.75时，p取得最大值，故最佳加工时间为 3.75min.故选B. 4.A【解析】令1-0.6x.o5=0.5,则x0=5 6x ():()<()<(倍)=器 0.5,∴.他在考试前半小时复习即可，∴.他复习背诵时 间需大约在明天的14：30.故选A. 5.B【解析】设x天后“进步值”是“落后值”的2倍，则 8g=2,即1g9=g2.则g1.01-k0.9gr x(lg1.01-lg0.99)=x(lg101-lg99)=lg2,解得 1g2 x=g101-g99≈35.故选B. 6.C【解析】因为CD⊥AB于点D,AD=9,DB=3, CD=6,所以m∠CAD-光=号，a∠CBD-品 CD =2,又EF=8,EH=4,故当0<x≤4时，重合部分 为三角形，三角形的高为h=an∠CAD=号x,故面 积y=号h=号之，函数图象为开口向上的二次函 数，故排除A选项：当4<x≤9时，重合部分为直角 梯形，上底长为(x-4)1am∠CAD=号(x-4),下底 长为an∠CAD=号，高为4，放面积y=号× [号（红-）+号]×4=号x-9,函数图象为 27 条直线，故排除D选项；当9x12时，重合部分可 以看作两个直角梯形，左边直角梯形的上底长为 (x-4)am∠CAD=号(x-4),商为4-(x-9)= 13一x,两个梯形下底长均为CD=6,右边直角梯形 上底长为(12-x)tan∠CBD=2(12-x),高为x 9,放面积y=号×[号(-4)+6]×(18-)+日 X[2(12-x)+6]×(x-9)=- 3 3,图象为开口向下的二次函数，且对称轴为直线x =10,故排除B选项.故选C 7.AC【解析】由{C=a。十aY, (Y=C+I, 得Y=ao十aY十I,所以 ·2 数学 a=1-,若固定1且1>0，由为定值，可得国 民收入Y越高，国民“边际消费倾向”α越大，故A正 确：由二，可得1=y-C=y-aYa,= (1一a)Y-a,若固定Y且Y≥0，由a。为定值，可得 国民“边际消费倾向”a越大，国民投资I越低，故B 错误：若a=号，由Y=C+1=a十aY+1,可得Y- 50十5，由导数的定义可得当=5，所以可得国民软 入增长量是国民投资增长量的5倍，故C正确：同C 项讨论可得若a=一专，则Y=号(a十)，因此国 民收入增长量是国民投资增长量的号，故D错误，故 选AC. 8.BD【解析】由图可知，函数y=a的图象经过点 (1,2),即a=2,则a=2,所以y=2,对于A项，由 2一2=1，可得浮萍每月的增长率为1，故A错误： 2 对于B项，当t=6时，y=2=64m,故B正确：对于 C项，浮萍第1个月增加的面积为2一2°=1，第2个 月增加的面积为22-2=2，因为1≠2，故C错误：若 浮萍面积蔓延到3m,5m,15m所经过的时间分 别是t,t2,t,则21=3,22=5,23=15，则21· 2=21+2=3×5=15=23,由指数函数的单调性知 ti十=t,故D正确.故选BD. 9.2【解析】将k=分h2,0=55℃，A=15C,0= 35℃代入9=0。+(01-0)e:,得35=15+(55 15)e学，所以35=15+40e华，所以e学=之，所 以-一子=n合-1h2,解得1=2 10x,0≤x≤0.1 10.y= )》 17 ,x>0.120 【解析】当0≤x≤ 0.1时，设y=kx,将(0.1,1)代入，得0.1k=1,解得 k=10,故y=10x:当x>0.1时，将(0.1,1)代入 y=(6),得(6) =1,解得a=0.1,故y= (品).综上，y (10x,0≤x≤0.1， ,x>0.1. (信)<0.125，即（）“<（放 0,4>3,解得>品故至少需要经过号小时后，学 生方能回到教室。 11,解：(1)由题意，空闲率为m一工=1-工 ÷y=kr(1-开）e(0,m. (3分) 数学 (2”=x(1-开)=-奈（红-受）广+0 x∈(0，m),k>0, ·y=kx(1-)在(0，罗)上单调递增，在 (受，m)上单调递减， (7分) ·当x=受时- 4, 即鱼群年增长量y的最大值为织： (9分) (3)由题意，可得0<x十m,即0<受+”<m, 4 m>0,.-2<k<2, 又k>0,.实数k的取值范围为(0,2).(13分) 12.解：(1)依题意，所选的函数必须满足两个条件： 定义域为[0,120]，且在区间[0,120]上单调递增. 因为模型③Q=21og2.6-4.16×103的定义域不可 能是[0,120]，模型②Q=0.5”十2×103在区间 [0,120]上单调递减， 所以最符合实际的模型为①Q=2.6×105v一4.16 ×10-3v2+2.914×10-. (5分) (2)设从甲地到乙地的总耗油量为y,行驶时间为t, 依题意有y=Qt, 因为Q=2.6×10-5元-4.16×1082+2.914× 10,t=240 所以y=Qt=240(2.6×10-5-4.16×10-3v+ 2.914×10-1), (10分) 它是一个关于的开口向上的二次函数，其对称轴 为v=80, 且80∈[0,120]， 所以当v=80时，y取最小值， 所以从甲地到乙地，该型号的汽车以80km/h的速 度行驶时能使总耗油量最少， (15分) 小练13导数的概念及其意义、导数的运算 1.C【解析】平均变化率y=1.1)-f(1) △x 1.1-1 1.1-1=2.1.故选C 0.1 2.A【解析】1 lim(+△x)-f(x-2△x) 5△x Eimf+△）-f)+fw）-fw-2△ △x 1 =Lim f(x十△x)一fxo2+ △ 2mf)--22]=吉[f(x)+ 2△x 2f(x)]=是f(x)=寻×2=号故选A 5284= 3.C【解析】因为(x)=(100-元 2 参考答案及解析 5284'×(100-x)-5284×(100-x)/ (100-x)2 =0×(100-x)-5284×(-1)5284 (100-x) 100-x),所以 5284 C(95)10957=21.36元/吨.故选C. 4.C【解析】根据导函数y=∫(x)的图象，可得函数 f(x)在（一1,0）上增长速度越来越快，在(0,1)上增 长速度逐渐变慢，在（一∞，一1）上匀速增长，结合所 给的选项，可知C项正确.故选C. 5.B【解析】由图象可知函数f(x)在(0，十∞)上单 调递增，故函数f(x)在每一处的导数值∫(x)>0,即 f(3)>0,f(1)>0,设A(1,f1),B(3,f(3),则 直线AB的斜*为3）0-8)二①，由图 2 象可知f(3)>f(1),所以(3)-f(1)>0,作出曲线 y=f(x)在x=1,x=3处的切线，如图所示， 701 设为4，l,直线AB为l2,结合图象可得直线41，l2,l 的斜率满足k<k<k1,即f(3)<f3)。f< 2 f(1),即2f'(3)<f(3)-f(1)<2f(1).故选B. 6.D【解析】由题可得(x)=2x十b,则∫(2)=4十 b,又f(2)=4+2b,所以f(x)在点(2，f(2))处的 切线方程为y-(4十2b)=(4十b)(x-2),由题意 可知切线过点（侣0）小，代入得-(4+26) (4+6)(8-2),解得6=.故选D 7.C【解析】如图， 设N(x6,y),A(,y),B(x2,y2),由曲线C:y= 系可得y-子，所以在点A处的切线方程为y一y D =(x一x),同理在点B处的切线方程为y一= (x一)，因为点N是两条切线的交点，所以