小练9 对数与对数函数-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练9对数与对数函数 (考试时间：30分钟满分：95分) 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 7.北京时间2024年5月28日18时58分，经 1.若xlog34=1,则4+4r的值为 过约8.5小时的出舱活动，神舟十八号乘 A. B.3 组航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同， c号 圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活 D.4 动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要 2.已知lga,lgb是方程x2-4x+1=0的两 搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大 个根.则1e总) 的噪声，已知声音的声强级d(x)(单位： 的值为 dB)与声强x(单位：W/m)满足关系式： A.10 B.12 d(x)=101g10.若某人交谈时的声强级 C.16 D.20 约为50dB,且火箭发射时的声强与此人交 3.已知2=5=m,a +1=2,则m= b 谈时的声强的比值约为10.8，则火箭发射 A.1 B.2 时的声强级约为 A.138 dB B.132 dB C.128 dB D.122 dB C.3 D.√/10 8.已知函数f(x)=ln(e2x十e十a-2),若对 4.(教材改编题)已知函数①y=logx;②y= 任意x2>x1>0,都有f(x1)-f(x2)<x1 logx;③y=logx;④y=logx的大致图象 一x2,则实数a的取值范围是 如图所示，则下列不等关系正确的是 A.[0,+o∞) B.(0,+∞) ①y=logax C.(0,3) D.[0,3] 9.(多选，教材改编题)放射性物质质量衰减 ②y-1ogbx 一半所用的时间叫做半衰期.有一种放射 ③y=logex 性物质，现在的质量为500g,按每年10% 的比率衰减，则 ④y=logx (参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48) A.a+c<b+d A.10年后这种放射性物质的质量为9年 B.6+d<a+c 后这种放射性物质质量的0.1倍 C.a+d<b+c B.2年后，这种放射性物质的质量与现在相 D.b+c<a+d 比减少了405g 5.若函数f(x)=ln[(a-1)x+1]在(2,3)上 C.t年后，这种放射性物质的质量为(500× 单调递减，则实数a的取值范围是 0.9)g A.(-o∞，1) B[层 D.这种放射性物质的半衰期约为7.5年 10.(多选)已知函数f(x)=log(a.x2-3a.x十2)， c.[) D() 下列说法正确的是 6.已知1og2<1,(侵）°<1at<1,则实数a A.若f)的值域为R,则a≥8 的取值范围为 B.若f(x)的定义域为K,则a∈(o,】 A(0,2) 0,】 C.若f(x)的最大值为0，则a=9 4 C.[0,1) D(合 D.若f(x)的最小值为1，则a=器 17 11.（多选)已知正实数x,y,之满足3x=5=15.(17分)对于在区间[m,n]上有意义的函 15,则 数f(x),若满足对任意的x1,x2∈[m,n], A.x+y=z 有|f(x)-f(x2)≤1恒成立，则称 B.xz十yz=xy f(x)在[m,n]上是“友好”的，否则就称 C.5>常> f(x)在[m,n]上是“不友好”的.现有函数 D.xy>4 f()=log,Itaz 12.(5分)已知函数f(x)=ln(e+1)-a.x是 (1)当a=1时，判断函数f(x)在[1,2]上 偶函数，则a的值为 是否“友好”； 13.(10分)已知函数f(x)与g(x)满足g(x) (2)若函数f(x)在区间[m,m+1](1≤m =f(Ig x). ≤2)上是“友好”的，求实数a的取值 (1)若f(x)的定义域是[1,3]，则g(x)的 范围。 定义域为 (2)若g(x)的定义域是[0.1,100]，则 f(x)的定义域为 14.(5分)已知f(x)为定义在R上的奇函数， 且当x>0时，f(x)=logx,则当x<0 时，f(x)的解析式为f(x)= ；不 等式f(x)≤2的解集为 18数学 -aa≤， (1 综上，g(a)= 1 (15分) a,2<a<4, (16-8a,a≥4. 小练9对数与对数函数 1.C【解析】：xlog4=1,.x=log3,∴.4十4x= 4十4=3十写-号放选C 2.B【解析】由根与系数的关系得lga十lgb=4, lg a.lgb=1,:(Ig5)=(Ig b-Ig a):=(lg a+ lgb)2-4lga·lgb=16-4=12.故选B. 3.D【解析】，2=5=m,∴.a=log2,b=logm, :日+方=2，log2+log5=2,即1og10=2, a .m=/10.故选D. 4.A【解析】由图可得b>a>1>d>c>0,则b十d> a十c,故A正确，B错误；又a十d与b十c的大小不确 定，故CD错误.故选A. 5.B【解析】易知函数y=lnx在(0，十∞)上单调递 增，又函数f(x)在(2,3)上单调递减，所以y=(a一1)x十 1在(2,3)上单调递减，所以a一10，且(a-1)×3 十1≥0，解得号≤a<1,即实数a的取值范围为 [号1)故选B 6.A【解析】log.号<1=loga,.当a>1时，a> 名a>1:当0<a<1时a<20<a<2 1 a>1或0<a<分“（分）广<1=(2)）°，a>0. ,a立<1，即a<1,.0≤a<1.综上，实数a的取值 范围是(0，号)，故选A. 7.C【解析】设此人交谈时的声强为xW/m,火箭发 射时的声强为x2W/m,则由题意得d(x1)= 101g10=50,解得4=101，故x=1028= 10,所以da)=1g品=10g0=128aB 故选C. 8.D【解析】因为对任意x2>x1>0,都有f(x1)一 f(x2)<x-x2,所以对任意x2>x1>0,都有 f(x1)一x1<f(x2)-x2,令g(x)=f(x)-x= h(er+e+a-2)-lne=n(e+。2+1),则 g(x)在(0，十∞)上单调递增.因为ex+e十a-2 >0,所以2-a<er+e,所以2-a≤2，所以a≥0， 因为g(x)在(0，十∞)上单调递增，所以h(x)= e+a-2+1在(0，十∞)上单调递增，当a∈ 参考答案及解析 [0,2]时，显然符合题意；当a∈(2，十∞)时，令t= e>1,则y=1+,+1在(1，十o)上单调递增， 所以√a-2≤1，则2<a≤3.综上所述，实数a的取 值范围为「0,3.故选D. 9.CD【解析】依题意，该物质每经过1年，所剩质量为 上一年的90%，记t年后该物质的质量为y,则y= 500(1-0.1)=500×0.9,对于A,10年后这种放 射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的 0.9倍，故A错误；对于B,2年后，这种放射性物质的 质量为500×(1-0.1)=405(g),与现在相比减少 了500-405=95g,故B错误：对于C,t年后，这种放 射性物质的质量为(500×0.9)g,故C正确；对于 D,令500×0.9=250，即t=1og.0.5=g0.5= g0.9 一lg2≈7,5，故D正确.故选CD. 21g3-1 10.AC【解析】对于A,若f(x)的值域为R,说明函 数y=ax2-3ax十2能取遍所有大于0的数，当a= 0时，ax2-3ax十2=2，不满足题意；当a≠0时， /a>0, △=9a2-8a≥0， 解得a≥号，故A正确：对于B,当 f(x)的定义域为R时，函数y=ax2-3ax十2>0 恒成立，当a=0时，ax2-3ax十2=2>0恒成立；当 a0时，公20-<0.择得ae(0号)签上 a∈[0，)，故B错误；对于C,若f(x)的最大值 为0，即y=ax2-3ax十2的最小值为1，故有 a>0, 8292-1.解得a=合，故C正确：对于D,若 Aa f(x)的最小值为1，则y=ax2-3ax十2的最大值 a<0, 为子，则有8a9如-1，无解，故D结误，故 4a3 选AC. 11.BCD【解析】依题意xy,之是正实数，令3=5= 15=t>1,则x=logt,y=logt,之=log13t,所以 og3,=g5,1Dg5,对于A,x+y四 +=你+)=：(2++ 》>(2+2√需)=，故A错误：对 于B.因为上+号=log3+1g5=1og15=则 x2十y=xy,故B正确；对于C,因为33<5<155， 则1og33<log55<log1515,即3log3<5log,5< 15g15,所以0K是<号<是所以号>宁>言 故C正确：对于D,兰=之·三=1og3.1og5 xy x y log,15 log,15 参考答案及解析 log153·log155< /log53十log1s512 2 =子，因此xy>4女，放D正确，故选CD 12.号【解析】因为f(x)=n(e+1)-ax为偶函 数，所以f(-x)=f(x),又因为f(-x)= ln(ex+1)十a.x=ln tetar=In(1+e)-x+ ax,所以-ax=-x十ax,即2ax=x,因为对Hx∈R 1 都满足，故a=之 13.(1)[10,1000] (2)[-1,2] 【解析】(1)要使g(x)有意义，则1≤lgx≤3，解得 10≤x≤1000，所以g(x)的定义域为[10,1000]. (2)函数y=lgx的值域为y=f(x)的定义域，又 0.1≤x≤100，则-1≤lgx≤2，所以f(x)的定义域 为[-1,2] 14.-log+(-x)[-4,0]U[子，+∞） 【解析】当x<0时，一x>0,f(一x)=log号（-x), 又f(x)为R上的奇函数，∴f(x)=一f(-x)= (log0, -log5（-x),f(x)=0,x=0, 当x>0 -log影(-x),x<0. 时，由log4<2=log时子，解得x≥子；当z=0时， 0<2,满足条件；当x<0时，由一log5(-x)≤2= og5千，解得-4≤x<0.综上，不等式f(x)≤2的 解集为-4,0U[子，+∞)》 15,解：)当a=1时fx)=og:(+1 因为y=士十1在[1,2]上单调递减，y=logx在 [1,2]上单调递增， 所以f(x)在[1,2]上单调递减， (2分) 所以f(x)mx=f(1)=log2,f(x)mm=f(2)= log, 所以fx)am-fx)m=lbg,2-log,是=log号 1, 即Vx1x2∈[1,2]，有|f(x1)-f(x2)|≤1， 所以当a=1时，函数f(x)在[1,2]上是“友好"的. (5分) (2)依题意可得f(x)=1og1十a x =log:(二十a)在[m,m十1上单调递减， 则fx)=fm)=log(品+a), ·16 数学 f)-f(m+1)-lo8(nFa). 则有fx)-fm=log(十a）-log(n方 +a≤1， 所以g,(分+a)≤g[3(h+a)门，7分) 所以0<品+a≤(n十ta), 可得2a≥即a≥一相成立， -2m-17 则a≥[一2m(m+元Jms (8分) 令t=2m-1, 因为1≤m≤2，则1≤长3且m=1 21 则2n二1 4t m(m十1)t+1,t+3t2+4t十3 2 2 1 (9分) ++ 1 令y= (1≤≤3)， 专+品+1 令)=子+是1长≤3) 任取ti,t∈(1W5)且t1<t, 则4)一)=冬十品-音品 44t =-)1-3)>0, Ati t2 即h(t1)>h(t2), 所以函数A(:)=千十号在(15)上单调递减， 同理可得4()=兰十是在(5,3)上单调递增， (12分) 又h(1)=1,h(3)=1, 当t=1或t=3时，h(t)取最大值，最大值为1，此时 yain-2' 于是当4=1或4=3时，-0取最大值 所以>一子 (14分) 又对于任意的x∈[m,m十1]，+a>0恒成立， 即a>- 1恒成立， 数学 因为1长m<2,所以一≤n十≤一合 所以。>一子 (16分) 综上，实数a的取值范围是[-十，十∞）(17分) 小练10函数的图象 1.A【解析】依题意可将指数函数y=a化为y= (合)厂，由a>1可知0<<1，由指数函数图象性 质可得y=(日》在R上单调递减，且过定点(0,1， 即可排除BD;由对数函数图象性质可得y=logx在 (0,十∞)上单调递增，且过定点(1,0)，排除C.故 选A. 2.C【解析】函数∫(x)的图象向右平移1个单位长 度后，再向上平移4个单位长度，设所得函数为 g(x),因为g(x)的图象与曲线y=4关于y轴对 称，所以g(x)=4,则g(x)的图象向下平移4个 单位长度后，再向左平移1个单位长度可得∫(x)的 图象，所以f(x)=4+1)-4,所以f(-2)=4-4 =0,故选C. 3.A【解析】要使函数f(x)= 云有意义，则4 x2>0,解得-2<x<2,故B错误；因为f(一x)= 一x √4-x ∫x),所以)是为奇函 数，其图象关于原点对称，故CD错误.故选A 4.B【解析】对于A,函数y=合1og:x=logx= logx,关于y轴对称得y=log:(一x),再向左平移3 个单位长度得y=log:[-(x十3)]=log:(-3 D,放A错误；对于B,函数y=合1ogx=log1 1ogx,关于y轴对称得y=log4(一x),再向右平移3 个单位长度得y=log:[-(x-3)]=log:(3-x), 故B正确：对于C,函数y=之1ogx=logx=logx, 向左平移3个单位长度得到y=log(x十3)，再关于 x轴对称得y=一log(x十3)，故C错误；对于D,函 数y=号1og=logx=1og:r,向右平移3个单位 长度得到y=log:(x一3)，再关于x轴对称得y= 一log:(x-3),故D错误.故选B. 5.D【解析】函数f(x)的图象可由f(x十1)的图象向 右平移1个单位长度得到，因为∫(x十1)是偶函数， 则其图象关于y轴对称，所以∫(x)的图象关于直线 x=1对称，又f(x)在[1，十∞)上单调递增，则 f(x)在（一o,1]上单调递减，又f(0)=0,则有 f(2)=0,当x十1>0，即x>-1时，需f(x)>0,所 以-1<x<0或x>2;当x十1<0，即x<-1时，需 f(x)<0,无解.综上，不等式(x十1)f(x)>0的解 参考答案及解析 集为(-1,0)U(2,十∞).故选D. 6.A【解析】当x∈[0,1门时y=受，是一条过原点的 线段；当x∈(1,2]时，y=之，是-段平行于x轴的 线段：当x∈(2,3]时=3，图象为一条线段.故 选A. 7B【得标】周为f)-{加什机引：令 =|f(x)|,作出g(x)的图象，如图所示， 1V -4X g(x) 2 令h(x)=ax,由图知，要使对任意的x都有 |f(x)|≥ax恒成立，则必有a≤0，当x≤0时，y= x二4，由y=文，消y得到x一（4+a)x=0, 由△=0，得到(4十a)2=0,解得a=-4,由图可知 一4≤a≤0.故选B. 8.BC【解析】由题图可得函数f(x)的定义域为 (-∞，0)U(0,十∞)，且为偶函数，D中的函数为 奇函数，故D错误；对于A,定义域为(-∞，0)U (0,+∞)，且f(-x)=(x2-x)ln|x|=f(x), 是偶函数，当x>0时，f(x)=(x2-x)lnx,令 f(x)=0,得x=1,所以函数f(x)在(0，十∞)上只 有-个零点，又f(号)=（什-4）血合=只n2> 0,与图象不符，故A错误；对于B,定义域为(-∞，0) U(0,+∞)，且f(-x)=|2-2|n|x|= |2x-2|ln|x|=f(x),是偶函数，当x>0时， f(x)=|2-2x|lnx,令f(x)=0,得x=1,所以 函数f(x)在(0，十∞)上只有一个零点，当0<x<1 时，lnx<0,f(x)<0,满足图象，故B正确；对于C, 定义域为(-o,0)U(0,十∞)，且f(-x)=x2- |x|=f(x),是偶函数，当x>0时，f(x)=x2一x, 满足图象，故C正确.故选BC 9.AD【解析】根据题意，由x2-2x十1≥4，解得x≤ x2-2x十1，x≤-1， -1或x≥3，所以f:(x)=了4，-1<x<3, 所 x2-2x十1，x≥3， 以f(2)=4,故A正确；作出函数f(x)的图象如图 所示， 7·