小练7 二次函数与幂函数-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

数学 =(-0.5)2=0.25. (10分) (3)因为x∈[21-1,2n+1], 所以x-2n∈[-1,1]，且n∈Z, 则f(x-2n)=(x-2n)2, (13分) 又∫(x)是周期为2的周期函数， 所以f(x)=f(x-2n)=(x-2n)2 故f(x)=(x-2n)2,x∈[2n-1,2n十1]，n∈Z. (15分) 16.解：(1)由题意得f(x+1)-f(x)=(x十1)2-x2 =2x+1, 当x=一0.8时，f(x十1)-f(x)=-0.6<0,此时 f(x+1)f(x), 故f(x)在区间[-1,0]上不具有性质P(1).(3分) (2)因为f(x)=x3一x的定义域为R,且在区间 0,1]上具有性质P(n), 所以对任意x∈[0,1]，x十n∈R,且f(x十n)> f(x), 即(x十n)3-(x十n)>x-x, (5分) 又n是正整数， 化简得3x2十3nx十n2-1>0对任意x∈[0,1]恒成 立 (6分) 令g(x)=3x2+3nx+n2-1,x∈[0,1]， 其对称轴为直线1=一子<0， 则g(x)在区间[0,1]上单调递增， 所以g(x)mn=g(0)=n-1>0,解得n>1, 故正整数n的最小值为2. (8分) (3)因为f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≥0 时，f(x)=|x-a|-a, 所以f(0)=|a|-a=0,解得a≥0. (9分) 若a=0,f(x)=x,则x十6>x恒成立， 即f(x十6)>f(x)恒成立，符合题意； (10分) 若a>0,当x<0时，f(x)=-f(-x)=-(-x-a -a)=-x十a十a, fx十2a,x-a, 所以f(x)= 一x,一axa, x-2a,x≥a, 作出f(x)的大致图象如图所示， 2a 由题意可得2a-(-2a)=4a<6, 即0<a<, (13分) 当x十6≤-a时，f(x十6)=x+6十2a,f(x)= x+2a, 所以f(x十6)>f(x),符合题意： (14分) 1 参考答案及解析 当-a<x十6<a时，x<a-6<-3a, 则f(x十6)=-(x十6)>-a,f(x)=x+2a< -a, 所以f(x十6)>f(x),符合题意： (15分) 当x十6≥a时， 则f(x十6)=(x十6)-2a>x+2a≥f(x), 所以f(x十6)>f(x),符合题意. (16分) 综上，实数a的取值范围为0，立 31 (17分) 小练7二次函数与幂函数 1.D【解析】由幂函数的定义可知D项正确.故选D. 2.A【解析】因为f(x)为幂函数，所以m-1=1,解 得m=2,所以f(x)=x,其定义域为R,因为 f(-x)=(一x)3=一x3=一f(x),所以函数 f(x)为奇函数，所以f(a2-2a)十f(2a-a2)=0. 故选A, 3.A【解析】因为f(x)=(m2-m-1)xm-2m-3是幂 函数，所以m2-n一1=1，解得m=2或m=一1，又 因为f(x)在x∈(0，十oo)上是减函数，所以m 2m-3<0,解得-1<m<3,所以m=2.故选A. 4.D【解析】根据幂函数y=x的性质可知，在第一象 限内的图象，当a>0时，y=x2单调递增，且a越大， 递增速度越快，由此可判断C是曲线y=x,C是曲 线y=x京；当a<0时，y=x单调递减，且|a越大， 图象越陡，由此可判断C是曲线y=x立，C4是曲线 y=x1.综上所述，幂函数y=x,y=x1,y=x京， y=x立在第一象限内的图象依次是图中的曲线C, C4,C2,C3.故选D. 5.C【解析】将点（兮司）代入f(x)=x可得 (兮厂广=司解得a=4,则)=，显然函数 的定义域为R,因为f(-x)=(-x)=x=∫(x), 所以f(x)为偶函数.取Hx1<x2,且x,x∈(0， +o∞)，由f(x1)-f(x2)=x-x=(xi+xi)(xi x)=(x十x)(x1十x2)(x1-x2),因为0<x1<x2, 所以(x十x)(x1十x2)(x1-x2)<0,即f(x1)< f(x2),故函数f(x)在(0，十∞)上单调递增，所以 f(x)在（一∞，0）上单调递减，由f(m十2)< (2m),可得|m十2|<|2m,将两边平方，整理可 得3m-4m-4>0,解得m<-号或m>2.故选C 6B【得6】由海意可如0C12012n 解得40 a≤80，设投资这两座城市的收益为y,则有y= 3√a-6+A+2=3V2a+120-a)-4= 3V2a-子a+26,令a=t,t∈[2Vo,45],则有 f0=-子+3E+26=-子(1-62)°+4，则 参考答案及解析 该二次函数的对称轴为t=6√2，且图象的开口向下， 所以f(t)mx=f(6√2)=44.故选B. 7.B【解析】y=f(x)在x∈「一1,1]上的图象与 y=ax的图象如图所示， 、9 因为O(0,0),Q(一1,1)，所以直线OQ的斜率为 -1,要想|f(x)≥ax在x∈[-1,1]上恒成立，则 a∈[-1,0].故选B. 8.C【解析】在同一坐标系中画出函数y=x和y= x5的图象如图所示： ① ⑤ :③ ④ ② 由图可知①1<b<a,②a<b<-1,⑤a=b这三个关 系式成立，所以①②⑤正确.故选C. 9.AC【解析】f(1)=1=1,故A正确；当a=一1时， f(x)=士则f(x)在(-0,0)，(0，十o)上单调 递减，但在定义域(-∞，0)U(0,十∞)上不单调， 故B错误；当a=3时，f(x)=x3的定义域为R,且 f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以f(x)是奇 函数，故C正确：当a=合时，f()=反的值域为 [0,十∞)，故D错误.故选AC. 10.BD【解析】因为f(x)=ax2-2x十1，g(x)=x, 对于A,当a=-1时，f(x)=-x2-2x十1= -(x十1)2十2，其图象开口向下，对称轴为直线x= 一1，g()=x-子，其图象关于原点对称，且在 (一∞，0)，(0，十∞)上单调递减，故A可能出现： 对于B,当f(x)=ax2-2x十1的图象开口向上时， a>0,此时g(x)=x“在(0，十o∞)上单调递增，故 B不可能：对于C,当a=号时，f(x)=-2x十 1=之(x一2)2-1，其图象开口向上，对称轴为直线 x=2,g(x)=x立在[0，十o∞)上单调递增，且越来 越缓，故C可能出现：对于D,当a>0时，f(x)= ax2一2x十1的图象开口向上，此时其对称轴为x= 数学 二2=1>0，故D不可能.故选BD. 2a a 1.ABC【解析】因为函数f(x)=ar-3x+的值 域是[0，十∞)，所以a>0,且f(会)=0，即君 易+中=0，所以d6=9,故AB正确：由。6=9， 得=号>0.则云+6=+9≥2V…语- 12,当且仅当。-即a=后时取等号，所以。十 4钻的最小值是12，放C正确：由a6=9,得6=号> 0,aw=是>0.则d+a6+3a+b=a2+是+是+3a a ≥2√·亭+2V层a=6+6,当且仅当 a29 ,即a=5时取等号，所以。+a山+3a+b =3a a 的最小值是6十6√，故D错误.故选ABC. 12.(-∞，40]U[160,十∞)【解析】函数f(x)图象 的对称轴为直线x=令，要使f(x)在区间[5,20]上 具有单调性，则令≤5或冬≥20，解得k≤40或 k≥160. 13.1620【解析】依题意可设v=k产(k≠0)，则k×2 =320,解得k=20,所以v=20r,则当r=3时，v= 20X3=1620(cm3/s), 14. 【解析】函数f(x)=maxx十1|，z2-2x十 是}是函数y=+1与函数y=-2x十学同- 个x取得的两个函数值中较大的值，作函数y= 1x十1与函数y=-2x+号的图象如图所示， y=x+1N 2+￥ -3-2-10123x 由图象可知，令-2红十号=x+1,解得x=之或 x=号，故当x=时，(x)的最小值为号， 5 15.解：(1)设x>0,则-x<0, 因为当x≤0时，f(x)=-x2十2x, 所以f(-x)=-x2一2x, (3分) 数学 又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(x)=-f(-x)=x2十2x(x>0).(6分) (2)g(x)=f(x)-2ax+2=x2+(2-2a)x+2, x∈[1,2]， 其对称轴为直线x=a一1， (8分) 当a-1≤1，即a≤2时，g(x)mim=g(1)=5-2a= 3 2,解得a=之，成立： (10分) 当a-1≥2，即a≥3时，g(x)mim=g(2)=10-4a =2,解得a=2,不成立： (12分) 当1<a-1<2,即2<a<3时，g(x)mim= g(a-1)=-(a-1)2十2=2，解得a=1,不成立. (14分) 综上实数a的值为子 (15分) 16.解：(1)对任意的x1,x2∈[0,1]，有-1≤x1+x2-1 ≤1，即|x1十x2-1≤1， 则|f(x1)-f(x2)|=|(x-x)-(x-x2)= |x1-x2||x1+x2-1|≤|x1-x2, 所以f(x)=x2-x+1,x∈[0,1]是其定义域上的 “平缓函数” (6分) (2)当1-<号时，由题意得1f(x) f)≤-< (9分) 当a一≥号时，不妨设0≤1<，≤1， 所以玉一≤合 (10分) 因为f(0)=f(1), 所以|f()-f(2)|=f(x)-f(0)+f(1) f(x2)≤|f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2) ≤|x1-0|+|1-x21 1 1 =4一+1≤-2+1=2， 所以对任意的x,x2∈[0,1]，都有f(x1) f(o)is (15分) 小练8指数与指数函数 2x十10≠0， 1.C【解析】由题可得 (合)广-8≥，解得-3 且x≠一5，所以函数f(x)的定义域为 (-∞，-5)U(-5,-3].故选C. 2.B【解折】因为函数f()=(23>0是奇函 g(x),x<0 数，所以当x<0时，一x>0,f(x)=g(x)=一f(一x) =-2十3，故g(-2)=-2+3=-1.故选B. 3.B【解析】因为y=x在第一象限为增函数，1.3< 1.6,所以a<b,因为y=1.6在第一象限为增函数， 是<号所以K,所以a<,故送B 参考答案及解析 4.D【解析】因为函数y=3在R上单调递增，而函数 f(x)=3在区间(0，号)上单调递减，所以函数 y=x(x-a)=(一号广-号在区间(，是)上单 调递减，所以号>号，解得a≥3，所以实数a的取值 范围是[3，十o∞).故选D. 5.B【解析】将y=2的图象向下平移1个单位长度 得到y=2-1,再将y=2一1在x轴下方的图象以 x轴为对称轴翻折至x轴上方，可得到y=|2一1|， 将y=三的图象向右平移1个单位长度得到y 2 |2-1|,x<2, x与，所以f(x) 3 的图象如图 x-1x2 所示， =x) 由图可知，当0<k<1时，函数y=f(x)的图象与直 线y=k恰有三个不同的交点.故选B. 6.B【解析】由题意可知0.0766×28=2.1（万公里）， 设至少对折x次，纸张厚度超过38万公里，则是· 2>38>2>器≈18.1，因为2=16<18,2 32>18,函数y=2x在R上单调递增，所以x-38≥5 →x≥43，所以理论上至少对折43次，纸张的厚度会 超过地球到月亮的距离，故选B, 7.BC【解析】因为0<a<1,所以y=a在R上单调 递减，又因为0<x<y<1,所以a>a,故A错误； 因为-x>一y,所以a<a,故B正确：因为> 号所以<，放C正确：因为合>1，所以y (日)在R上单润递增，又士>，所以（日）广> (日)户，故D结误，故选C 8AD【解折标】对于A)=多=1-名由 2 11<号得-合<1-名<子即合< 2<号，得号<2+1<3，解得-1<x<1,即 |f(x)<号的解集为(-1,1)，故A正确：对于B, -- =-f(x)≠f(x),故B错 3拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练7二次函数与幂函数 (考试时间：30分钟满分：103分) 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 6.(教材改编题)近年来，“共享单车”的出现 1.(教材改编题)下列函数为幂函数的是 为市民“绿色出行”提供了极大方便.某共 A.y=2xt 享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资 B.y=3 120万元，根据行业规定，每座城市至少要 C.y=(x+1)2 投资40万元.由前期市场调研可知：甲城 D.y=x-1 市的收益P(单位：万元)与投入a(单位：万 2.已知函数f(x)=(m一1)xm+1为幂函数，则 元)满足P=3√2a-6,乙城市的收益Q(单 f(a2-2a)+f(2a-a2)= 位：万元)与投入A(单位：万元)满足Q= A.0 B.-1 C.a2 D.a6-a 是A十2，则投资这两座城市收益的最大 3.(教材改编题)函数f(x)=(m2-m-1)· 值为 xm-m-3是幂函数，且在x∈(0，十o∞)上是 A.26万元 减函数，则实数m= B.44万元 A.2 B.-1 C.48万元 C.4 D.2或-1 D.72万元 4.(教材改编题)幂函数y=x2,y=x1,y 7.已知函数f(x)=-20:若 x,y=x在第一象限内的图象依次是图 3.x-2,x>0, 中的曲线 |f(x)|≥ax在x∈[-1,1]上恒成立，则 实数a的取值范围是 A.(-oo,-1]U[0,+∞) B.[-1,07 C.[0,1] D.(-∞，0]U[1,+∞) A.C1,C2,C3,C4 8.已知实数a,b满足等式a3=b,给出下列五 B.C,C,Cs,C2 个关系式：①1<b<a;②a<b<-1;③0<b C.Cs,C2,C,C <a<1;④-1<a<b<0;⑤a=b,其中可能 D.C1,C4,C2,C3 成立的关系式有 A.1个 5.若幂函数f(x)=的图象过点（行》 B.2个 且f(m十2)<f(2m),则实数m的取值范 C.3个 围是 D.4个 A(-号2 9.（多选，教材改编题)已知函数f(x)=x“ (α为常数)，则下列说法正确的是 B(-2,引 A.f(x)的图象恒过定点(1,1) B.当a=一1时，f(x)是减函数 C.(∞，- )u2.+o) C.当a=3时，f(x)是奇函数 D.(-,-2)U(-号+∞ D.当a=号时，f(x)的值域为(0，+o∞) 13 10.（多选)函数f(x)=ax2一2x+1与15.(15分，教材改编题)已知函数f(x)是定 g(x)=x”在同一直角坐标系中的图象不 义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)= 可能为 -x2+2x. (1)求x>0时f(x)的解析式； (2)若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x∈ [1,2])的最小值为2，求实数a的值. B D 11.（多选)对任意的x∈R,函数f(x)=ax2- 3十单的值域是[0，十01，则下列结论中 正确的是 A.a>0 B.a2b-9 C.a2+4b的最小值是12 D.a2+ab+3a+b的最小值是6+6√2 16.(15分)如果对于函数f(x)定义域内的任 12.(5分)已知函数f(x)=4x2一k.x一8在区 意x1x2,都有f(x1)一f(x2)≤|1一x2 间[5,20]上具有单调性，则实数k的取值 成立，那么就称f(x)是其定义域上的“平 范围为 缓函数” 13.(5分，教材改编题)在固定压力差（压力差 (1)判断f(x)=x2-x+1,x∈[0,1]是否 为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流 是其定义域上的“平缓函数”； 量速率v(单位：cm3/s)与管道半径r(单 (2)若f(x)是区间[0,1]上的“平缓函 位：cm)的四次方成正比.若气体在半径为 数”，且f(0)=f(1),证明：对任意的x1, 2cm的管道中，流量速率为320cm3/s,当 该气体通过半径为3cm的管道时，其流量 x,∈[0.1]，都有f)-f(x)≤2 速率为 cm3/s. 14.(5分)对a,b∈R,记max{a,b}= a,a≥h则 b;a-b; 函数f0e)=mxlx+1d-2z+是}的 最小值为 14