小练6 函数的奇偶性与周期性-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练6函数的奇偶性与周期性 (考试时间：30分钟满分：105分) 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 8.已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x一1)+ 1.(教材改编题)如果奇函数f(x)在区间 1为奇函数，y=f(x一2)为偶函数，若 [3,7]上是增函数，且最小值为5，那么 f(2024)=1,则f(-2)= f(x)在区间[一7，-3]上是 A.1 B.-1 C.0 D.-3 A.增函数且最小值为一5 9.(多选)已知f(x),g(x)分别是定义域为R B.减函数且最小值为一5 的偶函数和奇函数，且f(x)+g(x)=e, C.增函数且最大值为-5 若数Gx)-得则Gx) D.减函数且最大值为-5 A.是奇函数 B.是偶函数 2.若函数fr)=+1)(r+心为奇函数，则 C,在R上单调递减D.在R上单调递增 10.（多选，教材改编题)我们知道，函数y= 实数a= f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图 A.1 B.-1 形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数. C.2 D.-2 有同学发现可以将其推广为：函数y 3.(教材改编题)下列四个函数中，以π为最 f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图 小正周期，且在区间（受，x上单调递减的是 形的充要条件是函数y=f(x+a)一b为 A.y=sin 2x B.y-cos x 奇两数现已知数f)=ax十 C.y=sin x D.y=cos号 a,则下列说法正确的是 A.函数y=f(x+1)一2a为奇函数 4.函数f(x)满足f(x)f(x+2)=4,且f(1) B.当a>0时，f(x)在(1，十∞)上单调 =2,则f(163)= 递增 A.4 B.2 C.1 D.2 C.若方程f(x)=0有实根，则a∈ (-c∞，0)U[1,+∞) 5.已知奇函数f(x)=x3-sinx+b+2的定 D.设定义域为R的函数g(x)关于点 义域为[a-4,2a-2],则f(a)+f(b)的 值为 1.1)中心对称，若a=,且f(x)与 A.-3B.-1 C.0 D.1 g(x)的图象共有2024个交点，记为 6.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且 A;(x,y)(i=1,2,…,2024),则(x1十 f(x)在(0，十∞)上单调递增，f(5)=0,则 y1)+(x2十y2)十…十(x224十y2o24)的 不等式xf(x)≥0的解集为 值为4048 A.(-∞，-5)U(0,5) 11.(多选)函数f(x)的定义域为R,f()≠ B.(-∞，-5]U[5,+∞)U{0} 0,若f(x十y)+f(x)f(y)=4xy,则下列 C.(-5,0]U(5,+∞) 选项正确的有 D.(-5,5) 7.德国数学家狄利克雷(Dirichlet)是解析数 A-)=0 论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数 Bf(2)=-2 D(x)= 1,x为有理数， 的结论正确的是 0,x为无理数 C.函数f(x+)是增函数 A.D(D(x))有零点B.D(x)是单调函数 C.D(x)是奇函数 D.D(x)是周期函数 D.函数f(x一)是奇函数 11 12.(5分)如图，一个质点在平衡位置点O附16.(17分)已知函数f(x)的定义域为D,集 近摆动，如果不计阻力，可将这个摆动看 合M二D,若存在正实数t,使得对任意 作周期运动.它离开点O向右运动4s后 x∈M,都有x+t∈D,且f(x+t)>f(x), 第1次经过点M,再过2s第2次经过点 则称f(x)在集合M上具有性质P(t): M.该质点再过 s第3次经过 (1)若函数f(x)=x2,判断f(x)在区间 点M. [-1,0]上是否具有性质P(1),并说明 理由； (2)若函数f(x)=x3一x,且f(x)在区间 [0,1]上具有性质P(n),求正整数n的最 …8 小值； 13.(5分)已知函数f(x十1)为偶函数，且当 (3)若f(x)是定义域为R的奇函数，当 x>1时，f(x)=x2-4x+1,则当x<1 x≥0时，f(x)=|x-a|-a,且f(x)在R 时，f(x)的解析式为 上具有性质P(6),求实数a的取值范围. 14.(5分)已知偶函数f(x)在[0，十∞)上单 调递减，且2是它的一个零点，则不等式 f(x-1)>0的解集为 15.(15分)函数f(x)是周期为2的周期函 数，且f(x)=x2,x∈[-1,1]. (1)画出函数f(x)在区间[一2,2]上的图 象，并求其单调区间、零点、最大值、最 小值： (2)求f(7.5)的值： (3)求f(x)在区间[2n-1,2n+1]上的解 析式，其中n∈Z. -12数学 对于1x<4,有西）二f)>-1,所以 x1一x2 f(x1)-f(x2)<-x1+x2,所以f(x1)+x1< f(x2)十x2,令g(x)=f(x)十x,则g(x)在R上 单调递增，因为f(1)=1,所以g(1)=2.不等式 f(2-1|)<2-|2-1|可化为f(|2-1)+ |2x-1|<2,即g(|2-1|)<g(1),所以 |2-1|<1,解得x<1. 14.令【解析】max.efo.{lx2-x十c)取得最小值， 即为f(x)=|x2-x十c|在区间[0,1]上的最大值 取得最小值，因为f(x)的对称轴为直线x=号，且 f(0)=f(1)=|c|,所以f(x)的最大值为 f(2)=-或f(0)=fa)=1.当 -=ll时，解得c=令所以fx)= (log 则f(x)mx的图象如图所示， 1e-g 所以当c=日时，f(x)取得最小值，最小值为名 15.解：(1)由数据知，点(60,600)，(62,580)，…在一条 直线上， 600=60k+b, 设函数为y=kx十b,则 (3分) 1580=62k+b, 解得k=-10,b=1200, 故解析式为y=一10x十1200. (5分) (2)由已知条件可得x=x(-10x十1200) 40(-10x+1200)=-10x2+1600x-48000(x> 40). (10分) (3)由(2)可得，之=-10x2十1600x-48000= -10(x-80)2+16000, x>40, 当x=80时，能获得最大利润，最大利润为 16000元. (15分) 参考答案及解析 小练6函数的奇偶性与周期性 1,C【解析】因为f(x)是奇函数，且在区间[3,7]上 是增函数，所以f(x)在区间「一7，一3]上是增函 数，且f(一x)=-f(x),由题可知f(x)在区间[3， 7]上的最小值为f(3)=5,所以f(x)在区间 [-7,-3]上的最大值为f(-3)=-f(3)=-5. 故选C. 2.B【解析】由题意可得x≠0，f(-x)=一f(x), :一+1)(-x+a)=-x+1)(x+a),整理可得 2(a十1)x=0,x≠0，.a十1=0，.a=-1.故选B. 3.C【解析】y=sin2x的最小正周期为红=，当x∈ （变x)时，2x∈（π，2m),所以y=sin2x在区间 (受，π)上先减后增，故A错误：y=c0sx的最小正 周期为纤=2x,故B错误：y=snz的最小正周期 为，在区间（受，元）上单调递减，故C正确：y c0s音的最小正周期为经=4，故D错误，故选C. 2 4.B【解析】由f(x)f(x十2)=4，可知f(x), f(x+2)均不为0，所以f(x+2)=(,则 4 4 f(x+4)=f(x+2)= 4 -=f(x),所以f(x)的 f(x) 4 周期为4，所以f(163)=f(3)=六-2.故选B 5.C【解析】因为奇函数f(x)=x3-sinx十b+2的定 义域为[a-4,2a-2],所以a-4十2a-2=0,解得 a=2,又f(-x)+f(x)=0,即(-x)3-sin(-x)+ b十2十x3-sinx十b十2=0，整理得2b十4=0，解得 b=-2,所以f(x)=x3-sinx,则f(a)+f(b)= f(2)+f(-2)=0.故选C. 6.B【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)=0,显然当x=0时，满足xf(x)≥0：因 为f(x)在(0，十∞)上单调递增，f(5)=0,所以 f(x)在(-∞，0)上单调递增，f(一5)=0，当x>0 时，由xf(x)≥0，可得f(x)≥0=f(5),因为f(x) 在(0，十∞)上单调递增，所以x≥5；当x<0时，由 xf(x)≥0，可得f(x)≤0=f(-5),因为f(x)在 (一∞，0)上单调递增，所以x≤一5，综上，不等式 xf(x)≥0的解集是(-∞，-5]U[5,十∞)U{0. 故选B 7.D【解析】对于A,因为D(x)=0或D(x)=1均为 有理数，所以D(D(x))=1>0,故D(D(x))没有零 点，故A错误；对于B,因为D(1)=D(2)=1,D(W2) =0,所以D(2)=D(1)>D(√2)，故D(x)不是单调函 参考答案及解析 数，故B错误；对于C,因为x和一x同为有理数或同 为无理数，所以D(一x)=D(x),故D(x)是偶函数， 故C错误；对于D,设T为任意非零有理数，则x和 x十T同为有理数或同为无理数，所以D(x十T)= D(x),故D(x)是周期函数（以任意非零有理数为周 期)，故D正确.故选D. 8.D【解析】因为y=f(x一1)十1为奇函数，所以 f(-x-1)十1=-1-f(x-1),所以f(x)的图象 关于点（一1，-1）中心对称，则f(一1)=一1.因为 y=f(x-2)为偶函数，所以f(一x-2)= f(x一2)，所以f(x)的图象关于直线x=一2轴对 称.由f(-x-1)十1=-1-f(x-1),得 f(-x-2)=-2-f(x),所以f(x-2)=-2 f(x),则f(x-4)=-2-f(x-2)=-2 f(-x一2)=f(x),则f(x)的周期为4，所以 f(2024)=f(0)=-2-f(-2)=1,则f(-2)= 一3.故选D. 9.AD【解析】因为f(x)十g(x)=e①，所以 f(-x)+g(-x)=ex,即f(x)-g(x)=ex②， 联立①②，解得f(x)=e十e二 2一，g(x)=e-e , 所以G)=二，定义域为R,又G(-) er-er 。+e=一G(x),所以G(x)是奇函数，又 G'(x)=e+e)-ee)= 4 (e十e-x)9 (er十e-x) >0,所以G(x)在R上单调递增，故AD正确，BC错 误.故选AD 10.ACD【解析】对于A,f(x十1)-2a=ax+ T y=ax十子是奇函数，故A正确：对于B,因为 (受)=号a+2,f(2)=a十1，所以f(受) f(2)=1-号，当0<a<2时，f(2)-f2)>0, 即f(号)>f(2,所以f(x)在(1，+∞)上不单调 递增放B结误：对于C,令f)=ar十占十a 0,显然x≠士1，所以a=之，因为1-x∈ (-∞，0)U(0,1],所以1=x∈（-∞，0)U [1,十∞)，即a∈(-∞，0)U[1,十∞)，故C正 确：对于D,由A可知，当a=号时，f(x)关于点 (1,1)中心对称，且g(x)关于点(1,1)中心对称， 所以这2024个交点关于点(1,1)对称，故 (x十M)十（x2十2)十…+（024十边2：）= (十十…十202）十(y十2十…十224)= 2024十2024=4048，故D正确.故选ACD. 数学 1,ABD【解析】令x=号，y=0,得f(分)十 f(2)×f(0)=f(号)×[1+f(0)]=0,因为 (分)≠0，所以f0)=-1:令x=号y=- 得f(0)+f(号)×f(-2)=-1,因为 f(3)≠0，所以f(-合)=0，故A正确：令y -名，得f(x-)+f(-2)f(x)=-2,又 f(-2)=0,所以f(x-）=-2x,所以 f(x一号)为奇函数，故D正确：由f(x-) -2x,得了(x+1-号)=-2(x+1),即 f(x十)=-2红-2，所以f(十)是减函数， 令x=0,得f(号)=一2，故B正确，C错误.故 选ABD. 12.18【解析】由对称性知质点从O开始向右运动到 最右侧需4十1=5s,故质点从)点向左运动到最左 侧也需要5s,所以该质点第3次经过M点需要2× (5+4)=18s. 13.f(x)=x2-3【解析】因为f(x十1)为偶函数，所 以f(-x十1)=f(x十1)，所以f(x)=f(2-x), 则当x<1时，2-x>1,则f(x)=f(2-x)= (2-x)2-4(2-x)十1=x2-3. 14.(-1,3)【解析】因为偶函数f(x)在区间[0， 十∞)上单调递减，所以偶函数f(x)在区间（一∞， 0]上单调递增，又因为2是f(x)的一个零点，所以 f(2)=f(-2)=0.当x-1≥0时，f(x-1)>0台 f(x-1)>f(2)台0≤x-1<2台1≤x<3:当x-1 <0时，f(x-1)>0台f(x-1)>f(-2)台-2< x-1<0台-1x<1.综上可得，不等式f(x一1)> 0的解集为(-1,3). 15,解：(1)因为f(x)=x2,x∈[-1,1]，且f(x)是周 期为2的函数， 所以f(x)在区间[-2,2]上的图象如下： y (4分) 由图可知单调递增区间为[一2，一1)，[0,1)，单调递 减区间为[-1,0)，[1,2]： 零点为x=一2,0,2：最大值为1，最小值为0.(8分) (2)由题得f(7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5) 数学 =(-0.5)2=0.25. (10分) (3)因为x∈[21-1,2n+1], 所以x-2n∈[-1,1]，且n∈Z, 则f(x-2n)=(x-2n)2, (13分) 又∫(x)是周期为2的周期函数， 所以f(x)=f(x-2n)=(x-2n)2 故f(x)=(x-2n)2,x∈[2n-1,2n十1]，n∈Z. (15分) 16.解：(1)由题意得f(x+1)-f(x)=(x十1)2-x2 =2x+1, 当x=一0.8时，f(x十1)-f(x)=-0.6<0,此时 f(x+1)f(x), 故f(x)在区间[-1,0]上不具有性质P(1).(3分) (2)因为f(x)=x3一x的定义域为R,且在区间 0,1]上具有性质P(n), 所以对任意x∈[0,1]，x十n∈R,且f(x十n)> f(x), 即(x十n)3-(x十n)>x-x, (5分) 又n是正整数， 化简得3x2十3nx十n2-1>0对任意x∈[0,1]恒成 立 (6分) 令g(x)=3x2+3nx+n2-1,x∈[0,1]， 其对称轴为直线1=一子<0， 则g(x)在区间[0,1]上单调递增， 所以g(x)mn=g(0)=n-1>0,解得n>1, 故正整数n的最小值为2. (8分) (3)因为f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≥0 时，f(x)=|x-a|-a, 所以f(0)=|a|-a=0,解得a≥0. (9分) 若a=0,f(x)=x,则x十6>x恒成立， 即f(x十6)>f(x)恒成立，符合题意； (10分) 若a>0,当x<0时，f(x)=-f(-x)=-(-x-a -a)=-x十a十a, fx十2a,x-a, 所以f(x)= 一x,一axa, x-2a,x≥a, 作出f(x)的大致图象如图所示， 2a 由题意可得2a-(-2a)=4a<6, 即0<a<, (13分) 当x十6≤-a时，f(x十6)=x+6十2a,f(x)= x+2a, 所以f(x十6)>f(x),符合题意： (14分) 1 参考答案及解析 当-a<x十6<a时，x<a-6<-3a, 则f(x十6)=-(x十6)>-a,f(x)=x+2a< -a, 所以f(x十6)>f(x),符合题意： (15分) 当x十6≥a时， 则f(x十6)=(x十6)-2a>x+2a≥f(x), 所以f(x十6)>f(x),符合题意. (16分) 综上，实数a的取值范围为0，立 31 (17分) 小练7二次函数与幂函数 1.D【解析】由幂函数的定义可知D项正确.故选D. 2.A【解析】因为f(x)为幂函数，所以m-1=1,解 得m=2,所以f(x)=x,其定义域为R,因为 f(-x)=(一x)3=一x3=一f(x),所以函数 f(x)为奇函数，所以f(a2-2a)十f(2a-a2)=0. 故选A, 3.A【解析】因为f(x)=(m2-m-1)xm-2m-3是幂 函数，所以m2-n一1=1，解得m=2或m=一1，又 因为f(x)在x∈(0，十oo)上是减函数，所以m 2m-3<0,解得-1<m<3,所以m=2.故选A. 4.D【解析】根据幂函数y=x的性质可知，在第一象 限内的图象，当a>0时，y=x2单调递增，且a越大， 递增速度越快，由此可判断C是曲线y=x,C是曲 线y=x京；当a<0时，y=x单调递减，且|a越大， 图象越陡，由此可判断C是曲线y=x立，C4是曲线 y=x1.综上所述，幂函数y=x,y=x1,y=x京， y=x立在第一象限内的图象依次是图中的曲线C, C4,C2,C3.故选D. 5.C【解析】将点（兮司）代入f(x)=x可得 (兮厂广=司解得a=4,则)=，显然函数 的定义域为R,因为f(-x)=(-x)=x=∫(x), 所以f(x)为偶函数.取Hx1<x2,且x,x∈(0， +o∞)，由f(x1)-f(x2)=x-x=(xi+xi)(xi x)=(x十x)(x1十x2)(x1-x2),因为0<x1<x2, 所以(x十x)(x1十x2)(x1-x2)<0,即f(x1)< f(x2),故函数f(x)在(0，十∞)上单调递增，所以 f(x)在（一∞，0）上单调递减，由f(m十2)< (2m),可得|m十2|<|2m,将两边平方，整理可 得3m-4m-4>0,解得m<-号或m>2.故选C 6B【得6】由海意可如0C12012n 解得40 a≤80，设投资这两座城市的收益为y,则有y= 3√a-6+A+2=3V2a+120-a)-4= 3V2a-子a+26,令a=t,t∈[2Vo,45],则有 f0=-子+3E+26=-子(1-62)°+4，则