小练4 函数的概念及其表示-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

数学 {x|-6≤x≤9}，所以A≤B,所以A∩B=A,AUB =B,故A错误，C正确；B∩Z中有6+1+9=16个 元素，故B正确：A∩Z中有2十1十3=6个元素，所 以A∩Z的子集个数为2=64，故D正确.故 选BCD. 10.ABC【解析】因为不等式x2十ax十b≤0(a,b∈R) 的解集为{xx1≤x≤x2},所以x,x2是方程x2十 ax十b=0的两个实数根，则△=a2-4b≥0，x1x2= b,x1十x2=-a,又|x1|+|x2|≤2，取a=-1,b= 0,则x1=0,x2=1,此时|a十2b|=1,故A错误；取 a=2,b=1,则x1=x2=一1，此时|a十2b=4,故B 错误；取a=0,b=一1，则x1=一1，x2=1,此时 1a=0,故C错误：6=x1x:≤()）≤ x+)≤1，故D正确.故选ABC, 2 11.BD【解析】对于A,当a=0时，不等式为x一2<0， 解得x<2,所以不等式的解集为{x|x<2},故A错 误；对于B,当a>0时，△=1十8a>0,方程ax2十x-2= 0的两个不等实根分别为=二1干8，，= -1十√干8领，且西<，所以不等式的解集为 2a {1<<+，故B正 2a 2a 确对于C,当-8<a<0时，4=1十8a>0,方程 ax2十x一2=0的两个不等实根分别为x1= -1-v√/+8 2a ,=1+年证，且>，所 2a 以不等式的解集为{红x<二1十中或 >1一中8@}，故C错误：对于D,当a<-8 .1 2a 时，△=1十8a<0,所以不等式的解集为R,故D正 确，故选BD. 12.3【解析】原不等式可变形为2二+1 x-2 3z-a-2≤0，等价于(3x-a-2)(x-2)≤0且x x-2 2≠0，因为原不等式的解集是[号2），所以“专- 号，则a=3, 3 13.(-3,0]【解析】当k=0时，原不等式为-8<0， 显然成立；当k≠0时，根据题意得 (k<0, 4=-8k·(-号)<0.解得-3<<0.综上， 实数k的取值范围为(-3,0]. 参考答案及解析 14.号【解析】由题意得△ADP≌△CBP,因为AD=x DP=y,所以PC=PA=√x+y,因为矩形ABCD 的周长为12+6√2，所以AD+DP+PC=x+y+ √+y=6+3√2，整理得xy=(27+18√2) (6+3√2)+y≤(27+18√2)-(6+6√2)· W√xy,当且仅当x=y时等号成立，所以（√y)2十 (6+6√2)√xy-(27+18√2)≤0，又√/xy>0,所以 0K可≤3，则0<xy9,所以Sam=罗≤号， 所以△ADP面积的最大值为号，此时x=y=3 15.解：(1)依题意可得，每件的销售利润为(x一10)元， 每月的销售量为(-10x十500)件， 所以每月获得的利润与销售单价x的函数关系 式为e=(x-10)(-10x十500)=-10x2+600x -5000,10x50, (3分) 对称轴为x=30,图象开口向下， 则利润w的最大值为(30-10)×(-10×30+500) =4000(元). (6分) (2)由每月获得的利润不少于3000元， 得=-10x2+600x-5000≥3000， 即x2-60x十800≤0，解得20≤x≤40， (9分) 因为这种节能灯的销售单价不得高于25元， 所以20≤x≤25. (10分) 设政府每个月为该大学毕业生承担的总差价为 p元， 则p=(12-10)(-10x十500)=-20x十1000， 由20x25,得500-20x十1000600， 所以政府每个月为该大学毕业生承担的总差价的取 值范围是[500,600]元 (13分) 小练4函数的概念及其表示 1.D【解析】由题意得 x20解得x≥号且x≠ x-2≠0， 2,即丽数(：)的定义城为{≥号且≠2故 选D. 2.B【解析】令t=1-x,则x=1-t,因为x≠0，所以 t≠1，所以f()=已=1)1 (1-t)2 1 (≠1)，所以f(x)=(x-1)-1(x≠1).故选B. 3.C【解析】由容器的形状可知，在固定的△t时间内， 随着t的增加，△y应该变小.故选C. 4.C【解析】f(2x-1)的定义域为(-1,2)，即-1< x<2,所以一3<2x-1<3,所以f(x)的定义域为 (-3,3),则对于f(1-x),有-3<1-x<3,解得 一2<x<4,所以∫(1-x)的定义域为(-2,4).故 参考答案及解析 选C. 5.B【解析】由2x2+1=5,得x=土√2，由2x2+1 19,得x=士3，因此“孪生函数”的定义域为{一√2， -3,{-√2,3，{W2,-3},{W2,3,{-√2，-3,3} {2,-3,3,{-√E,W2,-3},{-√2，W2,3},{-√2， √2，一3,3}，共9个，所以“孪生函数”共有9个.故 选B. 6.D【解析】由fx)+2f()=6x+①，令x 是得2fx)+f()=红+号@，由@×2-①， 得3)=2红+兰所以)=号+是又>0，所 以+是≥2√·=当且仅当号-品即 x=2时取等号，所以f(x)的最小值为，故选D. 7.A【解析】依题意，当0<t≤1时，可得阴影部分的 直角三角形的两条直角边分别为t,W3t,所以f(t)= 名1-：当1<<2时，阴影部分可以看作 大三角形减去一个小三角形，所以f(t)=√3 B(2-0=-5+23t-B,所以f()= 2 厚o<s. 从而可知A的图象 +21-51<2 满足题意.故选A. 8.C【解析】f(x)=√1一x十a在[，n]上单调递 减，且f(x)的值域为[，n], f(m)=√-m+a=,:√小-m--n f(n)=√1-n+a=m, n-m=(1-m)-(1-n)=(√1-m-√1-n)· (√1-m+√1-n),:m<,∴.√1-m-√1-n≠ 0,.√1-m+√1-n=1,√1-m=1-√1-n, .a=n+√-n-1=-(-n)2+-n= -(n-）'+子，m<,m>, 又：-m+-n=1,个-m∈[0，号)， a∈[o,)故选C. 9.CD【解析】对于A,f(x)=x-1的定义域是R, g(x)=-1的定义域是{xx≠0)，故∫(x)=x- 1,g(x)=二-1不是同一个函数，故A错误：对于B, 数学 f(x)=x的定义域是R,g(x)=(√)的定义域是 {xx≥0}，故f(x)=x2,g(x)=(√E)不是同一个 函数，故B错误；对于C,f(x)=x的定义域是R, g(x)=的定义域是R,且g(x)=/=x2= f(x),故f(x)=x2,g(x)=是同一个函数，故C 正确；对于D,f(x)=x的定义域是R,g(x)= 的定义域是R,且g(x)=x=f(x),故f(x)=x, g(x)=是同一个函数，故D正确.故选CD. 10.AC【解析】对于A,由题意uu=（√+4十x)· (十-x)=4,=4,A正确：对于B.a √+4+x,u=√+4-x,+4=u十， 2 =“,t=平+12=十+2 3 5 6 5 “0,整理得151=u+4知十36.即15t一《-40=36， B错误，对于C,由A项和B项，得151=u+16+36 ≥2√…5+36=44，当且仅当u=9,即u=4时 取等号，由V干十x=4,解得x=是=1.5C正 确：对于D,当=4时1=25十号则1一3=2 3 3 2_105-21=V50而-√4④>0，t>3,D错 15 15 误.故选AC. 11.AB【解析】对于A,由题意得f(-1.7)= -1.7-[-1.7]=-1.7-（-2)=0.3,故A正确： 对于B,f(x+1)=x+1-[x+1]=x+1-([x]+ 1)=x一[x]=f(x),故B正确；对于C,由选项B 可知，f(x)是周期为1的周期函数，则当x=0时， f(0)=0-[0]=0;当0<x<1时，f(x)=x [x]=x-0=x∈(0,1)：当x=1时，f(1)=1-[1] =1-1=0.综上，f(x)的值域为[0,1)，故C错误： 0,x=0, 对于D,由选项C可知f(x)= x,0<x<1,且 0,x=1, f(x)的周期为1，作出y=f(x)与y=x一1的图 象，由图象可知y=f(x)与y=x一1的图象有无数 个交点，故D错误.故选AB. VA 数学 12.[0,3)【解析】由题意可知mx2十2mx十3>0在R 上恒成立，若m=0,则3>0，符合题意；若m≠0，则 >0, 解得0m3.综上所述，实数 △=4n2-12<0, m的取值范围是[0,3)。 13.1(1,] [-5,+o∞) (2)(1,3][-6,十∞) 【解析】(1)因为f(x)的定义域为(1,2]，所以 g(x)=f(2x-1)中，有1<2x-1≤2，解得1<x≤ 三，所以g(x)的定义城为(1，号]，令=2x-1,可 知t∈(1,2]，因为f(t)的值域为[-5，十o∞)，所以 f(2x-1)即g(x)的值域为[-5，+oo). (2)因为g(x)=f(2x-1)+1的定义域为(1,2]， 所以1<x≤2，所以1<2x-1≤3，所以f(x)的定义 域为(1,3].因为g(x)的值域为[-5，十∞)，所以 f(2x一1)的值域为[-6，十∞)，所以f(x)的值域为 [-6,+∞). 14.5【解析】令f(x)=Tz+21=0,得|x+2- 4,解得x=2或x=-2:令f(x)=十21=1， 4 得|x|十2=2，解得x=0,易知当x>0时，f(x)= +21,(x)为减函数，又f(-x)=f(x),所以 4 f(x)为偶函数，作出f(x)的图象如图所示， 根据图象可知满足条件的整数数对(a,b)有 (-2,0),(-2,1),(-2,2),(0,2),(-1,2),共 5个. 15.解：(1)如图所示. x) -5-4-3-2-1万12345 3 =x) (5分) (2)函数h(x)=min{f(x),g(x)}的图象如图 所示： 参考答案及解析 4 -54-3-2-512345 -1 (9分) -x2十2x十1，x<0, 解析式为h(x)= |x-1|,0≤x≤2， (13分) -x2+2x+1,x>2, 由图象可知，函数h(x)的单调递增区间为 (-∞，0)，[1,2]，单调递减区间为[0,1)，(2， 十o∞)，函数h(x)的值域为(-o∞，1]. (15分) 小练5函数的单调性与最值 1.C【解析】因为函数f(x)=x+?在区间(1,4)上 存在最小值，所以函数f(x)在区间(1,4)上先减再 增，故a>0,由对勾函数单调性知，f(x)在 (1,√a)上单调递减，在（√a,4)上单调递增，则1< √a<4,所以1<a<16,故必要性成立；若1<a<16, 则1<√a<4,根据对勾函数单调性知，∫(x)在 (1,√a)上单调递减，在（√a,4)上单调递增，所以 (x)在x=√a时取得最小值，故充分性成立，所以 “1<a<16”是“函数f(x)在区间(1,4)上存在最小 值”的充要条件.故选C 2.C【解析】因为函数y=x2一5x十6的对称轴为直线 x=号由x-5x十6=0，可得x=2或x=3,作出函 数f(x)=|x2-5x十6|的图象如图所示： 25:3 2 由图可知，函数f(x)的单调递增区间为(2，号)和 (3,十o).故选C. 3.B【解标】h()=-5t+15t+20=-5(t-三)+ 15,则A()=h(号)=15≈31.故选B 4.A【解析】由已知，存在实数x∈[0,1]，使得 2一4m=x(x-4)-m≥0成立，则m≤ 1 z (x2-4x)mmx,因为f(x)=x2-4x在区间[0,1]上拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练4函数的概念及其表示 (考试时间：30分钟满分：93分) 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 4.(教材改编题)已知函数f(2x一1)的定义域 1.(教材改编题)函数f(x)=√3x一2+ 为（一1,2），则f(1一x)的定义域为 x-2 的定义域为 A(g刂 B(-1) A>号且≠2 C.(-2,4) D.(-2,1) 5.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但 Br<号且>2 定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”， 那么函数解析式为y=2x2+1,值域为 (5,19}的“孪生函数”共有 A.10个B.9个 C.8个 D.7个 D.≥号且x≠2 6.已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且满 2.已知函数f(1-x)= 1一x(x≠0)，则 足f(x)+2f(日 =6x+兰，则f)的最小 f(x)= 值为 1 A.(x-1-1x≠0) A.2 B.3 C.4 n.S B.1 7.如图，△OAB是边长为2的正三角形，记 (x-1)产-1(x≠1) △OAB位于直线x=t(0<t≤2)左侧的图形 C1a≠0) 的面积为f(t),则函数y=f(t)的图象大致为 4 D.x-1-1(x≠1) 3.向一个圆台形的容器（如图所示）中倒水， A 且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相 等，记容器内水面的高度y随时间t变化的 函数为y=f(t),则以下函数图象中，可能 是y=f(t)的图象的是 24 21 2 D 8.已知函数f(x)=√J1一x十a,x∈[m,n]的 值域为[m,n](m<n),则实数a的取值范 围为 B(-1,-) c[, D.(-0 9.(多选，教材改编题)下列函数f(x)与g(x)13.(10分)(1)已知函数f(x)的定义域为(1， 表示同一个函数的是 2],值域为[-5，+o∞)，设g(x)=f(2x A.f(x)=x-1,g(x)=工-1 1),则g(x)的定义域为 ,值 域为 B.f(x)=x2,g(x)=(W元) (2)已知函数g(x)=f(2x一1)+1的定义域 C.f(x)=x2,g(x)= 为(1,2]，值域为[-5，十∞)，则函数f(x)的 D.f(x)=x,g(x)= 定义域为 ,值域为 10.（多选，教材改编题)如图所示，一座小岛 4 14.5分)已知函数f(x)=z十21的定 距离海岸线上最近的点P的距离是2km, 义域是[a,b们(a,b为整数)，值域是[0,1]， 从点P沿海岸正东12km处有一个城镇. 则满足条件的整数数对(a,b)的个 假设一个人驾驶的小船的平均速度为 数是 3km/h,步行的速度为5km/h,t(单位：h) 15.（15分，教材改编题)已知函数f(x)= 表示他从小岛到城镇的时间，x(单位：km) x-1,g(x)=-x2+2x+1,x∈R. 表示此人将船停在海岸处距点P的距离. (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x), 设u=√x2十4十x,w=√x2十4一x,则 g(x)的图象； 城镇 -12km 5-4-3-2-1012345 小岛 A.u=4 B.15t-u-4v=32 (2)定义：对Vx∈R,h(x)表示f(x), C.当x=1.5时，此人从小岛到城镇花费 g(x)中的最小者，记为h(x)=min{f(x), 的时间最少 g(x)},请分别用图象法和解析法表示函 D.当x=4时，此人从小岛到城镇花费的 数h(x),并写出h(x)的单调区间和值域 时间不超过3h (不需要证明) 11.（多选，教材改编题)设x∈R,用[x]表示 不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯 函数，也叫取整函数，例如[2.3]=2.令函 数f(x)=x一[x],以下结论正确的有 5-4-3-2.1O12345 A.f(-1.7)=0.3 B.f(x+1)=f(x) C.f(x)的值域为[0,1] D.y=f(x)与y=x-1的图象有2个 交点 12.(5分)若函数f(x)= 2x+1 的 √m.x2+2mx+3 定义域为R,则实数m的取值范 围是