小练3 一元二次方程、不等式-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 小练3一元三 (考试时间：30分 选择题（单选每题5分，多选每题6分）】 1.(教材改编题)已知集合A={一2，一1,0,1， 2,3},B={x(x-3)(x+1)≤0}，则A∩B= A.{-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3}》 C.{1,2,3} D.{0,1,2} 2.若关于x的不等式x2-ax+4>0在 (2,4)上有实数解，则实数a的取值范围为 A.(-0∞，5] B.(-∞，5) C.(-o∞，4) D.(2,4) 3.已知关于x的方程x2一2x十m-1=0的两 实根同号，则实数m的取值范围为 A.(1,2] B.(-∞，2] C.[2,+∞) D.(1,+c∞) 4.(教材改编题)已知关于x的方程x2十 2(m一2)x+m+4=0的两实根分别为 x1,x2,且两根的平方和比两根之积大40， 则m的值为 A.-2或18 B.2或-18 C.-2 D.-18 5.(教材改编题)已知不等式ax2十b.x一6<0 (a,b∈R)的解集为{x一3<x<2},则不等 式x2-bx-2a≥0的解集为 A.{xx≤-2或x≥3} B.{x-2≤x≤3} C.{x-1≤x≤2} D.{xx≤-1或x≥2} 6.Hx∈R,[x]表示不超过x的最大整数，十 八世纪，函数y=[x]被“数学王子”高斯采 用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为 “取整函数”，例如：[一2.1]=一3，[3.1] 3.若[x2一2x十4幻=3，则实数x的取值范围为 A.(0,2) B.[0,1)U(1,2) C.(0,1)U(1,21 D.[0,2] 7.已知a,b,c∈R且a≠0，则“不等式ax2十bx 十c>0的解集为{xx≠1}”是“a十b+c 0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 班级： 姓名： 次方程、不等式 钟满分：86分) C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.若关于x的不等式(ax一1)2<x2恰有两个 整数解，则实数a的取值范围为 4--制 [3》 c.(-,-专1u[告2》 D》 9.(多选)已知集合A={xx2一x≤6}，B= {xyx∈A,y∈A},则 A.A∩B=B B.B∩Z中的元素个数为16 C.AUB=B D.A∩Z的子集个数为64 10.(多选)已知不等式x2+a.x十b≤0(a,b∈ R)的解集为{x|x1≤x≤x2},且 x1十|x2≤2，则下列结论错误的是 A.a+2b≥2 B.a+2b|≤2 C.lal≥1 D.b≤1 11.（多选，教材改编题)已知关于x的不等式 ax2十x-2<0,则 A.当a=0时，该不等式的解集 为{x|x>2} B.当a>0时，该不等式的解集为 {1<+ 2a C.当-日<a<0时，该不等式的解集为 1中咸1+ 2a 2a D.当a<-8时，该不等式的解集为R 12.5分)已知关于r的不等武号≤-1 的解集是[号2，则a的值为 13.(5分)若不等式2kr2+kx一是<0对一切 实数x都成立，则实数k的取值范 围为 14.(5分，教材改编题)已知矩形ABCD(AB >BC)的周长为12+6√2，如图，将矩形 ABCD沿对角线AC对折后，点B记作点 B',AB交DC于点P,设AD=x,DP=y, 则△ADP面积的最大值为 5.(13分)为鼓励大学毕业生自主创业，某市 出台了相关政策，由政府协调，本市企业 按成本价提供产品给大学毕业生自主销 售，成本价与出厂价之间的差价由政府承 担.某大学毕业生按照相关政策投资销售 本市生产的一种新型节能灯，已知这种节 能灯的成本价为每件10元，出厂价为每 件12元，每月的销售量y(单位：件)与销 售单价x(单位：元)之间的关系近似满足 一次函数：y=-10x十500. (1)设该大学毕业生每月获得的利润为 (单位：元)，写出该大学毕业生每月获得 的利润与销售单价x的函数关系式，并 求出利润的最大值； (2)相关部门规定，这种节能灯的销售单 价不得高于25元.如果该大学毕业生想 要每月获得的利润不少于3000元，那么 政府每个月为他承担的总差价的取值范 围是多少？参考答案及解析 当且仅当名-铝即a=号6=号时取等号，是十 3 1 8 8 =(a十b)2+8(a+b)2 ab a+b2 ab a2+62 =2++8+0=10++ 16ab ab ab 2+P≥ /a+6.16a6 10+2√ab·a2+F =18,当且仅当 /a2+∥_16ab a=3+g 6 a=3-g 6 ab 或 时 a+b=1, 6=3= 6=3+E 6 取等号，所以+与。十言十。的最小值之 8 和为5+18=23. 15.解：(1)依题意得W(x)=0.2×1000x-R(x) 100=200x-R(x)-100, (2分) 当0<x<50时，W(x)=200x-(2x2+80x十200) -100=-2x2+120x-300: (4分) 当x≥50时，W(x)=200x-(201x+6400- 5200)-100=-（x+6400)+5100. (6分) x -2x2+120x-300,0<x50, 综上，W(x) -(x+640)+5100,x≥50. x (7分) (2)当0<x<50时，W(x)=-2x2十120x-300 -2(x-30)2+1500, 所以当x=30时，W(x)取得最大值，最大值为 W(30)=1500; (10分) 当x≥50时，w(x)=-(x+6400)+5100 x ≤-2√.640+5100=4940. x 当且仅当x=640,即x=80时等号成立， x 所以当x=80时，W(x)取得最大值，最大值为4 940, (14分) 又1500<4940， 所以当该公司2025年的年产量为80千只时，该公 司所获利润最大，最大利润是4940万元.(15分) 小练3一元二次方程、不等式 1.A【解析】由题得B={x|-1≤x≤3}，又A= {-2,-1,0,1,2,3,所以A∩B={-1,0,1,2,3.故 选A. 2.B【解析】关于x的不等式x2-ax十4>0在 (2,4)上有实数解，即a<x+生在(2,4)上有实数 解，由对勾函数的性质可知，函数f(x)=x十兰在 数学 (2,4)上单调递增，又f(4)=5,所以a<5,即实数a 的取值范围为（一o∞，5）.故选B. 3.A【解析】由题得△=(-2)2-4(-1)≥0，解得 1≤2.设方程x2一2x十m一1=0的两实根分别为 x1,x2,则x1十x2=2,x1x2=m-1>0,所以m>1.综 上，实数m的取值范围是(1,2].故选A. 4.C【解析】由题可得△=4(m-2)2-4(2+4)≥0， 解得m≤0，x1十x2=-2(m-2),x1x2=m2十4，因为 x1十x=x1x2+40,所以(x1十x2)=3x1x2十40，即 4(m-2)2=3(m2十4)十40，即m2-16m-36=0,解 得m=一2或m=18(舍).故选C. 5.D【解析】因为不等式ax2十bx-6<0的解集为 {x-3<x<2},所以-3,2是方程ax2十bx-6=0 b=-3+2, 的两个根，且a>0,所以 解得a=1, 6 =-3X2, a b=1,则不等式x2-bx-2a≥0即为x2-x一2≥0， 解得x≤-1或x≥2，所以不等式x2-bx-2a≥0的 解集为{xx≤-1或x≥2}.故选D. 6.A【解析】由题得[x2-2x十4]=[(x-1)]+3=3, 则[(x-1)]=0,所以0≤(x-1)2<1,则-1<x-1 <1,所以0<x<2.故选A. 7.A【解析】由不等式ax2+bx十c>0的解集为 fa>0, b二1· 《(x小x≠1}，得2a= 解得a=c>0,b= △=b2-4ac=0, 一2a,则a十b十c=0,充分性成立；当a十b十c=0时， 不能推出a=c>0,b=一2a,必要性不成立，所以“不 等式ax2十bz十c>0的解集为{x|x≠1}”是“a十b十 c=0”的充分不必要条件.故选A 8.C【解析】(ax一1)2<x2恰有两个整数解，即 [(a十1)x-1][(a-1)x-1]<0恰有两个整数 解，所以(a+1)(a-1)>0,解得a>1或a<-1.当 。>1时，不等式的解集为（中a),因为 (0,号)，所以两个整数解分别为1,2.则2<。一≤ 3,解得号<a<号：当a<-1时，不等式的解集为 (a十a),因为。∈(-之0)，所以两个整 数解分别为-1，-2，则-3≤<-2，解得 多<a≤-专综上，实数a的取值范围为 (-号-专]U[号号)故选心 9.BCD【解析】因为A={x|x2-x≤6}= {x|-2≤x≤3}，所以B={xy|x∈A,y∈A}= 数学 {x|-6≤x≤9}，所以A≤B,所以A∩B=A,AUB =B,故A错误，C正确；B∩Z中有6+1+9=16个 元素，故B正确：A∩Z中有2十1十3=6个元素，所 以A∩Z的子集个数为2=64，故D正确.故 选BCD. 10.ABC【解析】因为不等式x2十ax十b≤0(a,b∈R) 的解集为{xx1≤x≤x2},所以x,x2是方程x2十 ax十b=0的两个实数根，则△=a2-4b≥0，x1x2= b,x1十x2=-a,又|x1|+|x2|≤2，取a=-1,b= 0,则x1=0,x2=1,此时|a十2b|=1,故A错误；取 a=2,b=1,则x1=x2=一1，此时|a十2b=4,故B 错误；取a=0,b=一1，则x1=一1，x2=1,此时 1a=0,故C错误：6=x1x:≤()）≤ x+)≤1，故D正确.故选ABC, 2 11.BD【解析】对于A,当a=0时，不等式为x一2<0， 解得x<2,所以不等式的解集为{x|x<2},故A错 误；对于B,当a>0时，△=1十8a>0,方程ax2十x-2= 0的两个不等实根分别为=二1干8，，= -1十√干8领，且西<，所以不等式的解集为 2a {1<<+，故B正 2a 2a 确对于C,当-8<a<0时，4=1十8a>0,方程 ax2十x一2=0的两个不等实根分别为x1= -1-v√/+8 2a ,=1+年证，且>，所 2a 以不等式的解集为{红x<二1十中或 >1一中8@}，故C错误：对于D,当a<-8 .1 2a 时，△=1十8a<0,所以不等式的解集为R,故D正 确，故选BD. 12.3【解析】原不等式可变形为2二+1 x-2 3z-a-2≤0，等价于(3x-a-2)(x-2)≤0且x x-2 2≠0，因为原不等式的解集是[号2），所以“专- 号，则a=3, 3 13.(-3,0]【解析】当k=0时，原不等式为-8<0， 显然成立；当k≠0时，根据题意得 (k<0, 4=-8k·(-号)<0.解得-3<<0.综上， 实数k的取值范围为(-3,0]. 参考答案及解析 14.号【解析】由题意得△ADP≌△CBP,因为AD=x DP=y,所以PC=PA=√x+y,因为矩形ABCD 的周长为12+6√2，所以AD+DP+PC=x+y+ √+y=6+3√2，整理得xy=(27+18√2) (6+3√2)+y≤(27+18√2)-(6+6√2)· W√xy,当且仅当x=y时等号成立，所以（√y)2十 (6+6√2)√xy-(27+18√2)≤0，又√/xy>0,所以 0K可≤3，则0<xy9,所以Sam=罗≤号， 所以△ADP面积的最大值为号，此时x=y=3 15.解：(1)依题意可得，每件的销售利润为(x一10)元， 每月的销售量为(-10x十500)件， 所以每月获得的利润与销售单价x的函数关系 式为e=(x-10)(-10x十500)=-10x2+600x -5000,10x50, (3分) 对称轴为x=30,图象开口向下， 则利润w的最大值为(30-10)×(-10×30+500) =4000(元). (6分) (2)由每月获得的利润不少于3000元， 得=-10x2+600x-5000≥3000， 即x2-60x十800≤0，解得20≤x≤40， (9分) 因为这种节能灯的销售单价不得高于25元， 所以20≤x≤25. (10分) 设政府每个月为该大学毕业生承担的总差价为 p元， 则p=(12-10)(-10x十500)=-20x十1000， 由20x25,得500-20x十1000600， 所以政府每个月为该大学毕业生承担的总差价的取 值范围是[500,600]元 (13分) 小练4函数的概念及其表示 1.D【解析】由题意得 x20解得x≥号且x≠ x-2≠0， 2,即丽数(：)的定义城为{≥号且≠2故 选D. 2.B【解析】令t=1-x,则x=1-t,因为x≠0，所以 t≠1，所以f()=已=1)1 (1-t)2 1 (≠1)，所以f(x)=(x-1)-1(x≠1).故选B. 3.C【解析】由容器的形状可知，在固定的△t时间内， 随着t的增加，△y应该变小.故选C. 4.C【解析】f(2x-1)的定义域为(-1,2)，即-1< x<2,所以一3<2x-1<3,所以f(x)的定义域为 (-3,3),则对于f(1-x),有-3<1-x<3,解得 一2<x<4,所以∫(1-x)的定义域为(-2,4).故