小练2 等式性质与不等式性质、基本不等式-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 小练2等式性质与不 (考试时间：30分 选择题（单选每题5分，多选每题6分）】 1.(教材改编题)已知0<x<4,则√2x(6一x) 的最大值为 A合 B.√2 C.3√2 D.6 2.(教材改编题)已知a,b,m∈(0，十o),则 “。>6是b士m>么”的 a+m-a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(教材改编题)已知x∈(1，十∞)，则y= 一十4的最小值为 x一1 A.8 B.5 C.4 D.3 4已知0<a<且M=十。 1+a1+6N= 1+a一1千b则M,N的大小关系是 A.M=N B.M<N C.M>N D.不能确定 5.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄 金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员 先将5g的砝码放在天平的左盘中，取出 xg黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天 平左右盘清空后，再将5g的砝码放在天平 右盘中，再取出yg黄金放在天平的左盘中 使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给 顾客，则 A.x+y>10 B.x+y=10 C.x+y<10 D.以上都有可能 班级： 姓名： 等式性质、基本不等式 钟满分：88分) 6.(教材改编题)《几何原本》第二卷的几何代 数法（用几何方法研究代数问题）成了后世 西方数学家处理问题的重要依据，通过这 一原理，很多代数公理或定理都能够通过 图形实现证明，也称之为“无字证明”.如 图，点F在半圆O的圆周上，点C在直径 AB上，且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则 该图形可以完成的“无字证明”为 A生>而a>0.6>0 B.a2+b≥2√ab(a>0,b>0) C2画(a>0.b6>0 D≤@(a>0.b0) 7.(教材改编题)已知点P是以AB为直径的 圆上的任意一点，若AB=2,则PA+PB的 最大值为 A.2√2 B.3 C.32 D.4 8.设max{x,y,x}为x,y,x中最大的数.已知 正实数a,6,M=max8a,26,后元，则M 的最小值为 A.1 B.√2 C.2 D.4 9.(多选，教材改编题)下列说法错误的是 A.若a>b,则ac2>bc2 B.若ac2>bc2,则a>b C.若a>b,c>d,则ac>bd 山若。>6则←日 10.(多选)下列说法正确的是 7 A若<0则x+长-2 B.若x∈R,则x+2 z2 √/x2+1 C.若x≠0，则x+左≥2 1 D,若x>1,则(1+x)(1+)≥6 11.(多选，教材改编题)已知实数a,b满足 ab=a十b十3，则 A.a十b的取值范围是[6，十o∞) B.ab的取值范围是(-o∞，1]U[9,十o∞) C.a+2b的取值范围是(-∞，-4√2+3] U[4√2+3，+∞) D.(a一1)b的取值范围是R 12.(5分)给出下列五个论断：①b<0;②b> 0:③a<0,④a>6:⑤是<云以其中的两 个论断作为条件，一个论断作为结论，写 出一个正确的命题 ·(作答时，请 按“序号→序号”的格式书写) 13.(5分，教材改编题)用一段长为40m的篱 笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 22m,当这个矩形的长（平行于墙面的边） 为 m时，菜园的面积最大，最大 面积为 m2. 14.(5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 日+号与日+号+的最小值之和 为 5.(15分)为了进一步增强市场竞争力，某公 司计划在2025年利用新技术生产一款运 动手表，经过市场调研，生产该款运动手 表全年需投人固定成本100万元，每生产 x千只手表，需另投入可变成本R(x)万元， 2x2+80x+200,0<x<50, 且R(x)= 201x+6400-520,≥50. 根 据市场调研，每只手表的售价为0.2万 元，且该公司生产的手表当年能全部销 售完 (1)写出该公司2025年的利润W(x)(万 元)关于年产量x(千只)的函数关系式； (利润=销售额一固定成本一可变成本) (2)当该公司2025年的年产量为多少千 只时，该公司所获利润最大？最大利润是 多少？参考答案及解析 是无理数，则D(x)=0,D(D(x))=D(0)=1,所 以Hx∈R,D(D(x))=1,又-x∈R,则 D(D(-x))=1,所以D(D(-x))=D(D(x)), 所以D(D(x))是偶函数，故C正确：对于D,若x 是有理数，a∈Q,则a十x,a一x均是有理数，则 D(a十x)=D(a-x)=1;若x是无理数，a∈Q,则 a十x,a-x均是无理数，则D(a十x)=D(a一x)= 0,因此Hx∈R,Ha∈Q,D(a十x)=D(a-x),故 D正确.故选BCD. 13.(-1,十o∞)【解析】由题意得a+1>0,则a> -1,所以实数a的取值范围为(-1，十∞). 14.士√3或0【解析】由AUB=A,得m2∈A,所以 m2=3或m2=,解得m=士√3或m=0或m=1, 当m=1时，A=1,3,1},不符合集合中元素的互异 性，舍去，故m的值为士√3或0. 15.(1)a≥2或a-2 (2)-之<a<0(答案不唯-) (3)a<-2 【解析】(1)由方程x2十ax十1=0有实数根，得△= a2-4≥0，解得a≥2或a≤-2，所以“一元二次方程 x2十ax十1=0有实数根”的充要条件是“a≥2或a≤ -2” (2)因为方程(x-a)(x-a-1)=0有一个正实数根 和一个负实数银，所以：90.解得-1a<0: 故只需取一个更小的范围即为所求，所以“一元二次 方程(x-a)(x-a-1)=0有一个正实数根和一个 负实数根"的一个充分不必要条件可以是一号<a 0” △=a2-4>0, (3)根据题意得 -a>0, 解得a<-2,所以 1>0, “一元二次方程x十ax十1=0有两个不相等的正实 数根”的充要条件是“a<一2”. 16.45【解析】由题得集合A={(-1,0),(0,0),(1, 0),(0,-1),(0,1)},共有5个元素，即5个点，B= {(x,y)||x≤2，|y|≤2，x,y∈Z}中共有25个元 素，即25个点，如图所示， 。●2 3 10 3 ● -1 ·-2 -3 数学 ①当在集合A中取点(0,0)时，A⊕B中元素的个 数为25；②当在集合A中取点(1,0)时，集合B中的 25个点沿x轴向右平移1个单位长度，得到A⊕B 中相应元素的个数为25，再除去与①中重复的元 素，剩下(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3，-1)，(3，-2)，5个 元素；同理，当在集合A中分别取点（一1,0），(0， 1),(0,-1)时，各得到5个元素.综上，A⊕B中元 素的个数为25十4×5=45. 小练2等式性质与不等式性质、基本不等式 1.C【解析】因为0<x<4时，所以√2x(6-x)≤√2 ,十(6-)=32，当且仅当x=6-x,即x=3时 2 取等号，所以√2x(6-x)的最大值为3√2.故选C 2C【解折】牛积-欲品若a>6,又a, m∈(0，+∞)，则a十m>0,a-b>0,则m(a-2> a(a十m) 0所以牛>名，满足充分性：者牛>名，则 m(a-D>0,又a,b,m∈(0，十∞)，所以a十m>0, a(a十m) 所以a-b>0,则a>b,满足必要性，所以“a>b”是 b十m>b”的充要条件.故选C. a十na 8.B【解折1由题得=，中=x1+十1， x-1 4 因为x∈(1，十∞)，所以x-1>0,x与>0，所以 =-1++1≥2√-)十 4 x-1 1=5,当且仅当x一1=，即x=3时等号成立，所 以y=二十4的最小值为5.故选B x-1 4.C【解析】因为0<a<号，所以a>0,b>0,0<ab< 1,所以M-N=(。)-(异。中) 1-a+1-b=(1-a)(1+b)+(1+a)(1-b)= 1+a千1+b (1十a)(1十b) (1+a)1+b)>0,所以M>N.故选C 2(1-ab) 5.A【解析】设天平左臂长为a,右臂长为b,且a≠b≠ 0,则5a=6,a=6,即x=2,y=白，所以x十y a 器+色-5（合+台）2≥6×2=10，当且仅当a=6时 b a 等号成立，又a≠b,所以x十y>10.故选A. 6.D【解析】由题可知圆O的半径r=OF=OB= 2AB=,0c=10B-BC1=-6 数学 1,则在R△0F中，C=0C+OF (号)+（安）'-，因为0≤FC,所以 生√产，当且仅当a=6时取等号放进D 7.A【解析】根据圆的几何性质可得PA⊥PB,所以 PA十PB=AB=4,由基本不等式链可得√ab≤ 岁≤V,又PA,PB>0,所以A时P< 2 PA+PB=2,当且仅当PA=PB=E时等号 2 成立，则PA十PB≤2√2，所以PA十PB的最大值为 2√2.故选A. &C【解标】由M=mx8a.26,点高，得M≥8a. MC2b,ME,所以M+M≥8a+2b,则M>4a+ √ab b,因为MC二，所以M≥4如十，由基本不等式可 ab √/ab 得4a十b≥2√/4ab=4√ab,当且仅当4a=b时等号 成立，所以4十≥4，所以M≥4，则ME2,当8a ab 26=,即a=子b=1时，M取得最小值2.故 ab 选C. 9.ACD【解析】对于A,当c=0时，ac=bc2,故A错 误；易知B正确：对于C,取a=2,b=一1，c=0,d= -2,可得ac<bd,故C错误；对于D,当a>0>b时， >名放D结误，放述ACD 10.ABC【解析】对于A,若x<0,则x+ -[-+]≤-2W-0 :=一2，当 且仅当-=一子(<0)，即=-1时等号成立 故A正确：对于B,2+2=(x2+1)+1 √x2+1√/x2+1 √x2+1+ 、1之2.W/x2十1·1 =2 √x2+1 当且仅当√+1= ,即x=0时等号成立， π+1 故B正确：对于C,若工≠0，则+ |=计-=+向≥·同司 =2,当且仅当|x=文，即x=±1时等号成立， 参考答案及解析 故C正确：对于D,若x>1,取x=是，则 1+)(1+士)-号×号-要<6：放D错误.故 3 6 选ABC. 11.BC【解析】由ab=a十b十3，得(a-1)(b-1)= 4,a≠1,6≠1，则6=1十。高，所以a+6=a十1十 马=(a-10+A+2,当a-1>0时 (a-1)+。号+2≥2+2=6，当且仅当a=3时 取等号：当a-1<0时，(a-1)十。十2= -[1-a)+产]+2≤-4+2=-2，当且仅当 a=一1时取等号，所以a十b的取值范围是 (-oo,-2]U[6,十o∞)，故A错误；由A可得ab 的取值范围是(-∞，1]U[9,十∞)，故B正确： a+20=a+号+2=(a-10+十3，当a-1 >0时，a-1)+号+3≥26+3=4E+3,当 且仅当a=1十2√2时取等号：当a-1<0时， a-++8=-[1-)+吕]+8< -4√2+3，当且仅当a=1-2√2时取等号，所以a+ 2b的取值范围是(-∞，-4√2+3]U[4√2+3， 十∞)，故C正确；(a-1)b=a-1十4=a十3≠4，故 D错误.故选BC. 12.②③→⑤（或③④→⑤或②④→⑤，写出一个即可） 【解折】由②@-⊙.因为6>0a<0,所以日<分 由③④→回，因为a<0a>6,所以6<a<0,则日 古-品<0，所以日<行由@0→回，因为> ab 0,a>b,所以a>b>0,所以1-1=二4<0，所以 a b ab }<方故答案为②⑧→回或③0→0或@⑩ →⑤. 13.20200【解析】设矩形的长为xm,则0<x≤22， 菜园的面积为x.02≤名×(x十40-x)P= 2 200,当且仅当x=40-x,即x=20时等号成立，所 以当这个矩形的长为20m时，菜园的面积最大，最 大面积为200m2. 14.23【解析】因为a>0,6>0,且a十6=1，所以十 b.4g=5, -+=1++号≥1+2√会· a 参考答案及解析 当且仅当名-铝即a=号6=号时取等号，是十 3 1 8 8 =(a十b)2+8(a+b)2 ab a+b2 ab a2+62 =2++8+0=10++ 16ab ab ab 2+P≥ /a+6.16a6 10+2√ab·a2+F =18,当且仅当 /a2+∥_16ab a=3+g 6 a=3-g 6 ab 或 时 a+b=1, 6=3= 6=3+E 6 取等号，所以+与。十言十。的最小值之 8 和为5+18=23. 15.解：(1)依题意得W(x)=0.2×1000x-R(x) 100=200x-R(x)-100, (2分) 当0<x<50时，W(x)=200x-(2x2+80x十200) -100=-2x2+120x-300: (4分) 当x≥50时，W(x)=200x-(201x+6400- 5200)-100=-（x+6400)+5100. (6分) x -2x2+120x-300,0<x50, 综上，W(x) -(x+640)+5100,x≥50. x (7分) (2)当0<x<50时，W(x)=-2x2十120x-300 -2(x-30)2+1500, 所以当x=30时，W(x)取得最大值，最大值为 W(30)=1500; (10分) 当x≥50时，w(x)=-(x+6400)+5100 x ≤-2√.640+5100=4940. x 当且仅当x=640,即x=80时等号成立， x 所以当x=80时，W(x)取得最大值，最大值为4 940, (14分) 又1500<4940， 所以当该公司2025年的年产量为80千只时，该公 司所获利润最大，最大利润是4940万元.(15分) 小练3一元二次方程、不等式 1.A【解析】由题得B={x|-1≤x≤3}，又A= {-2,-1,0,1,2,3,所以A∩B={-1,0,1,2,3.故 选A. 2.B【解析】关于x的不等式x2-ax十4>0在 (2,4)上有实数解，即a<x+生在(2,4)上有实数 解，由对勾函数的性质可知，函数f(x)=x十兰在 数学 (2,4)上单调递增，又f(4)=5,所以a<5,即实数a 的取值范围为（一o∞，5）.故选B. 3.A【解析】由题得△=(-2)2-4(-1)≥0，解得 1≤2.设方程x2一2x十m一1=0的两实根分别为 x1,x2,则x1十x2=2,x1x2=m-1>0,所以m>1.综 上，实数m的取值范围是(1,2].故选A. 4.C【解析】由题可得△=4(m-2)2-4(2+4)≥0， 解得m≤0，x1十x2=-2(m-2),x1x2=m2十4，因为 x1十x=x1x2+40,所以(x1十x2)=3x1x2十40，即 4(m-2)2=3(m2十4)十40，即m2-16m-36=0,解 得m=一2或m=18(舍).故选C. 5.D【解析】因为不等式ax2十bx-6<0的解集为 {x-3<x<2},所以-3,2是方程ax2十bx-6=0 b=-3+2, 的两个根，且a>0,所以 解得a=1, 6 =-3X2, a b=1,则不等式x2-bx-2a≥0即为x2-x一2≥0， 解得x≤-1或x≥2，所以不等式x2-bx-2a≥0的 解集为{xx≤-1或x≥2}.故选D. 6.A【解析】由题得[x2-2x十4]=[(x-1)]+3=3, 则[(x-1)]=0,所以0≤(x-1)2<1,则-1<x-1 <1,所以0<x<2.故选A. 7.A【解析】由不等式ax2+bx十c>0的解集为 fa>0, b二1· 《(x小x≠1}，得2a= 解得a=c>0,b= △=b2-4ac=0, 一2a,则a十b十c=0,充分性成立；当a十b十c=0时， 不能推出a=c>0,b=一2a,必要性不成立，所以“不 等式ax2十bz十c>0的解集为{x|x≠1}”是“a十b十 c=0”的充分不必要条件.故选A 8.C【解析】(ax一1)2<x2恰有两个整数解，即 [(a十1)x-1][(a-1)x-1]<0恰有两个整数 解，所以(a+1)(a-1)>0,解得a>1或a<-1.当 。>1时，不等式的解集为（中a),因为 (0,号)，所以两个整数解分别为1,2.则2<。一≤ 3,解得号<a<号：当a<-1时，不等式的解集为 (a十a),因为。∈(-之0)，所以两个整 数解分别为-1，-2，则-3≤<-2，解得 多<a≤-专综上，实数a的取值范围为 (-号-专]U[号号)故选心 9.BCD【解析】因为A={x|x2-x≤6}= {x|-2≤x≤3}，所以B={xy|x∈A,y∈A}=