小练1 集合与常用逻辑用语-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练1集合与常用逻辑用语 (考试时间：30分钟满分：94分) 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 7.(教材改编题)我国运动健儿在巴黎奥运会 1.已知集合A={xx2-5.x≤6}，B={x|x< 上取得了傲人的成绩，获奖多多.为丰富学 2},则B∩(CRA) 生课余生活，拓宽学生视野，某中学积极开 A.(6,+∞) 展社团活动，要求每人都至少报名参加一 B.[6,+∞) 个社团，已知高一(1)班参加A社团的学生 C.(-∞，-1) 有17人，参加B社团的学生有21人，参加 D.(-o∞，-1] C社团的学生有22人，同时参加A,B社团 2.（教材改编题)命题“对任意的x∈R,x3一x2 的学生有3人，同时参加B,C社团的学生 +1≥0”的否定是 有4人，同时参加A,C社团的学生有7人， A.不存在x∈R,x3一x2+1≤0 三个社团同时参加的学生有1人，则高一 B.存在x∈R,x3-x2+1≤0 (1)班的学生总数为 C.存在x∈R,x3-x2+1<0 A.45人B.46人C.47人D.48人 D.对任意的x∈R,x3-x2+1>0 8.已知函数f(x)= 2·3-a-5,<0则 3.(教材改编题)已知集合A={xx是平行四 In(x2-4x-a);x-0, 边形}，B={xx是矩形}，C={x|x是正方 “-5<a<-4”是“f(x)有3个零点”的 形}，D={xx是菱形}，则 A.充要条件 A.A∈B B.充分不必要条件 B.C∈B C.必要不充分条件 C.D∈C D.既不充分也不必要条件 D.A∈D 9.(多选)下列说法不正确的是 4.若集合P={x∈Z-2≤x<m-m2}有6 A.0与{0}表示同一个集合 个非空真子集，则实数m的取值范围为 B.集合{1,2,3}与{3,2,1}是两个相同的 A.(0,1) 集合 B.[0,1) C.方程(x一1)2(x-2)=0的所有解组成 C.(0,1] 的集合可表示为{1,1,2} D.[0,1] D.集合{x4<x<5}可以用列举法表示 10.(多选，教材改编题)下列命题的否定为假 5.(教材改编题)设m,n∈R,若集合m,”,1 命题的是 ={n2,m十n,0},则m2025-n2025的值为 A.每个正方形都是平行四边形 A.-2B.-1 C.1 D.2 B.Hx∈(yy是无理数}，x3是无理数 6.(教材改编题)已知全集U=AUB={x∈N C.3m∈N,W√m2+1∈N 10≤x≤9}，A∩(CB)={2,4,6,8},则集 D.Ha∈R,关于x的方程x2一ax一1=0 合B= 有实数根 A.{1,3,5,7} 11.(多选)已知A,B为实数集R的非空子 B.{1,3,5,7,9} 集，则“AB”的必要不充分条件可以是 C.{0,1,3,5,7} A.A∩B=A B.A∩(CRB)=☑ D.{0,1,3,5,7,9} C.(CRB)(CRA)D.BU(CRA)=R 12.（多选)德国著名数学家狄利克雷第一个14.（5分)已知集合A={1,3,m},B= 引人了现代函数的概念，是解析数论的创 {m2,1},且AUB=A,则m的值为 始数的发现改变了数学家们对“函数是连 15.(15分)(1)“一元二次方程x2+ax+1=0 续的”的认识，也使数学家们更加认可函 有实数根”的充要条件是 数的对应说定义.关于函数D(x)= (2)“一元二次方程(x-a)(x-a-1)=0 1,x是有理数·下列结论正确的是 有一个正实数根和一个负实数根”的一个 0,x是无理数， 充分不必要条件可以是 A.D(x)是奇函数 (3)“一元二次方程x2十a.x十1=0有两个不 B.3x,yER,D(xy)=D(x)+D(y) 相等的正实数根”的充要条件是 C.D(D(x))是偶函数 16.(5分)已知集合A={(x,y)x2+y2≤1， D.Vx∈R,Ha∈Q,D(a+x)=D(a-x) x,y∈Z},B={(x,y)|x|≤2，y≤2，x, 13.(5分)已知区间M=[a,a十1]，且“Vx∈ y∈Z),定义集合A⊕B={(x1十x2,y十 M,x十1>0”是真命题，则实数a的取值 y2)(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B 范围为 中元素的个数为数学 参考答案及解析 参考答案及解析 小练1 集合与常用逻辑用语 g(x) 1.C【解析】由题得A={xx2-5x≤6}={x-1≤ x≤6}，则CA={x|x<-1或x>6},所以B∩ (CRA)=(-∞，-1).故选C. 2.C【解析】“对任意的x∈R,x3-x2十1≥0”的否定 是“存在x∈R,x3-x2十1<0”.故选C 3.B【解析】正方形是特殊的矩形，故C二B.故选B. 由图可知，当-5<a<-3时，直线y=a与g(x)的 4.A【解析】因为集合P={x∈Z-2≤x<m-m} 图象有3个交点.因为x2-4x-a>0对x≥0恒成 有6个非空真子集，所以集合P中有3个元素，分别 立，所以a<(x2-4x)im,x≥0，所以a<一4，所以当 为-2，-1,0，因此0<m-m2≤1，解得0<m<1,所 f(x)有3个零点时，-5<a<-4,所以“-5<a< 以实数m的取值范围为(0,1).故选A 一4”是“f(x)有3个零点”的充要条件，故选A. 5.B【解析】因为m,”,1}=m,m十，0)，所以 9.ACD【解析】0是元素不是集合，{0}表示以0为元 素的一个集合，故A错误：集合{1,2,3}与{3,2,1}的 =0, 构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正 m=m十，解得n=0 m 或/ns0, 当m=1时，不 确；方程(x一1)2(x一2)=0的所有解组成的集合可 m=1 m=-1, 表示为{1,2}，集合中的元素是不同的，故C错误：集 m2=1, 合{x|4<x<5}表示大于4且小于5的全体实数， 满足集合中元素的互异性，故m=一1，n=0,则 7m2025-2025=(-1)2025-02025=一1.故选B. 有无数个，无法一一列举出来，所以不可以用列举法 表示，故D错误.故选ACD. 6.D【解析】由A∩(CB)={2,4,6,8},可知2,4,6， 10.ACD【解析】对于A,显然每个正方形都是平行四 8只属于集合A,又全集U=AUB,画出Venn图如 边形，故该命题是真命题，所以该命题的否定是假命 图所示，结合Venn图可得B={0,1,3,5,7,9}.故 选D. 题；对于B,当x=2时，满足x∈{yy是无理数}， 但x3=2是有理数，故该命题是假命题，所以该命题 的否定是真命题；对于C,当m=0时，满足m∈N, 2,4 6,8 此时√m+1=1∈N,故该命题是真命题，所以该命 题的否定是假命题；对于D,对于方程x2一ax一1 7.C【解析】用card(A),card(B),card(C)分别表示 0,4=a十4>0恒成立，故该命题是真命题，所以该 参加A社团、B社团、C社团的学生形成的集合中的 命题的否定是假命题.故选ACD. 元素个数，则card(A)=17,card(B)=21,card(C)= 11.ABD【解析】由A∩B=A→A二BPAB,而A军 22,card(A∩B)=3,card(B∩C)=4,card(A∩C)= B→>A∩B=A,故A符合题意；由A∩(CkB)= 7,card(A∩B∩C)=1,所以card(AUBUC)= →A二BA≠B,而AB→A∩(CB)=⑦，故B card(A)+card (B)+card (C)-card(A B)- 符合题意；由(CB)至（CRA)→A手B,故C不符合 card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)=17+ 题意；由BU(CRA)=R→ACB本A手B,而AB→ 21+22-3-4-7+1=47,所以高一(1)班的学生总 BU(CkA)=R,故D符合题意.故选ABD. 数为47人.故选C. 12.BCD【解析】对于A,若x是有理数，则一x也是有 8.A【解析】由f(x)=0,得a= 2·3-5,x<0,令 理数，则D(x)十D(-x)=1十1=2≠0，因此 x2-4x-1,x≥0， D(x)不是奇函数，故A错误；对于B,当x=√2， )一径。作e)传国象，如日 y=3时，D(xy)=D(2X3)=D(W6)=0, 所示， D(x)=D(2)=0,D(y)=D(5)=0,此时 D(xy)=D(x)十D(y),故B正确；对于C,若x是 有理数，则D(x)=1,D(D(x))=D(1)=1;若x 参考答案及解析 数学 是无理数，则D(x)=0,D(D(x))=D(0)=1,所 ①当在集合A中取点(0,0)时，A⊕B中元素的个 以Hx∈R,D(D(x))=1,又-x∈R,则 数为25：②当在集合A中取点(1,0)时，集合B中的 D(D(-x))=1,所以D(D(-x))=D(D(x)), 25个点沿x轴向右平移1个单位长度，得到A④B 所以D(D(x))是偶函数，故C正确；对于D,若x 中相应元素的个数为25，再除去与①中重复的元 是有理数，a∈Q,则a十x,a一x均是有理数，则 素，剩下(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3，-1)，(3，-2)，5个 D(a十x)=D(a-x)=1;若x是无理数，a∈Q,则 元素；同理，当在集合A中分别取点（一1,0），(0， a十x,a-x均是无理数，则D(a十x)=D(a一x)= 1),(0,-1)时，各得到5个元素.综上，A⊕B中元 0,因此Hx∈R,Ha∈Q,D(a十x)=D(a-x),故 素的个数为25十4×5=45. D正确.故选BCD. 小练2等式性质与不等式性质、基本不等式 13.(-1,十o∞)【解析】由题意得a+1>0,则a> 1.C【解析】因为0<x<4时，所以√2x(6-x)≤√2 -1,所以实数a的取值范围为（一1，十∞）. 14.±3或0【解析】由AUB=A,得m2∈A,所以 .十(6-卫=32，当且仅当x=6-x,即x=3时 2 m2=3或m2=m,解得m=士√3或m=0或m=1, 取等号，所以√2x(6-x)的最大值为3√2.故选C 当m=1时，A={1,3,1},不符合集合中元素的互异 性，舍去，故m的值为士√3或0. 2C【解标】牛积-台-品若a>6.又a,6 15.(1)a≥2或a≤-2 m∈(0，十o∞)，则a+m>0,a-b>0,则m(a-2 a(a十m) (2)-之<a<0(答案不唯-) 0,所以牛阳>会，满足充分性：若牛阳>名，则 afm (3)a<-2 【解析】(1)由方程x2十ax十1=0有实数根，得△= m(a-2>0,又a,b,m∈(0，+∞)，所以a十m>0, a(a十m) a2-4≥0，解得a≥2或a≤-2，所以“一元二次方程 所以a-b>0,则a>b,满足必要性，所以“a>b”是 x2十ax+1=0有实数根”的充要条件是“a≥2或a≤ -2” b十m>b”的充要条件.故选C. a+m a (2)因为方程(x-a)(x-a-1)=0有一个正实数根 a0, 3.B【解标】由题得y-十=x-1十高十1， x-1 和一个负实数根，所以 a十10，解得-1<a<0, 4 故只需取一个更小的范围即为所求，所以“一元二次 因为x∈(1，+∞)，所以x一1>0，x-与>0，所以 方程(x-a)(x-a-1)=0有一个正实数根和一个 负实数根"的一个充分不必要条件可以是“一合<口 =-1+A+1≥2√-0…高+ x-1 0” 1=5,当且仅当x1=,即x=3时等号成立，所 △=a2-4>0, 以y=二十4的最小值为5.故选B (3)根据题意得 -a>0, 解得a<-2,所以 x-1 1>0, 4.C 【解析】因为0<a<名，所以a>0,6>00<ab< “一元二次方程x2十ax十1=0有两个不相等的正实 数根”的充要条件是“a<-2”. 1.所以M-N=(十。)-（异。中） 16.45【解析】由题得集合A={(-1,0),(0,0),(1, 1-a+1-b=(1-a)(1+b)+(1+a)(1-b) 0),(0,-1),(0,1)},共有5个元素，即5个点，B= 1+a 1+6 (1十a)(1+b) {(x,y)||x≤2，|y|≤2，x,y∈Z}中共有25个元 (1+a)1+b)>0,所以MN.故选C 2(1-ab) 素，即25个点，如图所示， 5,A【解析】设天平左臂长为a,右臂长为b,且a≠b≠ 0,则5a=a=56,即x=2y=的，所以x十y a +的=（号+台）≥X2=0,当且仅当a=6时 6 a 等号成立，又a≠b,所以x十y>10.故选A. 6.D【解析】由题可知圆O的半径r=OF=OB= 2 -3 AB=,0c=10B-BC1=-6 ·2·