精品解析： 浙江省宁波市2021-2022学年九年级下学期数学拓展卷（宋中、鄞外、钟中、古林）

2021学年第二学期初三数学拓展卷 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理 考试时间：60分钟 （一）选择题（每小题5分，共30分） 1. 已知a，b，c都是实数，并且a>b>c，那么下列式子中，正确的是（ ） A. ab>bc B. a+b>b+c C. a-b>b-c D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式的基本性质：在不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变；在不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；根据不等式的性质可得答案. 【详解】解： a，b，c都是实数，并且a>c， 当时， 故不符合题意； a，b，c都是实数，并且a>c， a+b>b+c，故符合题意； a，b，c都是实数，a>b>c， 当时， 故不符合题意； a，b，c都是实数，a>b， 当时， 故不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，解题的关键是熟练不等式的基本性质与利用特值法解题. 2. 已知实数，且满足，则的值为（ ） A. 23 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得是方程即的两个根，根据根与系数的关系可得，整理可得，，即得，，然后把所求的式子变形后整体代入即可求解. 【详解】解：∵，且满足， ∴是方程即的两个根， ∴， 整理，得，， ∴，， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简求值，由题意得出，，是解题的关键． 3. 若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（　　） A. ab= B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等积法得出ab=ch，根据勾股定理得出，从而得出答案． 【详解】根据题意可得：ab=ch ∴ 即 ∴ 即 故选C． 【点睛】本题主要考查的是直角三角形的勾股定理以及等积法，难度中等．根据答案和已知条件找出等量关系是解题的关键． 4. 若实数为常数，关于的不等式组的整数解只有8个，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式组可得解集为，再结合整数解只有8个，得到关于的不等式组，利用平方的非负性分别解不等式，最后确定a的值即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 不等式的组解集为， ∵不等式组的整数解只有8个，大于的连续整数从小到大前8个为、、、、、、、， ∴最大整数解为1， ， 解不等式，移项得， ， 又， ， 解得：， 解不等式，移项得， ， 对于实数，不等式恒成立， 综上可知，的值为1． 5. 已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点．当为整数时，（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：依题意知，，， 故，且， ， 于是， ∴， 又为整数， ∴， 故，， 故选B 6. 如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】 设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形， ∴G为PS的中点，即在点P运动过程中，G始终为PS的中点， ∴G的运行轨迹为△CSD的中位线， ∵CD=AB−AC−BD=6−1−1=4， ∴点G移动的路径长为×4=2. 故选B. 点睛：本题考查了轨迹，判断出Q的运行轨迹为△RKS的中位线是解题的关键. 设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形，判断出G的运行轨迹为△CSD的中位线，从而求出点G移动的路径长． （二）填空题（每小题5分，共30分） 7. 函数的自变量的取值范围是____________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据二次根式和分式有意义的条件，可得：， 解，得， 解，得，即， 综上可得，自变量的取值范围是且． 8. 在中，，，，若是边上的动点，则的最小值为_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】通过构造含角的直角三角形，将所求式子转化为，再利用垂线段最短确定最小值的位置，进而计算得到结果． 【详解】解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接． 在中，． ． ． 当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，此时和是对顶角， ， 在中，，，． ， ． ，． ． 是等边三角形． ． ． ． ． ． 即的最小值为． 9. 已知方程（其中a为非负整数）至少有一个整数根，那么________． 【答案】1，3，5 【解析】 【分析】 【详解】解 若，则，矛盾，故．原方程化为 ，即， ． 故当或5时，原方程至少有一个整数根，所以应填：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，是第一象限内双曲线上一点，连接并延长交轴于点，连接．若的面积是20，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点；若方程组无解则两者无交点．也考查了用待定系数法求一次函数的解析式． 设点坐标为，根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组可得到点坐标为点坐标为，再利用待定系数法确定直线的解析式为，直线的解析式为，于是利用轴上点的坐标特征得到点坐标为点坐标为，然后利用得到关于的方程，求出的值即可得到点坐标． 【详解】解：交轴于，如图， 设点坐标为， 解方程组得或， ∴点坐标为点坐标为， 设直线的解析式为， 把代入得，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 把代入得，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标为， ∵， ∴，解得， ∴点坐标为． 故答案为：． 11. 如图，、在矩形的边、上，，，，，则的长为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．在上截取，连接，在上截取，连接，设，根据矩形的性质可得，，，从而可得，，，，进而可得，，然后可证，，从而证明，再利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：在上截取，连接，在上截取，连接， 设， 四边形是矩形， ，，， ，， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， 或（舍去）， ， ， 故答案为： 12. 已知，且满足，则的值等于 _____．（表示不超过的最大整数） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义下的实数运算，解一元一次不等式． 根据已知条件可得，，，，，，从而可得的取值范围，进而可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵表示不超过的最大整数， ∴，，，的值为或， ∵共29项，和为18，且各项不减， ∴前11项为0，后18项为1， ∴，， ∴，，，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （三）解答题（第1题10分，第2题15分，第3题15分，共40分） 13. 如图，抛物线，顶点为，该抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，直线与轴交于点，求． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得出，过点C作，证得，则；计算，，，即可求解． 【详解】解：连接， 对于，当时，， ∴, ∴， ∵， ∴，， ∴，， 又, ∴； ∵直线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， 把，代入得：， 解得， ∴二次函数的表达式为， ∴， ∴顶点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线与轴交于点，则， ∴， ∴； 过点C作，则，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴； 过点A作， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP． （1）点B的坐标为　 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ； （2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？ （3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（6，4）；（） （2）当时，S有最大值 （3）存在，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，）符合条件 【解析】 【分析】 【详解】解：（1）延长NP交OP于H 矩形OABC 四边形CNHO是平行四边形 点B的坐标为（6，4） 由图可得，点P的横坐标=OH=CN=t,纵坐标=4-NP 即 点P的纵坐标=4-NP= 则点P的坐标围为； （2）∵S△OMP =×OM×， ∴S =×（6 -t）×=+2t． ＝（0 < t <6）． ∴当时，S有最大值． （3）存在． 由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4）， 则直线ON的函数关系式为：． 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：， 解方程组得 ∴直线ON与MT的交点R的坐标为． ∵S△OCN ＝×4×3＝6， ∴S△ORT ＝S△OCN ＝2． 当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1，如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，则S△OR1T1＝•RD1•OT ＝••b＝2． ∴， b =． ∴b1 ＝，b2 ＝（不合题意，舍去） 此时点T1的坐标为（0，）． ② 当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E，由①得点E的横坐标为，作R2D2⊥CN交CN于点D2，则 S△R2NE＝•EN•R2D2 =••＝2． ∴，b=． ∴b1＝，b2＝（不合题意，舍去）． ∴此时点T2的坐标为（0，）． 综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，）符合条件． 15. 定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边． （1）如图1，中，，，点O在边上，以为半径的恰好经过点B，求证：是的切圆． （2）如图2，中，，，是的切圆，且另外两条边都是的切边，求的半径． （3）如图3，中，以为直径的恰好是的切圆，是的切边，与交于点F，取弧的中点D，连接交于点E，过点E作于点H，若，，求和的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的半径为或 （3）， 【解析】 【分析】（1）通过证明圆心到三角形一边的距离等于半径来证明圆是三角形的切圆； （2）分圆心在边和边两种情况，利用相似三角形或三角形面积公式求解圆的半径； （3）先根据圆的性质和相似三角形求出的长，再利用角平分线性质和相似三角形求出的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是圆的半径， ∴与相切， ∵圆心O在边上， ∴是的切圆． 【小问2详解】 解：①当圆心O在边上，与，边相切于点M，N时， 如图，连接，，， ∵，是的切线， ∴，，又， ∴平分， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当圆心O在边上，与，边相切于点M，N时， 如图，连接，，，过点A作于点H， 设， ∵，是的切线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的半径为或． 【小问3详解】 解：如图，过E作于H，连接， ∵为的直径， ∴， ∵是的切圆，是的切边， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021学年第二学期初三数学拓展卷 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理 考试时间：60分钟 （一）选择题（每小题5分，共30分） 1. 已知a，b，c都是实数，并且a>b>c，那么下列式子中，正确的是（ ） A. ab>bc B. a+b>b+c C. a-b>b-c D. 2. 已知实数，且满足，则的值为（ ） A. 23 B. C. D. 3. 若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（　　） A. ab= B. C. D. 4. 若实数为常数，关于的不等式组的整数解只有8个，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点．当为整数时，（ ） A. 0 B. C. D. 6. 如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 （二）填空题（每小题5分，共30分） 7. 函数的自变量的取值范围是____________． 8. 在中，，，，若是边上的动点，则的最小值为_____________． 9. 已知方程（其中a为非负整数）至少有一个整数根，那么________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，是第一象限内双曲线上一点，连接并延长交轴于点，连接．若的面积是20，则点的坐标为_______． 11. 如图，、在矩形的边、上，，，，，则的长为_________________． 12. 已知，且满足，则的值等于 _____．（表示不超过的最大整数） （三）解答题（第1题10分，第2题15分，第3题15分，共40分） 13. 如图，抛物线，顶点为，该抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，直线与轴交于点，求． 14. 如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP． （1）点B的坐标为　 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ； （2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？ （3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 15. 定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边． （1）如图1，中，，，点O在边上，以为半径的恰好经过点B，求证：是的切圆． （2）如图2，中，，，是的切圆，且另外两条边都是的切边，求的半径． （3）如图3，中，以为直径的恰好是的切圆，是的切边，与交于点F，取弧的中点D，连接交于点E，过点E作于点H，若，，求和的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $