暑假巩固复习综合培优卷（杭州市适用）-2024-2025学年九年级下册数学浙教版

暑假巩固复习综合培优卷（杭州市适用） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列计算不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 3．（3分）在一个不透明的袋中装有4个小球，其中3个红球、1个黄球，这些小球除颜色外无其他差别，随机从袋中摸出两个小球，则两球恰好是一个黄球和一个红球的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则的长为（　　） A．π B． C． D． 5．（3分）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝2AC，则cos∠A的值为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABD＝54°，则∠BCD等于（　　） A．27° B．34° C．36° D．46° 7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，若CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，则AE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中y与x的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 … 关于此函数的图象和性质有如下判断： ①抛物线开口向下．②当x＞0时，函数图象从左到右上升． ③方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间． 其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C＝46°，则∠B的度数是（　　） A．21° B．22° C．27° D．28° 10．（3分）如图，在钝角三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC得中点D，AC的中点N，连接DN，DE，DF，下列结论：①EM＝DN；②S△CNDS四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF．其中正确结论的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．（4分）将数13445000000000用科学记数法表示为　 　． 12．（4分）填空题（写出下列各式分解因式的结果）： （1）ax﹣bx＝　 　； （2）2a3﹣8a＝　 　； （3）y3+2y2+y＝　 　． 13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数为　 　°． 14．（4分）函数yx的图象经过第 　 　象限，经过点（1，　 　）与点（ 　 　，0），y随x的增大而 　 　． 15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，AE＝BD，∠B＝∠CED，AE＝3，DE，则线段CE的长为　 　． 16．（4分）已知抛物线的顶点坐标为（2，3），且抛物线经过点（4，5），则该抛物线的解析式为 　 　． 三．解答题（共7小题，满分66分） 17．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）． （1）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1O； （2）在（1）的条件下，求点A旋转到点A1所经过的路径长（结果保留π）． 18．（8分）如图，∠CAB＝∠CBD，AB＝4，CB＝5，AC＝6，BD＝7.5． （1）求证：△CAB∽△DBC． （2）求CD的长． 19．（8分）某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲．要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首． 游戏规则如下，在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b．若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》；否则，演奏《彩云之南》． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数； （2）你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？ 20．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过点C作CG∥BD交AD的延长线于点G． （1）求证：CG是⊙O的切线； （2）若AB＝3，AD＝5，求AC的长． 21．（10分）在Rt△ABC中，a＝50，c＝50，解这个三角形． 22．（12分）如图抛物线y＝x2+4x+m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（x1＜x2）． （1）若AB＝6，求抛物线的解析式及顶点C坐标； （2）若M（x，y）为抛物线上一点，若﹣3≤x≤8，且点M的坐标y满足a≤y≤b，求b﹣a的值； （3）已知P（﹣4，﹣5），Q（1，﹣5）为坐标系内两点，连接PQ；若抛物线与线段PQ只有一个公共点，结合图象，直接写出m的取值范围． 23．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，点E在BC上，连接AE交BD于F，作FG∥BC交AC于G，连接BG，BG交AE于P． （1）求∠APG的大小； （2）连接CP并延长交AB于点K，如图2，若K恰好是AB的中点． ①求证：BE2＝CB•CE； ②直接写出的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列计算不正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【解答】解：A.x2，正确，不合题意； B．（）2＝7，正确，不合题意； C．﹣（）2＝﹣6，原式计算错误，符合题意； D．7，正确，不合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 2．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】数形结合；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】由∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，可判定△BCD∽△BAC，从而可得比例式，再将BC＝3，BD＝2代入，可求得BA的长，然后根据AD＝BA﹣BD，可求得答案． 【解答】解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴， ∵BC＝3，BD＝2， ∴， ∴BA， ∴AD＝BA﹣BD2． 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 3．（3分）在一个不透明的袋中装有4个小球，其中3个红球、1个黄球，这些小球除颜色外无其他差别，随机从袋中摸出两个小球，则两球恰好是一个黄球和一个红球的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】A 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球恰好是一个黄球和一个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两球恰好是一个黄球和一个红球的有6种情况， ∴两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为， 故选：A． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 4．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则的长为（　　） A．π B． C． D． 【考点】正多边形和圆． 【专题】与圆有关的计算；运算能力． 【答案】C 【分析】连接OA，OB，OC，求出∠AOF再用弧长公式列式计算即可． 【解答】解：连接OA，OB，OC，如图： ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠AOB＝∠BOC＝360°÷5＝72°，OB＝OC， ∵OF⊥BC， ∴∠BOF∠BOC＝36°， ∴∠AOF＝108°， ∴的长为π， 故选：C． 【点评】本题考查正多边形和圆，解题的关键是掌握弧长公式和求出所对的圆心角度数． 5．（3分）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝2AC，则cos∠A的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝2AC， 设AC＝k，则BC＝2k，由勾股定理得， ABk， ∴cosA， 故选：D． 【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解决问题的关键． 6．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABD＝54°，则∠BCD等于（　　） A．27° B．34° C．36° D．46° 【考点】圆周角定理． 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】C 【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB＝90°，继而求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣54°＝36°， ∴∠BCD＝∠A＝36°， 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，若CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，则AE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】C 【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D＝∠CBD，求出BC＝CD＝4，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE＝2CE，即可得出答案． 【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AB∥CD， ∴∠D＝∠ABD， ∴∠D＝∠CBD， ∴BC＝CD， ∵BC＝4， ∴CD＝4， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， ∴AE＝2CE， ∵AC＝6＝AE+CE， ∴AE＝4． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和等腰三角形的判定、平行线的性质等知识点，能求出AE＝2CE和△ABE∽△CDE是解此题的关键． 8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中y与x的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 … 关于此函数的图象和性质有如下判断： ①抛物线开口向下．②当x＞0时，函数图象从左到右上升． ③方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间． 其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【考点】图象法求一元二次方程的近似根；根的判别式；根与系数的关系；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点． 【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；数据分析观念． 【答案】B 【分析】根据表格数据求出顶点坐标，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2即可判断③． 【解答】解：∵x＝﹣1和x＝1时的函数值相同，都是2， ∴抛物线的对称轴为直线x0， ∴抛物线的顶点为（0，3）， ∴y＝3是函数的最大值， ∴抛物线的开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，即当x＜0时，函数图象从左到右上升， 所以①正确，②错误； ∵x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2， ∴方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间， 所以③正确． 综上所述：其中正确的结论有①③． 故选：B． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 9．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C＝46°，则∠B的度数是（　　） A．21° B．22° C．27° D．28° 【考点】切线的性质；圆周角定理． 【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】先根据切线的性质得∠OAC＝90°，再利用互余计算出∠AOC＝90°﹣∠C＝44°，由于∠OBD＝∠ODB，利用三角形的外角性质得∠OBD∠AOC＝22°． 【解答】解：∵AC是⊙O的切线， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∴∠AOC＝90°﹣∠C＝90°﹣46°＝44°， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， 而∠AOC＝∠OBD+∠ODB， ∴∠OBD∠AOC＝22°， 即∠ABD的度数为22°， 故选：B． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质． 10．（3分）如图，在钝角三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC得中点D，AC的中点N，连接DN，DE，DF，下列结论：①EM＝DN；②S△CNDS四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF．其中正确结论的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【考点】三角形综合题． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力． 【答案】D 【分析】由等腰直角三角形的性质和三角形中位线定理可得EM＝DNAB，故①正确；通过证明△CDN∽△CBA，可得S△ABC＝4S△CDN，可求S△CNDS四边形ABDN，故②正确；由“SAS”可证△EDM≌△DFN，可得DE＝DF，故③正确；由平行线的性质和三角形内角和定理可得∠EDF＝∠ANF＝90°，可证ED⊥FD，故④正确；即可求解． 【解答】解：∵△ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB， ∴AM＝BM＝EMAB，EM⊥AB， ∵点D是BC的中点，点N是AC的中点， ∴ND∥AB，DNAB， ∴EM＝DN，故①正确； ∵DN∥AB， ∴△CDN∽△CBA， ∴（）2， ∴S△ABC＝4S△CDN， ∴S四边形ABDN＝3S△CDN， ∴S△CNDS四边形ABDN，故②正确； 如图，连接DN，DM， ∵△AEC是等腰直角三角形，点N是AC的中点， ∴AN＝FNAB，FN⊥AC， ∵点D是BC的中点，AM＝BM， ∴DM∥AC， ∴四边形ANDM是平行四边形， ∴AM＝DN＝EM，AN＝DM＝FN，∠AMD＝∠AND， ∴∠EMD＝∠FND， ∴△EDM≌△DFN（SAS）， ∴DE＝DF，∠EDM＝∠DFN，故③正确； ∵DM∥AC， ∴∠EDM+∠EDF+∠NDF+∠AND＝180°， ∵∠DFN+∠FDN+∠DNA+∠ANF＝180°， ∴∠EDF＝∠ANF＝90°， ∴ED⊥FD，故④正确； 故选：D． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．（4分）将数13445000000000用科学记数法表示为　1.3445×1013　． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【专题】实数；数感． 【答案】1.3445×1013． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：13445000000000＝1.3445×1013． 故答案为：1.3445×1013． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．（4分）填空题（写出下列各式分解因式的结果）： （1）ax﹣bx＝　x（a﹣b）　； （2）2a3﹣8a＝　2a（a+2）（a﹣2）　； （3）y3+2y2+y＝　y（y+1）2　． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】整式；运算能力． 【答案】（1）x（a﹣b）； （2）2a（a+2）（a﹣2）； （3）y（y+1）2． 【分析】（1）提公因式x即可； （2）先提公因式2a，再利用平方差进行二次分解即可； （3）先提公因式y，再利用完全平方进行二次分解即可． 【解答】解：（1）ax﹣bx＝x（a﹣b）， 故答案为：x（a﹣b）； （2）2a3﹣8a＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2）， 故答案为：2a（a+2）（a﹣2）； （3）y3+2y2+y＝y（y2+2y+1）＝y（y+1）2， 故答案为：y（y+1）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数为　50　°． 【考点】圆周角定理． 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】50． 【分析】连接BC．利用三角形内角和定理求出∠B，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接BC． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°． ∵∠CAB＝40°， ∴∠B＝90°﹣∠CAB＝50°， ∴∠ADC＝∠B＝50°， 故答案为：50． 【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 14．（4分）函数yx的图象经过第 　一、三　象限，经过点（1，　　）与点（ 　0　，0），y随x的增大而 　增大　． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正比例函数的性质． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】一、三；；0；增大． 【分析】根据函数yx，可以写出该函数图象经过的象限，当x＝1时y的值和当y＝0时x的值，以及y随x的增大如何变化． 【解答】解：∵函数yx， ∴该函数图象经过第，一、三象限，y随x的增大而增大， 当x＝1时，y，当y＝0时，x＝0， 故答案为：一、三；；0；增大． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答． 15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，AE＝BD，∠B＝∠CED，AE＝3，DE，则线段CE的长为　5　． 【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】过点C作CF∥DE交AB的延长线于点F，设CE＝x，CF＝y，由DE∥FC可得，可表示BF．证明△ADE∽△CFB，可得，得出x与y的关系式①，可得，则可得出x与y的关系式②，联立①②可解出x得出答案． 【解答】解：过点C作CF∥DE交AB的延长线于点F， ∵AB＝AC，AE＝BD， ∴AD＝CE， 设CE＝x，CF＝y， ∵DE∥FC， ∴， ∴， ∴BF． ∵∠ABC＝∠CED， ∴∠AED＝∠CBF， ∵DE∥CF， ∴∠ADE＝∠BFC， ∴△ADE∽△CFB， ∴， ∴． ∴① ∵DE∥CF， ∴△ADE∽△AFC， ∴， ∴， ∴②． 由①②可得，． 整理得x2﹣3x﹣10＝0． 解得x＝5，x＝﹣2（舍去）． 故答案为：5． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行线的性质等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 16．（4分）已知抛物线的顶点坐标为（2，3），且抛物线经过点（4，5），则该抛物线的解析式为 　yx2﹣2x+5　． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】待定系数法；二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】yx2﹣2x+5． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，把点（4，5）代入即可求出a值，从而可得答案． 【解答】解：∵抛物线的顶点为（2，3）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3， ∵经过点（4，5）， ∴5＝a（4﹣2）2+3， 解得：a， ∴y（x﹣2）2+3x2﹣2x+5， 故答案为：yx2﹣2x+5． 【点评】本题考查了求抛物线的解析式的应用，解题的关键是掌握待定系数法，注意抛物线解析式的设法． 三．解答题（共7小题，满分66分） 17．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）． （1）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1O； （2）在（1）的条件下，求点A旋转到点A1所经过的路径长（结果保留π）． 【考点】作图﹣旋转变换；轨迹． 【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】（1）作图见解答过程； （2）π． 【分析】（1）将A，B分别绕O顺时针旋转90°得到A1，B1，再连接A1B1，A1O，B1O，△A1B1O即为所求； （2）由弧长公式可得点A旋转到点A1所经过的路径长． 【解答】解：（1）如图： △A1B1O即为所求； （2）点A旋转到点A1所经过的路径为圆周长的，如图： ∵A（﹣1，3）， ∴OA， ∴点A旋转到点A1所经过的路径长为． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换和求扇形的弧长，解题的关键是掌握弧长公式． 18．（8分）如图，∠CAB＝∠CBD，AB＝4，CB＝5，AC＝6，BD＝7.5． （1）求证：△CAB∽△DBC． （2）求CD的长． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】图形的相似；推理能力；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据AB＝4，CB＝5，AC＝6，BD＝7.5，可以得到AB与BC、AC与BD的比，再根据∠CAB＝∠CBD，即可证明结论成立； （2）根据（1）中的结论和相似三角形的性质，可以求得CD的长． 【解答】（1）证明：∵AB＝4，CB＝5，AC＝6，BD＝7.5， ∴，， ∴， 又∵∠CAB＝∠CBD， ∴△CAB∽△DBC； （2）由（1）知，△CAB∽△DBC， ∴， ∵AB＝4，CB＝5， ∴， 解得CD， 即CD的长是． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19．（8分）某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲．要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首． 游戏规则如下，在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b．若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》；否则，演奏《彩云之南》． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数； （2）你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？ 【考点】列表法与树状图法；游戏公平性． 【专题】概率及其应用；运算能力． 【答案】（1）共有8种等可能，列表见解析；（2）游戏公平，理由见解析． 【分析】（1）利用列表法解答即可； （2）利用计算概率的方法解答即可． 【解答】解：（1）按游戏规则计算两个数的和，列表如下： 从表中可以看出共有8种等可能； （2）我认为这个游戏公平，理由： 从表中可以看出共有8种等可能，其中和为奇数与和为偶数的等可能性各有4种， 所以P（和为奇数）＝P（和为偶数）， ∴这个游戏公平． 【点评】本题主要考查了列表法或树状图法，游戏的公平性，事件的概率，利用游戏规则正确列出表格是解题的关键． 20．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过点C作CG∥BD交AD的延长线于点G． （1）求证：CG是⊙O的切线； （2）若AB＝3，AD＝5，求AC的长． 【考点】切线的判定与性质；角平分线的性质；圆周角定理． 【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】（1）详见证明； （2）4． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，再由角平分线的意义和圆周角定理可求出∠BOC＝90°，得出OC⊥BD，最后由CG∥BD，得出OC⊥CG，进而得出结论； （2）由直径所对的圆周角为直角和角平分线的意义可得出△BCD是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BC、CD，再由三角形相似求出DC，进而求出AC． 【解答】证明：（1）如图，连接OC， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， 又∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC∠BAD＝45°， ∴∠BOC＝2∠DAC＝90°， ∴OC⊥BD， 又∵CG∥BD， ∴OC⊥CG， ∴CG是⊙O的切线； （2）∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°， 又∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴BC＝CD， 在Rt△ABD中，BD， 在Rt△BCD中，BC＝CDBD， ∵CG是⊙O的切线，CD是弦，AC是弦； ∴∠DCG＝∠DAC＝∠BAC，∠ACG＝∠ABC， ∵BC＝CD， ∴∠BAC＝∠DAC＝∠DCG， 又∵∠CDG是圆内接四边形ABCD的外角， ∵∠CDG＝∠ABC， ∴△ABC∽△CDG， ∴，即， ∴DG， 由∠ACG＝∠ABC，∠BAC＝∠DAC可得△ABC∽△ACG， ∴，即， 解得，AC＝4． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆周角定理、勾股定理相似三角形的性质和判断以及角平分线的意义等知识，掌握切线的判断方法是判断切线的关键，理解圆周角定理、勾股定理和相似三角形的性质和判断是得出正确答案的前提． 21．（10分）在Rt△ABC中，a＝50，c＝50，解这个三角形． 【考点】解直角三角形． 【专题】常规题型；解直角三角形及其应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】先用勾股定理求出b边的长，然后由a与b的关系确定角的度数． 【解答】解：b50． ∵a＝b， ∴∠A＝∠B＝45°． 因此：b＝50，∠A＝∠B＝45°． 【点评】本题考查的是解直角三角形，题目中告诉的是一条直角边和斜边，用勾股定理可以求出另一条直角边．得到是一等腰直角三角形，然后确定两个直角的度数． 22．（12分）如图抛物线y＝x2+4x+m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（x1＜x2）． （1）若AB＝6，求抛物线的解析式及顶点C坐标； （2）若M（x，y）为抛物线上一点，若﹣3≤x≤8，且点M的坐标y满足a≤y≤b，求b﹣a的值； （3）已知P（﹣4，﹣5），Q（1，﹣5）为坐标系内两点，连接PQ；若抛物线与线段PQ只有一个公共点，结合图象，直接写出m的取值范围． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点． 【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力． 【答案】（1）y＝x2+4x﹣5，C（﹣2，﹣9）． （2）100． （3）m＝﹣1或﹣10≤m＜﹣5． 【分析】（1）通过抛物线对称轴及AB＝6求出点A，B的坐标，然后将点坐标代入解析式求解． （2）根据抛物线开口方向及对称轴方程可得x＝﹣2时y取最小值，x＝8时y取最大值，进而求解． （3）分类讨论抛物线顶点落在PQ上，点P和点Q落在抛物线上的临界值，通过数形结合求解． 【解答】解：（1）∵y＝x2+4x+m， ∴抛物线对称轴为直线x2， ∵AB＝6， ∴A（﹣5，0），B（1，0）， 把（1，0）代入y＝x2+4x+m得0＝1+4+m， 解得m＝﹣5， ∴y＝x2+4x﹣5， 把x＝﹣2代入抛物线得y＝4﹣8﹣5＝﹣9， ∴点C坐标为（﹣2，﹣9）． （2）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣2，且8﹣（﹣2）＞﹣2﹣（﹣3）， ∴当x＝﹣2时函数取最小值，x＝8时函数取最大值， 把x＝﹣2代入y＝x2+4x+m得a＝﹣4+m， 把x＝8代入y＝x2+4x+m得b＝m+96， ∴b﹣a＝m+96﹣m+4＝100． （3）抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，抛物线顶点坐标为（﹣2，m﹣4）， 当抛物线顶点落在PQ上时，m﹣4＝﹣5， 解得m＝﹣1，满足题意． 把Q（1，﹣5）代入y＝x2+4x+m得﹣5＝1+4+m， 解得m＝﹣10， 把P（﹣4，﹣5）代入y＝x2+4x+m得﹣5＝16﹣16+m， 解得m＝﹣5， ∴﹣10≤m＜﹣5满足题意， 综上所述，m＝﹣1或﹣10≤m＜﹣5． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合的方法求解． 23．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，点E在BC上，连接AE交BD于F，作FG∥BC交AC于G，连接BG，BG交AE于P． （1）求∠APG的大小； （2）连接CP并延长交AB于点K，如图2，若K恰好是AB的中点． ①求证：BE2＝CB•CE； ②直接写出的值． 【考点】三角形综合题． 【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】（1）90°； （2）①证明过程见解析； ②． 【分析】（1）证明△ADF≌△BDG（SAS），由全等三角形的性质得出∠DAF＝∠DBG．则可得出结论； （2）①证出∠BAP＝∠APK．证明△CPE∽△CBP，由相似三角形的性质可得出，过点C作CH∥AB交BG的延长线于点H，证明△ABE≌△BCH（ASA），得出BE＝CH．证出CP＝CH＝BE，则可得出结论； ②求出，由平行线分线段成比例定理可得出，则可得出答案． 【解答】（1）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝45°， ∵D是AC的中点， ∴∠CBD＝45°，BD⊥AC，BD＝AD＝DC． ∵FG∥BC， ∴∠DFG＝∠CBD＝45°， ∴∠DFG＝∠DGF， ∴DF＝DG． ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝∠CDB＝90°． 在△ADF与△BDG中， ， ∴△ADF≌△BDG（SAS）， ∴∠DAF＝∠DBG． ∵∠DAF+∠AFD＝90°，∠AFD＝∠BFP， ∴∠DBG+∠BFP＝90°， 故∠APG＝90°． （2）①证明：∵∠APG＝90°，∠ABC＝90°， ∴∠PAB+∠ABP＝90°，∠PBE+∠ABP＝90°， ∴∠PAB＝∠PBC． ∵∠APB＝90°，K恰好是AB的中点， ∴AK＝BK＝PK， ∴∠BAP＝∠APK． 又∵∠APK＝∠CPE， ∴∠CPE＝∠PBC． 又∵∠PCE＝∠BCP， ∴△CPE∽△CBP， ∴， 即CP2＝BC•CE， 过点C作CH∥AB交BG的延长线于点H， ∴∠HCB＝90°． 在△ABE与△BCH中， ， ∴△ABE≌△BCH（ASA）， ∴BE＝CH． ∵CH∥AB， ∴， ∵BK＝PK， ∴CP＝CH＝BE， ∴BE2＝BC•CE； ②解：∵BE2＝BC•CE， ∴BE2＝BC•（BC﹣BE）， ∴BEBC（负值舍去）， ∴， ∵AB＝BC， ∴． ∵CH∥AB， ∴， ∴． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$