专题07 单项式和多项式乘法重难点题型汇编（九大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题07 单项式和多项式乘法重难点题型汇编 （七大题型） 【题型1：单项式乘单项式有关运算】........................................1 【题型2：单项式乘多项式有关运算】........................................2 【题型3：单项式乘多项式的应用】..........................................4 【题型4：多项式乘多项式有关运算】........................................7 【题型5：多项式乘多项式与图形面积】.......................................8 【题型6：多项式乘法中的规律性问题】......................................12 【题型7：多项式乘法中的化简求值】........................................16 【题型1：单项式乘单项式有关运算】 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照单项式乘单项式的运算法则，分别计算系数乘积、同底数幂的乘积，即可得到结果． 【详解】解： ． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方与单项式乘单项式，先利用积的乘方法则计算各部分的乘方，再单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解： 故选：C． 3．已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：B 【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 【答案】B 【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a，b，计算ab即可． 【详解】解：×3xy＝＝， ∴a+1＝5，b+1＝6， 解得a＝4，b＝5， ∴ab＝4×5＝20， 故选：B． 【点睛】此题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则． 【题型2：单项式乘多项式有关运算】 5．计算：__________． 【答案】 【详解】解：. 6．已知，则____________． 【答案】10 【分析】本题考查了单项式乘多项式，整体代入思想，掌握单项式乘多项式的运算法则是关键． 将代数式 展开为 ，然后利用已知条件 代入计算即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴ ． 故答案为：10． 7．计算_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； 直接根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ． 8．（1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以多项式，根据项式乘以多项式的运算即可求解，理解并掌握单项式乘以多项式的运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3） 故答案为：； （4） ； 故答案为：． 9．若，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，代数式求值，根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10．小花与小米在做游戏时，两人各报一个整式，将小花报的整式作为除式，小米报的整式作为被除式，要求商必须为． 若小米报的整式是 ，则小花应报的整式是______________． 【答案】 【分析】本题考查整式的除法及乘法，熟练掌握整式除法运算法则，正确列出代数式是解答的关键．根据被除式、除式和商的关系列出代数式，再利用整式乘法运算法则求解即可． 【详解】解：根据题意，小花报的整式为 ， 故答案为：． 【题型3：单项式乘多项式的应用】 11．如图从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式乘法的应用，理解拼图的过程，得出拼成长方形的长与宽是解决问题的关键．根据拼图的过程可得出长方形的长与宽，进而表示其面积即可． 【详解】解：由拼图可知，长方形的长为：cm， 宽为：（cm）， 所以长方形的面积为： 故选：D． 12．两个长为，宽为的长方形，按如图方式放置，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求阴影部分面积和整式乘法，关键是正确列出阴影部分与空白部分的面积，先表示出，，再根据题意得到等式，进行变形得出结论． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 13．定义一种新运算，那么的运算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查定义新运算，整式的乘法，根据定义的新运算，运用整式的乘法法则计算即可． 【详解】∵， ∴． 故选：B 14．已知，则代数式的值为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了代数式的整体代入求值，熟练掌握将代数式变形为含已知条件的形式并进行整体代入是解题的关键． 先将已知条件变形得到的值，再把代数式转化为含的形式，整体代入求值． 【详解】解：由 ，得 ． ∴． 故答案为：3． 15．如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)48平方米 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，正确表示出这两条小路的总面积是解题的关键． （1）这两条小路的总面积等于长为米，宽为b米的长方形面积加上长为米，宽为b米的长方形面积再减去边长为b米的正方形面积，据此求解即可； （2）把代入（1）所求式子中计算求解即可． 【详解】（1）解：两条小路的总面积为： 平方米； （2）解：当时， 平方米，即此时这两条小路的总面积为48平方米． 【题型4：多项式乘多项式有关运算】 16．计算：________； 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 17．计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，掌握算理是解决问题的关键．应用多项式乘法法则计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 18．若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出已给等式左边的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．已知，则______． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的运算，方法一：利用多项式乘以多项式法则计算得，则，再代入计算即可；方法二：把代入等式即可求解． 【详解】解：方法一：∵， ∴， ∴， ∴； 方法二：当时，， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型5：多项式乘多项式与图形面积】 20．若一个三角形的一边长为，这边上的高为，则它的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查多项式的乘法运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则以及三角形面积公式．首先根据“三角形面积底高”列出面积表达式，再利用多项式乘多项式的法则展开括号，合并同类项后乘以，最终得到化简结果． 【详解】解：根据三角形面积公式，该三角形的面积为： ； 故答案为：． 21．如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要类纸片的张数为______． 【答案】7 【分析】运用多项式乘多项式求得所拼长方形的面积进行求解． 【详解】解： ， 类纸片面积为， 需要类纸片的张数为． 22．一些平面几何图形的面积，可以用代数恒等式来表示． 例如：图①就可以用等式来表示该几何图形的面积． (1)请写出图②所表示的代数恒等式：__________________； (2)请写出图③所表示的代数恒等式：__________________； (3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）图（2）中，大长方形边长为，图形中包括了两个边长为x的正方形，三个边长为x、y的长方形，一个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式； （2）图（3）中，大长方形边长为，图形中包括了两个边长为x的正方形，五个边长为x、y的长方形，二个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式； （3）根据题意，画出长为，宽为的长方形，再将图形划分，利用面积关系说明等式． 【详解】（1）由图（2）的面积关系可知，； 故答案为； （2）由图（3）的面积关系可知，； 故答案为； （3）以长为，宽为画长方形，如图所示， 由图可知，． 23．【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，令x系数为0，即可求出m； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与x无关得出，即可得出答案； （3）设，由图可知 ，即可得到关于x的代数式，根据取值与x可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵多项式的值与x的取值无关 ∴ 解得： 故答案为：； （2）∵，， ∴ ∵的值与x无关 ∴，即； （3）由图可知 ， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴ ∴． 24．如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园． (1)请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）． (2)扩建后的花园面积比扩建前的花园面积多了多少？并求出当时增加的面积． 【答案】(1)平方米； (2)平方米；平方米． 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用． （1）扩建后的长方形的花园面积等于一个长为米，宽为米的长方形面积，据此列式求解即可； （2）用扩建后的面积减去原面积，进而将代入计算即可． 【详解】（1）解： 平方米， ∴扩建后的长方形的花园面积为平方米； （2）解： 平方米； 当时，原式（平方米）． 【题型6：多项式乘法中的规律性问题】 25．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示．这个图叫做“杨辉三角”， 请观察这些系数的规律，直接写出 ______．并说出第9行的第三个数是______． 【答案】 / 【分析】观察图表寻找系数变化规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它两侧的边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，进而可写出的结果；找出第三项的系数规律，进而可知第9行的第三个数． 【详解】解：由题意可得， 第三行的第三项为， 第四行的第三项为， 第五行的第三项为， 第六行的第三项为， ， 第九行的第三项为． 26．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将此表称为“杨辉三角”．如图所示，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，则的值是______． 【答案】36 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可知这列数满足，据此规律求解即可． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ， ， ， 故答案为：36． 27．宋代数学家贾宪发明了“贾宪三角”，“贾宪三角”可以看作是对两数和平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是_______． 【答案】64 【分析】本题考查了“贾宪三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解．由“贾宪三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， ••• 当时，展开式的项系数和为， 故答案为：． 28．观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：______． (2)猜想：＝______． (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式写成第5个等式即可； （2）根据已知等式所蕴含的规律写出猜想即可； （3）根据（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据上述规律，第5个等式：； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 以此类推，； （3）解：由（2）知，， ． 29．我们知道展开后等于，我们可以利用乘法法则将展开．如果进一步，要展开，，你一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢？我们不妨找找规律！如果将(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 上表就是我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著作的《黄帝九章算法细草》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角． (1)请根据上表写出，的结果． ______________；______________ (2)请你利用“杨辉三角“求出下式的计算结果： 【答案】(1)；． (2) 【分析】本题考查了杨辉三角的应用及二项式展开式的规律，解题的关键是利用杨辉三角确定二项式展开式的各项系数，结合展开规律进行运算． （1）根据杨辉三角得出的系数，按降幂、升幂展开；确定的系数，将、代入展开； （2）观察式子结构，逆用二项式展开公式，将式子转化为二项式的幂的形式计算． 【详解】（1）解：由杨辉三角，的系数为1，4，6，4，1， 故； 的系数为1，5，10，10，5，1，令，，则 ． 故答案为：；． （2）解：观察式子，其符合的形式，令，，则原式 ． 【题型7：多项式乘法中的化简求值】 30．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 31．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中． 【答案】(1)；64 (2)；-22 【分析】（1）先根据整式的混合运算法则化简，再把，代入化简后的结果中计算即可； （2）先根据整式的混合运算法则化简，再把代入化简后的结果中计算即可. 【详解】解：（1）原式 ． 当，时，原式． （2）原式 ． 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用整式的混合运算法则化简成为解题的关键. 32．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当时，原式． 33．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的乘法，整式的加减等运算，解题的关键是熟练掌握整式运算的法则．利用整式的乘法运算和加减运算对原式进行化简，然后将的值代入求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 34．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)，6 (2)， 【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法，多形式与多项式的乘法－化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据单项式与单项式的乘法法则化简，再把代入计算； （2）先根据多形式与多项式的乘法法则化简，再把代入计算． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解： ， 当时，原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 单项式和多项式乘法重难点题型汇编 （七大题型） 【题型1：单项式乘单项式有关运算】........................................1 【题型2：单项式乘多项式有关运算】........................................1 【题型3：单项式乘多项式的应用】..........................................2 【题型4：多项式乘多项式有关运算】........................................3 【题型5：多项式乘多项式与图形面积】.......................................3 【题型6：多项式乘法中的规律性问题】.......................................5 【题型7：多项式乘法中的化简求值】.........................................7 【题型1：单项式乘单项式有关运算】 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 【题型2：单项式乘多项式有关运算】 5．计算：__________． 6．已知，则____________． 7．计算_______． 8．（1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 9．若，则代数式的值是______． 10．小花与小米在做游戏时，两人各报一个整式，将小花报的整式作为除式，小米报的整式作为被除式，要求商必须为． 若小米报的整式是 ，则小花应报的整式是______________． 【题型3：单项式乘多项式的应用】 11．如图从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 12．两个长为，宽为的长方形，按如图方式放置，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则，满足（    ） A． B． C． D． 13．定义一种新运算，那么的运算结果为（    ） A． B． C． D． 14．已知，则代数式的值为________． 15．如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 【题型4：多项式乘多项式有关运算】 16．计算：________； 17．计算：__________． 18．若，则的值为______． 19．已知，则______． 【题型5：多项式乘多项式与图形面积】 20．若一个三角形的一边长为，这边上的高为，则它的面积为_____． 21．如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要类纸片的张数为______． 22．一些平面几何图形的面积，可以用代数恒等式来表示． 例如：图①就可以用等式来表示该几何图形的面积． (1)请写出图②所表示的代数恒等式：__________________； (2)请写出图③所表示的代数恒等式：__________________； (3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． 23．【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 24．如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园． (1)请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）． (2)扩建后的花园面积比扩建前的花园面积多了多少？并求出当时增加的面积． 【题型6：多项式乘法中的规律性问题】 25．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示．这个图叫做“杨辉三角”， 请观察这些系数的规律，直接写出 ______．并说出第9行的第三个数是______． 26．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将此表称为“杨辉三角”．如图所示，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，则的值是______． 27．宋代数学家贾宪发明了“贾宪三角”，“贾宪三角”可以看作是对两数和平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是_______． 28．观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：______． (2)猜想：＝______． (3)利用（2）中的结论，求的值． 29．我们知道展开后等于，我们可以利用乘法法则将展开．如果进一步，要展开，，你一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢？我们不妨找找规律！如果将(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 上表就是我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著作的《黄帝九章算法细草》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角． (1)请根据上表写出，的结果． ______________；______________ (2)请你利用“杨辉三角“求出下式的计算结果： 【题型7：多项式乘法中的化简求值】 30．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 31．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中． 32．先化简，再求值：，其中． 33．先化简，再求值：，其中． 34．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 1 学科网（北京）股份有限公司 $