精品解析：陕西西安市第八十五中学2025-2026学年度第二学期高二年级第一次月考数学试题

西安市第八十五中学 2025--2026学年度第二学期高二年级第一次月考数学试题 命题人：邓珊 一、单选题（每小题5分，共30分） 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 126 D. 63 4. 已知随机变量的分布列为，则等于(　　) A. B. C. D. 5. 已知随机变量，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 离散型随机变量X分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 02 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，共15分，全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 7. 下列函数是奇函数且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 8. 在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ） A. 若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B. 若，则 C. 在的展开式中，常数项为60 D. 的展开式中，的系数为5 9. 甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 10. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同选课方案共有________种（用数字作答）． 11. 函数在上的最大值是______． 12. 给如图所示的圆环涂色，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有红，黄、蓝、绿四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域的颜色不同，则不同的涂色方法有____种. 四、解答题（本题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. 已知平面向量，且. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 14. 如图，在四棱锥中，底面，，. （1）求证：平面； （2）若，，，求四棱锥的体积. 15. 会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60％，女会员占40％．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为． （1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率； （2）从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望． 16. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值； （2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； （3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市第八十五中学 2025--2026学年度第二学期高二年级第一次月考数学试题 命题人：邓珊 一、单选题（每小题5分，共30分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再根据交集运算求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 126 D. 63 【答案】C 【解析】 【详解】展开式的通项公式为， 令，则，因此的系数为. 4. 已知随机变量的分布列为，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分布列的性质求出的值，利用互斥事件概率的加法公式得，据此计算即得答案. 【详解】由，则，解得， 则. 故选：B 5. 已知随机变量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由正态曲线的对称性结合必要不充分条件的定义即可得到答案. 【详解】由知，可知，故，故成立； 反之，若，则，故为充要条件， 故选：C. 6. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由题设，则，A对； 由，则，联立， 所以，则，D错； ，B对； ，C对. 故选：D 二、多选题（每小题5分，共15分，全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 7. 下列函数是奇函数且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性的判断即可求解. 【详解】,,是奇函数，非奇非偶函数， 在单调递减，在单调递增，在上单调递减，在单调递减， 故既是奇函数，又在单调递减的函数有和， 故选：AD 8. 在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ） A. 若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B. 若，则 C. 在的展开式中，常数项为60 D. 的展开式中，的系数为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】对分奇偶讨论可求得判断A；令与，可求得的值判断B；利用展开式的通项公式求解判断C；求得中的与的系数即可判断D. 【详解】对于A，由二项式的系数的性质可知最中间项的二项式系数最大， 当为偶数时，最中间项只有一项，又第3项的二项式系数最大，故共为5项， 所以，解得， 当为奇数时，中间项有二项，又第3项的二项式系数最大， 所以可能第二项与第三项二项式系数相同都最大或第三项与第四项二项式系数相同都最大或， 此时或，解得或，故A错误； 对于B，令，可得， 令，可得，所以，故B正确； 对于C，二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以第5项为常数项且常数项为，故C正确； 对于D，展开式中的系数为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：赋值法是求解二项式定理中各项系数和的重要方法，求解展开式中的常数项的方法主要是利用展开式的通项公式求解. 9. 甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得. 【详解】依题意可得，，，， 所以，故A正确、B正确、C错误； ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（每小题5分，共15分） 10. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 【答案】64 【解析】 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 11. 函数在上的最大值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 12. 给如图所示的圆环涂色，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有红，黄、蓝、绿四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域的颜色不同，则不同的涂色方法有____种. 【答案】84 【解析】 【分析】根据四个区域涂颜色的种类数进行分类，分别计算出三类涂法的种类数，相加即可得出结果. 【详解】由题意可知：四个区域最少涂两种颜色，最多涂四种颜色，所以分以下三类： 当涂两种颜色时：A和C相同，B和D相同，共有种涂色方法； 当涂三种颜色时：分A和C相同和A，C不同两种情况，此时共有种涂色方法； 当涂四种颜色时：四个区域各涂一种，此时共有种涂色方法. 综上，不同的涂色方法有种. 故答案为：84 四、解答题（本题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. 已知平面向量，且. （1）求值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件化简得到，结合先平方再开方计算向量的模； （2）先计算，，最后根据计算即可. 【小问1详解】 由整理得，又， 代入得，解得， 则； 【小问2详解】 因为， 又， 所以. 14. 如图，在四棱锥中，底面，，. （1）求证：平面； （2）若，，，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直，可以得到线线垂直，再根据线垂直于两条相交直线，即可证明线面垂直； （2）先求出底面面积，再根据四棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 因为底面，平面，所以可得， 而，且，平面,平面 所以平面. 小问2详解】 设底面的面积为，则， 又因，，所以， 根据四棱锥的体积公式，由题意知, 所以， 所以四棱锥的体积为. 15. 会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60％，女会员占40％．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为． （1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率； （2）从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）根据二项分布的分布列及期望公式计算即可. 小问1详解】 记事件：会员为男会员，：会员为女会员，事件：对服务质量满意， 则由题可知，，，， 所以； 【小问2详解】 由题设及（1）知：服从分布， ， ， 0 1 2 3 所以：. 16. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值； （2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； （3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析,0.6 【解析】 【分析】（1）根据频率之和等于1求解； （2）根据超几何分布求解概率； （3）利用二项分布求分布列和数学期望. 【小问1详解】 根据频率之和等于1可得， ，解得. 【小问2详解】 由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于， 所以电池续航时间不少于35小时的电池有组， 电池续航时间少于35小时的电池有组， 所以从抽取的50组电池中任取2组， 恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为. 【小问3详解】 由（2）知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于 由题可知，随机变量服从二项分布，所以, 所以所有可能的取值有0,1,2， 所以 , 所以的分布列如下， 0 1 2 所以数学期望为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $