第8章 四边形 平行四边形的性质与判定 专项练习 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第八章 四边形 第八章 四边形 知识点1 平行四边形 平行四边形的判定（一） 1 计算大冲关 （难度等级 ） 1.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC，②AB=CD，AD=BC；③AB∥CD，AD=BC，④OA=OC，OB=OD，⑤AB∥CD，∠BAD=∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形的个数有 第1题图 第2题图 2.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（-3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t= 时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形． 3.如图，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，A（-4，0），B（0，8），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得到△OCD，直线AC、BD交于点E．点M为直线BD上的动点，点N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点M的坐标为 第3题图 第4题图 4.在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD=6cm，BC=10cm，M是BC上一点，且BM=4，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 5.如图，四边形ABCD中，AB=DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE=CF．连接BE，DF，若BE=DF．证明：四边形ABCD是平行四边形． 第八章 四边形 平行四边形的判定（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1数学课上，陈老师布置了一道题目：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的高，如果AB+BD=AC+CD，那么AB=AC吗？ 悦悦的思考： ①如图，延长DB至点E，使BE=BA，延长DC至点F，使CF=CA，连接AE、AF． ②由AD是EF的垂直平分线，易证∠E=∠F． ③由∠E=∠F，易证∠ABC=∠ACB． ④得到AB=AC． 如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB+AD=CD+CB． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 2.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 3.已知在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，且∠ADE=∠ABC，连接CE，过E作EM∥BC交CA延长线于M，连接BM． （1）求证：△BAD≌△CAE； （2）若∠ABC=30°，求∠MEC的度数； （3）求证：四边形MBDE是平行四边形． 第八章 四边形 角度问题 计算大冲关 （难度等级 ） 1.在平行四边形ABCD中，若∠A=115°，则∠C的度数为 2.在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C=3：6：3，则∠D的度数为 3.在平行四边形ABCD中，若∠A+∠B+∠C=280°，则∠B= 4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若AB=，AC=2，BD=4，则∠OAB+∠OBA的度数为 第4题图 第5题图 第6题图 5.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上．若AD=AE=BE，∠D=108°，则∠BAC== ． 6.如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，BE=BC，∠DEC=72°，则∠ABC= 7.如图1，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°． （1）若∠ABC=50°，求∠ADE的度数； （2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD． 8.如图，点E为平行四边形ABCD的边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于F． （1）求证：AD=CF； （2）若AB=2BC，∠B=70°，求∠F的度数． 9.【问题背景】如图，在▱ABCD中，∠ABC与∠BAD的平分线交于点P，点P恰好在边CD上． 【问题探究】求∠APB的度数； 【结论应用】若AD=10，AP=16，直接写出△ABP的周长为 ． 第八章 四边形 线段问题 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在▱ABCD中，ED=2，BC=5，∠ABC的平分线交AD于点E，则CD的长为 . 2.如图，在平行四边形ABCD中，AB=，AD=2，AC⊥BC．则BD= . 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图，在平行四边形ABCD中，EC平分∠BCD，交AB于点E，EA=3，EB=5，ED=4，则EC的长为 . 4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=3，∠B=60°，P为BC上一点，且AB=AP，则PD= . 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，在▱ABCD中，AB=8，AD=5，∠DAB，∠ABC的平分线分别交边CD于点E，F，则EF的长为 . 6.如图，平行四边形ABCD的周长为36cm，△ABC的周长为28cm，则对角线AC的长为 cm． 7.已知，在▱ABCD中，∠A的平分线交BC边于点E，若BC边被点E分为4和5两部分，则▱ABCD的周长为 . 8.如图，▱ABCD的周长是16cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的 周长比△AOB的周长多2cm． （1）求边AB，BC的长； （2）求AE的长度； （3）求▱ABCD的面积 9.如图，在▱ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接DF． （1）求证：△ABF是等边三角形； （2）过点F作FG⊥EC于G，若AD=1，AB=3，求DF的长度． 10.如图，平行四边形ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF=45°，点F在CD上，BF交CG于点E， 连接AE，AE⊥AD． （1）若BG=1，BC=，求EF的长度； （2）求证：△BCG≌△EAG； （3）直接写出三条线段CD，CE，BE之间的数量关系． 第八章 四边形 周长与面积问题（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，CD=6，BE=2，则平行四边形ABCD的周长是 ． 2.如图，在周长为30cm的▱ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为 cm． 第1题图 第2题图 3.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，AF与BE相交于点G，DF与EC相交于点H，若S△ABG=16，S△DHC=7，则四边形EGFH的面积为 ． 4.如图，E是▱ABCD内任意一点，连接AE、BE、CE、DE．若▱ABCD的面积是10，则阴影部分图形的面积是 ． 第3题图 第4题图 5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求△BOC的面积． 6.如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，AC与MN交于点O，且AO=CO，连接AN，CM． （1）求证：AM=CN； （2）已知：AC=8，MN=6，且MN⊥AC，求四边形AMCN的周长． 7.如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E． （1）求证：AF=DE； （2）若EF=1，▱ABCD的周长为46，求BC的长． 第八章 四边形 周长与面积问题（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F，▱ABCD周长为20，DE=4，DF=6，求▱ABCD的面积． 2.如图所示，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC=AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接EG． （1）若AE=2，CD=5，则△BCF的面积为 ；△BCF的周长为 ； （2）求证：BC=AG+EG． 3.▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，O为AE中点，连接BO并延长交AD于F，连接EF． （1）判断四边形ABEF的形状并说明理由； （2）若AB=2，∠D=60°，当△BFC为直角三角形时，求△BFC的周长． 4.如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=DC=4，AD=BC=8．延长BC到E，使CE=4，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0） （1）当t=3时，BP= ； （2）当t= 时，点P运动到∠B的角平分线上； （3）当0＜t＜6时，请用含t的代数式表示△ABP的面积S； （4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值． 平行四边形的判定（一）参考答案 1 1.解：①AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ②AB=CD，AD=BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ③AB∥CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形； ④OA=OC，OB=OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ⑤∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵∠BAD=∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD=180°， ∴AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； 答案：4 2.解：∵A（4，0），B（-3，2），C（0，2）， ∴OA=4，BC=3，BC∥x轴， ∵PC∥AQ， ∴当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形， 若0＜t＜时，BP=2t，PC=3-2t，AQ=t，此时3-2t=t，解得t=1； 若＜t＜4时，BP=2t，PC=2t-3，AQ=t，此时2t-3=t，解得t=3； 若4＜t＜时，BP=2t，PC=2t-3，OQ=3（t-4），AQ=4-3（t-4），此时2t-3=4-3（t-4），解得t=（舍去）； 若t＞时，BP=2t，PC=2t-3，OQ=3（t-4），AQ=3（t-4）-4，此时2t-3=3（t-4）-4，解得t=13； 综上所述，当t为1或3或13秒时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形． 答案：1或3或13． 3.解：∵A（-4，0），B（0，8）， ∴OA=4，OB=8， ∵将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD， ∴OC=OA=4，OD=OB=8，AB=CD， ∴∠ACO=∠ECB=∠CBE=45°， ∴∠CEB=90°， ∴∠AEB=∠CED，且CE=BE， 在Rt△ABE和Rt△DCE中， ∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）， ∴OD=OB=8， ∴D（8，0），且B（0，8）， ∴直线BD解析式为y=-x+8， 当M点在x轴上方时，则有CM∥AN，即CM∥x轴， ∴M点到x轴的距离等于C点到x轴的距离， ∴M点的纵坐标为4， 在y=-x+8中，令y=4可得x=4， ∴M（4，4）； 当M点在x轴下方时，同理可得M点的纵坐标为-4， 在y=-x+8中，令y=-4可求得x=12， ∴M点的坐标为（12，-4）； 综上可知M点的坐标为（4，4）或（12，-4）， 答案：（4，4）或（12，-4）． 4.解：①当点F在线段BM上，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t=4-2t，解得t=， ②当F在线段CM上，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t=2t-4，解得t=4， 综上所述，t=4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 答案：4s或s． 5.证明：在△BEA和△DFC中， ∴△BEA≌△DFC（SSS）， ∴∠EAB=∠FCD， ∴∠BAC=∠DCA， ∴AB∥DC， ∵AB=DC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 平行四边形的判定（二）参考答案 1 1.如图①，解：AB=AC， 理由如下：延长DB至点E，使BE=BA，延长DC至点F，使CF=CA，连接AE、AF． 则∠BAE=∠E，∠CAF=∠F， ∵AB+BD=AC+CD， ∴BE+BD=CF+CD，即DE=DF， ∴AD是EF的垂直平分线， ∴AE=AF， ∴∠E=∠F， ∴∠E=∠F=∠BAE=∠CAF， ∵∠ABC=∠E+∠BAE，∠ACB=∠F+∠CAF， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC． 如图②，证明：在DA的延长线上取点M，使AM=AB，在BC的延长线上取点N，使CN=CD，连接BM、DN， 则∠M=∠ABM，∠N=∠CDN， ∵AB+AD=CD+CB，且 AM=AB，CN=CD， ∴AM+AD=CN+CB，即DM=BN， 又∵AD∥BC， ∴四边形MBND是平行四边形， ∴MB=ND，∠M=∠N， ∴∠ABM=∠CDN， 在△ABM和△CDN中， ∴△ABM≌△CDN（ASA）， ∴AM=CN， ∵DM=BN， ∴DM-AM=BN-CN，即AD=BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 2.证明：∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F， ∴∠DEC=∠BFA=90°， 在Rt△ABF和Rt△CDE中 ∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）， ∴∠DCE=∠BAF， ∴AB∥CD， 又∵AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 3.（1）证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠BAC=180°-2∠ABC， ∵以AD、AE为腰做等腰三角形ADE， ∴AD=AE， ∴∠ADE=∠AED， ∴∠DAE=180°-2∠ADE， ∵∠ADE=∠ABC， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； （2）解：∵AB=AC， ∴∠ACB=∠ABC=30°， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE=30°， ∴∠ACB=∠ACE=30°， ∴∠ECB=∠ACB+∠ACE=60°， ∵EM∥BC， ∴∠MEC+∠ECD=180°， ∴∠MEC=180°-60°=120°； （3）证明：∵△BAD≌△CAE， ∴DB=CE，∠ABD=∠ACE， ∵AB=AC， ∴∠ABD=∠ACB， ∴∠ACB=∠ACE， ∵EM∥BC， ∴∠EMC=∠ACB， ∴∠ACE=∠EMC， ∴ME=EC， ∴DB=ME， 又∵EM∥BD， ∴四边形MBDE是平行四边形． 角度问题参考答案 1.解：∵∠ABC的平分线交AD于点E， ∴∠ABE=∠EBC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD， ∴∠AED=∠EBC， ∴∠ABE=∠AED， ∴AB=AE， ∵BC=5，DE=2， ∴AB=AE=5-2=3， ∴CD=AB=3， 故答案为：3． 2.解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=2，OB=OD，OA=OC， ∵AC⊥BC， 由勾股定理得：AC=＝3， ∴OC=12AC=1.5， 在Rt△BCO中，∠BCO=90°， ∴OB=， ∴BD=2OB=5， 故答案为5． 3.解：∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE=∠DCE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD， ∴∠BEC=∠DCE， ∴∠BEC=∠BCE， ∴BC=BE=5， ∴AD=5， ∵EA=3，ED=4， 在△AED中，32+42=52，即EA2+ED2=AD2， ∴∠AED=90°， ∴CD=AB=3+5=8，∠EDC=90°， 在Rt△EDC中，CE=． 故答案为：． 4.解：如图，过点D作DM⊥BC交BC的延长线于点M，过点A作AN⊥BC交BC于点N， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=2， ∴AB∥CD，AB=CD=2，AD∥BC， ∴AN=DM， ∵∠B=60°，AB∥CD， ∴∠DCM=∠B=60°， ∴∠CDM=90°-∠DCM=30°， ∴CM=CD=1， ∵∠B=60°，AB=AP， ∴△ABP是等边三角形，AN⊥BC， ∴BP=AB=2，∠BAN=30°， ∵BC=3， ∴PC=BC-BP=1， ∴PM=PC+CM=2， ∵∠BAN=30°，∠ANB=90°， ∴BN=AB=1， ∴AN=， 在Rt△PMD中，DM=√3，PM=2， PD=， 故答案为：． 5.解：∵平行四边形ABCD， ∴CD∥AB， ∴∠CFB=∠ABF， 又∠DAB，∠ABC的平分线分别交边CD于点E，F， ∴∠ABF=∠FBC， ∴∠CFB=∠CBF， ∴CF=BC， 同理可证：AD=DE， ∴DE+CF-DC=2AD-AB=EF=2． 故答案为：2． 6.解：∵▱ABCD的周长是36cm， ∴AB+AD=18m， ∵△ABC的周长是28cm， ∴AB+BC+AC=28cm， ∴AC=（AB+BC+AC）-（AB+AC）=28-18=10（cm）． 故答案为：10． 7.解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB． ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠BEA， ∴AB=BE，BC=BE+EC， ①当BE=4，EC=5时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2×（4+4+5）=26． ②当BE=5，EC=4时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2×（5+5+4）=28． 故答案为：26或28． 8.解：（1）∵对角线AC与BD交于点O， ∴OB=OD．又△AOD的周长比△AOB的周长多2cm， ∴AD=AB+2． ∵四边形ABCD是平行四边形，周长为16cm， ∴AB=CD，AD=BC， 设AD=x cm，则AB=（8-x）cm， 故x=8-x+2， 解得x=5， ∴AB=3cm，BC=5cm； （2）∵AC⊥AB，且E是BC边的中点， ∴在Rt△ABC中，AE＝12BC， 由（1）得，BC=5cm， ∴AE=2.5cm； （3）由（1）得，AB=3cm，BC=5cm， 又∵AC⊥AB， 根据勾股定理得AC＝＝4cm， ∴S▱ABCD＝AB×AC＝3×4＝12cm2． 9.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠DAB+∠ABC=180°， ∵∠ABC=60°， ∴∠DAB=120°， ∵AF平分∠DAB， ∴∠FAB=60°， ∴∠FAB=∠ABF=60°， ∴∠FAB=∠ABF=∠AFB=60°， ∴△ABF是等边三角形； （2）在▱ABCD中，AB∥CD，BC=AD=1，CD=AB=3， ∴∠DCF=∠ABF=60°， 在△ABF中，BF=AB=3， ∴CF=BF-BC=2， 在Rt△FGC中，∠GFC=30°， ∴CG=CF=1， ∴DG=CD-CG=2，FG=， ∴DF=． 10.解：（1）∵CG⊥AB， ∴∠AGC=∠BGC=90°， ∵BG=1，BC=， ∴CG＝＝2， ∵∠ABF=45°， ∴BG=EG=1， ∴EC=1， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠GCD=∠BGC=90°，∠EFC=∠GBE=45°， ∴CF=CE=1， ∴EF＝； （2）如图，延长AE交BC于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，AB=CD， ∵AE⊥AD， ∴∠AHB=∠HAD=90°， ∴∠BAH+∠ABH=∠BCG+∠CBG=90°， ∴∠GAE=∠GCB， 在△BCG与△EAG中， ∴△BCG≌△EAG（AAS）， （3）CD-CE=BE， ∵△BCG≌△EAG， ∴BG=GE，CG=AG， ∵∠BGC=90°， ∴BE=BG=GE， CE+BE=CD， ∵△BCG≌△EAG（AAS）， ∴AG=CG， ∴AB=BG+AG=CE+EG+BG， ∵BG=EG=BE， ∴CE+BE=AB=CD． 线段问题参考答案 1.解：∵∠ABC的平分线交AD于点E， ∴∠ABE=∠EBC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD， ∴∠AED=∠EBC， ∴∠ABE=∠AED， ∴AB=AE， ∵BC=5，DE=2， ∴AB=AE=5-2=3， ∴CD=AB=3， 故答案为：3． 2.解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=2，OB=OD，OA=OC， ∵AC⊥BC， 由勾股定理得：AC=＝3， ∴OC=12AC=1.5， 在Rt△BCO中，∠BCO=90°， ∴OB=， ∴BD=2OB=5， 故答案为5． 3.解：∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE=∠DCE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD， ∴∠BEC=∠DCE， ∴∠BEC=∠BCE， ∴BC=BE=5， ∴AD=5， ∵EA=3，ED=4， 在△AED中，32+42=52，即EA2+ED2=AD2， ∴∠AED=90°， ∴CD=AB=3+5=8，∠EDC=90°， 在Rt△EDC中，CE=． 故答案为：． 4.解：如图，过点D作DM⊥BC交BC的延长线于点M，过点A作AN⊥BC交BC于点N， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=2， ∴AB∥CD，AB=CD=2，AD∥BC， ∴AN=DM， ∵∠B=60°，AB∥CD， ∴∠DCM=∠B=60°， ∴∠CDM=90°-∠DCM=30°， ∴CM=CD=1， ∵∠B=60°，AB=AP， ∴△ABP是等边三角形，AN⊥BC， ∴BP=AB=2，∠BAN=30°， ∵BC=3， ∴PC=BC-BP=1， ∴PM=PC+CM=2， ∵∠BAN=30°，∠ANB=90°， ∴BN=AB=1， ∴AN=， 在Rt△PMD中，DM=√3，PM=2， PD=， 故答案为：． 5.解：∵平行四边形ABCD， ∴CD∥AB， ∴∠CFB=∠ABF， 又∠DAB，∠ABC的平分线分别交边CD于点E，F， ∴∠ABF=∠FBC， ∴∠CFB=∠CBF， ∴CF=BC， 同理可证：AD=DE， ∴DE+CF-DC=2AD-AB=EF=2． 故答案为：2． 6.解：∵▱ABCD的周长是36cm， ∴AB+AD=18m， ∵△ABC的周长是28cm， ∴AB+BC+AC=28cm， ∴AC=（AB+BC+AC）-（AB+AC）=28-18=10（cm）． 故答案为：10． 7.解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB． ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠BEA， ∴AB=BE，BC=BE+EC， ①当BE=4，EC=5时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2×（4+4+5）=26． ②当BE=5，EC=4时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2×（5+5+4）=28． 故答案为：26或28． 8.解：（1）∵对角线AC与BD交于点O， ∴OB=OD．又△AOD的周长比△AOB的周长多2cm， ∴AD=AB+2． ∵四边形ABCD是平行四边形，周长为16cm， ∴AB=CD，AD=BC， 设AD=x cm，则AB=（8-x）cm， 故x=8-x+2， 解得x=5， ∴AB=3cm，BC=5cm； （2）∵AC⊥AB，且E是BC边的中点， ∴在Rt△ABC中，AE＝12BC， 由（1）得，BC=5cm， ∴AE=2.5cm； （3）由（1）得，AB=3cm，BC=5cm， 又∵AC⊥AB， 根据勾股定理得AC＝＝4cm， ∴S▱ABCD＝AB×AC＝3×4＝12cm2． 9.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠DAB+∠ABC=180°， ∵∠ABC=60°， ∴∠DAB=120°， ∵AF平分∠DAB， ∴∠FAB=60°， ∴∠FAB=∠ABF=60°， ∴∠FAB=∠ABF=∠AFB=60°， ∴△ABF是等边三角形； （2）在▱ABCD中，AB∥CD，BC=AD=1，CD=AB=3， ∴∠DCF=∠ABF=60°， 在△ABF中，BF=AB=3， ∴CF=BF-BC=2， 在Rt△FGC中，∠GFC=30°， ∴CG=CF=1， ∴DG=CD-CG=2，FG=， ∴DF=． 10.解：（1）∵CG⊥AB， ∴∠AGC=∠BGC=90°， ∵BG=1，BC=， ∴CG＝＝2， ∵∠ABF=45°， ∴BG=EG=1， ∴EC=1， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠GCD=∠BGC=90°，∠EFC=∠GBE=45°， ∴CF=CE=1， ∴EF＝； （2）如图，延长AE交BC于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，AB=CD， ∵AE⊥AD， ∴∠AHB=∠HAD=90°， ∴∠BAH+∠ABH=∠BCG+∠CBG=90°， ∴∠GAE=∠GCB， 在△BCG与△EAG中， ∴△BCG≌△EAG（AAS）， （3）CD-CE=BE， ∵△BCG≌△EAG， ∴BG=GE，CG=AG， ∵∠BGC=90°， ∴BE=BG=GE， CE+BE=CD， ∵△BCG≌△EAG（AAS）， ∴AG=CG， ∴AB=BG+AG=CE+EG+BG， ∵BG=EG=BE， ∴CE+BE=AB=CD． 周长与面积问题（一）参考答案 1.解：∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE=∠CDE， ∵▱ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADE=∠CED， ∴∠CDE=∠CED， ∴CE=CD， 在▱ABCD中，CD=6，BE=2， ∴AD=BC=CE+BE=6+2=8， ∴▱ABCD的周长=6+6+8+8=28． 故答案为：28． 2.解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC、BD互相平分， ∴O是BD的中点． 又∵OE⊥BD， ∴OE为线段BD的中垂线， ∴BE=DE． 又∵△ABE的周长=AB+AE+BE， ∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD． 又∵▱ABCD 的周长为30cm， ∴AB+AD=15cm， ∴△ABE的周长=15cm， 故答案为：15． 3.解：如图，连接EF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴S△ABE=S△AEF，S△DEF=S△DEC， ∴S△ABG=S△EGF=16，S△DHC=S△EFH=7， ∴四边形EGFH的面积=16+7=23， 故答案为23． 4.解：过E作MN⊥BC，交BC于M，交AD于N，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴EN⊥AD， ∵S△AED=AD•EN，S△BCE=BC•EM， ∴S△ADE+S△BCE=AD•EN+BC•EM=BC•MN=平行四边形ABCD的面积=×10=5， ∴阴影部分的面积=5， 故答案为：5． 5.解：∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=8， 由勾股定理得：AC＝＝6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC＝OA＝AC＝×6＝3， ∴S△BOC＝BC•OC＝×8×3＝12． 6.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠OAM=∠OCN， 在△AOM与△CON中， ∴△AOM≌△CON（ASA）， ∴AM=CN； （2）∵AM=CN，AM∥CN， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∵MN⊥AC， ∴平行四边形AMCN是菱形， ∵AC=8，MN=6， ∴OA=4，OM=3， ∴AM=＝5， ∴四边形AMCN的周长=4×5=20． 7.证明：（1）∵四边形ABCD的平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC， ∴∠AFB=∠CBF，∠DEC=∠BCE， ∵BF平分∠ABC，CE平分∠BCD， ∴∠ABF=∠FBC=∠AFB，∠DCE=∠BCE=∠DEC， ∴AB=AF，DC=DE， ∴AF=DE； （2）∵▱ABCD的周长为46， ∴AD+AB=23， ∵EF=1， ∴2AB-AD=EF=1， ∴AB=8，AD=15， ∴BC=15． 周长与面积问题（二）参考答案 1.解：设AB=x，则BC=10-x， 根据平行四边形的面积公式可得4x=6（10-x）， 解之得，x=6． 则平行四边形ABCD的面积等于4×6=24． 2.（1）解：∵四边形ABCD，四边形CDEF是平行四边形， ∴AB=CD=5，CD=EF，AB∥CD， ∴AB=EF=5， ∴AE=BF=2， ∴AF=AC=3， ∵AB∥CD，AC⊥CD ∴AB⊥AC， ∴CF=，BC=， ∴△BCF的面积=BF•AC=×2×3=3， △BCF的周长=BF+BC+CF=； （2）证明：如图，在AD上取一点M，使得AM=AG，连接CM． ∵四边形ABCD，四边形EFCD都是平行四边形， ∴AB=CD=EF，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD， ∵AH⊥BC， ∴AH⊥AD， ∵AC⊥AB， ∴∠BAC=∠GAM=90°， ∴∠FAG=∠CAM， ∵AF=AC，AG=AM， ∴△FAG≌△CAM（SAS）， ∴∠ACM=∠AFG=45°，FG=CM． ∵∠ACD=∠BAC=90°， ∴∠MCD=45°=∠EFG， ∵EF=CD，FG=CM， ∴△EFG≌△DCM（SAS）， ∴EG=DM， ∴AG+EG=AM+DM=AD=BC． 即BC=AG+EG． 3.解：（1）四边形ABEF是菱形； 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AF∥BE， ∴∠FAO=∠BEO， ∵∠AOF=∠EOB，OA=OE， ∴△AOF≌△EOB， ∴AF=BE， ∴四边形ABEF是平行四边形； ∵AE平分∠BAD， ∴∠FAE=∠BAE， ∵∠FAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB， ∴BA=BE， ∴四边形ABEF是菱形． （2）∵∠BAE=∠B=60°， ∴∠CBF不可能为直角； 当∠BCF=90°时，BF=2OB=2，CF=，BC=3，此时△BFC的周长为3+3； 当∠BFC=90°时，BC=4，CF=2，BF=2，此时△BFC的周长为6+2； 所以△BFC的周长为6+2或3+3． 4.解：（1）∵动点P的运动速度为2单位/秒， ∴BP=2t， ∴当t=3时，BP=2×3=6， 故答案为：6． （2）∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AFB=∠CBF， 如图1，作∠ABC的角平分线交AD于F， ∴∠ABF=∠FBC， ∴∠ABF=∠AFB， ∴AF=AB=4， ∴DF=8-4=4， ∴点P运动到∠ABC的角平分线上时，BC+DC+DF=8+4+4=16， ∴t=16÷2=8， ∴当t=8时，点P运动到∠ABC的角平分线上； 故答案为：8； （3）∵BC+CD=8+4=12 ∴当0＜t＜6时，点P在BC上和CD上， 分两种情况讨论： ①当点P在BC上运动时，0＜t≤4，过点A作AM⊥BE， ∵∠B=60°， ∴在Rt△ABM中，∠BAM=30°， ∴BM=AB=3，AM=BM=3， 此时，S=S△ABP=×BP×AM=×2t×2=2t（0＜t≤4）； ②当点P在CD上运动时，4＜t＜6， △ABP的面积为定值，且等于平行四边形ABCD面积的一半， 此时，S=S△ABP=×BC×AM=×8×2=8（4＜t＜6）； 综上，S= （4）①当点P运动到∠BAD的角平分线上时， 连接AP，过点P作PM⊥AB，PN⊥AD， 此时PM=PN，即点P到四边形ABED相邻两边AB和AD的距离相等， ∵AD∥BC， ∴∠DAP=∠APB， 又∵AP平分∠BAD， ∴∠BAP=∠DAP， ∴∠BAP=∠APB， ∴BP=2t=BA=4， 解得：t=2， ②当点P与运动到CD边上时，过点P作PM⊥AD，PN⊥DE， 在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠ADC=60°， ∴∠DCE=∠B=60°， 又∵CD=CE=4， ∴△CDE是等边三角形， ∴∠CDE=60°， ∴∠ADC=∠CDE，即CD平分∠ADE， ∴当4≤t＜6时，点P在∠ADC的角平分线上运动，此时，点P到四边形ABED相邻两边AD和DE的距离相等． 综上：t=2或4≤t＜6时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $