甘肃武威市天祝藏族自治县第一中学等校（九师联盟）2026届高三下学期3月质量检测数学试题

高三数学参考答案、提示及评分细则 1.C由(x+1)(2-x)>0,得-1<x<2,所以AUB=[-1,2).故选C. 3-13-i=(3-i)(-1-i)=一4。-2=-2-i.故选D. 2D由i-得=-名品 2 8B由1a+b一5，得a+2ab+=3,结合1a=6l=1,得ab,所以cosa,b)=又a,b∈[0，x,所 以a与b的夹角为于.故选B 4D法1，由fa)=分得a=g子所以-a=g,即3=4，所以(-a）-合故选D 法2)+1(。=写是写品升+中=1，所以水-a)=1)=1号号放选D 5.B法1，设{a,}的公差为d,由a十u,=20,得2a,=20,即a6=10.由S,=28,得7a,a)_7X2a=7a:=28,所以 2 2 4,=4,所以d=a二4=10)4=3，所以a1=a6十5d=10+15=25.故选B 6一42 (a1+2d)+(a+8d)=20, ,a1+5d=10, 法2：设{am}的公差为d,由题意，得 7a+7d=28. 即{ 解得d=3,a1=-5.所以a1=a十 {a1+3d=4. 10d=-5+10×3=25.故选B. 6.C由题意知圆心C(0,1),直线l过定点D(1,0),|CD|=√2，当1⊥CD时，|AB|最小，此时|AB|=2√/4-(2) =22,即|AB|的最小值为2√2.故选C. 7.A记AC∩BD=O,P在平面ABC上的射影为点F,则F在AE上，连接CF.由 PF⊥平面ABC,PA=PC,可得AF=CF,又BO是线段AC的中垂线，所以F在 BO上，即AE∩BO=F,因为三棱锥P-ABC外接球的表面积为8π，所以该球的半 D 径为2，又OP=OA=OC=OB,所以OP=OA=OC=OB=√2；因为E为BC的中 B--6 点.0为AC的中点，所以F为△Mc的重心，所以OF=号0B=号AB=BC=2, E PF=VOP-OP-青所以三棱锥P-AC的体积V=吉5x·PF=甘×2×号-号故选A 2 8.Cf)=c0s2,则-1≤f(m)<1,-1≤f(a)<1,所以号≤1 f(2)+3二，若存在西，2，满足f（）十 1 3 =3,则当且仅当f()=1,f(x2)=-1时等号成立，所以21=2k1π(k1∈Z),22=π十2k2x(k2∈Z), f)+ 解得=1x1∈Z)=受十x(:∈ZD,所以m=-m=受：g()=f(号)-3f(分）=0s3- 3cos x,cos 3x=cos (2x+x)=cos 2xcos x-sin 2xsin x=(2cos2x-1)cos x-2sin2xcos x=2cos.r-cos x- 2(1-cos2x)cosx=4cos2x-3cosx,所以g(x)=cos3z-3cosx=4c0sx-6cos,令cosx=1,当x∈[0,5]时，1的 取值范围是0,1].令h)=4t-6(1∈[0,1门)，则()=12-6，当(0，号)时，h()<0,h()单调递减：当 1E(受，)时，A)>0,h(单调递增，所以1)m=A(号）=4X(号)广-6×受-=-22，所以gx在0，m止的 【3月30日·数学参考答案第1页（共6页）】 X 最小值为一22.故选C 9.ABD对于A,因为a∈N,其极差为9，所以a一1=9，所以a=10,故A正确：对于B,M中共5个数，5×80%=4，则 80%分位数是从小到大排列后第4个数和第5个数的平均数，因为80%分位数是6，则士8=6，解得Q=4,故B正确； 对于C,由1+2+3+a+8=3,解得a=1,故C错误：对于D,M的平均数为3，所以M的方差为}[1-3)+(2-3)2 5 +(3-3)2+(1-3)2+(8-3)2]=6.8,故D正确.故选ABD. 10.ACfx+1)+4=号(x+1)°-(x+1)-3(x+1)-号+4=号e-4,显然y-fx+1)+4是奇函数，所以A 正确：f(x)=x2-2x一3=(x十1)(x-3),易得f(x)在（一∞，一1），(3，十∞)上单调递增，在(-1,3)上单调递 减，所以f(x)在x=3处取得极小值，故B错误；f(4)=5,f(4)=-7,故曲线y=f(x)在点(4，f(4))处的切线方 程为y一（一7）=5(x一4)，即5x一y一27=0，故C正确：由上知f(x)在x=-1处取得极大值号，由f(x)=专，得 x=-1或x=5,所以若f(x)在（一2，a)上存在最大值，则a满足-1<a≤5，故D错误.故选AC. 1山.ACD由题意知一号=-1，解得力=2，故C的方程为)y2=4,F(1,0):设A(n),B(为).对于A,因为 |FA=3,由抛物线的定义，得1十=3，解得x1=2,又y>0,听=8，所以”=22，此时1的斜率为2,20=22， 2-1 故A正确；设l的方程为x=y十1，代入C的方程并化简，得y2一4my一4=0，所以y十2=4m,y2=一4，所以 SD=号|DF|M一为=√(y+2)2-42=√I6m+16≥4，所以不存在直线，使得Sm=号，故B错 误；若△A'AF为等边三角形，则l的斜率为3，此时l的方程为√3x一y一√3=0，所以点D到l的距离d= -,由上知△ABD的百积为V=√6信)+16-景所以号Ad-号·解得 W(3)2+(-1)2 |AB-9,故C正确：易得∠AFB'=受，之|AF·BF=Sm=合|DFIn-为=Sam=4,所以 |AF|·B'F|=8√3，故D正确.故选ACD, 12.121展开式的通项为T+1=C()》(2)=C-52专=2C→，=01,2，…，5当=0,2,4时，T x5,T3=40.x2,T6=80.x,其系数和为1十40十80=121. 13.(1,2]法1：双曲线C:若-若=1(a>0.>0)的右顶点A(a,0),不妨取渐近线方程为y=合x,设M(m,0) 则i-(a-n,巴）)，流-(3a-,-),由di·M=0,得(a-m)(3am)+怎m=0,整理得(1+号)m -4na十3x=0,由题意知该关于m的方程有解，所以△=16d-41+）·3x≥0，可得a>36=3(2-a2),即 3≤如，所以=后<2，又>1，所以1<2，即C的离心率的取值范图是(1,2] 法2：由MA·MB=0知，点M在以AB为直径的圆D:(x-2a)2+y2=a2上，由题意知，C的渐近线与圆D有公共点， 所以D到C的渐近线bx±ay=0的距离满足2b≤a,即2w≤c,所以4(C-a)≤，所以3≤4a,所以≤ √62+a2 2等又>1，所以1<2等，即C的高心*的取值他有为(1,2] 'a<b<a十b, 14.3(3分)3X2-3+2-2(2分)a<b<a2<b2<as台a<b<a+b<ab<a+2b台a+b<ab,曰 ab<a+26, 【3月30日·数学参考答案第2页（共6页）】 X 0<a<b, 0<ab. O<a<b, a十b-ab-1<-1,(a-1)(1-b)<-1,(a-1)(b-1)>1,考虑到a,b∈N°，分情况讨论： ab-a-2b+2<2, (a-2)(b-1)<2, (a-2)(b-1)<2, 0<a<2, (1)若b-1=1,则a-1>1,a无解： a-2<2, 0<a<3, (2)若6-1=2.则a-1>号，所以6=3a=2: a-2<1, r0<a<k+1, (3)若b-1=k(k≥3)，则a-1>友， 所以b=k+1≥4，a=2. a-2×, 综上，b=k(k≥3，k∈N*),a=2. 3 由a.十1=，得3+（m-1D=b:2,所以=2-m十又b>a=2,b∈N,所以21-m十1=1，b=3.此时 m=21,所以41十a2十…+am=2m+m(m01DX3=2+多X21(21-1)=3×22:3+2. 2 2 15.（1)解：由asin2B=2sinA及b=2,得A2 sin Beos B b 由正弦定理，得AB b ………4分 所以cosB=号，又B∈(0，x),所以B=吾 6分 (2)证明：由(1)知∠ABC=等，因为∠ABM=音，所以∠CBM=否， …7分 由SN+Saaw=Sur及BM=5,得号c·BMsin∠ABM+7a·BMsin∠CBM= 2 acsin∠ABC, 所以a十c=ac, …9分 由余弦定理，得=a2十c2-2 accos B,即4=(a+c)2-3ac,… 10分 所以(a十c)2-3(a十c)=4,解得a十c=ac=4, 11分 所以a=c=2,又b=2,所以△ABC为等边三角形， 又∠ABM=∠CBM,所以BM⊥AC.… 13分 16.I)证明：连接BD,因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=,所以△BCD为正三角形， 又E为BC的中点，所以DE⊥BC,… 1分 因为AD∥BC,所以AD⊥DE. 因为DE⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以AD⊥DE, …3分 又DE,DEC平面DED,且DE∩DE=E,所以AD⊥平面DDE,·5分 又ADC平面ADD,所以平面ADD⊥平面DDE.…6分 (2)解：由(1)知EB,ED,ED1两两垂直，以E为原点，直线EB,DE,ED分别为 x轴，y轴，之轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,一√3,0)， D(0,-√3,0)，D1(0,0,3),C(-1,0,0),B(1,0,0),又CC=BB=DD= D 【3月30日·数学参考答案第3页（共6页）】 X 0w5),所以G(-1w3w3),B1w35),r(-1,）, 所以DA=(2,0,0),DD=(033),DB=(1,N3,0), =(-1号，-) ………… 9分 (m.DA=0, 2x=0, 设平面ADD的一个法向量m=(x,y,之)，则 即 令y=1,解得x=0,心=一1， m·DD,=0,w3y十√3x=0, 所以m=(0,1,-1).……11分 n·DB=0, a+√5b=0, 设平面BDF的一个法向量n=(a,b,c),则 即 令b=1,解得a=-√3，c=3, n…DF=0, 2c=0, 所以n=(一5,1,3).…13分 =26 设平面ADD,与平面BDF的夹角为0，则os0=Tm·n2X√13， m·n 2 所以平面ADD,与平面B,D,F的夹角的余弦值为2 13 ，…15分 17.解：Df(x)的定义域为(-2，十)，且了(x)=a2x+ 2=a(2.x+1)-2 2.x+1 …】分 当a<0时，f(x)<0在(-，+∞)上恒成立，所以f()在(-号，十∞)上单调递减： …3分 当。>0时.令f(x)>0,得>-合：令fx)<0,得-合<日-之，所以fx在(-白，日-言)上单调递 减：在（日之，十o∞）上单润递增。… …5分 e27 e2r (2)由x[0,+o∞)，fx)≤2x,得2++ln1+2x)-ax-1≥0， 4ceer 2 令g)=2有十lh1+2x)-ax-1≥0)，则g(x)=2x千i)+斤2x …7分 令h()=g(x),则M'(x)=4xe4D=（2+D≥4x2z+D4x+)(2+D=16r (2.x+1)3 (2x+1)3 (2+1)≥0， 所以h(x),即g(x)在[0，十o∞)上单调递增，从而g(x)≥g(0)=2-a.…8分 当2-a≥0，即a≤2时，g'(x)≥0，则g(x)在[0，十o∞)上单调递增，从而g(x)≥g(0)=0, 此时符合题意；…… …9分 当2-a<0,即a>2时，g(0)=2-a<0. 设(x)=e-x2(x>1),则p'(x)=e-2.x,令m(x)=p'(x),则m'(x)=e-2>0,则m(x),即p'(x)在 (1,十o∞)上单调递增，所以p'(.x)>p'(1)=e-2>0,从而(x)在(1，十∞)上单调递增，所以(x)>p(1)=e-1> 0,故e>x2(x>1). …11分 4(号+1)e+ 又g(号+1)-a+3)+2 +a3a>2at2》a+2y+2 (a+3)2 十34 -w+62+17a+22>0, (a+3)2 由零点存在定理及g()在[0，十o∞)上单调递增可知存在唯一的∈(0，号十1)，使得g()=0,…13分 所以当0<x<时，g'(x)<0,则g(x)在(0，o)上单调递减，从而g(x)<g(0)=0,此时不符合题意. 综上，a的取值范围为（一o∞，2]. …15分 【3月30日·数学参考答案第4页（共6页）】 X 18解：1)设5的坐标为c,0),由题意知后-号所以a=5c, 又a2=}十c2,所以b=√2c,… …2分 将=c代人号+苦=1，得号+苦=1所以1=名=后 a√3 …3分 所以m∠ARR-要-号，又/A∈(o,受)所以∠A-君 …4分 由椭圆的对称性知∠AFB=于， …5分 (2因为D0,2)为C的上顶点，所以=2，c=2,所以c一巨，所以a=6+=6,所以C的方程为号+-1. …6分 (1)若k1=1,k2=-2,则直线DM,DN的方程分别为y=x十2，y=一2x+2, y=x+2, 得5x2+12x=0,所以xM= =1, 号所以w=一号所以M(-号，-号)，同理可求得N(号，一9）， ………9分 所以直线（的斜率为 _12_12 ,所以1的方程为y+号=一(+号)， 4 57 即x十4y十4=0.……11分 y=kx十m, (i)设直线1的方程为y=kx十m(m≠士2)，M(M),N(2),由z上， 消去y并整理，得(2+3k)x2 6+4 =1, +6mk.x+3m2-12=0, 则△=36k2m2-4(2+3k2)(3m2-12)=24(6k2-m2+4)>0, 且x十x2= 3k2+22.2=3m2-12 6mk 3k+2, 13分 由k18=-1,得k1=(k+m=2)(k+m_2)=+m=2)n+》k+m=2) ℃1C2 x12 =k2十 (m-2)(3+2) （n-2)2 3n2-12 =k-2k+m-2)(3ke+2) 3m2-12 m+2 3(m+2) 3k2+2 3k2+2 2m-4 3(m+2) 15分 解得m= 号，满足△>0，所以直线1的方程为y一x一号故1过定点E(0,一号)， 由题意知点P在以DE为直径的圆上，所以当点Q为线段DE的中点(O,青)时，PQ=号DE=号，为定值。 … 17分 19.(①)解：初始状态X,=2,即2个在线、3个宕机第1个月选中在线节点的概率为号，此时X=2:选中宕机节点的概率 为子，其中修复成功的概率为p=号，此时X=3:修复失败的概率为号，此时X=2。 所以P(X=2)=+×号-号，P(X=3)=×号- ，…2分 PX:=3X=2)=多×日-号P(X:=3X=3)=号+号×号-0 【3月30日·数学参考答案第5页（共6页）】 X 所以P(X2=3)=P(X1=2)·P(X2=3|X1=2)+P(X1=3)·P(X2=3|X=3) 故当=吉时，P(X:=3)=3 4分 (2)证明：由题意知X+1=2,3,4,5, 所以P(X1=2)=P(X.=2)[号+号1-p)]-(1-碧)P(X.=2) …5分 PX1=3)-[号+号1-p)]P(X=3)+号pPX,=2)=(1-)P(X=3+2p(X=2).6分 P(X1=4)=[号+号1-p)]P(X,=4)+号P(X.=3)=(1-考)P(X=4)+P(X=3),…7分 PX1=5)=[g+g1-p)]p(X.=5)+号pp(X.=)=P(X.=5)+鲁P(X,=4,…8分 所以E(X+1)=2·P(X+1=2)十3·P(X+1=3)十4·P(Xn+1=4)+5·P(X+1=5) =(2+碧)P(X.=2)+(3+号)P(X,=3)+(4+号)P(X,=40+5P(X,=5. …9分 因为P(Xn=2)十P(Xn=3)+P(Xm=4)+P(Xn=5)=1, 所以p=p·[P(X.=2)十P(X.=3)十P(X。=4)+P(X。=5)], …10分 所以(1-号)E(X)+p=(1-号)[2P(X。=2)+3P(X=3)+4P(X,=4)+5P(X,=5)]+p =(2-)P(X,=2)+(3-号)P(X,=3)+(4-号)p(X.=40+(5-p)P(X.=5)+力·[P(X=2)+ P(X=3)+P(X=4)+P(X.=5)] =(2+号)P(X=2)+(3+)P(X.=3)+(4+)P(X=4)+5P(X,=5), 所以E(X+1)=(1-卡)E(X.)+p. …11分 (3)解：因为E(X)=(1-号)E(X.)+p,设E(X+1)十入=(1-卡)[E(X,)+], 所以E(X+1)+入=(1-号)E(X)+入-卡入， 所以-号A=p,A=-5,E(X+1)-5=(1-卡)[E(X.)-5], 所以{EX)-5}是以1-专为公比的等比数列， 13分 E(X)=2,E(X)-5=-3,EX)=2[号+号1-p)]+3号=2+号p, 故E(X)-5=号p-3=-3(1-号)， 所以EX.)-5=[EX)-5(1-号)》=-3(1-号)”. 所以E(X.)=5-3(1-号）”，… 15分 第n个月的期望宕机节点数为5-E(X)=5-[5-3(1-)]=3(1-)”, 每台宕机节点每月损失2万元，故第n个月的经济损失的期望为2×3(1-)》”=6(1-卡)八. 设从第1个月开始的n个月的经济损失的总期望为L, --专」-门元 …17分 1-(1-) 【3月30日·数学参考答案第6页（共6页）】 X高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A={x(x十1)(2-x)>0},B={x|-1≤x≤1}，则AUB= A.(-∞，1]U(2,+∞) B.(-1,1] C.[-1,2) D.（-1,2) 2已知复数：满足i-则：= A.-2+2i B.-2-2i C.-2+i D.-2-i 3.已知单位向量a,b满足|a十b=√3，则a与b的夹角为 A晋 B号 c等 n 4已知函数f)=若fa)=号，则f(-a) A.1o B号 c D号 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3十ag=20,S,=28,则a1 A.19 B.25 C.30 D.33 6.已知直线l:mx十y一m=0(m∈R)与圆C:x2+(y-1)2=4交于A,B两点，则|AB|的最小值为 A√2 B.3 C.2√2 D.23 【3月30日·数学第1页（共4页）】 X 7.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，将△ACD沿直线AC折起至△ACP处，使得点P在平面 ABC上的射影在直线AE上，若三棱锥P-ABC外接球的表面积为8π，则三棱锥P-ABC的体积为 AS B.1 C16 9 8.已知函数f(x)=cos2x,存在x1,x2,满足f(x1)+一 广2)+33.设m=|—2m,函数g() f(x)一3f(分x),则g(x)在区间[0，m]上的最小值为 达是 A.1-√2 B.1-√3 C.-2√2 D.-2cos 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a∈N,记一组数据1,2,3，a,8为M,则 A.若M的极差为9，则a=10 B.若M的80%分位数是6，则a=4 C.若M的平均数为3，则a=2 D.若a=1,则M的方差为6.8 10.已知函数fa)=3x-2-3x-号则 A.y=f(x十1)十4为奇函数 B.3是f(x)的极大值点 C.曲线y=f(x)在点(4，f(4))处的切线方程为5x一y一27=0 D.若a>-1,则f(x)在(-2，a)上存在最大值 11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(-1,0)为C的准线上一点，过F的直线l与C交于 A,B两点(A在第一象限)，过A,B分别向C的准线作垂线，垂足分别为A',B,则下列命题正确的是 A.若|FA=3,则1的斜率为2√2 B存在直线1，使得△ABD的面积为号 C若△AAF为等边三角形，则AB1=9 D.若△ABD的面积为43，则|A'F|·|B'F|=83 【3月30日·数学第2页（共4页）】 X 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(侵+2丘)的展开式中所有奇数项的系数和为 13.已知双画线C导芳-1(。>0,6>0)的右顶点为A,点B(3a,0.若在C的新近线上存在点M,使得 MA·MB=O,则C的离心率的取值范围是 14.已知等差数列{an}的公差为b,等比数列{bn}的公比为a,a1=a,b=b,其中a,b∈N·,若a1<b<a2 <b2<a3,且存在m,n∈N,使得am+1=bn,则b= ；a1十a2十…十am= .(用n 表示) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin2B=2sinA,b=2. (1)求B; (2)若M为边AC上一点，∠ABM=若，BM=3,证明：BM LAC. 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱柱ABCD-A,B,CD,中，四边形ABCD为菱形，∠DAB=5,E为棱BC的中点， DE⊥平面ABCD,且DE=DE. (1)证明：平面ADD1⊥平面DDE; (2)若AB=2,F为棱CC1的中点，求平面ADD1与平面BD1F的夹 角的余弦值 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=a.x+1-ln(2x+1)(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； e2 (2)若Hx∈[0，+∞)，f(x)≤21求a的取值范围， 【3月30日·数学第3页（共4页）】 X 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C:后+芳-1（®>6>0）的离心率为号，左，右焦点分别为F,R,过上，且与x轴垂直的直 线交C于A,B两点. (1)求∠AFB的大小： (2)若D(0,2)为C的上顶点，斜率为k的直线l与C交于M,N两点（异于C的上、下顶点），记直线 DM,DN的斜率分别为k1,k2. (1)若k1=1,k2=-2,求l的方程： (ⅱ)若k1k2=一1，过D作l的垂线，垂足为P,是否存在点Q,使得|PQ为定值？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由。 日京容可酒齿强在进行纸共合艺鲜盛共层本：张数，一 19.(本小题满分17分) 某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点.初始时有2个节点在线（假设在线的不再宕机）， 3个为宕机（停摆，不能正常工作）.每个月系统随机等概率地巡查1个节点：若该节点为宕机，则修 复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为(0<p<1);若该节 点已在线，则仅进行维护.用X。表示第n个月后在线节点数，E(X.)表示其数学期望. (1)当p=3时，求P(X2=3): (2)证明：E(X+1)=(1-号)E(X,)+p: (3)已知每个宕机节点每个月会造成2万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第1个月开始的 n个月内的经济损失的总期望， 【3月30日·数学第4页（共4页）】 X