8.1 平方根（第一课时 讲练）-2025-2026学年七年级下册数学同步讲练+课时分层检测（人教版）

本讲义聚焦“平方根”核心知识点，系统梳理平方根的概念、表示方法、开平方运算及性质（正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根），通过概念理解、求平方根、代数式平方根等五种题型构建递进式学习支架，衔接综合练习形成完整知识链。 资料设计融入“方法技巧”“易错警示”等模块，结合典例与变式练习培养学生推理意识和运算能力，综合练习覆盖选择、填空、解答题，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识，体现数学思维与应用意识，有效提升学习效果。

8.1 平方根（第一课时） 内容导航 知识点一 平方根的概念和性质 1 题型1 平方根概念的理解 1 题型2 求一个数的平方根 2 题型3 求代数式的平方根 2 题型4 已知一个数的平方根求值 3 题型5 利用平方根解方程 3 综合练习 4 知识点一 平方根的概念和性质 平方根的概念和开平方 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根或二次方根。 ∵ ∴9的平方根是 表示方法 正数的正的平方根记为,读作“根号”，叫做被开方数，正数的负的平方根可以用-表示，正数的平方根可以用±表示,读作“正、负根号”其中“”叫做根号。 9的平方根记为±， 即±=± 开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方 平方与开平方互为逆运算，根据这种互逆关系可以求一个数的平方根 注意：(1)求一个数的平方根,就是求所有平方后等于这个数的数. (2)平方根是数,是开平方的结果;开平方是一种运算，是求平方根的过程 (3)平方与开平方互为逆运算，两种运算可以互相验证运算的结果是否正确. (4) 在“”中，≥0. 平方根的性质 性质 示例 ①正数有两个平方根,它们互为相反数 ②0的平方根是0; ③负数没有平方根 16的平方根是±4; 0的平方根是0; -16没有平方根 【基础练习1】（25-26七年级上·江苏连云港·月考），括号内应填写______________ ． 【基础练习2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）若实数x没有平方根，则x可以是（   ） A． B．0 C． D．2 【基础练习3】（24-25八年级上·福建·期中）的平方根是___________． 题型1 平方根概念的理解 【典例】（25-26八年级上·山西运城·期中）下列式子中表示“9的平方根是”的是（ ） A． B． C． D． 【变式练习1】（25-26八年级上·贵州毕节·月考）下列各数中，没有平方根的是（    ） A． B． C． D．0 【变式练习2】（24-25七年级下·福建厦门·月考）下列说法中正确的是（   ） A．∵3的平方是9，∴9的平方根是3 B．∵的平方是25，∴是25的一个平方根 C．∵任何数的平方都是正数，∴任何数的平方根都是正数 D．∵负数的平方是正数，∴负数的平方根都是正数 题型2 求一个数的平方根 【典例】（25-26八年级上·河南周口·期末）的平方根是（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】（25-26七年级下·全国·期末）的平方根是（    ） A．3 B． C．9 D． 【变式练习2】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 方法技巧：求一个正数的平方根，就是求这个正数是哪两个互为相反数的数的平方 易错警示：不能正确求带分数的平方根 求带分数的平方根时，带分数不能直接开平方，也不能把整数部分和小数部分分别开平方.求带分数的平方根时，应先把带分数化为假分数，然后开平方. 题型3 求代数式的平方根 【典例】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知x﹣2和y﹣2互为相反数，求x+y的平方根． 【变式练习1】（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【变式练习2】（24-25七年级下·福建莆田·月考）一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 规律总结：一个非负数的平方根的平方等于这个数，即= (≥0). 题型4 已知一个数的平方根求值 【典例】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是__________． 【变式练习1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）已知正数的两个不同的平方根是与，则的值是（   ） A． B． C．7 D．49 【变式练习2】（24-25七年级下·广西南宁·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是与． (1)求的值及这个正数； (2)若，求的值． 解后反思:(1)已知一个非负数的两个平方根，且平方根中包含未知数时，要求这个非负数，可先根据平方根的性质“一个正数有两个平方根，且它们互为相反数”列方程，求未知数，再根据平方根的概念求这个非负数的值. (2)若，是的平方根，则有=和+=0两种情况. 题型5 利用平方根解方程 【典例】（24-25七年级下·湖南湘西·期末）请写出方程的解_____． 【变式练习1】（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)． (2)． 【变式练习2】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 方法技巧：利用平方根的概念解方程 将方程转化为等号的左边是含的一个式子的平方，右边是一个非负数的形式，如=或= (≥0)，然后利用平方根的定义得到 =±或 =±,进而得到原方程的解. 易错警示：开平方时易漏解 开平方求未知数的值时，易受思维定势的影响，漏掉负的平方根，而导致错误. 综合练习 一、选择题 1．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）下列各数中，没有平方根的数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）的平方根是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）若一个数的平方根是，则这个数是（   ） A．5 B．25 C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．－7是49的一个平方根 D．49的平方根是7 5．（22-23八年级上·河南平顶山·期中）下列说法正确的是（） A．的平方根是 B．任何数的平方都是非负数，因而任何数的平方根也是非负数 C．任何一个非负数的平方根都不大于这个数 D．平方根等于本身的数只有0 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（    ） A．3 B． C． D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）________的平方根是它本身． 8．（24-25八年级上·湖南衡阳·月考）平方根是的数是______． 9．（25-26八年级上·陕西宝鸡·月考）的平方根是______；的平方根是______． 10．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）一个正数的平方根是与，则的值是______． 11．（24-25七年级下·湖北孝感·单元测试）已知，则x的值是________． 12．（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 三、解答题 13．（2025七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的平方根： (1) (2)0.36 (3) (4) 14．（24-25八年级上·广东河源·月考）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根． 15．（24-25七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 16．（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知正数m的两个平方根分别为和．求a的值和m的值． 17．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知数有平方根． (1)求x的取值范围； (2)数A的两个不同的平方根是和，求A的值． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中的x： (1)； (2)； (3)； (4)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1 平方根（第一课时） 内容导航 知识点一 平方根的概念和性质 1 题型1 平方根概念的理解 2 题型2 求一个数的平方根 3 题型3 求代数式的平方根 5 题型4 已知一个数的平方根求值 7 题型5 利用平方根解方程 8 综合练习 10 知识点一 平方根的概念和性质 平方根的概念和开平方 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根或二次方根。 ∵ ∴9的平方根是 表示方法 正数的正的平方根记为,读作“根号”，叫做被开方数，正数的负的平方根可以用-表示，正数的平方根可以用±表示,读作“正、负根号”其中“”叫做根号。 9的平方根记为±， 即±=± 开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方 平方与开平方互为逆运算，根据这种互逆关系可以求一个数的平方根 注意：(1)求一个数的平方根,就是求所有平方后等于这个数的数. (2)平方根是数,是开平方的结果;开平方是一种运算，是求平方根的过程 (3)平方与开平方互为逆运算，两种运算可以互相验证运算的结果是否正确. (4) 在“”中，≥0. 平方根的性质 性质 示例 ①正数有两个平方根,它们互为相反数 ②0的平方根是0; ③负数没有平方根 16的平方根是±4; 0的平方根是0; -16没有平方根 【基础练习1】（25-26七年级上·江苏连云港·月考），括号内应填写______________ ． 【答案】 【分析】本题考查平方根定义，熟记平方根定义是解决问题的关键． 根据平方根的定义，一个数的平方等于9，则这个数是9的平方根，即． 【详解】解：设括号内的数为， 则， 由平方根定义可得， 故答案为：． 【基础练习2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）若实数x没有平方根，则x可以是（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查平方根的定义，掌握平方根的定义是解决本题的关键． 依据“负数没有平方根，0的平方根是0，正数有两个平方根”的性质，找出选项中的负数即可求解． 【详解】解：∵负数没有平方根，0的平方根是0，正数有两个平方根， ∴要找没有平方根的实数，需选择负数， 选项中只有是负数， 故选A． 【基础练习3】（24-25八年级上·福建·期中）的平方根是___________． 【答案】 【分析】本题考查的是平方根，准确把握平方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义：若一个数的平方等于，则这个数是的平方根，结合平方运算的结果特征，得出正数的平方根有两个且互为相反数． 【详解】解：． 故答案为：． 题型1 平方根概念的理解 【典例】（25-26八年级上·山西运城·期中）下列式子中表示“9的平方根是”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路是根据平方根的定义与表示方法，逐一分析每个选项的式子所表达的含义，匹配9的平方根是的正确表示．本题考查平方根的表示方法，涉及的知识点是平方根与算术平方根的定义及符号表示．解题中用到的方法是概念辨析法，通过区分平方根、算术平方根、立方根的符号与含义来判断．解题关键是明确表示算术平方根， 表示平方根．易错点是混淆平方根与算术平方根的符号表示，或误将立方根与平方根混淆． 【详解】选项A：表示的是的算术平方根是，不是平方根，不符合题意； 选项B：，符合的平方根是的表示方法； 选项C：是的立方根，与平方根无关，不符合题意； 选项D：表示的是的算术平方根的相反数是，不符合题意． 故选B． 【变式练习1】（25-26八年级上·贵州毕节·月考）下列各数中，没有平方根的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，求一个数的绝对值，平方根的意义． 根据负数没有平方根逐一判断即可． 【详解】解：A． 不是负数，有平方根； B． 不是负数，有平方根； C． 是负数，没有平方根； D． 0不是负数，有平方根； 故选：C． 【变式练习2】（24-25七年级下·福建厦门·月考）下列说法中正确的是（   ） A．∵3的平方是9，∴9的平方根是3 B．∵的平方是25，∴是25的一个平方根 C．∵任何数的平方都是正数，∴任何数的平方根都是正数 D．∵负数的平方是正数，∴负数的平方根都是正数 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义；根据平方根的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ∵的平方是9，∴9的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵的平方是25，∴是25的一个平方根，故该选项正确，符合题意； C. 任何非零实数的平方都是正数，任何正数的算术平方根都是正数，故该选项不正确，不符合题意； D. 负数的平方是正数，负数没有平方根，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 题型2 求一个数的平方根 【典例】（25-26八年级上·河南周口·期末）的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：D． 【变式练习1】（25-26七年级下·全国·期末）的平方根是（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 先计算的值，再求该值的平方根，注意平方根有正负两个值. 【详解】解：∵ ， ∴ 的平方根即的平方根， ∵ 的平方根是， ∴的平方根是. 故选：B． 【变式练习2】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了平方根的定义，熟记平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据平方根的定义解答即可． （2）根据平方根的定义解答即可． （3）根据平方根的定义解答即可． （4）根据平方根的定义解答即可． （5）根据平方根的定义解答即可． （6）根据平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：因为，故的平方根为； （2）解：因为，故平方根为； （3）解：因为，故的平方根为； （4）解：因为，故的平方根为； （5）解：因为，故的平方根为； （6）解：因为，故的平方根为； 方法技巧：求一个正数的平方根，就是求这个正数是哪两个互为相反数的数的平方 易错警示：不能正确求带分数的平方根 求带分数的平方根时，带分数不能直接开平方，也不能把整数部分和小数部分分别开平方.求带分数的平方根时，应先把带分数化为假分数，然后开平方. 题型3 求代数式的平方根 【典例】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知x﹣2和y﹣2互为相反数，求x+y的平方根． 【答案】±2 【分析】根据相反数的定义可求x+y，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵x﹣2和y﹣2互为相反数， ∴x﹣2+y﹣2＝0， ∴x+y＝4，4的平方根是±2． 故x+y的平方根是±2． 【点睛】本题考查了相反数的性质和平方根的定义，属于基本题型，熟练掌握以上基本知识是解题关键． 【变式练习1】（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 【变式练习2】（24-25七年级下·福建莆田·月考）一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查平方根： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再根据平方根求出b的值； （2）将（1）中结果代入，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数b的平方根是与， ∴， ∴． ∴，， ∵9的一个平方根是， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即平方根是． 规律总结：一个非负数的平方根的平方等于这个数，即= (≥0). 题型4 已知一个数的平方根求值 【典例】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是__________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平方根定义，根据正数的平方根互为相反数，列出方程求解m，再求平方即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别为和， ∴， 解得：， ∴这个正数为． 故答案为：4． 【变式练习1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）已知正数的两个不同的平方根是与，则的值是（   ） A． B． C．7 D．49 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根的计算，利用正数的两个不同的平方根互为相反数的性质，先求出a的值，再计算m的值． 【详解】解：正数的两个不同的平方根是与， ∴， 解得， 将代入，得， ∵是该平方根的平方， ∴． 故选：D． 【变式练习2】（24-25七年级下·广西南宁·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是与． (1)求的值及这个正数； (2)若，求的值． 【答案】(1)的值为0，正数的值为4 (2)的值为1 【分析】本题考查平方根的意义及求平方根、一元一次方程的应用等知识点，掌握一个正数有两个平方根且互为相反数是解题的关键． （1）由一个正数的两个平方根互为相反数求y值即可，求出x的值即可； （2）将代入得到关于k的方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，解得：； ∴． 答：求的值为0，正数的值为4 （2）∵， ∴，即，解得：． 答：求的值为1． 解后反思:(1)已知一个非负数的两个平方根，且平方根中包含未知数时，要求这个非负数，可先根据平方根的性质“一个正数有两个平方根，且它们互为相反数”列方程，求未知数，再根据平方根的概念求这个非负数的值. (2)若，是的平方根，则有=和+=0两种情况. 题型5 利用平方根解方程 【典例】（24-25七年级下·湖南湘西·期末）请写出方程的解_____． 【答案】 【分析】本题考查利用平方根解方程，根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式练习1】（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）（2）根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：由得， ∴， 解得，． （2）解：由得， ∴， 解得，． 【变式练习2】（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题主要考查利用平方根解方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）两边同时除以2，进而得出答案； （2）先移项，进而得出答案； （3）先移项，两边同时除以9，进而得出答案； （4）先移项，两边同时除以4，进而得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ， ， ； （4）解： ， ， ， 解得或． 方法技巧：利用平方根的概念解方程 将方程转化为等号的左边是含的一个式子的平方，右边是一个非负数的形式，如=或= (≥0)，然后利用平方根的定义得到 =±或 =±,进而得到原方程的解. 易错警示：开平方时易漏解 开平方求未知数的值时，易受思维定势的影响，漏掉负的平方根，而导致错误. 综合练习 一、选择题 1．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）下列各数中，没有平方根的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的平方根，解决此题的关键是理解一个负数无平方根；据此求解即可． 【详解】解：∵一个负数无平方根， ∴无平方根， 故选：A． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正数的平方根有两个且互为相反数，根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 3．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）若一个数的平方根是，则这个数是（   ） A．5 B．25 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根的定义，已知一个数的平方根，通过平方运算可求出原数. 【详解】解：∵一个数的平方根是， ∴这个数为， 故选：B． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．－7是49的一个平方根 D．49的平方根是7 【答案】D 【分析】本题考查平方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 利用平方根的概念，正数的平方根有两个，互为相反数，逐一判断即可. 【详解】A、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意； B、∵ 且，∴ 的平方根是，说法正确，不符合题意； C、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意； D、∵ ，，∴ 的平方根是，说法错误，符合题意． 故选：D． 5．（22-23八年级上·河南平顶山·期中）下列说法正确的是（） A．的平方根是 B．任何数的平方都是非负数，因而任何数的平方根也是非负数 C．任何一个非负数的平方根都不大于这个数 D．平方根等于本身的数只有0 【答案】D 【分析】本题考查平方根的基本概念．根据平方根的定义，负数没有平方根，平方根包括正负两个值，非负数的平方根可能大于本身，只有的平方根等于本身． 【详解】解：∵负数没有平方根，∴A错误； ∵平方根可以是负数（如的平方根为），∴B错误； ∵非负数的平方根可能大于本身（如的一个平方根为，），∴C错误； ∵平方根等于本身的数只有，∴D正确． 故选：D． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算． 【详解】＋ ＝ 由题意知，， ， ∴，， ∴， 9的平方根是， ∴平方根为， 故选：C． 二、填空题 7．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）________的平方根是它本身． 【答案】0 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义可知，正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，据此即可求解． 【详解】解：0的平方根是它本身． 故答案为：0． 8．（24-25八年级上·湖南衡阳·月考）平方根是的数是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是，即平方根是的是． 故答案为： 9．（25-26八年级上·陕西宝鸡·月考）的平方根是______；的平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，进行计算即可． 【详解】解：的平方根是；的平方根是； 故答案为：， 10．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）一个正数的平方根是与，则的值是______． 【答案】 【分析】根据正数的平方根互为相反数列方程求出的值，进而求出的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 11．（24-25七年级下·湖北孝感·单元测试）已知，则x的值是________． 【答案】或 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得或． 12．（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 三、解答题 13．（2025七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的平方根： (1) (2)0.36 (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义，根据定义计算是解题关键． （1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果； （2）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果； （3）先求出，再根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果； （4）先求出，再根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果． 【详解】（1）解： 的平方根是； （2）解： 0.36的平方根是； （3）解：∵， ∴的平方根是； （4）解：∵， ∴的平方根是． 14．（24-25八年级上·广东河源·月考）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】根据题意可求出及的值，从而可得出a与b的值，继而可求出的平方根． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为：． 【点睛】本题主要考查了平方根，难度不大，解题的关键是求a、b的值． 15．（24-25七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键． （1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴； （2）解：将代入中， 得， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 16．（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知正数m的两个平方根分别为和．求a的值和m的值． 【答案】a的值为2，m的值为9 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程可求得a的值，根据平方根的定义可求得m的值． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， ∴． 答：a的值为2，m的值为9． 【点睛】本题考查平方根的定义和性质，平方根的定义：若一个数的平方等于a，则这个数叫做a 的平方根（或二次方根）．即若，则x是a的平方根，记作．平方根的性质：①正数有两个平方根，且互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根．熟知上述相关内容是正确解答此题的关键． 17．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知数有平方根． (1)求x的取值范围； (2)数A的两个不同的平方根是和，求A的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）利用平方根的非负性列不等式求解； （2）依据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出a，再求． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 解得：； （2）解：根据题意可知，， 解得：， 将代入，得其中一个平方根为， 所以． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中的x： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查根据平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键． （1）直接根据平方根的定义解方程即可； （2）直接根据平方根的定义解方程即可； （3）根据平方根的定义解方程即可； （4）整理后根据平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， 开方，得； （2）解：， 开方，得； （3）解：， 开方，得， ∴或； （4）解：， 整理，得， 开方，得， ∴或． 学科网（北京）股份有限公司 $