专题8.1 平方根（知识荟萃+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦“平方根”核心知识点，系统梳理算术平方根的定义、双重非负性等性质，衔接估算方法、计算器应用，进而延伸至平方根的定义、性质及与算术平方根的联系区别，构建从基础概念到综合应用的学习支架，衔接乘方运算与后续实数知识。 资料亮点在于题型设计全面，10个题型涵盖概念理解、非负性应用、规律探索等，典例与变式结合培养推理能力和运算能力。中考真题与分层训练兼顾基础与拔高，实际应用题（如正方形拼接）发展应用意识，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺强化知识。

专题8.1 平方根 （知识荟萃+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：算术平方根的定义和性质 1 知识点梳理02：算术平方根的估算 2 知识点梳理03：用计算器求算术平方根 2 知识点梳理04：平方根的定义和性质 2 题型讲练 3 题型1：平方根概念理解 3 题型2：求一个数的平方根 4 题型3：求代数式的平方根 4 题型4：已知一个数的平方根，求这个数 4 题型5：利用平方根解方程 5 题型6：求一个数的算术平方根 5 题型7：利用算术平方根的非负性解题 5 题型8：估计算术平方根的取值范围 5 题型9：与算术平方根有关的规律探索题 6 题型10：算术平方根的实际应用 7 中考真题 7 分层训练 8 基础夯实 8 培优拔高 9 知识点梳理01：算术平方根的定义和性质 1、算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记作：，读作:“根号a”. 即 x2=a (x>0) x叫做a的算术平方根，记作：x=. 规定：0的算术平方根是0. 记作: =0. 2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性. ①被开方数一定是非负数，即a≥0. ②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0. 3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根. 4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 【易错点拨】 实际上省略了中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此也读作：“二次根号a”. 知识点梳理02：算术平方根的估算 求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，一般采用逼近法，是指从两边确定取值范围，一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度. 知识点梳理03：用计算器求算术平方根 1、在求某些数的算术平方根时，有些数很大或很小，或不易求出算术平方根，为了提高计算速度，我们可以利用计算器，按照一定的按键顺序直接快速地求出这个数的算术平方根. 2、大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值). 知识点梳理04：平方根的定义和性质 1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根. 3、平方根的表示方法：正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-. 正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”． 4、算术平方根与平方根的联系和区别： （1）平方根与算术平方根的区别 （2）平方根与算术平方根的联系 5、平方根的性质： ①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 题型1：平方根概念理解 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 【变式训练1】（24-25七年级下·吉林·期末）已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（    ） A．2025 B．0 C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·假期作业）一个正数的两个平方根分别为a，b，则 ， ． 题型2：求一个数的平方根 【典例精讲】（25-26七年级下·四川眉山·期中）的平方根是，用式子表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）正整数4的平方根是（    ） A． B．2 C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·甘肃武威·月考）的平方根是 ； 题型3：求代数式的平方根 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为 ． 【变式训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 题型4：已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】（24-25七年级下·广东湛江·月考）一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ） A．9 B． C．2 D． 【变式训练1】（25-26七年级下·江苏南京·期中）若一个正数的平方根是和，则这个正数为 ． 【变式训练2】（25-26七年级下·广东河源·月考）若a的平方根是，则a的值为（    ） A． B． C．7 D．49 题型5：利用平方根解方程 【典例精讲】（25-26七年级下·吉林长春·月考）求的值： 【变式训练1】（24-25七年级下·云南大理·期中）式子中，的值为 ． 【变式训练2】（24-25七年级下·山东德州·月考）求等式中的x值：． 题型6：求一个数的算术平方根 【典例精讲】（23-24七年级下·重庆永川·期中）9的算术平方根是 ； 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）9的算术平方根是（    ） A．3 B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入x的值为16时，输出的数值是 ． 题型7：利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知，则 ． 【变式训练1】（24-25七年级下·四川泸州·月考）已知实数a满足，那么的值为（ ） A．1 B．2025 C．2026 D．2027 【变式训练2】（24-25七年级下·广东肇庆·期中）若，求的值 题型8：估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）估算 在哪两个整数之间（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．不能确定 【变式训练1】（24-25七年级下·天津·期末）估算的值在（   ） A．2.1和2.2之间 B．2.2和2.3之间 C．2.3和2.4之间 D．2.4和2.5之间 【变式训练2】（24-25七年级下·山东滨州·期中）根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则 ． 题型9：与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 根据以上规律，若，，则 ． 【变式训练1】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【变式训练2】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是 ．      1     2               3    …   …   …   …  … 题型10：算术平方根的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如果一个圆的面积为，那么这个圆的半径为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·月考）若一个圆与一个正方形的周长都是，它们中哪一个面积较大？若一个圆与一个正方形的面积都是，它们中哪一个周长比较大？你能从中得到什么启示？ 【变式训练2】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期中）如图（1）所示，有2个边长为1的正方形，现画出分割线如图（2），把分割后的四部分在正方形网格（图中每个小正方形的边长为1）中拼接成一个新的正方形，如图（3）． (1)图（3）中正方形的边长为 ． (2)现有5个边长为1的正方形如图（4）所示，请在图（4）中画出适合的分割线，使之按分割线分割后能拼成一个新正方形，并把拼接图画在图（5）的正方形网格（图中每个小正方形的边长为1）中（直接画出图形，不要求写分析过程）；则图（5）中所拼成的新正方形边长为 ． 1．（2024·云南丽江·中考真题）若a，b满足，则的值是（   ） A． B．1 C．3 D． 2．（2024·全国·中考真题）一个自然数的算术平方根是x，则它后面的一个数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）已知，则 ． 4．（2024·广东肇庆·中考真题）若，则 ． 5．（2024·贵州贵阳·中考真题）已知与满足，某正数的平方根分别是和，是绝对值最小的数． (1)求、、、的值． (2)求的值． 基础夯实 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·福建泉州·月考）若一个正数的两个平方根为和，则这个数是 ． 5．（23-24七年级下·重庆永川·期中）若一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数等于 ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）若没有平方根，则x的值可能为 ． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，若，则x的值为 ． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)1.69． (2)． 9．（24-25七年级下·青海海西·期中）解方程： (1)； (2)． 10．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，小丽有一块长方形硬纸片，周长是，假设长为，宽为． (1)请用含x的式子表示y，则__________； (2)小丽沿虚线剪下一个面积为的正方形，请求出y的值． 培优拔高 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）若x是的平方根，则的正的平方根是（    ） A．1 B． C．1或5 D．1或 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）若实数x，y，z满足，则的平方根为 ． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）若m是的平方根，是n的一个平方根，且，则 ． 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是5，的算术平方根是4，则的值为 ． 17．（24-25七年级下·天津南开·月考）如果与互为相反数，那么的算术平方根是 ． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．已知b是最小的正整数，且a，c满足． (1)求式子的值． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数． (3)已知数轴上存在一点D，使得，求点D表示的数． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 20．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的平方根是与， (1)求a的值和这个正数 (2)求的平方根 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 平方根 （知识荟萃+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：算术平方根的定义和性质 1 知识点梳理02：算术平方根的估算 2 知识点梳理03：用计算器求算术平方根 2 知识点梳理04：平方根的定义和性质 2 题型讲练 3 题型1：平方根概念理解 3 题型2：求一个数的平方根 4 题型3：求代数式的平方根 5 题型4：已知一个数的平方根，求这个数 7 题型5：利用平方根解方程 8 题型6：求一个数的算术平方根 9 题型7：利用算术平方根的非负性解题 10 题型8：估计算术平方根的取值范围 11 题型9：与算术平方根有关的规律探索题 12 题型10：算术平方根的实际应用 14 中考真题 16 分层训练 18 基础夯实 18 培优拔高 23 知识点梳理01：算术平方根的定义和性质 1、算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记作：，读作:“根号a”. 即 x2=a (x>0) x叫做a的算术平方根，记作：x=. 规定：0的算术平方根是0. 记作: =0. 2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性. ①被开方数一定是非负数，即a≥0. ②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0. 3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根. 4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 【易错点拨】 实际上省略了中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此也读作：“二次根号a”. 知识点梳理02：算术平方根的估算 求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，一般采用逼近法，是指从两边确定取值范围，一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度. 知识点梳理03：用计算器求算术平方根 1、在求某些数的算术平方根时，有些数很大或很小，或不易求出算术平方根，为了提高计算速度，我们可以利用计算器，按照一定的按键顺序直接快速地求出这个数的算术平方根. 2、大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值). 知识点梳理04：平方根的定义和性质 1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根. 3、平方根的表示方法：正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-. 正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”． 4、算术平方根与平方根的联系和区别： （1）平方根与算术平方根的区别 （2）平方根与算术平方根的联系 5、平方根的性质： ①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 题型1：平方根概念理解 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了平方根的概念，熟知如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根是解题的关键． 由 可得 x 的值，代入 求值，再求其平方根. 【规范解答】解：∵ ， ∴ . 当时，，的平方根为； 当时，，的平方根为. ∴的平方根是或. 故选：C． 【变式训练1】（24-25七年级下·吉林·期末）已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（    ） A．2025 B．0 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查“平方根的概念”，掌握两个平方根的关系是解题关键． 根据平方根的性质，一个正数的平方根有两个且互为相反数，由此即可判断出答案． 【规范解答】解：∵ 一个正数的平方根有两个，且互为相反数， 又∵ 一个平方根是2025， 则另一个平方根为， 故选：C． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·假期作业）一个正数的两个平方根分别为a，b，则 ， ． 【答案】 0 【思路点拨】本题主要考查了平方根的定义．根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出结果即可． 【规范解答】解：∵一个正数的两个平方根分别为a，b， ∴，． 故答案为：0；． 题型2：求一个数的平方根 【典例精讲】（25-26七年级下·四川眉山·期中）的平方根是，用式子表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查平方根定义，熟记平方根定义是解决问题的关键． 直接由平方根定义求解即可得到答案． 【规范解答】解： 的平方根是， 用式子表示正确的是， 故选：B． 【变式训练1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）正整数4的平方根是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义进行求解即可． 【规范解答】解：正整数4的平方根是； 故选A． 【变式训练2】（24-25七年级下·甘肃武威·月考）的平方根是 ； 【答案】 【思路点拨】本题考查了求一个数的算术平方根及平方根，化简绝对值，熟练掌握和运用求一个数的算术平方根及平方根的方法，绝对值的性质，是解决本题的关键． 根据求一个数的算术平方根及平方根的方法，负数的绝对值的性质，即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴的平方根是． ∵， ∴． 故答案为：；． 题型3：求代数式的平方根 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【规范解答】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 【变式训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【规范解答】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 【变式训练2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根为 【思路点拨】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【规范解答】（1）解：∵，且， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴4的平方根为， 即的平方根为． 题型4：已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】（24-25七年级下·广东湛江·月考）一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ） A．9 B． C．2 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了根据平方根求原数． 利用正数的平方根互为相反数的性质，列方程求出a，再计算平方根和原数． 【规范解答】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 即， ∴， ∴一个平方根为， ∴这个正数为． 故选：A． 【变式训练1】（25-26七年级下·江苏南京·期中）若一个正数的平方根是和，则这个正数为 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此列方程求解的值，再代入平方根表达式，最后求出正数即可． 【规范解答】解：根据题意得，一个正数的平方根是和， 所以和互为相反数，即， 化简得：， 解得：， 代入平方根得：， 代入平方根得：， 则一个正数的平方根为和，故正数或． 故答案为：9． 【变式训练2】（25-26七年级下·广东河源·月考）若a的平方根是，则a的值为（    ） A． B． C．7 D．49 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查平方根的定义，根据平方根的定义，若一个数的平方根是，则该数． 【规范解答】∵ a的平方根是， ∴ ， ∴ a的值为49． 故选：D． 题型5：利用平方根解方程 【典例精讲】（25-26七年级下·吉林长春·月考）求的值： 【答案】或 【思路点拨】本题考查了根据平方根的定义解方程；直接利用平方根的定义得出，进而求得的值． 【规范解答】解：， ∴． 解得：或． 【变式训练1】（24-25七年级下·云南大理·期中）式子中，的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平方根解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键；根据平方根的定义求解即可． 【规范解答】解：， ， ， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·山东德州·月考）求等式中的x值：． 【答案】或 【思路点拨】本题考查利用平方根解方程，移项，利用平方根的定义，解方程即可． 【规范解答】解：由，得， ， 或， 或． 题型6：求一个数的算术平方根 【典例精讲】（23-24七年级下·重庆永川·期中）9的算术平方根是 ； 【答案】3 【思路点拨】本题考查了算术平方根，理解其定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义解题即可． 【规范解答】解：． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）9的算术平方根是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】先确定9的平方根，再根据算术平方根的非负性，找出其中的非负根，进而判断选项． 本题考查了算术平方根，掌握算术平方根是一个数的非负平方根是解题的关键． 【规范解答】解：∵9的平方根为， 又∵算术平方根是非负数， ∴9的算术平方根是3 故选：A． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入x的值为16时，输出的数值是 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查实数的运算，掌握数值运算程序的先后顺序是解题的关键． 本题按照数值运算程序的步骤，依次对输入的执行开平方、除以2、加1的运算，逐步计算出输出值． 【规范解答】解：当时：先计算；再计算；最后计算． 因此输出的数值是3． 故答案为：3． 题型7：利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知，则 ． 【答案】0 【思路点拨】本题考查非负数的性质．根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 【规范解答】解：由题意得，，， 解得， 所以，， 故答案为：0． 【变式训练1】（24-25七年级下·四川泸州·月考）已知实数a满足，那么的值为（ ） A．1 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【思路点拨】本题考查算术平方根和绝对值，计算出字母的取值范围，化简绝对值是解决本题的关键． 根据算术平方根有意义，求出的范围，化简绝对值，即可求解． 【规范解答】解：根据题意可得， ， ， 可得， ， ， ． 故选：D． 【变式训练2】（24-25七年级下·广东肇庆·期中）若，求的值 【答案】0 【思路点拨】本题主要考查偶数次方、绝对值和算术平方根的非负性，掌握非负数相加等于0，那么每个数都等于0是解题的关键． 根据非负数的性质可得，，的值，进而即可求解． 【规范解答】∵，且，， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴， 故答案为：的值为0． 题型8：估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）估算 在哪两个整数之间（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．不能确定 【答案】B 【思路点拨】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．由于，然后利用算术平方根即可得到． 【规范解答】解：∵， ∴． 故选：B． 【变式训练1】（24-25七年级下·天津·期末）估算的值在（   ） A．2.1和2.2之间 B．2.2和2.3之间 C．2.3和2.4之间 D．2.4和2.5之间 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了无理数的估算，算术平方根的定义，属于基本知识点，夹逼法的应用是解本题的关键． 根据夹逼法解答即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴， ∴的值在2.2和2.3之间， 故选：B． 【变式训练2】（24-25七年级下·山东滨州·期中）根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向左移动两位，那么开方的结果的小数点就向左移动一位，据此求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型9：与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 根据以上规律，若，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了算术平方根，读懂题意，理解表格数据的规律是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此即可得到答案． 【规范解答】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位， ∵, ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路点拨】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 【变式训练2】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是 ．      1     2               3    …   …   …   …  … 【答案】20 【思路点拨】本题主要考查数字的变化规律类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为．图形可知，第n行最后一个数为=，据此可得答案． 【规范解答】解：由图形可知，第n行最后一个数为=， ∴第27行最后一个数为， 则第28行从左至右第22个数是， 故答案为：20． 题型10：算术平方根的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如果一个圆的面积为，那么这个圆的半径为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【思路点拨】此题主要是考查了算术平方根的实际应用，圆的面积的计算公式在生活中的灵活应用，解答此题的关键是熟记圆的面积的计算公式． 根据圆的面积公式，已知面积为，代入公式求解半径r． 【规范解答】解：∵ 圆的面积， ∴， ∴（负值已舍去）． 因此，半径为， 故选：B． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·月考）若一个圆与一个正方形的周长都是，它们中哪一个面积较大？若一个圆与一个正方形的面积都是，它们中哪一个周长比较大？你能从中得到什么启示？ 【答案】圆的面积较大；正方形的周长较大；见解析 【思路点拨】此题考查了圆和正方形的面积、周长之间的关系．先根据周长求出圆的半径和正方形的边长，再求出圆和正方形的面积比较即可；根据圆和正方形的面积求圆的半径和正方形的边长，再求出圆和正方形的周长进行比较即可；由此可得出当圆和正方形周长相等时，圆的面积较大；当圆和正方形面积相等时，正方形的周长较大． 【规范解答】解：（1）设圆的半径为，则， 解得 此时圆的面积为 设正方形的边长为，则， 则正方形的面积是， ∵， ∴则圆的面积较大； （2）设圆的半径为，则， 解得， 此时圆的周长为， 设正方形的边长为，则， 则正方形的周长是， 则正方形的周长较大； （3）启示：当圆和正方形周长相等时，圆的面积较大． 当圆和正方形面积相等时，正方形的周长较大． 【变式训练2】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期中）如图（1）所示，有2个边长为1的正方形，现画出分割线如图（2），把分割后的四部分在正方形网格（图中每个小正方形的边长为1）中拼接成一个新的正方形，如图（3）． (1)图（3）中正方形的边长为 ． (2)现有5个边长为1的正方形如图（4）所示，请在图（4）中画出适合的分割线，使之按分割线分割后能拼成一个新正方形，并把拼接图画在图（5）的正方形网格（图中每个小正方形的边长为1）中（直接画出图形，不要求写分析过程）；则图（5）中所拼成的新正方形边长为 ． 【答案】(1) (2)见解析， 【思路点拨】本题考查了算术平方根的应用． （1）先求出正方形的面积，再根据算术平方根计算即可； （2）根据面积不变进而得到新正方形的边长，再结合图④进而设计即可． 【规范解答】（1）解：图③中正方形的面积为2，则边长． 故答案为：； （2）解：如图④和图⑤： 新正方形的面积为5，则边长为． 故答案为：． 1．（2024·云南丽江·中考真题）若a，b满足，则的值是（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了代数式求值，非负数的应用，算术平方根，根据偶次幂，算术平方根均为非负数，它们的和为0时，由此解出a和b的值，再代入计算，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（2024·全国·中考真题）一个自然数的算术平方根是x，则它后面的一个数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了算术平方根的定义，根据题意，自然数的算术平方根为x，则该自然数为，下一个自然数为，其算术平方根即为． 【规范解答】解：∵一个自然数的算术平方根是x， ∴这个自然数是，下一个自然数是， ∴下一个自然数的算术平方根是：． 故选：D． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）已知，则 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查换元法解一元二次方程，平方差公式，解题的关键是学会用整体思想解决问题．注意． 利用整体思想，令，则有，从而得到，再利用求平方根解方程即可． 【规范解答】解：令， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 4．（2024·广东肇庆·中考真题）若，则 ． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查了平方的非负性和算术平方根的非负性，熟练的掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0，是解题的关键． 根据算术平方根为非负数以及平方为非负数即可解答．几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 5．（2024·贵州贵阳·中考真题）已知与满足，某正数的平方根分别是和，是绝对值最小的数． (1)求、、、的值． (2)求的值． 【答案】(1)，，， (2) 【思路点拨】本题考查了非负数的性质、平方根的定义、绝对值的意义、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据非负数的性质即可求出，，根据平方根的定义即可求出，再根据绝对值的意义即可得出； （2）将（1）中各个字母的值代入所求代数式计算即可得解． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵正数的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∵是绝对值最小的数， ∴； （2）解：由（1）可得，，，， ． 基础夯实 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据算术平方根和平方根的定义，逐项判断即可． 本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 【规范解答】解：A、，符合题意； B、表示的平方根，结果为，原式错误，不符合题意； C、，不符合题意； D、，，，不符合题意； 故选： A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查算术平方根，熟练掌握其定义和性质是解题的关键． 根据算术平方根的定义和性质，直接计算每个等式的值，判断是否正确. 【规范解答】解：A、∵，， ∴， 故该选项说法正确，符合题意； B、∵， ，， ∴，故该选项说法错误，不符合题意； C、∵ 表示9的算术平方根， ∴ ，故该选项说法错误，不符合题意； D、∵ 负数没有平方根（在实数范围内）， ∴ 无意义，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查平方根、算术平方根的定义和性质，在实数范围内，平方根的被开方数必须非负，且算术平方根结果非负，熟练掌握其定义和性质是解题的关键． 根据平方根、算术平方根的定义和性质，直接计算每个等式的值，判断是否正确即可． 【规范解答】解：A、，故该选项说法错误，不符合题意； B、表示16的平方根，应为±4，即，故该选项说法错误，不符合题意； C、被开方数为负，在实数范围内无意义，故该选项说法错误，不符合题意； D、∵， ∴ ，故该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·福建泉州·月考）若一个正数的两个平方根为和，则这个数是 ． 【答案】25 【思路点拨】本题考查平方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求解． 【规范解答】解：由题意，得， 解得， 则这个正数为． 故答案为：25． 5．（23-24七年级下·重庆永川·期中）若一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平方根的定义和性质，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求解的值，再根据平方根的定义即可求出这个正数． 【规范解答】解：由题意，得， 解得， 则一个平方根为， 所以这个正数为． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）若没有平方根，则x的值可能为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【思路点拨】根据平方根的性质，负数没有平方根，因此 ，解不等式可得 ，从而确定 的可能值． 本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握负数没有平方根是解决本题的关键． 【规范解答】解：∵没有平方根， ∴，即， 解得， 因此 的值可能为2（或其他小于 2.5 的数） 故答案为：2． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，若，则x的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平方根，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，已知 和 ，可得的值． 【规范解答】解： 且 时，． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)1.69． (2)． 【答案】(1) (2)/ 【思路点拨】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）根据平方根的定义计算即可； （2）先计算出，再根据平方根的定义计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴的平方根是． （2）解：∵， ∴的平方根是． 9．（24-25七年级下·青海海西·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】先求出的值，再根据平方根的定义解答； 把看作一个整体，利用平方根的定义解答即可． 本题考查了利用平方根的定义求未知数的值，熟记概念是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ， 解得； （2）解： 或， 解得或． 10．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，小丽有一块长方形硬纸片，周长是，假设长为，宽为． (1)请用含x的式子表示y，则__________； (2)小丽沿虚线剪下一个面积为的正方形，请求出y的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了列代数式，代数式求值，求一个数的算术平方根． （1）根据长方形周长公式计算即可； （2）根据正方形面积公式求出x的值，代入计算即可． 【规范解答】（1）∵小丽有一块长方形硬纸片，周长是，假设长为，宽为， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵小丽沿虚线剪下一个面积为的正方形， ∴， 即， ∴． 培优拔高 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）若x是的平方根，则的正的平方根是（    ） A．1 B． C．1或5 D．1或 【答案】D 【思路点拨】先计算的值，再求其平方根得到，然后计算，最后求的正的平方根（算术平方根）． 本题考查平方根的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键．注意：一个正数的平方根有两个，一个正数的算术平方根只有一个． 【规范解答】解：∵， 又∵ 是的平方根， ∴或． 当时，，的正的平方根为； 当时，，的正的平方根为． ∴的正的平方根是1或． 故选：D． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查算术平方根，熟练掌握其定义和性质是解题的关键． 根据算术平方根的定义和性质，直接计算每个等式的值，判断是否正确即可． 【规范解答】解：A、∵ ， ∴ ，故该选项说法正确，符合题意； B、∵，， ∴，故该选项说法错误，不符合题意； C、∵， ∴在实数范围内无意义，故该选项说法错误，不符合题意； D、∵，， ∴，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查平方根、算术平方根，熟练掌握其定义和性质是解题的关键． 根据平方根、算术平方根和绝对值的定义，直接计算每个等式的值，判断是否正确. 【规范解答】解：A、∵ ， ∴ ，故该选项说法错误，不符合题意； B、∵ ，， ∴ ，故该选项说法错误，不符合题意； C、∵ ，， ∴ ， 故该选项说法正确，符合题意； D、∵ ， ∴，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）若实数x，y，z满足，则的平方根为 ． 【答案】±2 【思路点拨】本题考查的是算术平方根、平方根，掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据非负数的性质，平方根和绝对值均为非负数，它们的和为零时，每个部分均为零，从而求出的值． 【规范解答】解：， ，，， 解得，，． 则， ， 的平方根为， 的平方根为． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）若m是的平方根，是n的一个平方根，且，则 ． 【答案】8 【思路点拨】本题主要考查了平方根的定义等知识点，掌握相关概念是解题的关键． 先计算的值，再根据平方根的定义和条件确定的值；由是的一个平方根求的值；最后计算． 【规范解答】解：∵， ∴ ∵ 是 的平方根，且 ， ∴ ∵，且 是 的一个平方根， ∴ 则 故答案为：8． 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是5，的算术平方根是4，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】根据算术平方根的定义，求解和，再代入表达式求值． 本题主要考查了算术平方根的相关定义，熟练掌握并能够运用是解决本题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 解得 ∵， ∴，代入， 得，即， 解得 则 故答案为：． 17．（24-25七年级下·天津南开·月考）如果与互为相反数，那么的算术平方根是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的算术平方根等知识．先根据与互为相反数，求出，进而得到，即可求出的算术平方根是． 【规范解答】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．已知b是最小的正整数，且a，c满足． (1)求式子的值． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数． (3)已知数轴上存在一点D，使得，求点D表示的数． 【答案】(1)64 (2)－7 (3)点D表示的数是0或4 【思路点拨】（1）根据非负数的性质即可确定出、的值，然后代入进行计算即可得； （2）根据是最小的正整数，确定出点、点的对称点所表示的数，通过计算即可得出与点重合的点表示的数； （3）分点在点的左边、点在点，之间、点在点的右边三种情况进行讨论即可得． 【规范解答】（1）解：（1）∵， ∴，， 解得，， ∴． （2）解：∵是最小的正整数， ∴． ∵， ∴，， ∴与点重合的点表示的数是． （3）解：设点表示的数为．分以下三种情况讨论： 若点在点的左侧，则，解得（不合题意，舍去）； 若点在点，之间，则，解得； 若点在点的右侧，则，解得． 综上所述，点表示的数是0或4． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 【答案】(1) (2)这个数是1或9 【思路点拨】（1）根据平方运算，可得的值，求解可得答案； （2）根据题意可知相等或互为相反数，列式求解可得的值，根据平方运算，可得答案． 【规范解答】（1）解：∵的一个平方根是3， ∴，解得． （2）解：∵都是同一个数的平方根， ∴或，解得或， ∴或， ∴这个数是1或9． 20．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的平方根是与， (1)求a的值和这个正数 (2)求的平方根 【答案】(1) ，这个正数是100 (2) 【思路点拨】本题考查了平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求解． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求的值；再将代入平方根表达式，平方后得到这个正数； （2）先计算的值，再求其平方根． 【规范解答】（1）解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得． 则这个正数的平方根为与， ∴这个正数为． 答：的值为，这个正数为． （2）解：当时，， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 答：的平方根为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $