29.局部处理 讲义-2026届高三数学二轮专题

专题29 局部处理 【讲】 整体和局部是同一事物的两个方面．有些数学问题从整体上处理难以解决，就必须先分析研究问题的某一部分，得出初步结论后，再进一步研究，从而使数学问题获得解决．这种分析问题和解决问题的思维方法称为局部处理法． 类型一 局部固定法 【典例1】已知函数是偶函数，则__________． 【方法引导】 由是偶函数，得 ,注意到 ，其中 。是奇函数，为使 为偶函数（奇函数 × 奇函数 = 偶函数），需 为奇函数，即 ,再由 建立方程解出的值。 【详细解析】 由题意可知，局部函数是奇函数，故， 整理得，故． 【方法反思】 分离 （奇函数）与剩余部分 ，将问题转化为 需为奇函数。 利用对称性直接建立方程，避免复杂展开。要注意时（恒成立），不影响方程求解。等号成立条件需恒成立，确保有效。运用局部固定法时要先研究问题的某一部分，得出初步结论后，根据题意再研究剩余部分性质. 【典例2】已知，，，，则的最小值为__________． 【方法引导】 先固定变量c，将原不等式看成关于变量a，b的代数式，求出最小值，再让变量c变化，进一步求出原不等式的最小值． 【详细解析】 先固定c，因为，，， 所以， 当且仅当时等号成立． 因此，， 当且仅当，时等号成立，即的最小值为． 【方法反思】 本题考查分析问题与解决问题的能力，对逻辑推理能力要求很高．从条件中发现变量a，b是相互制约的，变量c相对独立，故采用局部固定法，固定变量c，即提取c后进行变形处理，进而得解． 【举一反三】 1. 已知函数. （1）当时，比较与1的大小； （2）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）求证：对于一切正整数，都有. 【答案】（1）当时，，当时，，当时，；（2）或；(3)证明见解析． 【详解】试题分析： （1）当时，，其定义域为，令在上是增函数故当时，；当时，；当时，；（2）当时，其定义域为，令 当或时，；当时，函数在上递增，在上递减，在上递增的极大值为，极小值为，又当时，；当时，，或；（3）根据（1）的结论知当时，即当时，，令 所以． 试题解析： （1）当时，，其定义域为，因为，所以在上是增函数， 故当时，；当时，； 当时， （2）当时，，其定义域为， ，令得， 因为当或时，；当时，， 所以函数在上递增，在上递减，在上递增且的极大值为，极小值为，又当时，；当时，， 因为函数仅有一个零点，所以函数的图象与直线仅有一个交点．所以或； （3）根据（1）的结论知当时，． 即当时，，即令，则有， 从而得， 故得， 即， 所以． 【点晴】本题考查函数的函数的极值、函数的零点、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想和转化化归思想的应用. 2. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求、的值； （2）如果当，且时，，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）（-，0] 【分析】（1）根据题意列出方程求解. （2）运用离参法，用导数求出最值进行求解．求导后极值点不易得到，先二次求导，再使用参数讨论法了．以参数为分类标准，看是否符合题意．求得答案． 【详解】（1） 由于直线的斜率为，且过点，故即 解得，． （2）由（1）知，所以 ． 考虑函数，则． (i)设，由知，当时，，h(x)递减．而故当时，，可得； 当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0 从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+. （ii）设0<k<1.由于=的图像开口向下，且，对称轴x=.当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故 (x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾． （iii）设k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾． 综合得，k的取值范围为（-，0] 3. 求三位数与其各位数字之和的商的最小值，并写出这个三位数． 【答案】商的最小值为；三位数为199． 【分析】若设三位数的百位、十位、个位上的数字依次为x、y、z，则这个三位数为，而各位数字之和为，依题意可得，其中，，，且x、y、z均为自然数，这是一个多变量函数，显然无法直接求出其最小值，应考虑通过局部处理法求解，即固定其中某些字母，让一个字母为变量进行讨论． 【详解】解：设三位数为，它与其各位数字之和的商为w，其中，，，且x、y、z均为自然数． 则．① 在①式中，若固定x、y，让z变化，则当时，w取最小值，故，于是．② 在②式中，若固定x，让y变化，则当时，必有最小值，故． 于是 ．③ 在③式中，要使w取得最小值，只有x取最小值1． 故三位数为199．． 所以商的最小值为；三位数为199． 类型二 局部突破法 【典例1】如图，在三棱台中，平面平面ABC，，． （1）证明：； （2）求DF与平面BCD所成角的正弦值． 【方法引导】 由于该几何体的棱长没有具体数值，HA，DF的长可变，且研究发现问题（1）与（2）均与此无关，所以采用局部突破法，只需突破该几何体的局部（三棱锥）即可．分析题意，可发现三棱台上、下两个底面的对应边互相平行且成比例，且三组对边的比值相等．平面平面ABC，作，垂足为H，则平面ABC． 【详细解析】 （1）作于点H，连接BH． 因为平面平面ABC，而平面平面， 所以平面ABC，从而． 因为，所以，则． 取三棱锥，如图，在中， ，即，所以． 由棱台的定义可知，，所以,， 又，所以平面BHD，而平面BHD，所以． （2）因为，所以DF与平面BCD所成角即为CH与平面BCD所成角． 作于点G，连接CG． 由（1）可知，平面BHD，所以平面平面BHD， 而平面平面，所以平面BCD， 即CH在平面BCD内的射影为CG，即为所求角． 设，则， 在中，，所以． 【方法反思】 常规立体几何题的几何体形状是确定的，各个点的位置都能分析出来．然而本题的三棱台形状并不确定，有些点的位置也是变化的，这与常规立体几何认知有冲突，需要通过条件逐步读懂几何体的图形结构，突破局部图形——三棱锥，从而找到合适的解题思路． 【典例2】已知，求证：． 【方法引导】 本题有两个基本思路：一是从整体考虑，研究函数的性质，求得该函数的最小值来求证，但是解题过程非常复杂；二是从局部突破，将原问题转化为求证新的不等式，从两个局部函数和的性质去分析，通过局部的性质来揭示整体的性态，从而间接破题 【详细解析】 令，，则， 易知在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为． 当时，． 故当时，，不等式恒成立． 【方法反思】 整体的特性是由各个局部及其相互作用方式决定的，局部总会以一定的形式或在一定程度上反映整体的性质．在解决某些较复杂的数学问题时，应当善于从局部去认识整体，有局部突破意识． 【举一反三】 1. 如图，已知三棱台中，点在平面内的射影D在上，，，，M，N分别为、的中点． (1)证明：直线平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由，分别为、的中点，所以，从而可获得证明； （2）由（1），将问题转化为求直线与平面所成角的大小，此时需得过点与平面的距离，然后再解三角形即可. 【详解】（1）证明：连接，因为，分别为、的中点，所以， 又平面，平面，故直线平面. （2）由（1）知，只需要求直线与平面所成角的大小， 过作交于，连，，所以，所以四点、、、共面， 因为在三棱台中，，因为，所以，所以， 因为点在平面内的射影D在上，所以平面， 因为平面，所以，因为，且平面， 所以平面，即平面， 在直角三角形中，，，所以，， 在直角三角形中，，则， 过作交延长线于点，连接，同样可证平面， 且，，所以， 所以到平面的距离等于，故即为所求， 在中，，故， 即直线与平面所成角的大小为， 从而直线与平面所成角的大小. 2. 在正三棱台中，已知，，三棱台的高. (1)求棱台的体积； (2)若球与正三棱台内切（与棱台各面都相切），求球的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接代入台体的体积公式求解. （2）利用上下底面之间的距离为内切球的直径求解. 【详解】（1）因为，分别为下底面，上底面面积. . （2）因为上下底面相互平行且均与内切球相切， 故上下底面之间的距离为内切球的直径， 所以，故球O的半径. 所以球的表面积． 3. 已知函数是奇函数，的定义域为，当时，（为自然数的底数） （1）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围； （2）如果当时，不等式恒成立，求实数的范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先根据奇函数的性质得时，，由于，故研究函数在上的极值点得处取得唯一极值点，进而得，解不等式即可得答案； （2）根据题意将问题转化为在区间上恒成立，进而令函数，，研究函数的最小值即可得答案. 【详解】解：（1）设，则，所以， 由于函数是定义域为的奇函数，故， 即当时，， 所以， 解不等式得，解不等式得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得唯一极值点，且为极大值点.， 由于函数在区间上存在极值点， 所以，即. 故实数a的取值范围. （2）根据题意当时，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，即在区间上恒成立； 故令，， ， 令，则在区间上恒成立， 所以函数在区间单调递增，故， 所以区间上恒成立，所以函数在区间单调递增， 所以，即函数在区间上的最小值为， 由于在区间上恒成立，故只需函数即可， 所以，即实数的范围为： 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，不等式恒成立问题，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意将问题转化为在区间上恒成立，进而令函数，并研究函数的最小值问题. 1. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质得到，则，其对称轴方程为，根据单调性得到不等式，求出答案. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故选：A. 2. 已知函数，.若存在，存在，使成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出和的值域，再把原问题转化为函数值域有交集问题，建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】由题意得函数， 故函数的值域为，而，， 由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 故的值域为，而存在，存在， 使成立，可得， 则且，解得，故B正确. 故选：B. 3. 在四个数中（    ） A．任意三个数不能同时等于0 B．任意两个数之和不等于另两个数之和 C．至少有一个数不大于3 D．至少有一个数不小于1 【答案】D 【分析】利用赋值法判断选项A,B,C，利用不等式的性质判断选项D. 【详解】当时，，A错误； 令，则，， 若，即，则四个数相等，B错误； 不妨取， 则，C错误； 记为四个数中最大的数， 当时， 故， 当时，，（时的条件不唯一）； 当时， 不妨设，则只需考虑且的情况， 此时，故，故当时，， 综上所述，，D正确； 故选：D. 4. 若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数的最大值为 ． 【答案】 【分析】先分离常数转化成求的最小值问题，根据，把放缩成，再变形，就可以用基本不等式求最小值，即为的最大值. 【详解】因为x，y，z为正实数，所以，因为， 所以，即，又， 所以. 当且仅当时上式最右侧等号成立. 故答案为： 5. 已知锐角△中，，在△的内部（包括边界）上找一点P，使点P到三边的距离之和最小． 【答案】点P在点A处． 【分析】先对P在△边界上时，研究P在什么位置，到三边距离之和最小；再对P在△的内部时进行研究，通过调整和全面考察确定最优点P的位置． 【详解】情况一，点P在△的边界上时． （1）若点P在边上，如图所示．记△的顶点A，B，C对应的边分别是a，b，c，边a，b，c上的高分别为，，，点P到边c，b的距离分别为x，y，连接． 由，则，即． 由面积关系，得：， ∴（当时取等号）， 点P在点B处时，点P到三边距离之和最小; （2）若点P在边上，点P在点A处时，点P到三边距离之和最小; （3）若点P在边上，点P在点A处时，点P到三边距离之和最小; 综合（1），（2），（3），当点P在点A处时，点P到三边距离之和最小． 情况二，点P在△内部时． 如图所示，过P作的平行线交于点E，交于点F，固定x， 由情况一知，． 让x变化，有，故， 综上，当P在点A处时，最小． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29 局部处理 【练】 1. 若函数为偶函数，则实数a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2. 数列，则（    ） A．44 B．143 C．165 D．502 3. 观察下表： x 1.5 3 5 6 8 9 已知表中的对数值有且只有一个是错误的，则其中错误的对数值是（    ） A．； B．； C．； D．． 4. 用分组分解法分解因式，分组正确的是（    ） A． B． C． D． 5. 三个正数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6. 已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为 ；已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足，且a>b>c，则的取值范围是 . 1. 将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 3. 已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. 已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5. 已知实数、、满足，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6. 已知实数满足，且，则的取值范围是 ． 1. 佩尔数列是一个在计算机科学中有着重要应用的数列.若数列满足，，且，则称数列为佩尔数列.已知为佩尔数列，若为奇数，把换成，若为偶数，把换成0，得到数列，若的前项和为100，则的值可能是（    ） A．198 B．201 C．99 D．100 2. 在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在直线上，点在圆上，点在抛物线上．下列结论中不正确的结论为（ ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 3. 设在二维平面上有两个点，，它们之间的距离有一个新的定义为，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离.已知，两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离大于恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. 已知函数，若存在，使得有解，则实数x的取值范围是 . 5. 已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求在内的单调区间. (2)设函数，证明：. 6. 已知正三棱锥的高为2，，其内部有一个球与它的四个面都相切，求： (1)正三棱锥的表面积； (2)正三棱锥内切球的表面积与体积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29 局部处理 【讲】 整体和局部是同一事物的两个方面．有些数学问题从整体上处理难以解决，就必须先分析研究问题的某一部分，得出初步结论后，再进一步研究，从而使数学问题获得解决．这种分析问题和解决问题的思维方法称为局部处理法． 类型一 局部固定法 【典例1】已知函数是偶函数，则__________． 【方法引导】 由是偶函数，得 ,注意到 ，其中 。是奇函数，为使 为偶函数（奇函数 × 奇函数 = 偶函数），需 为奇函数，即 ,再由 建立方程解出的值。 【详细解析】 由题意可知，局部函数是奇函数，故， 整理得，故． 【方法反思】 分离 （奇函数）与剩余部分 ，将问题转化为 需为奇函数。 利用对称性直接建立方程，避免复杂展开。要注意时（恒成立），不影响方程求解。等号成立条件需恒成立，确保有效。运用局部固定法时要先研究问题的某一部分，得出初步结论后，根据题意再研究剩余部分性质. 【典例2】已知，，，，则的最小值为__________． 【方法引导】 先固定变量c，将原不等式看成关于变量a，b的代数式，求出最小值，再让变量c变化，进一步求出原不等式的最小值． 【详细解析】 先固定c，因为，，， 所以， 当且仅当时等号成立． 因此，， 当且仅当，时等号成立，即的最小值为． 【方法反思】 本题考查分析问题与解决问题的能力，对逻辑推理能力要求很高．从条件中发现变量a，b是相互制约的，变量c相对独立，故采用局部固定法，固定变量c，即提取c后进行变形处理，进而得解． 【举一反三】 1. 已知函数. （1）当时，比较与1的大小； （2）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）求证：对于一切正整数，都有. 2. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求、的值； （2）如果当，且时，，求的取值范围． 3. 求三位数与其各位数字之和的商的最小值，并写出这个三位数． 类型二 局部突破法 【典例1】如图，在三棱台中，平面平面ABC，，． （1）证明：； （2）求DF与平面BCD所成角的正弦值． 【方法引导】 由于该几何体的棱长没有具体数值，HA，DF的长可变，且研究发现问题（1）与（2）均与此无关，所以采用局部突破法，只需突破该几何体的局部（三棱锥）即可．分析题意，可发现三棱台上、下两个底面的对应边互相平行且成比例，且三组对边的比值相等．平面平面ABC，作，垂足为H，则平面ABC． 【详细解析】 （1）作于点H，连接BH． 因为平面平面ABC，而平面平面， 所以平面ABC，从而． 因为，所以，则． 取三棱锥，如图，在中， ，即，所以． 由棱台的定义可知，，所以,， 又，所以平面BHD，而平面BHD，所以． （2）因为，所以DF与平面BCD所成角即为CH与平面BCD所成角． 作于点G，连接CG． 由（1）可知，平面BHD，所以平面平面BHD， 而平面平面，所以平面BCD， 即CH在平面BCD内的射影为CG，即为所求角． 设，则， 在中，，所以． 【方法反思】 常规立体几何题的几何体形状是确定的，各个点的位置都能分析出来．然而本题的三棱台形状并不确定，有些点的位置也是变化的，这与常规立体几何认知有冲突，需要通过条件逐步读懂几何体的图形结构，突破局部图形——三棱锥，从而找到合适的解题思路． 【典例2】已知，求证：． 【方法引导】 本题有两个基本思路：一是从整体考虑，研究函数的性质，求得该函数的最小值来求证，但是解题过程非常复杂；二是从局部突破，将原问题转化为求证新的不等式，从两个局部函数和的性质去分析，通过局部的性质来揭示整体的性态，从而间接破题 【详细解析】 令，，则， 易知在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为． 当时，． 故当时，，不等式恒成立． 【方法反思】 整体的特性是由各个局部及其相互作用方式决定的，局部总会以一定的形式或在一定程度上反映整体的性质．在解决某些较复杂的数学问题时，应当善于从局部去认识整体，有局部突破意识． 【举一反三】 1. 如图，已知三棱台中，点在平面内的射影D在上，，，，M，N分别为、的中点． (1)证明：直线平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 2. 在正三棱台中，已知，，三棱台的高. (1)求棱台的体积； (2)若球与正三棱台内切（与棱台各面都相切），求球的表面积. 3. 已知函数是奇函数，的定义域为，当时，（为自然数的底数） （1）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围； （2）如果当时，不等式恒成立，求实数的范围. 1. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数，.若存在，存在，使成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3. 在四个数中（    ） A．任意三个数不能同时等于0 B．任意两个数之和不等于另两个数之和 C．至少有一个数不大于3 D．至少有一个数不小于1 4. 若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数的最大值为 ． 5. 已知锐角△中，，在△的内部（包括边界）上找一点P，使点P到三边的距离之和最小． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29 局部处理 【练】 1. 若函数为偶函数，则实数a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据复合函数的奇偶性先固定，再判断为奇函数，据此解出。 【详解】因为为偶函数，为奇函数， 所以为奇函数， 所以， 所以． 故选：A. 2. 数列，则（    ） A．44 B．143 C．165 D．502 【答案】C 【分析】利用分组求和及等差数列求和公式计算即可. 【详解】易知. 故选：C 3. 观察下表： x 1.5 3 5 6 8 9 已知表中的对数值有且只有一个是错误的，则其中错误的对数值是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则，确定表中对数的关系，明确不可能错的对数值，从而最终得出结论． 【详解】观察表格发现，，，满足， 所以二者不可能只有1个错误． 由于表中的对数值有且只有一个是错误的，因此与都正确． 同理，， 所以与都正确． ， 所以也正确． 因此，只能是错误． 故选：A． 4. 用分组分解法分解因式，分组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析的特征易得结果. 【详解】. 故选：D. 5. 三个正数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出12①，1②，固定，消去除的式子可得，解出的取值范围. 【详解】∵三个正数a，b，c，满足a≤b+c≤2a，b≤a+c≤2b， ∴12①，1②， 由②得1③， ①+③得11≤2④， ④等价于，即， ∴．故选：A． 6. 已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为 ；已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足，且a>b>c，则的取值范围是 . 【答案】 4 【分析】由题设将＋＋转化为，再应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件；根据已知条件可得b＝－(a＋c)，进而有1>，即可求的取值范围. 【详解】由a＞0，b＞0，ab＝1， ∴原式＝，当且仅当，即a＋b＝4时等号成立，故＋＋的最小值为4. 由，即b＝－(a＋c).又a>b>c， ∴a>－(a＋c)>c，且a>0，c<0，则1>. ∴，解得，故的取值范围为. 故答案为：4，. 1. 将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则每组个数据，每组中位数均为第个数，比它大的或比它小的数均为个数，所以甲组的中位数可能为或，进而按题意解出分组方法数即可. 【详解】将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数， 使得甲组的中位数比乙组的中位数小2， 则每组个数据，每组中位数均为第个数，比它大的或比它小的数均为个数， 所以甲组的中位数可能为，而此时乙组的中位数一定是， 则一定在乙组数据中；此时不同的分组方法数为：； 甲组的中位数可能为，而乙组的中位数一定为，此时必须在甲组数据中， 此时不同的分组方法数为：； 所以不同的分组方法数为：. 故选：B. 2. 已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义及对数运算即可求解． 【详解】函数的定义域为， 因为是奇函数， 所以恒成立， 所以， 故选：A． 3. 已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，，结合基本不等式，求出的范围，即可求出的取值范围． 【详解】∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴， ∴， 故选：C. 4. 已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数新定义计算在区间有解问题，列方程换元求解即可. 【详解】根据“局部奇函数”的定义可知，方程有解即可， 即，所以， 化为有解，令， 由基本不等式可知，当且仅当时取等，故， 则有在上有解，设，对称轴为． ①若，则，满足方程在上有解； ②若，要使在时有解，则需， 解得． 综上可得，实数的取值范围为． 故选：B. 5. 已知实数、、满足，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设，由已知推出，将多变量问题转化为单变量问题，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】设，则， ， 则，则， 即有， 故 ， 当且仅当，即或时取等号， 验证，时，，则，符合题意，； 时，，则，，符合题意， 故选：C 6. 已知实数满足，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，则原式化简为，再根据二次函数的性质，结合求解最值即可. 【详解】， 令，根据，且，作出可行域可得，当时，有最小值0，当时，有最大值，故. 设，根据二次函数的性质可得当时，， 当时，. 所以原式的取值范围是． 故答案为： 1. 佩尔数列是一个在计算机科学中有着重要应用的数列.若数列满足，，且，则称数列为佩尔数列.已知为佩尔数列，若为奇数，把换成，若为偶数，把换成0，得到数列，若的前项和为100，则的值可能是（    ） A．198 B．201 C．99 D．100 【答案】B 【分析】由为偶数，可得与同奇或同偶，进而可得通项公式与前项和公式，据此可得答案. 【详解】根据数列满足，，且， 则为偶数，则与同奇或同偶.又，， 可得的奇数项为偶数，偶数项为奇数，则. 即，其中. 所以数列的各项依次为0，，0，4，0，，0，8，…， 注意到，设数列的前项和为， 则时，， 又 ，则； 则，. 则 因的前项和为100，则 或 故选：B. 2. 在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在直线上，点在圆上，点在抛物线上．下列结论中不正确的结论为（ ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】A选项，设，利用绝对值不等式的性质得到；B选项，由基本不等式得到；C选项，设，，故，从而得到最小值；D选项，设，，则，D正确. 【详解】对A：设， 则（当且仅当时取“”）. 故A错； 对B：设，则， 由于， 则，故B对； 对C：设，， 则 ， 其中， 当且仅当时，取得最小值，最小值为， 此时，时取“”）.故C对； 对D：设，， 则 （当且仅当时取“”）.故D正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：关键点之一是对“折线距离”的理解，写出折线距离；关键点之二是含有绝对值的式子的处理，可根据绝对值的放缩和绝对值不等式，去掉绝对值的符号求解相关最值. 3. 设在二维平面上有两个点，，它们之间的距离有一个新的定义为，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离.已知，两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离大于恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将问题等价转换为当时，或恒成立，对进行分类讨论即可求解. 【详解】已知，两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离大于恒成立， 则恒成立， 所以恒成立， 情形一：当时，即或时， 不等式恒成立， 情形二：当时，或恒成立， 故或恒成立， （i）当时，或恒成立， 当且仅当或恒成立， 当且仅当或符合题意； （ii）当时，或恒成立， 当且仅当或恒成立， 当且仅当或符合题意； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 4. 已知函数，若存在，使得有解，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【分析】先判断为奇函数，得，固定，判断剩余部分的单调性，再列出不等式，分类讨论进行求解. 【详解】设， 则， 故为奇函数， 由得， 即. 当时，， 由在上单调递增，在上单调递增， 则在上单调递增， 又为奇函数， 所以在上单调递增. 故由得，即， 由题意，存在使得有解， 当时，，不符合题意； 当，即时，，解得或，故； 当，即时，，解得或，故. 综上可得，实数x的取值范围是. 5. 已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求在内的单调区间. (2)设函数，证明：. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）求导根据切线公式得到，，再根据导数的正负得到函数单调区间. （2），设，求导得到函数单调区间，计算最小值为1，设，求导得到单调区间，计算，得到证明. 【详解】（1）因为，所以，又，所以. 当时，；当时，. 所以在内的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）. 设函数，则. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以， 所以. 设函数，则， 设，则， 令，得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 则， 所以，从而增函数， 则， 因此， 故. 【点睛】本题考查了函数图像的切线问题，求函数的单调区间，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，其中将函数转化为两部之积分分别计算最小值是解题的关键. 6. 已知正三棱锥的高为2，，其内部有一个球与它的四个面都相切，求： (1)正三棱锥的表面积； (2)正三棱锥内切球的表面积与体积． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）根据正三棱锥棱长与锥体的高关系求出锥体的表面积； （2）根据等体积法求出内切球的半径，即可求出内切球的表面积和体积. 【详解】（1）由题意，如图所示． 底面三角形中心到AC的距离， 则正棱锥侧面的斜高为．    ． 故． （2）设正三棱锥的内切球球心为， 联结、、、， 而点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径， ． 又， ，解得． ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $