21.2.2 平行四边形的其它性质课件2025-2026学年人教版数学八年级下学期

第二十一章 四边形 21.2.1 平行四边形的其它性质 学习目标 1.探索并熟练运用平行四边形的性质. 2.理解两条平行线之间的距离的概念.能熟练运用平行线之间的距离的概念去解题. 3.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透 转化思想， 体会图形性质探究的一般思路. 重点：熟练运用平行四边形的性质 难点：平行线之间的距离 复习导入 1.如图，在□ABCD中. (1)若∠A=130°，则∠B=______ ，∠C=______ ，∠D=______. (3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_____，∠B=______. (2)若AB=3,BC=5,则它的周长= ______. C D A B 50° 130° 50° 100° 80° 16 复习导入 2.如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，F．求证：AE=CF． 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A= ∠C，AD=CB. 又∠AED= ∠CFB=90°， ∴ △ADE≌△CBF（AAS）, ∴AE=CF. 思考 在上述证明中还能得出什么结论？ D A B C F E DE=BF 平行线之间的距离 探究新知 知识点1 平行线之间的距离 两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 数学语言：a//b，A是a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a、b之间的距离. a b A ┐ B 探究新知 知识点1 平行线之间的距离 距离 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 联系 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，从一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度 都是指某一条线段的长度 探究新知 知识点2 平行线之间的距离的性质 两条平行线间的距离处处相等. 若m // n，AB、CD、EF垂直于 n，交n于B、D、F，交 m于A、C、E. B F E A n m C D 点到直线的距离 两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离 易知四边形ABCD，CDEF均为平行四边形. 由平行四边形的性质得AB=CD=EF. 探究新知 知识点2 平行线之间的距离的性质 性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等. 数学语言：如图所示，A、C是直线l1上的任意两点. l1 l2 A B ┐ ┐ C D ∵ l1 // l2 ，AB⊥ l2 ，CD⊥ l2 ， ∴ AB=CD. 探究新知 知识点2 平行线之间的距离的性质 C B F E A D 若m // n，作 AB // CD // EF，分别交 m于A、C、E，交 n于B、D、F. 两条平行线之间的平行线段相等. m n 思考：AB、CD、EF的大小关系？ 针对训练 1. 如图，a//b，AB//CD，FG⊥b，CE⊥b，下列说法不正确的是（ ）. A.AB=CD B.EC=FG C.AB=FG D.a、b之间的距离就是CE的长度 C A B C D E F G ┐ ┐ a b 2.直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a∥b. 点P在直线a，b之间，若PA＝3，PB＝4，则直 线a，b之间的距离(　　) A．等于7 B．小于7 C．不小于7 D．不大于7 D 典例解析 题型1 平行线之间的距离 证明：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC， 过点 A，D 分别作AE⊥BC，AF⊥BC， 垂足分别为E，F. 例1 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC. 求证∠B＝∠C. ∵AE，DF 的长都是平行线 AD，BC 之间的距离， ∴ AE＝DF. 又 AB＝DC. ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF. ∴∠B＝∠C. A B C D E F 针对训练 3.如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2，求△ABD中AB边上的高． 解：S△ABC = AB•BC, = ×4 ×BC=12cm2， ∴BC=6cm. ∵AB∥CD， ∴点D到AB边的距离等于BC的长度， ∴△ABD中AB边上的高为6cm． 因为平行线间的距离处处相等，所以在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置. 针对训练 4.如图，四边形ABCD是平行四边形,若AB=6，CB=3，AD与CB之间的距离是4，求AB与CD之间的距离． 解：由题意可知，AB∙DE=CB∙DF． ∵AB=6，CB=3，DF=4， ∴6DE=3×4，解得DE=2. ∴AB与CD之间的距离为2. 针对训练 5.如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积. 解：设AB=x，则BC=24-x. 根据平行四边形的面积公式可得5x=10(24-x)， 解得x=16． 则平行四边形ABCD的面积为5×16=80． 典例解析 题型2 经过对角线交点的线段 例2 如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF. A B C D F E O 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ODF=∠OBE, ∠DFO=∠BEO, ∴△DOF≌△BOE（AAS）, ∴AB∥CD, OD=OB, ∴OE=OF. 思考 改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗? 探究新知 知识点3 经过对角线交点的线段 A B C D O E F A B C D O E F A B C D O E F 请判断下列图中，OE=OF还成立么？ 同例2易证明OE=OF还成立. 【点睛】过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等. 针对训练 5.如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 的直线 EF 与 BA，DC 的延长线分别交于点 E，F，求证：AE=CF。 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC，AB∥CD。 ∴∠AEO=∠CFO。 在 △AOE 和 △COF 中， ​ ∠AEO=∠CFO, ∠AOE=∠COF, AO=CO,​ ∴△AOE≅△COF (AAS)。 ∴AE=CF。 探究新知 知识点3 经过对角线交点的线段 问题 平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？ 解：相等.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵△ADO与△ODC等底同高， ∴S△ADO=S△ODC. 同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB. 还可结合全等来证哟. 【点睛】平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等. 典例解析 题型2 经过对角线交点的线段 A B C D O F E 例3 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？ M N 解：设直线EF交AD,BC于点N,M. ∵AD∥BC, ∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO. 又∵AO=CO, ∴△NAO≌△MCO， ∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB =S△AOB+S△COB= . ∴S四边形ANMB=S四边形CMND, 即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等. 探究新知 知识点3 经过对角线交点的线段 A B D O E F A B C D O E F C A B C D O E F 思考 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？ 【点睛】过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分. 同例3易求得平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等. 针对训练 6.如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．则下列说法： ①OE=OF； ②图中共有4对全等三角形； ③若AB=4，AC=6，则2＜BD＜14； ④S四边形ABFE=S△ABC． 其中正确的有（　　） A．①④　　 B．①②④ C．①③④　　 D．①②③ C 针对训练 7.如图，平行四边形ABCD的面积为20，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，CD上的点，且AE=DF，则图中阴影部分的面积为_______． 5 针对训练 8.如图所示，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=，AC=2，BD=4. （1）求证：AB⊥AC； （2）求AE的长． （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， AC=2，BD=4，∴OA=AC=1，OB=BD=2. 又∵AB=，∴OA2＋AB2=OB2， ∴△BAO为直角三角形，且∠BAO=90°，∴AB⊥AC． （2）解：∵△BAC为直角三角形，且∠BAC=90°， ∴BC2=AB2＋AC2.∵AB=，AC=2，∴BC==， ∴S▱ABCD=AE∙BC=AB∙AC，∴AE==． 归纳总结 两条平行线之间的距离 概念 性质 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等. 夹在两条平行线之间的平行线段相等. 归纳总结 平行四 边形对角线的 性质 平行四边形对角线互相平分 两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等. 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对角线围成的三角形相对的两个全等. 作业布置 课堂作业:P65习题21.2的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $