第9章 因式分解 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学下册（苏科版）

第9章 因式分解 思维导图 【类型一】因式分解的定义 1．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项右边是和的形式，整个式子没有化为几个整式的乘积的形式，不符合因式分解的定义，错误． B选项右边是差的形式，整个式子没有化为几个整式的乘积的形式，不符合因式分解的定义，错误． C选项左边多项式变形后为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，正确． D选项变形是整式乘法，是将乘积化为和的形式，不是因式分解，错误． 2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断即可． 【详解】解：∴A选项变形是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解， B选项是将多项式变形为几个整式乘积的形式，是因式分解， C选项左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解要求， D选项是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解． 3．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式乘积的形式，需同时满足变形正确、结果为整式乘积两个要求，据此解答即可． 【详解】解：A、，原式变形错误，不符合要求； B、等式右侧是分式，不是整式，不符合因式分解要求，不符合要求； C、等式右侧是两个整式乘积加单项式，不是乘积形式，不符合因式分解定义，不符合要求； D、对左侧变形：，变形正确，结果是两个整式的乘积，符合因式分解定义，符合要求． 【类型二】公因式 1．多项式 的公因式是（   ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查公因式，根据三定法：定系数—系数的最大公约数，定字母—相同字母，定指数—相同字母的最低次幂，确定公因式，进行判断即可． 【详解】解：多项式的公因式是； 故选A． 2．用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键． 先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂． 【详解】∵多项式中，系数3和9的最大公因数是3，字母部分和的最低次幂是x． ∴该多项式的公因式为． 故选：C 3．若多项式的公因式是，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】公因式的确定需要取各项系数的最大公约数，以及各项都含有的相同字母的最低次幂．本题中，公因式是，说明在多项式中，的最低次幂是，因此的次数必须不小于． 【详解】解：A、当时，的次数为，小于，此时公因式中的次数应为，不符合题意； B、当时，的次数为，小于，此时公因式中的次数应为，不符合题意； C、当时，的次数为，小于，此时公因式中的次数应为，不符合题意； D、当时，的次数为，不小于，此时公因式中的次数应为，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了知识点公因式的确定方法，解题关键是明确公因式中相同字母的指数取各项中最低的那个，因此需要保证． 【类型三】判断公式法因式分解 1．下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了用平方差公式分解因式，根据平方差公式的结构特征，即两个平方项的差（符号一正一负），逐项判断即可． 【详解】解：A．是两个平方项的和，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； B．，符合平方差公式结构，能直接用平方差公式分解因式； C．是两个平方项和的相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； D．是三项式，是完全平方公式的形式，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 2．下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查公式法分解因式，公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式．再逐一判断各选项是否能用于分解因式. 【详解】解：选项A： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项B： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项C： 不匹配完全平方公式与平方差公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项D： ， ∵， ∴ 能用公式法分解因式. 故选：D 3．给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式. 逐一整理后根据完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式； ②，能用完全平方公式分解因式； ③，不能用完全平方公式分解因式； ④，能用完全平方公式分解因式； ⑤，能用完全平方公式分解因式； 所以能用完全平方公式分解因式的有3个． 故选：C． 【类型四】因式分解生成密码 1．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式 ，将其分解因式为．若取，， 则有，，，其中 12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是（ ） A．111525 B．151025 C．101525 D．1215 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，将多项式分解因式，代入和的值计算因式码，再按从小到大顺序排列得到密码，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解此题的关键． 【详解】解：， 代入，，可得，，， 因式码为10、15、25， 按从小到大排列为10、15、25， ∴密码为101525， 故选：C． 2．密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）． A．4184 B．4084 C．4284 D．4384 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式分解因式为，因式码为这三个因式的值.给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中间的值和最小的值分别为8和4.通过分析因式关系，确定和，解得，计算，排序因式码为40、8、4，形成密码4084. 【详解】解：∵， 设因式码为，，，且（确保因式码为正）， 给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中值为8、最小值为4， ∵，为正整数且， ∴ 又， ∵， ∴，， ∴ 故三个因式码从小到大依次为，， ∵， ∴可能情况为，， 则 解得： 此时， 因式码排序为40、8、4，密码为4084， 其他情况（如或）均无正整数解， ∴密码为4084， 故选：B． 3．日常生活中经常需要密码，如取款、上网等，我们可以用“因式分解”的方法产生密码，方便记忆．如将多项式分解因式为，取，计算因式的值分别为，，，密码就可以设置为018162，180162等．按照上述产生密码的方法，多项式，在取，时，密码不可能设置为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用．将多项式因式分解后代入x和y的值，得到三个因式的值，密码由这些值按任意顺序拼接而成，选项D的拼接结果中包含不在这些值中的数字，因此不可能，据此进行分析，即可作答． 【详解】解： ∵，： ∴，， ∴的值为12、24、48， 依题意，密码为这些值的任意顺序拼接，选项A、B、C均为的拼接，选项D为，拆分为，其中21不在因式值中， ∴ 密码不可能设置为D选项， 故选：D 【类型一】提公因式法分解因式 1．因式分解． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式，即可因式分解； （2）将化为，再提公因式，即可因式分解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 2．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】应用提公因式法解题即可，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 3．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】运用提公因式法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【类型二】平方差法分解因式 1．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握公式法的运用． 连续两次利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 2．将下列多项式因式分解： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平方差公式因式分解； （2）根据平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 3．分解因式：． 【答案】 【分析】利用平方差公式即可进行因式分解． 【详解】原式． 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解．观察式子的形式特点，选择正确的因式分解方法是解题关键． 【类型三】完全平方法分解因式 1．分解因式 【答案】 【分析】题目主要考查利用完全平方公式因式分解，熟练掌握因式分解方法是解题关键． 利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 2．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 3．因式分解：． 【答案】 【分析】利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：（x-y）2+6（x-y）+9=（x-y+3）2． 【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 【类型四】综合方法分解因式 1．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 2．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可； （2）将前面两项和后面两项分成两组，分别提公因式，再次利用提公因式法因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将看作整体，利用完全平方公式进行初步分解，再利用平方差公式进行分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解； （3）先分组分解，再提取公因式； （4）设，提取公因式后，用十字相乘进行分解，再将还原成即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：， 设， 原式， ∵， ∴原式． 【类型五】简便计算 1．简便运算： (1) (2) 【答案】(1)4000 (2)4 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对算式进行变形简化． （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 2．运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的简便运算，涉及提取公因式、平方差公式、完全平方公式，掌握观察式子结构，通过提取公因式或凑乘法公式简化计算是解题的关键． （1）提取公因式，再用平方差公式因式分解简化计算． （2）将转化为，凑完全平方公式因式分解． （3）统一各项系数为，提取公因式后计算括号内的和． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 3．利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【类型一】十字相乘法 1．整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)7或或2或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘再相加得到，据此可得答案． （2）把展开，得出，，把分解成两个整数的乘积形式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数，且， ∴或或或或或或或 ∴或或或或或或或 ∴整数p的所有可能值为7或或2或． 2．阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 【答案】（1）；（2）；（3），画图见解析 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键； 任务一：（1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由题意得一次项系数为：2，二次项系数是1，常数项，一次项系数，再利用十字相乘法分解因式即可； 任务二：（3）根据提示方法求解即可． 【详解】解：任务一：（1） ； （2） ； 任务二：（3） ，二次项系数是1，常数项，一次项系数， ∴， 如图 故答案为：． 3．阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项 ③横向写出两因式 我们将这种十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或．试用上述方法和原理解下列方程： （1） （2） （3） 变式：菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为______． 【答案】（1）；（2）；（3）；变式：20 【分析】本题考查了菱形的性质，解一元二次方程-十字相乘法，熟练掌握解一元二次方程-十字相乘法是解题的关键． （1）（2）（3）根据乘法原理：若，则或解答即可． 变式：根据乘法原理先求出方程的根，再分情况求出菱形的周长即可． 【详解】解：（1）， ∴， 或， 解得：． （2）， ∴， 或， 解得：． （3） ∴， 或， 解得：． 变式：， ∴， 或， 解得：． 当菱形的边长为5时，根据菱形的性质可得，另一条对角线长为，符合题意，此时菱形的周长为， 当菱形的边长为4时，根据菱形的性质可得，另一条对角线长为，不符合题意，舍去， 综上，菱形的周长为20． 故答案为：20． 【类型二】分组分解法 1．要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形． 【分析】（1）根据分组分解法因式分解即可； （2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可； （3）根据分组分解法因式分解后，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解： ． （2），， ． （3） ∵的三边长， ∴ ∴， ∴ ∴是等腰三角形． 2．阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题以整体换元法为背景考查了完全平方公式的应用，关键是要找到整体即可解答． （1）将看作整体换元，利用完全平方公式即可求解； （2）将看成整体换元，即可求解； （3）将中第一项与第四项结合，第二项第三相结合展开，利用整体换元即可求解． 【详解】（1）解：（1）将看成整体，令， 则原式， 再将a还原，得到原式， 故答案为：； （2）∵， ∴ ∴ ； （3）证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数）， 则 将看成整体，令， 则原式 ， 再将b还原，得到原式， ∵n为整数， ∴为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． ∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 3．请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即． 这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如： ． (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，非负数的性质，解题的关键是掌握分组分解法． （1）根据分组分解法，结合平方差公式和完全平方公式，因式分解即可； （2）根据分组分解法，结合平方差公式和提公因式法，因式分解即可； （3）先将，变形为，然后根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴． 【类型三】配方法求最值 1．【材料阅读】学习了因式分解之后，老师布置的阅读材料如下：把代数式通过配凑等方法，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、求最值（最小值或最大值）问题中有着广泛的应用． 例：①利用配方法因式分解：． 解：原式 ． ②利用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． ∵是非负数， ∴， ∴． ∴代数式的最小值为2． 【材料应用】请根据上述阅读材料提供的方法，解决下列问题． (1)利用配方法因式分解：． (2)利用配方法求代数式的最小值． (3)利用配方法求代数式的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法在因式分解和求代数式最值中的应用，熟练掌握配方法的步骤以及完全平方式的非负性是解题的关键． （1）先通过配凑，将转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）先提取二次项系数，再通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，根据完全平方式的非负性求最小值． （3）先提取二次项系数的负号，再通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，根据完全平方式的非负性求最大值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 故代数式的最小值为． （3）解： ， ， ， ， 故代数式的最大值为． 2．阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般地，我们将形如的多项式叫做完全平方式，有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解： 任务一： （1）运用配方法将多项式因式分解； （2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数． 任务二： “创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，理解题意，掌握配方法的过程是解题的关键． （1）仿照题意，运用配方法进行因式分解即可； （2）运用配方法将多项式变形为，再根据非负数的性质即可说明； （3）设，则原多项式可化为，再利用配方法进行因式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵， ∴， 即原式的值一定是一个正数； （3）设， 原式 ． 3．阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般的，我们将形如的多项式叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解： ． 任务一： （1）运用配方法将多项式因式分解； （2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数． 任务二： “创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程； （4）上述解题过程中渗透的数学思想为_______（填序号即可） ①分类讨论  ②数形结合  ③整体思想 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）③ 【详解】本题考查了用配方法分解因式，掌握因式分解的完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）将多项式，再，使构成完全平方式，再运用平方差公式分解即可； （2）将多项式，再，使构成完全平方式，原式化为，再根据平方的非负性判断即可； （3）设，则原式化为，进一步按配方法分解，分解后将代入即可得解； （4）将看作一个整体，这种解题方法是整体思想，据此回答即可． 解：任务一： （1）原式 （2）原式 ． 一定是一个非负数， 一定是一个正数． 即原式的值一定是一个正数． 任务二： （3）设，则原式化为 ． （4）③． 故答案为：③． 【类型四】因式分解的几何应用 1．对于一个平面图形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，可以得到一个因式分解等式． 利用图1，可以得到一个因式分解等式：；如图2所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①、②都是剪成边长为a的大正方形．③、④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形． (1)观察图2，可以发现多项式可因式分解为________； (2)若图2中每块小长方形的面积为7，四个正方形的面积之和为22，试求图2中所有裁剪线（虚线部分）长之和； (3)类似的，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图3表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：________． 【答案】(1) (2)30 (3) 【分析】本题考查几何图形与整式乘法，熟练掌握整式乘法的应用是解题的关键， （1）利用两种不同的方法计算图中的面积，即可得，从而得到答案； （2）根据题意可得：所有裁剪线长之和为：，由于每块小长方形的面积为7，四个正方形的面积之和为22，所以可得到，，进而求出的值，即可得到答案； （3）根据图中图形的变化关系可得到几何体的体积不变，分别求出几何体变化前后的体积即可得到答案． 【详解】（1）解：由图2可得：矩形的面积为：， ∴， 故答案为：． （2）解：由图得，所有裁剪线长之和为：， 每块小长方形的面积为7，， 四个正方形的面积之和为22， ， ∴， ∴， 或（舍去）， ． （3）解：由图3中左图得，几何体体积为：， 由图3中右图得，几何体体积为， ． 故答案为：． 2．数形结合是一种将抽象的数学概念与直观的图形相结合，帮助理解和解决数学问题的重要思想方法．《整式的乘法》这一章中，我们利用数形结合思想，体验并理解了整式乘法法则、平方差公式及完全平方公式等的几何意义．年级数学兴趣小组的同学们课后继续进行了如下的探究： 【探究一】如图1，卡片①是边长为的正方形．卡片②是边长为的正方形．卡片③是长和宽分别为，的长方形． （1）若已经选取4张卡片①，4张卡片③，则还应选取_____张卡片②才能用它们拼成一个新的正方形，这个新正方形的边长是_____（用含，的式子表示）； （2）选取4张卡片③在纸上按图2的方式进行拼图，可以得到中间阴影部分为正方形、若将阴影部分正方形的面积用两种不同的方法表示，则可验证等式：__________． 【探究二】如图3，该几何体由3个大小不同的长方体（如图4）组成，其中第一个长方体中，，．第二个长方体中，，第三个长方体中，． （3）若将图3的几何体的体积用两种不同的方法表示，则可验证等式：_____（将该等式表示为将一个多项式分解因式的形式）． （4）利用上面的结论，解决问题： 已知，求的值． 【答案】（1）1，；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键． （1）根据即可得解； （2）图2中阴影部分的面积的两种表示方法，即可得解； （3）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积或3个长方体的体积之和，即可求解； （4）由，可得，根据，代入求值即可． 【详解】解：（1）， 若已经选取4张卡片①，4张卡片③，则还应选取1张卡片②才能用它们拼成一个新的正方形，这个新正方形的边长是， 故答案为：1，； （2）图2中阴影部分的面积可看作是边长为的小正方形的面积，图2中阴影部分的面积也可看作是边长为的大正方形面积减去4个长方形的面积． 可以得一个多项式的因式分解为：， 故答案为：； （3）由几何体的体积为大正方体的体积减小正方体的体积得到的几何体的体积为， 由几何体的体积为3个长方体的体积之和，且3个长方体的高都可以看作，底面积分别看作、、， 体积为， ， 故答案为：； （4），， ， ， ． 3．某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释． 例如，图1可以解释．于是小明拼出如图2所示的边长为的正方形，图2可以解释 小组成员发现可利用图2的结论解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若满足如下条件： ，求的值． (3)已知，，，，且．求证：不能成为一个三角形的三条边长； 【答案】(1)38 (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，三角形三边关系，不等式的性质等，正确识图，得到是解题的关键． （1）直接利用求解即可； （2）设，，，则，，，然后根据可得出关于t的方程，然后利用平方根的定义解方程并检验即可； （3）由，可得，结合（1）中结论、不等式的性质，变形为，再根据，可得，推出，根据三角形三边关系即可判断． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：设，，， ∵， ∴，，， 又， ∴， 整理得， ∴， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴； （3）证明：由题意得，， ∴， 整理得：， 即， ∴， ∴ ∵， ∴， 故，即， ∴a，b，c不能成为一个三角形的三条边长． 1．（24-25七年级下·吉林长春·月考）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平方差公式，灵活掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式的形式，逐一判断各选项多项式相乘是否满足“两个数的和与这两个数的差相乘”的结构，进而选出不能用平方差公式计算的选项． 【详解】解：，它满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则不符合题意， ，它满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则不符合题意， ，它不满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则符合题意， ，它满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则不符合题意， 故选：． 2．（24-25八年级下·江西抚州·月考）不论x，y为何实数，的值总是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 【答案】A 【分析】利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】 ∵， ∴， ∴的值总是正数． 3．（25-26九年级下·重庆·月考）小南用若干个小马按如图所示的规律摆出图形，其中第①个图形有5匹小马，第②个图形有12匹小马，第③个图形有22匹小马，．．．，按照这一规律，则第⑥个图形中小马的数量为（   ） A．91 B．70 C．65 D．51 【答案】B 【分析】找出图形中小马个数的变化规律，得到规律第n个图形有小马匹，据此即可求解． 【详解】解：第①个图形有5匹小马，， 第②个图形有12匹小马，， 第③个图形有22匹小马，， ……， 第n个图形有匹小马． 按照这一规律，则第⑥个图形中小马的数量为． 故选：B． 4．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·月考）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，将等式左边进行因式分解，得到两个完全平方的和为零，利用非负数的性质得出三边相等即可． 【详解】解：， ， 即， ， 且， 且， ， 是等边三角形． 故选：B． 5．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）因式分解： _________ ． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用十字相乘法因式分解． 【详解】解：． 6．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，因式分解；先根据已知求出，，然后把提取公因式分解因式，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴将代入可得， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东日照·月考）已知，，，则代数式的值为____． 【答案】 【分析】本题考查利用完全平方公式，因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． 通过已知条件可求得，，的值，将代数式适当变形为，将，，的值代入即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， 则 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏南通·月考）分解因式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）直接提取公因式即可； （2）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 9．（24-25七年级下·甘肃陇南·月考）现有甲、乙、丙三种卡片，如图所示．某同学从中取出若干张卡片，拼成如图和图的图形，如图所示． (1)若图的面积为，图的面积为，求和；（用代数式表示） (2)已知卡片乙的周长为，若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据长方形的面积公式，用含，的代数式分别表示出和即可； （2）根据卡片乙的周长为得出，再根据，进行整式的加减运算，再因式分解，结合整体思想进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ； （2）解：卡片乙的周长为， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ． 10．（25-26八年级上·湖北荆门·月考）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为s，偶次项系数之和为t，若，则，若，则．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出m，n的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中________，________； (2)对于一元多项式，必定有f（________）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解； （1）根据题意，展开即可求解； （2）根据定义，可得奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，即可求解； （3）根据（2）的结论，设，进而即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设 ∴ 解得：， 故答案为：，． （2）解：∵ 其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为 ∴ （3）∵ ∴多项式中有因式 设 ∴ ∴， ∴ 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可得到结果. 【详解】解：选项A中，左边是单项式，不是多项式，不符合要求，不属于因式分解； 选项B中，右边变形后含有分式，不是整式，不符合要求，不属于因式分解； 选项C中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解； 选项D中，该变形是整式乘法，是从乘积化为多项式，不是因式分解. 2．（25-26八年级上·福建·期中）若三边a，b，c满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等腰三角形的判定，将方程因式分解得，由于三角形三边之和，故，即，因此三角形为等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为的三边， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故选：A． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别表示颍、爱、我、州、丽、美．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美丽 B．美丽颍州 C．我爱颍州 D．颍州美丽 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式，得到 ，再根据密码手册找出对应的字，组合成词语． 【详解】解： ， ∵代表我，代表爱，代表州，代表颍， 故结果呈现的密码信息可能是我爱颍州， 故选：C． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，解题的关键是配方． ①通过配方结合平方的非负性判断；②通过代入条件化简方程，利用配方法求解验证；③通过配方得到表达式，分析整数解的存在性． 【详解】解：①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； ②：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即 ∴存在整数解（如 ，），使得，故③错误． 综上，只有①正确，正确个数为1． 故选：B． 5．（25-26九年级下·辽宁锦州·期中）分解因式：___________． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题关键．先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解： ； 故答案为：． 6．（25-26八年级上·湖南永州·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，15是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第100个智慧优数是_______________． 【答案】609 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为 ，进而可求出第100个智慧优数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 即智慧优数为 ，， ∴第100个智慧优数为 ． 故答案为：609． 7．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若多项式的值为0，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据平方差公式与完全平方公式因式分解，将原多项式化简为，再根据其值为0，得到 【详解】解： ， 由题意得， 解得． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式和公式法进行因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用平方差进行分解因式，即可求解； （2）提公因式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 9．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求a、b的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，式有最小值，最小值为1； 【分析】（1）该式变形为，再利用平方差公式分解可得； （2）先化为，根据可得答案； （3）先化为，进而可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴当时，式有最小值，最小值为1． 10．（25-26七年级上·四川达州·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是　　 （填序号）； 与；与；与． (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，用表示代数式的最简形式　　 ． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式运算的应用，完全平方公式，理解新定义是解题的关键． （）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （）由，然后根据与互为“对消多项式”，所以，，解得，，再代入求值即可； （）由，然后根据与互为“对消多项式”且对消值为，所以，，则，又，，得，再由，再把代入即可求解． 【详解】（1）解：，和不是常数，不符合题意； ，和是常数，符合题意； ，和是常数，符合题意； 故答案为：； （2）解：由， ∴ ， ∵与互为“对消多项式”， ∴，， 解得，， ∴对消值； （3）解：由， ∵与互为“对消多项式”， ∴ ， ∵与互为“对消多项式”且对消值为， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， 由得， ∴， 由 ， ∴原式 由代入， ∴原式 ． 1．（25-26八年级上·四川泸州·期末）下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义判断，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的变形，需满足结果为整式乘积、所有因式都是整式两个条件． 【详解】解：选项A的变形是整式乘法，结果是和的形式，不符合因式分解定义． 选项C的变形结果是和的形式，不是几个整式的积，不符合定义． 选项D的变形中，是分式，不是整式，不符合定义． 选项B中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义． 2．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用提公因式法分解因式，找出多项式各项系数的最大公因数和变量的公共部分，组合即为公因式． 【详解】解：∵多项式为中系数2和4的最大公因数为2，变量部分和的公共因子为， ∴应提取的公因式为． 故选：C． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）若，且，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题利用平方差公式分解，代入已知的的值，即可求出的值． 【详解】∵， 已知 ，， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期末）用4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如下图，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，利用，可得出a、b之间的关系． 【详解】解：如下图： 则空白部分的面积， ， ， ， 代入化简得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 化简得：， ∴． 5．（24-25八年级上·福建泉州·期末）因式分解： _____________ 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．把看作是整体，利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 6．（25-26八年级上·河南商丘·期末）日常生活中如取款、上网等经常遇到登录密码的情况，我们可以用因式分解的方法产生密码，如多项式，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确分解因式是解答本题的关键． 先把因式分解，再把代入计算出各个因式的值，即可得到一个密码（各因式的排列顺序不同，得到的密码不同）． 【详解】解： ， 当时， ，，， 密码可以是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（25-26七年级上·上海虹口·期末）1261年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作本源图”（图1），并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术，”这幅被后人称为“贾宪三角”．这个“三角形”的两条斜的“边”都是由数字1组成，下其他数等于它“肩上”的两个数的和．在图2的“贾宪三角”中，第2斜列上的数依次为：1，2，3，4，5，，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为．第3斜列上的数依次为：，把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为，若，则的值为_____． 【答案】44 【分析】本题考查了数字类规律，多项式乘法运算，因式分解的应用，有理数的乘法运算，解题的关键根据题意找出规律求解． 由题意可得，，则得到，据此求解即可． 【详解】解：第2斜列上第1个数记为，第2个数记为，第3个数记，第个数记为，即； 第3斜列上第1个数，第2个数，第3个数，第4个数，，那么第个数为， ∴由题意得，， ∴， 整理得，， 左边因式分解得，， 由有理数乘法可得，或或， 当时，解得（不符合题意，舍）； 当时，解得； 当时，方程组无解， ∴的值为44， 故答案为：44． 8．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）直接提取公因式即可求解； （2）直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 9．（25-26八年级上·福建泉州·期末）深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于即能被4整除； 而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确． （1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明： （2）是4的倍数； （3）可以表示为两个正整数的平方差． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题目模仿即可解答； （2）运用平方差公式求出结果即可得证； （3）由（2）可得，再进行说明即可． 【详解】解：（1）即能被4整除， 结果是4的倍数， 又， 可以表示为3和1的平方差， 故验证结论正确； （2）证明：， 且均为正整数， 是4的倍数； （3）由（2）可知，， 的奇偶性相同，不妨设， 都是正偶数， 和都是正整数， 一定能表示为两个正整数的平方差． 【点睛】解题的关键是熟练应用平方差公式． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期末）【实践探究】在学习“因式分解”时，小安同学用如图1中编号分别为①②③④的四种长方体（含正方体）若干，进行数学实践探究． (1)若从中选取两个小长方体拼成一个如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_____； (2)【问题解决】若要拼成一个棱长为的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由； (3)【拓展应用】如图3，从一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，直接写出因式分解的结果，并解答以下问题： 已知和分别是两个大小不同的正方体的棱长，且满足等式，若为整数时，求的值． 【答案】(1) (2)需要②号长方体个，③号长方体个，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据图2立方体的体积求法即可； （2）根据题中的给定的长方体组合把进行计算即可； （3）先把进行分解，据此分解，得，整理得，再度化简得，根据是完全平方数，可得出的可能取值． 【详解】（1）解：根据题意可知：． （2）解：∵，且，， ∴需要②号长方体12个，③号长方体6个． （3）解：； 由题意，得， 整理得， ∵， ∴． 即． ∵为整数， ∴为完全平方数，且，即 又，，故 因而存在下面两种情形： ①当时，； ②当时，． 综上所述，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 因式分解 思维导图 【类型一】因式分解的定义 1．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【类型二】公因式 1．多项式 的公因式是（   ） A．a B． C． D． 2．用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（    ） A．3 B． C． D． 3．若多项式的公因式是，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【类型三】判断公式法因式分解 1．下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【类型四】因式分解生成密码 1．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式 ，将其分解因式为．若取，， 则有，，，其中 12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是（ ） A．111525 B．151025 C．101525 D．1215 2．密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）． A．4184 B．4084 C．4284 D．4384 3．日常生活中经常需要密码，如取款、上网等，我们可以用“因式分解”的方法产生密码，方便记忆．如将多项式分解因式为，取，计算因式的值分别为，，，密码就可以设置为018162，180162等．按照上述产生密码的方法，多项式，在取，时，密码不可能设置为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【类型一】提公因式法分解因式 1．因式分解． (1) (2) 2．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 3．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【类型二】平方差法分解因式 1．因式分解： 2．将下列多项式因式分解： (1)． (2) 3．分解因式：． 【类型三】完全平方法分解因式 1．分解因式 2．因式分解：． 3．因式分解：． 【类型四】综合方法分解因式 1．分解因式： (1)； (2)． 2．因式分解： (1) (2) 3．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【类型五】简便计算 1．简便运算： (1) (2) 2．运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 3．利用公式简便运算： (1)； (2)． 【类型一】十字相乘法 1．整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 2．阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 3．阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项 ③横向写出两因式 我们将这种十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或．试用上述方法和原理解下列方程： （1） （2） （3） 变式：菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为______． 【类型二】分组分解法 1．要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 2．阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 3．请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即． 这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如： ． (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)已知，求的值． 【类型三】配方法求最值 1．【材料阅读】学习了因式分解之后，老师布置的阅读材料如下：把代数式通过配凑等方法，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、求最值（最小值或最大值）问题中有着广泛的应用． 例：①利用配方法因式分解：． 解：原式 ． ②利用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． ∵是非负数， ∴， ∴． ∴代数式的最小值为2． 【材料应用】请根据上述阅读材料提供的方法，解决下列问题． (1)利用配方法因式分解：． (2)利用配方法求代数式的最小值． (3)利用配方法求代数式的最大值． 2．阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般地，我们将形如的多项式叫做完全平方式，有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解： 任务一： （1）运用配方法将多项式因式分解； （2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数． 任务二： “创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程． 3．阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般的，我们将形如的多项式叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解： ． 任务一： （1）运用配方法将多项式因式分解； （2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数． 任务二： “创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程； （4）上述解题过程中渗透的数学思想为_______（填序号即可） ①分类讨论  ②数形结合  ③整体思想 【类型四】因式分解的几何应用 1．对于一个平面图形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，可以得到一个因式分解等式． 利用图1，可以得到一个因式分解等式：；如图2所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①、②都是剪成边长为a的大正方形．③、④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形． (1)观察图2，可以发现多项式可因式分解为________； (2)若图2中每块小长方形的面积为7，四个正方形的面积之和为22，试求图2中所有裁剪线（虚线部分）长之和； (3)类似的，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图3表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：________． 2．数形结合是一种将抽象的数学概念与直观的图形相结合，帮助理解和解决数学问题的重要思想方法．《整式的乘法》这一章中，我们利用数形结合思想，体验并理解了整式乘法法则、平方差公式及完全平方公式等的几何意义．年级数学兴趣小组的同学们课后继续进行了如下的探究： 【探究一】如图1，卡片①是边长为的正方形．卡片②是边长为的正方形．卡片③是长和宽分别为，的长方形． （1）若已经选取4张卡片①，4张卡片③，则还应选取_____张卡片②才能用它们拼成一个新的正方形，这个新正方形的边长是_____（用含，的式子表示）； （2）选取4张卡片③在纸上按图2的方式进行拼图，可以得到中间阴影部分为正方形、若将阴影部分正方形的面积用两种不同的方法表示，则可验证等式：__________． 【探究二】如图3，该几何体由3个大小不同的长方体（如图4）组成，其中第一个长方体中，，．第二个长方体中，，第三个长方体中，． （3）若将图3的几何体的体积用两种不同的方法表示，则可验证等式：_____（将该等式表示为将一个多项式分解因式的形式）． （4）利用上面的结论，解决问题： 已知，求的值． 3．某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释． 例如，图1可以解释．于是小明拼出如图2所示的边长为的正方形，图2可以解释 小组成员发现可利用图2的结论解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若满足如下条件： ，求的值． (3)已知，，，，且．求证：不能成为一个三角形的三条边长； 1．（24-25七年级下·吉林长春·月考）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江西抚州·月考）不论x，y为何实数，的值总是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 3．（25-26九年级下·重庆·月考）小南用若干个小马按如图所示的规律摆出图形，其中第①个图形有5匹小马，第②个图形有12匹小马，第③个图形有22匹小马，．．．，按照这一规律，则第⑥个图形中小马的数量为（   ） A．91 B．70 C．65 D．51 4．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·月考）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）因式分解： _________ ． 6．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）已知，则的值为________． 7．（25-26八年级上·山东日照·月考）已知，，，则代数式的值为____． 8．（25-26八年级上·江苏南通·月考）分解因式 (1)； (2)． 9．（24-25七年级下·甘肃陇南·月考）现有甲、乙、丙三种卡片，如图所示．某同学从中取出若干张卡片，拼成如图和图的图形，如图所示． (1)若图的面积为，图的面积为，求和；（用代数式表示） (2)已知卡片乙的周长为，若，求的值． 10．（25-26八年级上·湖北荆门·月考）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为s，偶次项系数之和为t，若，则，若，则．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出m，n的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中________，________； (2)对于一元多项式，必定有f（________）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建·期中）若三边a，b，c满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别表示颍、爱、我、州、丽、美．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美丽 B．美丽颍州 C．我爱颍州 D．颍州美丽 4．（25-26八年级上·重庆·期中）已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26九年级下·辽宁锦州·期中）分解因式：___________． 6．（25-26八年级上·湖南永州·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，15是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第100个智慧优数是_______________． 7．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若多项式的值为0，则的值为________． 8．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）因式分解 (1) (2) 9．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求a、b的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 10．（25-26七年级上·四川达州·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是　　 （填序号）； 与；与；与． (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，用表示代数式的最简形式　　 ． 1．（25-26八年级上·四川泸州·期末）下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）若，且，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期末）用4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·福建泉州·期末）因式分解： _____________ 6．（25-26八年级上·河南商丘·期末）日常生活中如取款、上网等经常遇到登录密码的情况，我们可以用因式分解的方法产生密码，如多项式，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是___________（写出一个即可）． 7．（25-26七年级上·上海虹口·期末）1261年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作本源图”（图1），并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术，”这幅被后人称为“贾宪三角”．这个“三角形”的两条斜的“边”都是由数字1组成，下其他数等于它“肩上”的两个数的和．在图2的“贾宪三角”中，第2斜列上的数依次为：1，2，3，4，5，，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为．第3斜列上的数依次为：，把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为，若，则的值为_____． 8．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）因式分解： (1)； (2)． 9．（25-26八年级上·福建泉州·期末）深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于即能被4整除； 而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确． （1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明： （2）是4的倍数； （3）可以表示为两个正整数的平方差． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期末）【实践探究】在学习“因式分解”时，小安同学用如图1中编号分别为①②③④的四种长方体（含正方体）若干，进行数学实践探究． (1)若从中选取两个小长方体拼成一个如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_____； (2)【问题解决】若要拼成一个棱长为的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由； (3)【拓展应用】如图3，从一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，直接写出因式分解的结果，并解答以下问题： 已知和分别是两个大小不同的正方体的棱长，且满足等式，若为整数时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $