第9章 图形的变换 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练2025-2026学年七年级数学下册（苏科版）

第9章 图形的变换 思维导图 【类型一】图形的平移 1．如图为一只小兔，将图进行平移，得到的图形可能是下列选项中的（    ） A． B． C． D． 2．下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 3．如图，平移“月亮”图案可以得到下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【类型二】轴对称图形 1．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【类型三】中心对称图形 1．博物馆是承载中华文脉的殿堂，其标志设计既蕴藏传统美学，又含着几何智慧．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产下面“瓦当”图案中是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【类型四】旋转中心、角，对应点 1．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【类型五】利用平移的性质求解 1．如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将沿方向平移2个单位长度得到，若四边形的周长为14，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 3．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 【类型六】利用轴对称的性质求解 1．木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线，的交点不一定在上 3．如图，，点、分别在射线上，，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，______，的面积最小值为______． 【类型七】利用旋转的性质求解 1．如图，将等腰直角三角尺绕顶点顺时针旋转，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点旋转至的位置，若点恰好落在边上，与相交于点，若的面积比的面积大24，则的面积为（） A．12 B．21 C．24 D．27 3．如图，，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒；同时射线从开始，绕点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，设旋转的时间为秒． （1）当时，__________； （2）在射线与旋转的过程中，图中存在两个角互补时称为“完美时刻”．当__________时，图中为“完美时刻”． 【类型一】平移——网格作图 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上． (1)将三角形先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，请作出三角形； (2)连接，，则线段和线段有什么关系？ 2．三角形在方格纸中的位置如图所示． (1)将三角形向左平移5格后得到的三角形，画出三角形，其中点A的对应点是，点B的对应点是，点C的对应点是； (2)过点C画直线的平行线l； (3)直线l与直线的位置关系是 ． 3．如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点、、都在格点上． (1)将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，请作出； (2)连结，，则线段和线段的关系为______； (3)在整个平移的过程中，求线段扫过的面积． 【类型二】垂直平分线——尺规作图 1．如图，在数学活动课中，嘉嘉剪了一张的纸片，他将折叠压平使点落在点处，折痕分别交、于点、．请用尺规作图法，求作折痕．（保留作图痕迹，不写作法） 2．如图，在中，请用尺规作图法在边上找一点D，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹） 3．按下列要求完成画图： (1)已知线段a和b，求作线段，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图，在三角形中，C是边上的一点．请用直尺和圆规作，使，且射线交于点F； 【类型三】角平分线与垂直平分线——尺规作图 1．如图，某通信公司计划在虚线范围内建造一个“5G”基站，使得到两条公路，的距离相等且到两个村庄，的距离也相等，请在图中标出点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 2．如图，某公园内有两条小路、，摩天轮、碰碰车分别位于、两处，现计划在公园内修建一个游客休息区，使得游客休息区到小路的距离与游客休息区到小路的距离相等，且，请运用尺规作图法在图中确定游客休息区的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 3．如图，在四边形中，已知的平分线和线段的垂直平分线交于点．请你利用尺规找出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【类型四】设计图案 1．图，图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在下列个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称图形，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 2．如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出绕点O逆时针旋转得到的，则的面积为______； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心为点______． 3．如图，图1和图2均为正方形网格，按下列要求作图： (1)如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形； (2)如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点顺时针旋转后，得到的图形涂上阴影． 【类型一】轴对称——台球、光线、钟表问题 1．如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 3．如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是____________． 【类型二】折叠问题 1．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将正方形分别沿、折叠，使得点与点重合，点与点重合，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，，，点E是射线上一点，连接，将沿着翻折得到，点C的对应点为点F，若，那么的度数为________． 【类型三】规律问题 1．如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2024次闪烁呈现出来的图形是（    ） A． B． C． D． 2．正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 3．如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ______ ． 【类型四】最短路程问题 1．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 2．【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， ， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 3．【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 1．（25-26九年级下·河南濮阳·月考）下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·广西钦州·月考）如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，、为两条折痕，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 5．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，长方形中，，，将它沿平移得到长方形，则图中阴影部分的面积为________． 6．（25-26七年级上·河南平顶山·月考）如图，三角形纸片中，点D、E、F分别在边，，上，连接，，将、分别沿、对折，使点B、C落在点、处，若恰好平分，且，则________ ． 7．（25-26八年级上·河北张家口·月考）如图，内一点，分别是点关于的对称点，交于，交于，若，则的周长是_______． 8．（25-26九年级上·湖北·月考）已知的顶点，，在格点上，按下列要求在网格中画图． (1)将绕点顺时针旋转得到(点的对应点是点)，画出； (2)若与关于点中心对称，其中，分别为点，的对应点，画出． 9．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）直线上有一条射线，在O处放一个直角三角板，，如图将三角板绕O点逆时针旋转，速度为每秒，旋转停止． (1)若，当射线平分时，求旋转时间． (2)当平分时，也平分么？说明理由． (3)若，当与相交时，画出图形并求与的关系． 10．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在互相垂直的两条直线、的垂足处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转． (1)如图，若，则______，______； (2)若射线是的角平分线，且． ①若旋转到图的位置，的度数为多少？用含的代数式表示 ②在旋转过程中，若，求此时的值． 1．（24-25八年级上·广东珠海·期中）下列四个图形中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·山东东营·期中）将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，将一个长方形纸条按如图所示沿折叠，已知，则______． 6．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 7．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则__________． 8．（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线对称； (2)在直线上找一点，使得的和最小；（保留作图痕迹） 9．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图，在长方形中，点在上，，分别以，为折痕进行折叠并压平，若图中，则的度数为多少？ 10．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的的网格，小正方形的顶点称为格点．图中，，，均为格点，是线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在下列给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画出线段绕点逆时针旋转后得到的线段； (2)在图（1）中，画出点绕点逆时针旋转后得到的点； (3)在图（2）中，画出点，使点是四边形的对称中心，并连接； (4)在图（2）中，令，画出点绕点逆时针旋转得到的点． 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）下列中国传统纹样的图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列图形中是轴对称图形且对称轴条数最多的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．正五边形 D．圆 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（25-26七年级下·全国·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）如图，三角形沿着由点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，那么平移的距离为_______． 6．（25-26八年级上·河南濮阳·期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 _______ 的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） ． 7．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如图，把一长方形纸片的一角沿折叠（长方形的四个内角都是），点D的对应点落在内部．若，且，则的度数为________ ． 8．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，点为长方形的边的中点，点为边上一点．把四边形沿折叠，点的对应点为点． (1)尺规作图：作出点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 9．（25-26八年级上·江西赣州·期末）按要求完成下列尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，作的平分线； (2)如图2，过点作直线的垂线． 10．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 图形的变换 思维导图 【类型一】图形的平移 1．如图为一只小兔，将图进行平移，得到的图形可能是下列选项中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：由平移可知，得到的图形可能是． 故选：C． 2．下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义，在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、工作中的雨刮器不属于平移，故该选项不符合题意； B、移动中的黑板属于平移，故该选项符合题意； C、折叠中的纸片不属于平移，故该选项不符合题意； D、骑行中的自行车不属于平移，故该选项不符合题意； 故选：B 3．如图，平移“月亮”图案可以得到下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同，解答本题的关键是熟练掌握平移的定义． 根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状和大小来判断即可． 【详解】解：A、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误，不符合题意； B、由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误，不符合题意； C、由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确，符合题意； D、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【类型二】轴对称图形 1．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意； 3．下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A，C，D选项中的图形不是轴对称图形，故A，C，D不符合题意； B选项中的图形是轴对称图形，故B符合题意． 【类型三】中心对称图形 1．博物馆是承载中华文脉的殿堂，其标志设计既蕴藏传统美学，又含着几何智慧．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义，将每个选项的图形绕某点旋转，判断是否能与自身重合即可解答． 【详解】解：选项 A、B、D绕某点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形．选项C：绕某点旋转后，能与自身重合，是中心对称图形．即C选项符合题意． 2．“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产下面“瓦当”图案中是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一个图形绕一点旋转度，能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，进行判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的概念，选项中，B选项图形绕某点旋转，旋转后的图形与原来的图形完全重合， A、C、D、这三个选项图形绕某点旋转，旋转后的图形不与原来的图形完全重合， 故B选项是中心对称图形． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A：是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 对于B：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 对于C：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 对于D：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 【类型四】旋转中心、角，对应点 1．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， ∴旋转中心是点B． 2．如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 根据旋转的性质，利用旋转角，计算即可． 【详解】解：∵三角形绕点顺时针旋转得到三角形， ∴是旋转角， ∵，， ∴， ∴旋转角的度数是， 故选：D． 3．如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【答案】 C （或） D 线段 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 【详解】解：（1）∵经过旋转后得到， ∴旋转中心是点C，旋转角是（或）； （2）点的对应点是点D； （3）线段的对应线段是线段；的对应角是． 【类型五】利用平移的性质求解 1．如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将三角形平移一定的距离得到三角形， ∴，，，， 故A，B，D选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意． 2．如图，将沿方向平移2个单位长度得到，若四边形的周长为14，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】根据平移的性质得到，，结合四边形的周长解题即可． 【详解】解：由题意知，，， 又∵四边形的周长为14， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 3．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意，分别得出、、的长度，根据等量代换得出，求解即可得出结果． 【详解】解：∵直角三角形沿方向平移得到直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵直角三角形与直角三角形面积相同， 即， ∴， 故图中阴影部分的面积为． 【类型六】利用轴对称的性质求解 1．木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、角的和与差，根据轴对称可知，，因为，，，即可求出的度数． 【详解】解：由轴对称可知，， ，，， ， ． 故选：D． 2．如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线，的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可，解题的关键是掌握轴对称的性质． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴，垂直平分，与的面积相等，故B、C选项正确； ∴是等腰三角形，故A选项正确； 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项错误； 故选：D． 3．如图，，点、分别在射线上，，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，______，的面积最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．分点在线段上，点的左侧和点的右侧，三种情况进行讨论，连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：当点在线段上，如图，连接，过点作交的延长线于，    ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 当点在点的左侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，      同理可得：， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 当点在点的右侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，      同理可得：， 的面积的最小值为， 综上：，的面积的最小值为； 故答案为：90，． 【类型七】利用旋转的性质求解 1．如图，将等腰直角三角尺绕顶点顺时针旋转，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质， 根据旋转可知，，，然后根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可知，， 由旋转可知，，， ∴， 故选：B． 2．如图，将绕点旋转至的位置，若点恰好落在边上，与相交于点，若的面积比的面积大24，则的面积为（） A．12 B．21 C．24 D．27 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质．由的面积比的面积大24，得到，由旋转的性质得到，再由即可求解． 【详解】解：∵的面积比的面积大24， ∴， ∴， 即， ∵旋转得到， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒；同时射线从开始，绕点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，设旋转的时间为秒． （1）当时，__________； （2）在射线与旋转的过程中，图中存在两个角互补时称为“完美时刻”．当__________时，图中为“完美时刻”． 【答案】 9或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和分类讨论思想． （1）当时，，再结合即可求解； （2）根据“完美时刻”的定义，分、、、、、六种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）当时，， 于是； （2），， 当，解得，不符合题意； 当，解得，不符合题意； 当，解得，不符合题意； 当，解得； 当，解得； 当时，解得； 综上，“完美时刻”时，或或． 故答案为：（1）；（2）9或或． 【类型一】平移——网格作图 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上． (1)将三角形先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，请作出三角形； (2)连接，，则线段和线段有什么关系？ 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用平移变换的性质判断即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：，． 2．三角形在方格纸中的位置如图所示． (1)将三角形向左平移5格后得到的三角形，画出三角形，其中点A的对应点是，点B的对应点是，点C的对应点是； (2)过点C画直线的平行线l； (3)直线l与直线的位置关系是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）取格点P，结合平行四边形的性质画图即可． （3）根据平移的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求作； （2）解：如图，直线即为所求作； （3）解：直线l与直线的位置关系是平行， 理由：由平移得， 又， ∴， 即直线l与直线的位置关系是平行． 3．如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点、、都在格点上． (1)将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，请作出； (2)连结，，则线段和线段的关系为______； (3)在整个平移的过程中，求线段扫过的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)平行且相等 (3)线段扫过的面积是 【分析】本题考查平移变换和线段之间的位置关系，熟练掌握网格中图形平移的方法是解题的关键， （1）根据题中的平移方法平移即可得到； （2）连结，由图可得线段和线段的关系为平行且相等； （3）线段扫过的面积，据此求出结论即可． 【详解】（1）解：由题可得：就是所要求作的三角形，如下图： （2）解：连结，，如下图所示： 由图可得：线段和线段的关系为平行且相等． （3）解：线段扫过的面积． 【类型二】垂直平分线——尺规作图 1．如图，在数学活动课中，嘉嘉剪了一张的纸片，他将折叠压平使点落在点处，折痕分别交、于点、．请用尺规作图法，求作折痕．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】先根据折叠的性质可得折痕是的线段垂直平分线，再利用尺规作图作的线段垂直平分线，分别交于点D，交于点E，则即为所求。 【详解】解：如图，折痕即为所求. 2．如图，在中，请用尺规作图法在边上找一点D，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作出线段的垂直平分线，与的交点就是所求点． 本题考查了线段的垂直平分线基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点D即为所求． 3．按下列要求完成画图： (1)已知线段a和b，求作线段，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图，在三角形中，C是边上的一点．请用直尺和圆规作，使，且射线交于点F； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握尺规作图的相关方法是解题的关键． （1）在射线依次截取，，线段为题目要求所作线段． （2）分别以点E、C为圆心，大于长度为半径画圆弧，交于点P、Q，连接交于点F，连接并延长至点M，即为题目要求所作角度． 【详解】（1）解：如图，在射线依次截取，，线段为题目要求所作线段． （2）如图，分别以点E、C为圆心，大于长度为半径画圆弧，交于点P、Q，连接交于点F，连接并延长至点M，即为题目要求所作角． 【类型三】角平分线与垂直平分线——尺规作图 1．如图，某通信公司计划在虚线范围内建造一个“5G”基站，使得到两条公路，的距离相等且到两个村庄，的距离也相等，请在图中标出点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】根据题意，用尺规作图的方法作的角平分线和的垂直平分线，交点即为点． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 理由：由图可知是的平分线，是的垂直平分线， 是的平分线， 到两条公路，的距离相等， 是的垂直平分线， ，即到两个村庄，的距离相等， 的角平分线和的垂直平分线的交点即为点． 2．如图，某公园内有两条小路、，摩天轮、碰碰车分别位于、两处，现计划在公园内修建一个游客休息区，使得游客休息区到小路的距离与游客休息区到小路的距离相等，且，请运用尺规作图法在图中确定游客休息区的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作角平分线，作垂线等知识．依题意，为的角平分线与线段垂直平分线的交点，进而作图即可． 【详解】解：如图，点即为所作： 3．如图，在四边形中，已知的平分线和线段的垂直平分线交于点．请你利用尺规找出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，掌握好尺规作图的步骤是关键． 按照角平分线和线段垂直平分线作图的步骤进行操作即可． 【详解】解：如图，点即为所作： 【类型四】设计图案 1．图，图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在下列个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称图形，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 【答案】画图见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出图形即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：画图如下： 2．如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出绕点O逆时针旋转得到的，则的面积为______； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心为点______． 【答案】(1)作图见解析，4 (2)作图见解析，P 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解旋转不改变图形的面积，并能通过对应点连线的垂直平分线找到旋转中心． （1）根据旋转的性质，画图，然后根据三角形面积公式即可解答； （2）根据旋转的性质：线段，的垂直平分线的交点P即为所求． 【详解】（1）解：即为所求； ∵旋转不改变图形的面积， ∴的面积等于的面积． 观察的底为2，高为4， ， ∴的面积为4． 故答案为：4； （2）解：如图点P为所求， 3．如图，图1和图2均为正方形网格，按下列要求作图： (1)如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形； (2)如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点顺时针旋转后，得到的图形涂上阴影． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查中心对称图形的概念与作图，旋转作图，掌握好相关知识是关键． （1）根据中心对称图形的定义进行作图即可； （2）由旋转的要求进行作图即可． 【详解】（1）解：如图1所示； （2）解：如图2所示． 【类型一】轴对称——台球、光线、钟表问题 1．如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． 过直线作点N的对称点，连接，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据题意可知球的两段运动轨迹与直线的夹角相等， 如图，过直线作点N的对称点，连接， 根据图形可知经过点C，且，， 符合题目要求， 反弹击中球的是点C． 故选：C． 2．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 3．如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是____________． 【答案】630085 【分析】本题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形；注意的关于竖直的一条直线的轴对称图形是． 所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：作轴对称图形得： 故答案为：． 【类型二】折叠问题 1．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，先根据平行线的性质可得，从而可得，，再根据折叠的性质可得，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， 解得， 即． 2．如图，将正方形分别沿、折叠，使得点与点重合，点与点重合，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质，由折叠得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，，，点E是射线上一点，连接，将沿着翻折得到，点C的对应点为点F，若，那么的度数为________． 【答案】或 【分析】分点在之间和点在上方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：，， ∴，， 当点在之间时，如图， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在上方时， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【类型三】规律问题 1．如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2024次闪烁呈现出来的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了图形的旋转，首先观察图案得出每旋转一次的度数， 然后得出每几次旋转一周，由即可由阴影所处的位置可得相应选项，注意通过特殊例子发现规律是解题关键． 【详解】解：由图可得： 每旋转一次，旋转角为， ， 即每4次旋转一周， ， 即第2024次与第4次的图案相同， 故选D． 2．正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查图形规律，理解题意是解决本题的关键． 按题意画出图，找到规律判断即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． ∴， ∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5， 故选：C． 3．如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ______ ． 【答案】8081 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，，， ∴将绕点顺时针旋转到，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； 由图形可知：每旋转次为一个循环组依次循环， 又∵， ∴． 故答案为：． 【类型四】最短路程问题 1．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【答案】（1）④，两点之间线段最短；（2）11；（3）①见解析；②70 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①如图，最短， 过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 2．【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， ， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】作图见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、两点之间线段最短以及平移的性质．作关于直线的对称点，根据轴对称的性质可知，再将转化为，根据两点之间线段最短，得出的最小值为的长度；在问题拓展中，通过平移的方法，将桥的长度固定，把问题转化为求两点之间的最短路径问题，利用了平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置的性质即可画出此时桥的位置． 【详解】根据轴对称的性质可知，， ， 根据两点之间线段最短， 故选①， 最小值为， 故答案为：， ① ，； 桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短． 3．【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 【数学建模】由垂直平分线的性质得，由两点之间线段最短得； 【问题拓展】解过作垂直于河岸，使得，连接交另一河岸于，过 作垂直河岸于，即为所求； 【迁移应用】过作，使得，作关于直线对称点，连接交直线于，此时使得最短，最后由勾股定理求解即可． 【详解】，①，； 解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 解：【迁移应用】如图所示， 过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于直线对称点， ∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得 ， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 1．（25-26九年级下·河南濮阳·月考）下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意． 2．（25-26九年级下·广西钦州·月考）如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．根据旋转的性质可得． 【详解】解:∵绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．， ∴． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，、为两条折痕，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，几何图形中的角度计算． 由折叠得、，结合，利用平角关系求出，则，根据计算即可． 【详解】解：，． ∵， ∴． 又，， ∴． ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 【答案】D 【分析】本题需利用轴对称的性质，将所求线段转化为已知线段的和差形式，通过已知的、、长度来计算的长．关键是理解“关于某直线对称的两条线段相等”这一性质，进而推导各线段间的数量关系． 【详解】解：与关于对称， ； 同理，与关于对称， ． ∵，， ，． 点在直线上，且，， ． 点在直线上，且， ． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，长方形中，，，将它沿平移得到长方形，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查平移的性质和线段的运算，，，四边形为长方形，求得，进而可求得答案． 【详解】根据题意可知，，，四边形为长方形， 所以． 所以四边形的面积． 故答案为： 6．（25-26七年级上·河南平顶山·月考）如图，三角形纸片中，点D、E、F分别在边，，上，连接，，将、分别沿、对折，使点B、C落在点、处，若恰好平分，且，则________ ． 【答案】/度 【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用，由折叠的性质可得，，结合平分，可得，设，则，再根据，列关于的一元一次方程，解方程求出即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，， 恰好平分， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， 7．（25-26八年级上·河北张家口·月考）如图，内一点，分别是点关于的对称点，交于，交于，若，则的周长是_______． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质得到，，，由此可得到的周长． 【详解】解：由于轴对称的性质， ∴，， 的周长为， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·湖北·月考）已知的顶点，，在格点上，按下列要求在网格中画图． (1)将绕点顺时针旋转得到(点的对应点是点)，画出； (2)若与关于点中心对称，其中，分别为点，的对应点，画出． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查图形的旋转与中心对称作图，核心是掌握“旋转时对应点到旋转中心的距离相等、夹角等于旋转角”以及“中心对称时对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分”的性质． （1）根据旋转的性质作出图形，如图所示，即为所求作的三角形； （2）根据中心对称的性质作出图形，如图所示，即为所求作的三角形． 【详解】（1）解：作出绕点顺时针旋转得到的如图所示； （2）解：作出关于点的中心对称的图形如图所示； 9．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）直线上有一条射线，在O处放一个直角三角板，，如图将三角板绕O点逆时针旋转，速度为每秒，旋转停止． (1)若，当射线平分时，求旋转时间． (2)当平分时，也平分么？说明理由． (3)若，当与相交时，画出图形并求与的关系． 【答案】(1)13 (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】本题考查旋转的性质、角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，设旋转时间为，则列方程为，解方程即可； （2）根据角平分线的性质可得，进而得到，从而得到结论平分； （3）当处于下方时，此时与相交，根据和，进行解答即可． 【详解】（1）解：射线平分， ， 设旋转时间为， 则， 解得， 因此，旋转时间为13秒； （2）解：也平分，理由如下： 平分， ， ， ， ， ， ， 平分； （3）解：如图，此时与相交， ， ， ， ， ， ． 10．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在互相垂直的两条直线、的垂足处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转． (1)如图，若，则______，______； (2)若射线是的角平分线，且． ①若旋转到图的位置，的度数为多少？用含的代数式表示 ②在旋转过程中，若，求此时的值． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，能够灵活运用数形结合，分类思想是解题的关键． 根据，以及角的和差计算即可； 先求，再利用得出结论； 分两种情况讨论：当旋转到左侧时；当旋转到右侧时，分别解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴； 故答案为：；； （2）解：①∵，， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； 当旋转到左侧时，如图所示： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当旋转到右侧时，如图所示： 设， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，解得 ∴， ∴； 综上分析可知，的值为或． 1．（24-25八年级上·广东珠海·期中）下列四个图形中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对选项进行分析即可． 【详解】 解：A选项中的图形能找到一条（或多条）直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故符合要求． B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故都不符合要求； 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，由轴对称的性质不能得出非对应线段的关系．由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：根据题意分析，由轴对称的性质可以得到：对应线段相等，即A选项成立；对应线段是平行，即C选项成立；对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，即D选项成立；与为非对应线段，无法得到与的关系， 故选：B． 3．（24-25六年级下·山东东营·期中）将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠前后的两个图形能够完全重合，再结合平角等于求出的度数即可． 【详解】解：∵矩形沿折叠得到 ， ， ∵，， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换，平行线的性质．根据长方形纸带的特征对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出，继而求出的度数，再减去即可得的度数． 【详解】解：如图：延长到H，由于纸带是长方形， ∴， ∴， 根据翻折不变性得， ∴， 又∵， ∴，． 在梯形中，， 根据翻折不变性，． 故选：C． 5．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，将一个长方形纸条按如图所示沿折叠，已知，则______． 【答案】/112度 【分析】先根据图形折叠的性质求出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图， 将一个长方形纸条按如图所示沿直线折叠，， ， ∵长方形纸条对边平行， ． 6．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 【答案】540 【分析】根据平移的性质将绿化部分转化为长为，宽为的长方形面积即可． 【详解】解：由平移可得到图，其中绿化部分的长为，宽为， 所以面积为． 7．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则__________． 【答案】6 【分析】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质；由题意易得，，则有，，然后问题可求解． 【详解】解：由折叠可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：6． 8．（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线对称； (2)在直线上找一点，使得的和最小；（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了两点之间线段最短，根据成轴对称图形的特征进行求解，画轴对称图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点即可； （2）连结交m于点D，点D即可为所求作． 【详解】（1）解：如图，作，使它与关于直线对称； （2）连结交m于点D，连结， 因为与关于直线m对称， 所以， 所以， 依据两点之间线段最短，可知点D为所作求的点． 9．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图，在长方形中，点在上，，分别以，为折痕进行折叠并压平，若图中，则的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质及平角的意义．根据折叠的性质和平角的意义，得出关于的方程，求解方程即可得出答案． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵， ∴． ∴． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的的网格，小正方形的顶点称为格点．图中，，，均为格点，是线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在下列给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画出线段绕点逆时针旋转后得到的线段； (2)在图（1）中，画出点绕点逆时针旋转后得到的点； (3)在图（2）中，画出点，使点是四边形的对称中心，并连接； (4)在图（2）中，令，画出点绕点逆时针旋转得到的点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，旋转的性质，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）取格点F，，使，根据与格线的交点确定点 （3）连接对角线的交点为点，则即为所求； （4）取格点J，连接，取格点K，连接，使，，则与的交点即为点 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）如上图，点即为所求； （3）如图，点O即为所求； （4）如图,点即为所求． 由作图可知， ∵， ∴点D与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求． 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）下列中国传统纹样的图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A、B、C的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形； 选项D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选： 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列图形中是轴对称图形且对称轴条数最多的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．正五边形 D．圆 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴条数，需明确各选项图形的对称轴数量，再通过比较得出结果． 【详解】解：∵等腰三角形有1条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，圆有无数条对称轴． 又∵无数条5条4条1条， ∴对称轴条数最多的是圆， 故选：D． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查的是图形的平移，根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：经过平移后得到， ∴，故①正确； ，故②不正确； ，故③正确； 和的面积相等，故④正确； 四边形和四边形都是平行四边形，且，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等， ∴四边形和四边形的面积不一定相等，故⑤不正确； 综上：正确的有3个 故选：B． 4．（25-26七年级下·全国·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据长方形的性质可得，则，再根据折叠的性质可得，然后根据邻补角的定义和可得，最后根据三角形的内角和定理可得． 【详解】解：四边形是长方形， ， ，， ． 由折叠可知，，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 5．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）如图，三角形沿着由点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，那么平移的距离为_______． 【答案】 【分析】平移的距离是平移前后对应点之间的线段长度，点的对应点是点，因此平移的距离即为线段的长度，结合已知和的长度，通过线段的和差关系即可求出的长度． 【详解】解：∵三角形平移到三角形的位置，点的对应点是点， ∴平移的距离为的长度． ∵，， ∴． 即平移的距离为． 6．（25-26八年级上·河南濮阳·期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 _______ 的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） ． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义判断白方落子的位置即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知：当白方落子于点A时，可以构成轴对称图形， 故答案为：A． 7．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如图，把一长方形纸片的一角沿折叠（长方形的四个内角都是），点D的对应点落在内部．若，且，则的度数为________ ． 【答案】/33度 【分析】设，则，由折叠的性质得到：，又因为，可得，求出，即可求出． 【详解】解：由题意，， 设， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 8．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，点为长方形的边的中点，点为边上一点．把四边形沿折叠，点的对应点为点． (1)尺规作图：作出点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的知识点是尺规作图、折叠性质． （1）分别以、为圆心，、为半径画弧，两弧交于点，则点就是求作的点； （2）由折叠性质得到，再由，且点在上，即可得到． 【详解】（1）解：如图：点就是求作的点； ； （2）解：根据折叠性质得，， ，且点在上， ． 9．（25-26八年级上·江西赣州·期末）按要求完成下列尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，作的平分线； (2)如图2，过点作直线的垂线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作一个角的平分线，过直线外一点作已知直线的垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合角平分线的尺规作图步骤进行作答即可． （2）结合过直线外一点作已知直线的垂线作图步骤进行作答即可． 【详解】（1）解：作的平分线，如图所示： （2）解：过点作直线的垂线，如图所示： 10．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【答案】（1）；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；（2）①；② 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）①根据平行线性质及反弹规律可求得结果； ②利用则同旁内角互补，可求出的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出与的表达式，最后通过平角为建立方程求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以（等角的余角相等）． 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． （2）① 解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， 故答案为：． ② 解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $