专题2.6一元二次方程36道压轴题型专训（9大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（浙教版）

专题2.6 一元二次方程36道压轴题型专训（9大题型） 题型一 由一元二次方程的解求参数 题型二 因式分解法解一元二次方程 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 换元法解一元二次方程 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 题型六 一元二次方程的根与系数的关系 题型七 动态几何问题（一元二次方程的应用） 题型八 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 题型九 其他问题（一元二次方程的应用） 【经典例题一 由一元二次方程的解求参数】 1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）已知方程有一根为m，则的值为_______． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 【经典例题二 因式分解法解一元二次方程】 1．（25-26八年级下·广东广州·月考）定义：已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求．对于这两个结论判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 2．（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（  ） A． B．或 C．或 D． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）当_______时，与既是最简二次根式又是同类二次根式． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）[观察发现]通过下面简单的运算，我们发现：，，，…，． [抽象概括]一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对. [模仿运用]判断数对与是否是完美方根数对？为什么？ [拓展解决]若是一组完美方根数对，求的值． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 1．（25-26八年级下·新疆·月考）用配方法解方程时，配方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北沧州·期末）一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024八年级下·浙江·专题练习）若、、为实数，且满足，求的值为__． 4．（2025八年级下·福建厦门·专题练习）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【经典例题四 换元法解一元二次方程】 1．（24-25八年级下·河北保定·月考）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏镇江·月考）已知关于的方程的解为，则方程的解为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·四川成都·期末）若，则的值是________． 4．（25-26八年级下·福建三明·期中）阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 【经典例题五 根据一元二次方程根的情况求参数】 1．（25-26八年级上·上海闵行·期中）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．正确的是（    ）． A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 2．（22-23八年级下·湖北黄冈·自主招生）已知方程有两个相等实根，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 3．（25-26八年级下·四川达州·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则___________． 4．（25-26八年级下·内蒙古兴安·月考）如图，中，，，，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)判断的形状； (2)若平分，且，、为方程的两根，求的值． 【经典例题六 一元二次方程的根与系数的关系】 1．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知实数α，β满足，，且，且的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南怀化·月考）定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （    ） A．或4 B． C． D．或1 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 4．（25-26八年级下·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【经典例题七 动态几何问题（一元二次方程的应用）】 1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，．点从点出发向终点以的速度移动，点从点出发向终点以的速度移动，，两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时停止运动．当的面积等于时，两点运动了（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当的面积等于时，运动时间为（  ） A． B． 或 C． D． 或 3．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）如图，厘米，是一条射线，．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线方向爬行，它们同时出发．当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过______秒，的面积为8平方厘米． 4．（25-26八年级下·辽宁铁岭·月考）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度均为，当点到达点时，同时停止运动，设运动时间为． (1)当时，求的值； (2)当的面积为时，求的值． 【经典例题八 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）】 1．（2024·八年级下 江西景德镇）如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·甘肃平凉·月考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（    ） A． B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800 C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800 D．（50﹣x）（30﹣2x）＝800 3．（25-26八年级下·四川·期末）任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为36，面积为16，则它的减半矩形的长和宽分别为________ ；原矩形的两边长分别为m和2，若存在另一个矩形是它的“减半矩形”，则m满足的取值范围是__________． 4．（25-26八年级下·福建莆田·月考）从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“倍矩形（其周长为原矩形周长的倍，其面积亦为原矩形面积的倍）存在性问题”展开探究． 设原矩形长为，宽为，倍矩形长为，宽为． (1)【特例感知】已知原矩形，，其倍矩形长为_______，宽为______； (2)【类比探究】上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由； (3)【一般验证】求证：无论原矩形，取何正值，其倍矩形一定存在． 【经典例题九 其他问题（一元二次方程的应用）】 1．（25-26八年级下·重庆铜梁·期末）定义：如果多项式（是常数)与（是常数) ，M与N中取相同值，满足，则称两个多项式为“续和式”，有下列三个结论： （1）若与互为“续和式”，则的值为； （2） 当时，多项式（是常数）的值为10，则它的“续和式”N的值是12； （3）若M与N为“续和式”，，且，则的值为． 其中正确的结论个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（25-26八年级下·河北张家口·期末）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精__ 升． 4．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）若关于的一元二次方程的两根均为整数，则称的值为该方程的“关联值”．如：方程两根均为整数，其“关联值”为． (1)方程的“关联值”为_________； (2)若关于的一元二次方程的“关联值”为1，求的值； (3)求证：关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 一元二次方程36道压轴题型专训（9大题型） 题型一 由一元二次方程的解求参数 题型二 因式分解法解一元二次方程 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 换元法解一元二次方程 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 题型六 一元二次方程的根与系数的关系 题型七 动态几何问题（一元二次方程的应用） 题型八 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 题型九 其他问题（一元二次方程的应用） 【经典例题一 由一元二次方程的解求参数】 1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是利用方程根的定义进行转化；可先将已知方程的根代入原方程，再通过代数变形推导，找到满足第二个方程的根. 【详解】解：∵ 关于的方程有一个实数根为， ∴ 将代入方程得： ， 整理得：， 将上式两边同时除以，得： ， 变形为：， 对比方程，可知当时，方程成立， ∴ 方程必有实数根为． 故答案选：B． 2．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式的化简求值，熟练掌握方程根的定义并对代数式进行合理变形是解题的关键． 利用一元二次方程的根的定义，得出的值，再对所求分式进行化简，通过变形求出分母的值，进而得出分式的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴，则， ∴ ， ∴． 故选：． 3．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）已知方程有一根为m，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键． 利用方程根的定义，将m代入方程得到关系式，再代入所求表达式计算． 【详解】m是方程的根， ， 即， ． 故答案为． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 【答案】 【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否有相同的实数根． 【详解】解：设相同实根是a， 则，， 相减得， 若，则两个方程都是，有两个共同的根0和． 若，则，即相同实根是，代入方程，得，， ∵k为非负实数， ∴不符合k为非负实数的条件，舍去， 综上，时，关于x的方程与有相同的实根． 【经典例题二 因式分解法解一元二次方程】 1．（25-26八年级下·广东广州·月考）定义：已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求．对于这两个结论判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】本题考查了新定义方程，解一元二次方程，根的判别式，把代入方程，求出方程的根，再根据“友好方程”的定义即可判断①；利用因式分解法解方程得或，再分两种情况，根据“友好方程”的定义求出的取值范围，进而可判断②，综上即可求解，理解新定义方程是解题的关键． 【详解】解：①当时，方程为， 解得， ∴， ∵符合，且， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②， ∴， 解得或， ∵该方程是“友好方程”， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴， 当时，，且， ，且， ∵为整数， 此时的值不存在； 当时，，且， ，且， ∴， 是整数， ∴或，故②正确； 综上，①②都正确， 故选：． 2．（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（  ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解． 由，可利用因式分解法求得的值，然后分别从时，是等腰三角形；与时，是直角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】， 解得：，， 当时，则三角形是等腰三角形，如图：，，是高， ，， ， 当时，如图，，，， ， 是直角三角形，， ． 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）当_______时，与既是最简二次根式又是同类二次根式． 【答案】 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义，先令两个二次根式的被开方数相等列方程求解，再结合最简二次根式的条件及二次根式有意义的条件检验解的合理性． 【详解】解：∵与既是最简二次根式又是同类二次根式，所以它们的被开方数相等，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，同时被开方数非负． ∴ 移项得 因式分解得 解得或． 当时，，的被开方数4是能开得尽方的数，不是最简二次根式，不符合题意，舍去． 当时，，，是最简二次根式，且被开方数相同，是同类二次根式，同时被开方数均为正，符合题意． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）[观察发现]通过下面简单的运算，我们发现：，，，…，． [抽象概括]一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对. [模仿运用]判断数对与是否是完美方根数对？为什么？ [拓展解决]若是一组完美方根数对，求的值． 【答案】是完美方根数对，不是完美方根数对； 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、新定义的理解与应用以及一元二次方程的解法等知识点，熟练掌握根据新定义列出方程并求解是解题的关键． 模仿运用：根据完美方根数对的定义，分别将数对和代入等式，验证等式是否成立． 拓展解决：将代入定义式，通过解方程求出的值，并根据为正整数的条件进行取舍． 【详解】解：模仿运用：, 是完美方根数对． ， 不是完美方根数对． 拓展解决： 是一组完美方根数对， ， ， ， ， ,， 为正整数， ． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 1．（25-26八年级下·新疆·月考）用配方法解方程时，配方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，整理即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∵一次项系数为，其一半的平方为 ， ∴方程两边同时加，得， 整理得 ， 即配方后所得方程为 ． 2．（25-26八年级下·河北沧州·期末）一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，据此计算即可判断． 【详解】解：∵原方程整理成一般形式后该方程的常数项为0， ∴原方程为， 配方得，即， ∴，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 3．（2024八年级下·浙江·专题练习）若、、为实数，且满足，求的值为__． 【答案】 【分析】根据配方法的理论依据，即公式，将原方程转化为即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质和实数的计算，解题的关键是熟练掌握配方法的理论依据． 4．（2025八年级下·福建厦门·专题练习）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)当 时，；当 时，见解析 【分析】（1）用配方法求解； （2）用公式法求解； （3）用公式法求解； （4）分、两种情况讨论，分别求解，当时，再根据的符号求解． 【详解】（1）解：， 移项，得， 两边同时加上，得， 即， 开平方，得， 解得：，； （2）， ，，， ， 所以， 即，； （3）， ，，， ， 所以， 即，； （4）， 当 时，原方程可化为， 所以； 当 时， ，，， 令， 解得：，， 若，则或， 此时方程有实数根为 若，则， 此时方程没有实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程——配方法，根据判别式判断一元二次方程根的情况，公式法解一元二次方程等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【经典例题四 换元法解一元二次方程】 1．（24-25八年级下·河北保定·月考）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过换元法，将含有绝对值的不等式转化为关于新变量的一元二次不等式进行求解，再将新变量还原为原变量，从而得出原不等式的解集． 【详解】解：令，， ∴原不等式转化为， ∴因式分解，得， ∴与异号 ∵恒成立， ∴只能是且， 又∵，恒成立， ∴由可得， 综合，得到， ∵， ∴， 根据绝对值的性质，当时，． 故选：A． 2．（25-26八年级下·江苏镇江·月考）已知关于的方程的解为，则方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键；把变形为，设，则原方程可转化为，与关于的方程的解相同，据此可求出，即可得解． 【详解】解：方程变形为， 设，则原方程可转化为， 关于的方程的解为， 或， 或， ， 故选：． 3．（25-26八年级下·四川成都·期末）若，则的值是________． 【答案】 【分析】通过换元法将设为，把原方程转化为一元二次方程求解，再根据平方数的非负性舍去负根即可． 【详解】解：设，根据平方数的非负性可知， 将代入原方程，可得： ， ， ， 解得或， 由，舍去，则， 故． 4．（25-26八年级下·福建三明·期中）阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用和的值写出和的值即可； （2）设，原方程化为，整理得，令，解得，则，所以方程化为，利用直接开平方法解方程，然后计算出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 故答案为：，． （2）解：设（为常数）， 则原方程化为① 整理，得② 为使方程②不含的一次项，令， 解得：， 则， 所以，方程②化为， 解得：，， 所以，，． 【经典例题五 根据一元二次方程根的情况求参数】 1．（25-26八年级上·上海闵行·期中）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．正确的是（    ）． A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式、根的定义及根与系数的关系．①通过判别式判断有两个不相等的实根；②由条件推导，判断无实根；③代入根后得出或，不一定成立；④代入根后验证等式成立． 【详解】解：①， ， ， 方程一定有两个不相等的实数根，故①正确； ②， ， 又， ，， ， 方程没有实数根，故②正确； ③若是方程的根，则，即， 或， ∴不一定成立，故③错误； ④若是方程的根，则， 除以得：， 代入到方程得， 是方程的一个根，故④正确． 综上，① ② ④正确， 故选：D． 2．（22-23八年级下·湖北黄冈·自主招生）已知方程有两个相等实根，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的情况求参数，解题关键是一元二次方程的根的判别式并能熟练运用． 先根据一元二次方程有两个相等的实根，计算判别式，求得，代入化简即可． 【详解】解：∵方程有两个相等实根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 3．（25-26八年级下·四川达州·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则___________． 【答案】或2 【分析】本题考查一元二次方程的解及解一元二次方程，理解题中定义是解答的关键． 由参数条件可得一元二次方程的两个根，再根据同伴方程的定义求解． 【详解】解：∵方程满足和， ∴当时，，即是方程的根； 当时，，即是方程的根， ∴方程的根为和， ∵两方程互为“同伴方程”，即有且只有一个相同的实数根，又方程的根为和， ∴若相同根为，则，即，此时两方程分别有根、和、，仅有相同根，满足条件； 若相同根为，则，即，此时两方程分别有根、和、，仅有共同根，满足条件， 若相同根为，则不是方程的根，不满足题意， 综上，或． 故答案为：或2． 4．（25-26八年级下·内蒙古兴安·月考）如图，中，，，，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)判断的形状； (2)若平分，且，、为方程的两根，求的值． 【答案】(1)直角三角形 (2)6 【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根，运用根的判别式可得，由此可得，由勾股定理逆定理即可求解； （2）如图所示，过点作于点，作延长线于点，根据角平分线的定义和性质可得，，，可证，可得，即一元二次方程两个根相等，再根据根的判别式进行计算，最后根据图形的性质检验根的情况，即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 关于的方程有两个相等的实数根， ∴方程化为一般式为： ∴，整理得，， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图所示，过点作于点，作延长线于点， ∵平分， ∴，且， 由（1）可得，， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∵、为方程的两根， ∴，整理得，， 解得，， 当时，原方程为， 解得，，不符合题意，舍去； 当时，原方程为， 解得，，即，符合题意； ∴的值为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程判别式，勾股定理逆定理判定直角三角形性质，角平分线的定义和性质定理，全等三角形的判定和性质等知识的综合运用，理解并掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，合理作出辅助线是解题的关键． 【经典例题六 一元二次方程的根与系数的关系】 1．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知实数α，β满足，，且，且的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把变形为，则、可看作方程的两根，利用根与系数的关系得到，，由于，所以可先化为，再变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ，且， 、可看作方程的两根， ，， ， ， ． 2．（25-26八年级下·湖南怀化·月考）定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （    ） A．或4 B． C． D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上公式是解题的关键． 根据特征数的定义，得出方程的原形式，利用根与系数关系及平方和条件列出方程，结合判别式求出的值． 【详解】解：∵特征数为， ∴方程为， 设两实数根为，，则， ， ， ∵， ∴， 化简得：， 解得或， 又∵方程有实数根， ∴， 即， ∴（舍去）， ∴， 故选C． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程及“同伴方程”的定义，先求解方程的实数根，再分两种情况将相同根代入方程求出，同时验证另一个根是否不同，确保符合“同伴方程”的定义即可． 【详解】解：先解方程 因式分解得 则或 解得， 因为方程和为“同伴方程”，分两种情况讨论： ①当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． ②当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． 综上，的值为或． 4．（25-26八年级下·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据根的判别式进行求解； （2）根据根与系数的关系进行求解； （3）利用完全平方公式进行变形，然后根据根与系数的关系进行求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：， 解得或（不符合题意，舍去） ∴； （3）解： ， 将，代入上式得， ∴（负值已舍）． 【点睛】重点掌握根的判别式和根与系数的关系． 【经典例题七 动态几何问题（一元二次方程的应用）】 1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，．点从点出发向终点以的速度移动，点从点出发向终点以的速度移动，，两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时停止运动．当的面积等于时，两点运动了（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设后，的面积等于，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设后，的面积等于． 由题意，得，，则． ， ， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 故当的面积等于时，两点运动了． 故选：A． 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当的面积等于时，运动时间为（  ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设运动时间为，用含的代数式表示、，由三角形的面积公式列方程，求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动， ，，， ， 当时，， ， ， ，， 经检验，都符合的范围， 故选：． 3．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）如图，厘米，是一条射线，．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线方向爬行，它们同时出发．当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过______秒，的面积为8平方厘米． 【答案】2或4或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意列一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，，当时，，，令，计算求出满足要求的解即可；当时，，，令，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解： 由题意知，，， 当时，，， 令， 解得或； 当时，，， 令， 解得或（舍去）； 综上所述，经过2或4或秒，的面积为8平方厘米． 故答案为：2或4或． 4．（25-26八年级下·辽宁铁岭·月考）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度均为，当点到达点时，同时停止运动，设运动时间为． (1)当时，求的值； (2)当的面积为时，求的值． 【答案】(1) (2)9或12 【分析】本题主要考查了三角形中的动点问题，等角对等边，列方程解决几何问题，解题的关键是理解题意，掌握以上性质． （1）根据点的速度和时间，表示出相关线段的长度，根据等角对等边列出一元一次方程求解即可； （2）根据三角形的面积列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得：； （2）解：∵ 解得：， ∴t的值为9或12． 【经典例题八 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）】 1．（2024·八年级下 江西景德镇）如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程与图形有关的应用，解此题的关键在于将等腰三角形拆解拼成另一个没有缝隙的矩形，再利用面积相等得到相关边的长度关系．如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意得，求出，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比，再根据面积为4求得，得，求出即可． 【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形， 根据题意，得， ∴， 解得： (负值舍去)， ∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为： ， ∵将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形， ∴，即：， ∴，即：． 故选：D． 2．（22-23八年级下·甘肃平凉·月考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（    ） A． B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800 C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800 D．（50﹣x）（30﹣2x）＝800 【答案】C 【分析】把三条小道平移到边上，可以得到一个完整的种植面积，然后根据已知条件，列出方程即可求解，图见详解 【详解】如图，把三条小路平移到边上，构造完整的种植面积， 由题干可知，大的矩形长为50米，宽为30米，小路宽为 米，所以种植区域的长为（ ）米，宽为（ ）米， 根据矩形面积公式可得，（50﹣2x）（30﹣x）＝800． 故选C． 【点睛】本题考查列方程，关键是把握平移的性质，构造完整的矩形，方便列出方程． 3．（25-26八年级下·四川·期末）任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为36，面积为16，则它的减半矩形的长和宽分别为________ ；原矩形的两边长分别为m和2，若存在另一个矩形是它的“减半矩形”，则m满足的取值范围是__________． 【答案】 8，1 或 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．第一问：原矩形周长为36，面积为16，减半矩形周长为18，面积为8．设减半矩形长和宽为x和y，则，解方程组即可求解；第二问：原矩形长m、宽2，周长，面积．则减半矩形周长，面积m．设减半矩形长p、宽q，则．根据根与系数的关系，p和q是方程的两个根，由判别式且，解不等式得m的取值范围． 【详解】解：第一问： 原矩形周长36，面积16，减半矩形周长18，面积8． 设减半矩形长x、宽y，则 ， 整理得方程，得或， 当时，；当时，； 故长和宽为8和1； 第二问：原矩形的两边长分别为m和2，周长，面积． 则减半矩形周长，面积m． 设减半矩形长p、宽q，则 ，即， ∴p和q是方程的两个根． 则判别式， 即． 解方程， 得． 由于，故或． 故答案为：或． 4．（25-26八年级下·福建莆田·月考）从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“倍矩形（其周长为原矩形周长的倍，其面积亦为原矩形面积的倍）存在性问题”展开探究． 设原矩形长为，宽为，倍矩形长为，宽为． (1)【特例感知】已知原矩形，，其倍矩形长为_______，宽为______； (2)【类比探究】上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由； (3)【一般验证】求证：无论原矩形，取何正值，其倍矩形一定存在． 【答案】(1)； (2)不存在；理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）设其倍矩形长为，宽为，根据“倍矩形”定义列出方程组，然后解方程组即可； （2）设其倍矩形长为，宽为，根据“倍矩形”定义列出方程组，将二元方程组转化为一元二次方程，然后判断即可； （3）设其倍矩形长为，宽为，根据“倍矩形”定义列出方程组，然后解方程组，将二元方程组转化为一元二次方程，然后判断即可． 【详解】（1）解：设其倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 解得或（不符合题意，舍去）， 其倍矩形长为，宽为； （2）解：不存在，理由如下： 设其倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 整理得， ， 方程无解， 方程组无解， 不存在； （3）解：设其倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 整理得， ， 方程有解， 又，大于， ，， 方程的两个实数解均为正数， 无论原矩形，取何值，其倍矩形一定存在． 【经典例题九 其他问题（一元二次方程的应用）】 1．（25-26八年级下·重庆铜梁·期末）定义：如果多项式（是常数)与（是常数) ，M与N中取相同值，满足，则称两个多项式为“续和式”，有下列三个结论： （1）若与互为“续和式”，则的值为； （2） 当时，多项式（是常数）的值为10，则它的“续和式”N的值是12； （3）若M与N为“续和式”，，且，则的值为． 其中正确的结论个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查的是新定义问题，一元二次方程的应用，求解代数式的值，理解题意是解本题的关键． （1）根据“续和式”的定义，分别计算出，，的值，再代入到计算即可； （2）将代入得到一个关于，，的等式，再把多项式的“续和式”表示出来，将代入求解即可； （3）由题意可得，再根据，列方程即可解答． 【详解】解：（1）如果多项式（，，，是常数）与（是常数)，满足，，，则称两个多项式为“续和式”，则： 由题意可得：，，， ，，． ，故结论（1）正确； （2），，， ，，， 的“续和式”是． 当时，多项式的值为10， ． 当时，；故结论（2）错误． （3）由题意可得， ， ， 解得，故结论（3）错误； 故正确的只有（1） 故选：C． 2．（25-26八年级下·河北张家口·期末）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 3．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精__ 升． 【答案】10 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 设第一次倒出酒精x升，根据两次倒出操作后容器内纯酒精剩余30升，建立一元二次方程求解． 【详解】解：设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液升，根据题意得， 第一次倒出后，剩余纯酒精升，用水加满后浓度为； 第二次倒出的纯酒精为升， 倒出第二次后剩余纯酒精量为． 整理得， 解得， ∵， ∴，不符合题意，舍去， 故答案为：10． 4．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）若关于的一元二次方程的两根均为整数，则称的值为该方程的“关联值”．如：方程两根均为整数，其“关联值”为． (1)方程的“关联值”为_________； (2)若关于的一元二次方程的“关联值”为1，求的值； (3)求证：关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 【答案】(1) (2)无解 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用因式分解法进行解方程，得，再把数值代入进行计算，即可作答． （2）先根据关于的一元二次方程的“关联值”为1，进行列式计算，得；再分别代入，进行计算，即可作答． （3）根据，得因为为整数，关于的一元二次方程的两根均为整数，再把数值代入进行化简，然后分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵方程， ∴， ∴， 则方程两根均为整数，其“关联值”为． （2）解：∵关于的一元二次方程的“关联值”为1， ∴， ∴， 解得， ∵， 当时，则， 即， 此时方程无实数根，不满足两根均为整数的条件， ∴舍去； 当时，则， 即， ∴ 此时方程无实数根，不满足两根均为整数的条件， ∴舍去 综上：的值是无解的； （3）证明：∵， ∴， ∴ ∵为整数， ∴关于的一元二次方程的两根均为整数， 依题意，， ∵为整数， ∴一元二次方程的“关联值”为， ∴关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 学科网（北京）股份有限公司 $