专题01 一元二次方程的解与解法（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

专题01 一元二次方程的解与解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、认识一元二次方程（常考点） 1 题型二、一元二次方程的解（常考点） 3 题型三、解一元二次方程（重点） 4 题型四、解一元二次方程的问题探究（难点） 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、认识一元二次方程 1．（25-26九年级上·湖南永州·期末）方程中，，，是一元二次方程有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，逐个判断每个方程是否符合即可． 【详解】解：A．对于方程 ∵整理为一般式为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程 ∴是一元二次方程． B．对于方程 ∵整理为一般式为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程 ∴是一元二次方程． C．对于方程 ∵展开整理得，化简为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程 ∴是一元二次方程． D．对于方程 ∵展开整理得，移项合并同类项得，未知数最高次数为1 ∴不是一元二次方程． 综上，是一元二次方程的有3个． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）一元二次方程的一次项系数为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题关键． 将方程化为标准形式 ，即可识别一次项系数． 【详解】解：方程 移项，得 ， ∴ 一次项系数为， 故选：B． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，得到且，求解即可． 此题考查了一元二次方程的概念，只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的概念是解题的关键． 【详解】解：由题意，得且． 解， 得或， ∴或． ∵， ∴， 因此． 4．（25-26九年级上·江西九江·月考）已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， 则且． 解得； （2）解：方程是一元二次方程， 则， 解得． 题型二、一元二次方程的解 1．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】将已知根代入原方程，即可解出参数a的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴将代入原方程，得， 计算得， 整理得， 解得． 2．（23-24九年级上·山东青岛·月考）根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：通过表格可知，当时， ， 当时，输出值为， ∴当时，． 3．（25-26九年级下·福建福州·月考）已知是一元二次方程的根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用方程的根满足原方程得到的关系式，再通过整体代入法计算所求代数式的值即可． 【详解】 是一元二次方程的根， 将代入原方程得：， 整理得， ． 4．（25-26九年级上·山东聊城·期中）定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． (1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； (2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 【答案】(1)是，不是 (2)或 【分析】本题考查了“归零方程”的定义，一元二次方程的根及代数式的代入与化简． （1）根据“归零方程”给出的定义，判断题中的两个一元二次方程即可； （2）由是“归零方程”得出，整理得，再将代入原方程后根据m是这个“归零方程”的一个根，将m的值代入，得到一个新的一元二次方程，此时解这个一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由题意知，在中， ，，， ∴， ∴是“归零方程”， 在中， ，，， ∴， ∴不是“归零方程”，． 故答案为：是，不是． （2）解：∵是“归零方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是这个“归零方程”的一个根， ∴， 解得或． 题型三、解一元二次方程 1．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果. 【详解】解：原方程为 . 移项得 . 方程两边同时加得 . 配方得 . 2．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解是_____． 【答案】， 【分析】将方程移项后，利用平方差公式分解因式，转化为两个一元一次方程，进而求解方程的根. 【详解】解：， ， ， 或 ； 解得 ，. 3．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）解下列方程： (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （3）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （4）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得； （3）解： 解得； （4）解：在中，， ∴ ， ∴ ， 解得． 4．（25-26九年级下·河北保定·开学考试）习题课上，数学老师展示了两道方程及其错误的解答过程： 解：（1） ① 或② 或③ 解：（2） ① ．② 此方程无实数根．③ (1)分别写出两道方程的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)左边方程第二步出现错误，右边方程第一步出现错误 (2)见解析 【分析】（1）根据所给解方程过程即可得到答案； （2）解左边方程时，先把常数项移到方程左边，再利用因式分解法解方程即可；解右边方程时，先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：左边方程第二步开始出现错误，错误原因是当两个因式的乘积不为0时（本题中为3），不能得出其中一个因式等于某个特定值的结论； 右边方程的第一步出现错误，错误原因是原方程没有化为一般式，导致c的值错误； （2）解：解左边方程如下： ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 解右边方程如下： 原方程化为一般式得， ∵， ∴， ∴， 解得． 题型四、解一元二次方程的问题探究 1．（22-23九年级上·山东青岛·月考）等腰三角形两边长是方程的解，则这个等腰三角形的周长是（ ） A．10 B．8 C．8或10 D．16或6 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到可能的边长，再结合等腰三角形性质与三角形三边关系，筛选出符合条件的边长组合，进而计算周长确定答案． 【详解】解：解方程得，或， ①若腰长为2，底边长为4， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴此情况舍去； ②若腰长为4，底边长为2， ∵，，满足三角形三边关系， ∴该三角形的周长为， 综上，只有周长为10． 2．（25-26九年级上·四川成都·月考）已知，则的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用换元法解方程，设，根据平方的非负性得，将原方程转化为关于的一元二次方程，求解后舍去不符合题意的负根，即可得到结果. 【详解】解： 设，由平方的非负性可知 原方程变形为： 整理得： 因式分解得： 解得：， ， 不符合题意，舍去， . 3．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，平方根的性质，掌握换元法是解题关键． 通过换元法将四次方程转化为一元二次方程，求解后代回，根据平方根性质进行取舍即可得到原方程的实数解． 【详解】解：令，则原方程化为：， 解得，， 当时，，则该方程无实数解； 当时，，解得，． 综上，该方程的解为：，． 4．（21-22九年级上·湖南郴州·期中）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是 例如：， (1)按照这个规定请你计算的值； (2)按照这个规定请你计算：当时，的值； (3)当的值为13时，求x的值． 【答案】(1) (2)5 (3)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，理解“新定义”的运算方法是正确解答的前提． （1）根据提供的方法进行计算即可； （2）解方程得到，根据提供的方法得到，再把代入计算即可． （2）根据提供的方法得到，即，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得， ∴ ； （3）解：由题意得， 即， 整理得， 解得，． 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程需满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，满足所有条件，故本选项符合题意； B选项方程含有分式，不是整式方程，不满足条件，故本选项不符合题意； C选项方程含有和两个未知数，不是一元方程，不满足条件，故本选项不符合题意； D选项方程含有和两个未知数，不是一元方程，不满足条件，故本选项不符合题意； 2．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先移项整理方程，再开平方得到方程的解． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项可得。 对等式两边开平方，可得， 因此方程的解为． 3．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】将已知根代入原方程，即可解出参数a的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴将代入原方程，得， 计算得， 整理得， 解得． 4．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，配方即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ∴移项得 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上，得 变形得 5．（25-26九年级下·江苏宿迁·月考）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程二次项系数不为0的要求，即可求解． 【详解】∵ 方程是关于的一元二次方程． ∴ 二次项系数不能为，即 ． 解得 ． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式与求根公式，通过对比题干给出的根的表达式，反推方程的二次项系数、一次项系数和常数项即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为， 又∵题干中方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴此一元二次方程的一般形式为， ∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：． 7．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【答案】 3 【分析】先将原一元二次方程化为一般形式（），再根据一元二次方程一般形式的定义确定各项系数． 【详解】解：， ∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为． 8．（25-26九年级上·江西九江·期末）已知关于x的方程的一根为1，则该方程的另一根为_________． 【答案】 【分析】把代入方程，求出，再解方程即可． 【详解】把代入方程，得， 解得， 一元二次方程为， 两边同除以2，得， ， ，， 该方程的另一根为． 9．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）若是方程的根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程解的定义得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴． 10．（25-26九年级下·甘肃临夏·月考）等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长是_________． 【答案】7或8 【分析】先解一元二次方程得到方程的两个根，分情况讨论等腰三角形的腰与底，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，最后计算三角形周长即可． 【详解】解： 解得，， 当腰长为，底边长为时， ，满足三角形三边关系， 该三角形的周长为； 当腰长为，底边长为时， ，满足三角形三边关系， 该三角形的周长为． 11．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、配方法的应用、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．先根据已知等式用含的代数式表示，然后通过配方及非负数性质求解即可． 【详解】解：， ． 则． 的最小值为 故答案为： 12．（25-26九年级上·云南怒江·期中）已知关于的方程． (1)当时，写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． (2)当为何值时，此方程是一元一次方程？ 【答案】(1)一元二次方程的二次项系数是16，一次项系数是，常数项是7 (2)当时，此方程是一元一次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义． （1）将代入，得到，进而根据一元二次方程的定义作答即可； （2）根据一元一次方程的定义得到且，求解即可． 【详解】（1）解：当时，方程为， 即， 此时一元二次方程的二次项系数是16，一次项系数是，常数项是7； （2）解：根据题意，得且， 解得且， 即， 当时，此方程是一元一次方程． 13．（25-26八年级上·浙江·假期作业）解方程： (1)； (2)． (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了利用直接开平方法和配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握开平方法和配方法解一元二次方程的步骤． （1）先将常数项移至等号右边，再由直接开平方法求解； （2）先将常数项移至等号右边，再由直接开平方法求解； （3）直接开平方求解即可； （4）把常数项移到等号的右边，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开平方求解； （5）把常数项移到等号的右边，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开平方求解． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 解得： （3）解：    或 解得：； （4）解：    解得：； （5）解： 解得： 14．（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2)， (3)代数式的最小值为 【分析】（1）根据“和谐方程”定义进行判断即可； （2）根据“和谐方程”定义得出，求出b的值，再解方程即可； （3）根据“和谐方程”定义得出，把代入得出根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵方程中，，， ∴， ∴方程是“和谐方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， 解得：， 解方程， 解得； （3）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， ∴， ∴ ， ， ， 即代数式的最小值为． 15．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程的解与解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、认识一元二次方程（常考点） 1 题型二、一元二次方程的解（常考点） 3 题型三、解一元二次方程（重点） 5 题型四、解一元二次方程的问题探究（难点） 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、认识一元二次方程 1．（25-26九年级上·湖南永州·期末）方程中，，，是一元二次方程有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）一元二次方程的一次项系数为（    ） A． B． C．2 D． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 4．（25-26九年级上·江西九江·月考）已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 题型二、一元二次方程的解 1．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（） A． B． C．1 D．2 2．（23-24九年级上·山东青岛·月考）根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·福建福州·月考）已知是一元二次方程的根，则的值为______． 4．（25-26九年级上·山东聊城·期中）定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． (1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； (2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 题型三、解一元二次方程 1．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解是_____． 3．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）解下列方程： (1)； (2)． (3) (4) 4．（25-26九年级下·河北保定·开学考试）习题课上，数学老师展示了两道方程及其错误的解答过程： 解：（1） ① 或② 或③ 解：（2） ① ．② 此方程无实数根．③ (1)分别写出两道方程的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 题型四、解一元二次方程的问题探究 1．（22-23九年级上·山东青岛·月考）等腰三角形两边长是方程的解，则这个等腰三角形的周长是（ ） A．10 B．8 C．8或10 D．16或6 2．（25-26九年级上·四川成都·月考）已知，则的值是________． 3．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 4．（21-22九年级上·湖南郴州·期中）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是 例如：， (1)按照这个规定请你计算的值； (2)按照这个规定请你计算：当时，的值； (3)当的值为13时，求x的值． 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（） A． B． C．1 D．2 4．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·江苏宿迁·月考）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 8．（25-26九年级上·江西九江·期末）已知关于x的方程的一根为1，则该方程的另一根为_________． 9．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）若是方程的根，则代数式的值为______． 10．（25-26九年级下·甘肃临夏·月考）等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长是_________． 11．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）若，则的最小值为______． 12．（25-26九年级上·云南怒江·期中）已知关于的方程． (1)当时，写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． (2)当为何值时，此方程是一元一次方程？ 13．（25-26八年级上·浙江·假期作业）解方程： (1)； (2)． (3) (4) (5) 14．（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 15．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $