专题1.8 相交线与平行线28道压轴题型专训（7大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题1.8 相交线与平行线28道压轴题型专训（7大题型） 题型一 平面内两直线的位置关系 题型二 平行线的判定 题型三 平行线的性质 题型四 根据平行线的性质探究角的关系 题型五 根据平行线的性质求角的度数 题型六 根据平行线的判定与性质求角度 题型七 根据平行线的判定与性质证明 【经典例题一 两直线的位置关系】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，从题目中找出各直线间的位置关系是解题的关键． 根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴ ． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴． …… 可知从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，， ∵ ， ∴ ． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·周测）有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查对顶角、平行线、垂线、距离和直线位置关系等概念的正确理解． 对照对顶角、平行线、垂线、两点间距离、直线位置关系的概念，逐一判断每个说法的正确性，统计正确说法的个数． 【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，错误，不符合题意； ②过一点不一定有平行线，正确表述需指定过直线外一点，错误，不符合题意； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意； ④两点之间的距离是两点间线段的长度，不是线段本身，错误，不符合题意； ⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有平行和相交，错误，不符合题意． ∴只有③正确，共1个． 故选：A． 3．（2025七年级下·山东青岛·专题练习）在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是________． 【答案】 垂直 【分析】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：∵在同一平面内有2023条直线，若，，，…… ∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直． 4．（2022七年级下·江苏无锡）平面上有10条直线，要使它们出现29个交点，怎样才能办到？请画图表示． 【答案】见解析 【分析】根据平面上有10条直线，若两两相交，最多出现个交点，若要求出现29个交点，就要减少16个交点，再进一步求解即可． 【详解】解：平面上有10条直线，若两两相交，最多出现个交点， 若要求出现29个交点，就要减少16个交点， ∴出现平行线，可行． 如图所示，方法不唯一． 【经典例题二 平行线的判定】 1．（22-23七年级下·河北石家庄·月考）数学课上，老师在投影屏上展示了一个如图所示的图形，并鼓励同学们积极思考，添加一个条件，使得．同学们回答完毕之后，老师在投影屏上展示了四位同学的条件，并说明其中一位同学的条件是不符合要求的，则这位同学是（    ）    甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据平行线的判定即可得． 【详解】解：A、可得（同位角相等，两直线平行），则此项不符合题意； B、可得（同旁内角互补，两直线平行），则此项不符合题意； C、可得（同位角相等，两直线平行），不能得到，则此项符合题意； D、可得（内错角相等，两直线平行），则此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，于点A，于点C，下列推理中错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握同位角相等两直线平行． 判断两个角是否是同位角，即可判断推理是否正确． 【详解】解：A、和是同位角，，故，A选项推理正确，不符合题意； B、和不是同位角，由不能得到，所以B选项推理错误，符合题意； C、∵，， 且，， ∴， ∴，C选项推理正确，不符合题意； D、和是同位角，，故，D选项推理正确，不符合题意． 故选：B． 3．（2023七年级下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）如图，给出条件：①；②；③；④，其中能判定的是____．（注：填上所有符合条件的序号） 【答案】②③④ 【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：由条件，可以通过同位角相等，两直线平行得到，不能得到，故①不符合题意； 由条件，可以通过内错角相等，两直线平行得到，故②符合题意； 由条件，可以通过同旁内角互补，两直线平行得到，故③符合题意； 由条件，可以通过同旁内角互补，两直线平行得到，故②符合题意； 综上可知，能判定的是②③④． 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，点、分别在的两边、上，点是射线上的一点，连接、，，，；平分，平分． (1)如图，若， 求的度数； 判断、的位置关系，并说明理由． (2)如图，当点在射线上运动时，若直线、相交于点，请用含有、的代数式表示直接写结果 【答案】(1)；，见解析 (2)或或 【分析】本题考查了几何图形中的角度运算，平行线的判定，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用四边形内角和为360度以及进行列式化简，再把数值代入，进行计算，即可作答． 运用角平分线的定义，得出，，再由得，则，故，即可作答． （2）结合当点在射线上运动，直线、相交于点，进行分类讨论，且逐个情况作图，运用角的和差关系进行列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：如图中， 在四边形中，， ∵， ， ，， ∴， 则 ． ，理由如下： 如图中，连接． 平分，平分． ，， 由得 ， 则， ， ． （2）解：依题意，设，． 如图中，则有， 则，， 则， ， 如图中， 依题意，， ， ， ， 如图中， 依题意，，， 两式相加可得， ， 综上所述，或或 【经典例题三 平行线的性质】 1．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先根据“两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行”解答①；再根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再结合已知条件判断②；根据“两直线平行，同旁内角互补”解答③；延长，根据“两直线平行内错角相等”得，再根据，解答④即可． 【详解】解：∵， ∴，则①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，则②正确； ∵ ∴， 即，则③正确； 延长， ∵， ∴． ∵， ∴，则④不正确． 正确的为①②③． 2．（23-24七年级下·四川宜宾·月考）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 正确的个数共有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． 3．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知AB∥CD，∠BAD＝40°，点M在直线AD上，N为线段CD上一点，若∠MNC＝α，则∠AMN＝_________．（用含α的式子表示） 【答案】220°﹣α或α﹣140°或α﹣40° 【分析】根据平行线的性质分三种情况求解即可． 【详解】解：如图，当点M在线段AD上时， 过点M作ME∥AB， ∴∠AME＝∠BAD＝40°， ∵ME∥AB，AB∥CD， ∴ME∥CD， ∴∠EMN+∠MNC＝180°， ∵∠MNC＝α， ∴∠EMN＝180°﹣α， ∴∠AMN＝∠AME+∠EMN＝40°+（180°﹣α）＝220°﹣α； 如图，当点M在AD的延长线上时， 过点M作ME∥AB， ∴∠AME＝∠BAD＝40°， ∵ME∥AB，AB∥CD， ∴ME∥CD， ∴∠EMN+∠MNC＝180°， ∵∠MNC＝α， ∴∠EMN＝180°﹣α， ∴∠AMN＝∠AME﹣∠EMN＝40°﹣（180°﹣α）＝α﹣140°； 如图，当点M在DA的延长线上时， 过点M作ME∥AB， ∴∠AME＝∠BAD＝40°， ∵ME∥AB，AB∥CD， ∴ME∥CD， ∴∠EMN＝∠MNC＝α， ∴∠AMN＝∠EMN﹣∠AME＝α﹣40°＝α﹣40°； 故答案为：220°﹣α或α﹣140°或α﹣40°． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理并会分情况讨论是解题的关键． 4．（25-26七年级下·黑龙江绥化·月考）中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键； 先根据平行线的判定和性质证明，再根据平行线的性质结合邻补角的定义即可证明． 【详解】证明：如图，延长交于点， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴， 又∵， ∴, ∴． 【经典例题四 根据平行线的性质探究角的关系】 1．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点的位置不同，分别画出图形，从中探求出与的关系，再作出选择． 【详解】解：，， ∴， ∵平分， ∴， 如图所示，过点P作， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 即，故A是可能的； 如图所示，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，故C成立，故D不可能成立； 如图所示，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故B成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，平行公理，解题关键是掌握平行线的性质和判定，角平分线的概念． 2．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，，O位于两平行线之间且和的平分线交于点，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点，……，再分别作和的平分线交于点，若，则n的值是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 过点作，过点作，则，先求出，同理可得：，得到规律，再代入求值即可． 【详解】解：如图，过点作，过点作． ， ， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 同理可得：， 以此类推：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，已知，点F、G分别在、上，点E在、之间，连结、，平分，平分且交的反向延长线于点H，交于点P，，．给出下面四个结论： ①；    ②；    ③；    ④． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、利用邻补角求角的度数等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键． 由补角的性质以及角平分线的性质，计算的度数，得出的度数，判断结论①； 由平行的性质得出，结合，可证，判断结论②；分别计算出与的度数，判断结论③；由与平分，结合对顶角相等，找出等量关系，可证，判断结论④． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故结论②正确； ∵，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， 故结论③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 4．（25-26七年级下·福建厦门·期末）厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． (1)当平分，平分时，求与的数量关系； (2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； (3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)存在，当秒时，，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，列一元一次方程和解方程等知识点，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可得，再根据角平分线的定义，得，，等量代换即可求解； （2）过点P作，根据平行公理的推论，得，再根据平行线的性质，得，，等量代换即可求解； （3）根据题意，易得，，，根据t的取值范围分5种情况讨论，从而用含t的式子表示出和，再根据，列方程，求解判断即可． 【详解】（1）解： ， 平分，平分， ，， ； （2）结论：，理由如下： 如图，过点P作， 则， ， ， ， ； （3）存在，当秒时，，理由如下： 由题意得：，， ， ， 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 综上，在这个过程中，当秒时，． 【经典例题五 根据平行线的性质求角的度数】 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴；故④错误； 设，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 2．（2025·七年级下 云南）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，若点F为球的中心，入射波与法线的夹角，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，过点作，可得，根据题意得，再由平行线的性质得到，从而得出答案． 【详解】解：过点作，为法线，如图：    ∵， ∴， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．（25-26七年级下·全国·周测）如图①所示的是北斗七星的位置图，如图②所示的是将北斗七星分别标记为，，，，，，，并将，，，，，，顺次首尾连接的示意图．若恰好经过点，且， ，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质，结合与，建立角的等式关系，最终推导出的值． 【详解】解：过点作， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 已知，， ∴ ． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质和辅助线的构造．解题关键是通过构造平行线，将分散的角关联起来，再结合已知等式进行角度代换与计算． 4．（25-26七年级下·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 【经典例题六 根据平行线的判定与性质求角度】 1．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）如图，点在的延长线上，，交于点，且，，，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，推出，进一步推出，得，继而得到，根据角平分线的定义得，再根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， 即的度数是． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）将一副三角尺按图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．其中正确的是（    ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差运算，掌握三角尺的固定角度特征，以及平行线判定与性质的互逆关系是解题的关键． 先明确两块三角尺的固定角度，再对每个结论分别利用平行线的判定与性质、角的和差关系逐一验证其正确性． 【详解】解：由题意得，，，． ∵， ∴， ∴， ，故①结论正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，故②结论正确，符合题意； ∵，， ∴，故③结论正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴， ，故④结论正确，符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级下·四川泸州·期末）如图，点E在线段的延长线上，，，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论： ①；②平分；③；④． 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的计算等知识点，需熟练掌握．由，得出，于是证得；根据得到，因为，所以，从而得出平分；设，，先根据的余角比大求出的度数，再根据角平分线的定义得出，即，从而求出，即得出的度数，从而判断即可得出正确的结论． 【详解】解：，， ， ，故正确； ， ， ， ， 即平分，故正确； 无法证得， 故错误； 的余角比大， ， ， ， ， 设，， ， 平分， ， 平分， ， 即， ， 解得， 即，故正确； 故答案为：． 4．（25-26七年级下·四川乐山·期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，三角形是直角三角形，点C在直线n上，，，． 操作发现： （1）如图1，若，则=_______； 实践探究： （2）如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值．在说明理由时，组内小乐说：“过点B作直线m的平行线进行等角转化．”请你写出这个定值，并说明理由（可以用小乐的方法，也可以用其它方法）； 拓展延伸： （3）如图3，缜密小组在图2的基础上作射线、，相交于点G，且，，求的度数． 【答案】（1）134；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据平角得到，根据两直线平行，同旁内角互补得到，即可求解； （2）如图所示，过点作，则，可得，，由，即可求解； （3）如图，作，，可得，，，，再利用角度的加减即可解答． 【详解】解：（1）如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 证明：如图，过点作，则直线， ，， ， ， ， ； （3）如图，作，， ， ，，，， ． 【经典例题七 根据平行线的判定与性质证明】 1．（25-26七年级下·全国·期中）如图，下列结论中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的综合判定，熟练掌握平行线判定方法是解题的关键； 根据平行线的判定定理逐项分析即可． 【详解】解：A、利用“内错角相等，两直线平行”即可判定原结论正确，不符合题意； B、当时，无法判定，原结论不一定正确，符合题意； C、利用“同位角相等，两直线平行”即可判定原结论正确，不符合题意； D、利用“两直线平行，同旁内角互补”即可判定原结论正确，不符合题意； 故选： B． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，，点在直线上，点，在直线上，．将射线绕点以的速度逆时针转动，同时射线绕点以的速度逆时针转动，设转动时间为秒.在转动过程中，当射线与射线第一次互相垂直时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线与旋转．熟练掌握平行线的判定和性质，旋转的性质，垂直性质，是解题的关键． 设点D，Q的对应点为， 射线与交于点G，过G作，由，得， 得，由，得，当射线与射线第一次互相垂直时， ，得，即可得出答案． 【详解】解：设点D，Q的对应点为， 射线与交于点G，过G作，如图 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当射线与射线第一次互相垂直时，， ∴， ∴， 解得． 故选：D． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·月考）如图，已知分别为上一点（），EF平分．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是_____．（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判断，角平分线的定义等知识点，解决此题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定； ①先根据同旁内角互补，可得，再根据平行的传递性即可得到答案； ②根据平行线的性质和角平分线的性质可得到答案； ③根据平行线的性质和角平分线的性质即可得到答案； ④先作出辅助线，多次运用平行线的性质即可得到答案； ⑤辅助线和④中的一样，推导过程仿照④即可得到答案； 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴； 故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， 即 故②错误； ③∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 即 故③正确； ④如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， 题目中未说明 即不一定等于 故④错误； ⑤过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ， 即， 故⑤正确； 4．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知：四边形中，，，D为射线上一动点，连接，交直线于点M，作的角平分线与的角平分线所在直线交于点N． (1)如图1，当D在线段上时，小芳将和的部分对应角度记录如下表：           ①请将上表补全； ②猜想和的数量关系，并说明理由． (2)当D点在延长线上运动时，在图2和图3中补全图形；分别写出和的数量关系． 【答案】(1)①见表格；② (2)如图2：；如图3： 【分析】（1）①根据表中数据变化规律可得结论； ②利用平行线的性质和角平分线的定义求解即可； （2）利用平行线的性质和角平分线的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：①根据表格数据，每增加，减少， ∴当时，， 当时，， 补全表格如下表：           ②猜想：． 理由：如图1，过N作，则， ∴，， ∴， 同理，， ∵的角平分线与的角平分线所在直线交于点N， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：如图2，过N作，则， ∴，， ∴， ∵的角平分线与的角平分线所在直线交于点N， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； 如图3：过N作，则， ∴，， ∴， ∵的角平分线与的角平分线所在直线交于点N， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.8 相交线与平行线28道压轴题型专训（7大题型） 题型一 平面内两直线的位置关系 题型二 平行线的判定 题型三 平行线的性质 题型四 根据平行线的性质探究角的关系 题型五 根据平行线的性质求角的度数 题型六 根据平行线的判定与性质求角度 题型七 根据平行线的判定与性质证明 【经典例题一 两直线的位置关系】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 2．（24-25七年级下·全国·周测）有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025七年级下·山东青岛·专题练习）在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是________． 4．（2022七年级下·江苏无锡）平面上有10条直线，要使它们出现29个交点，怎样才能办到？请画图表示． 【经典例题二 平行线的判定】 1．（22-23七年级下·河北石家庄·月考）数学课上，老师在投影屏上展示了一个如图所示的图形，并鼓励同学们积极思考，添加一个条件，使得．同学们回答完毕之后，老师在投影屏上展示了四位同学的条件，并说明其中一位同学的条件是不符合要求的，则这位同学是（    ）    甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，于点A，于点C，下列推理中错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，，得 D．由，得 3．（2023七年级下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）如图，给出条件：①；②；③；④，其中能判定的是____．（注：填上所有符合条件的序号） 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，点、分别在的两边、上，点是射线上的一点，连接、，，，；平分，平分． (1)如图，若， 求的度数； 判断、的位置关系，并说明理由． (2)如图，当点在射线上运动时，若直线、相交于点，请用含有、的代数式表示直接写结果 【经典例题三 平行线的性质】 1．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．（23-24七年级下·四川宜宾·月考）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知AB∥CD，∠BAD＝40°，点M在直线AD上，N为线段CD上一点，若∠MNC＝α，则∠AMN＝_________．（用含α的式子表示） 4．（25-26七年级下·黑龙江绥化·月考）中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，且．求证：． 【经典例题四 根据平行线的性质探究角的关系】 1．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，，O位于两平行线之间且和的平分线交于点，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点，……，再分别作和的平分线交于点，若，则n的值是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，已知，点F、G分别在、上，点E在、之间，连结、，平分，平分且交的反向延长线于点H，交于点P，，．给出下面四个结论： ①；    ②；    ③；    ④． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 4．（25-26七年级下·福建厦门·期末）厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． (1)当平分，平分时，求与的数量关系； (2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； (3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【经典例题五 根据平行线的性质求角的度数】 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 2．（2025·七年级下 云南）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，若点F为球的中心，入射波与法线的夹角，则（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·周测）如图①所示的是北斗七星的位置图，如图②所示的是将北斗七星分别标记为，，，，，，，并将，，，，，，顺次首尾连接的示意图．若恰好经过点，且， ，，则的度数为____________． 4．（25-26七年级下·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【经典例题六 根据平行线的判定与性质求角度】 1．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）如图，点在的延长线上，，交于点，且，，，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）将一副三角尺按图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．其中正确的是（    ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3．（24-25七年级下·四川泸州·期末）如图，点E在线段的延长线上，，，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论： ①；②平分；③；④． 其中正确结论的序号是______． 4．（25-26七年级下·四川乐山·期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，三角形是直角三角形，点C在直线n上，，，． 操作发现： （1）如图1，若，则=_______； 实践探究： （2）如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值．在说明理由时，组内小乐说：“过点B作直线m的平行线进行等角转化．”请你写出这个定值，并说明理由（可以用小乐的方法，也可以用其它方法）； 拓展延伸： （3） 如图3，缜密小组在图2的基础上作射线、，相交于点G，且，，求的度数． 【经典例题七 根据平行线的判定与性质证明】 1．（25-26七年级下·全国·期中）如图，下列结论中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，，点在直线上，点，在直线上，．将射线绕点以的速度逆时针转动，同时射线绕点以的速度逆时针转动，设转动时间为秒.在转动过程中，当射线与射线第一次互相垂直时，的值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·月考）如图，已知分别为上一点（），EF平分．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是_____．（填序号） 4．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知：四边形中，，，D为射线上一动点，连接，交直线于点M，作的角平分线与的角平分线所在直线交于点N． (1)如图1，当D在线段上时，小芳将和的部分对应角度记录如下表：           ①请将上表补全； ②猜想和的数量关系，并说明理由． (2)当D点在延长线上运动时，在图2和图3中补全图形；分别写出和的数量关系．           学科网（北京）股份有限公司 $