专题1.7 相交线与平行线易错必刷题型专训（48题12个考点）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题1.7 相交线与平行线易错必刷题型专训（48题12个考点） 【易错必刷一 垂线的定义理解】 1．（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图，点A，O，B在一条直线上，，且，垂足为点O，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据计算，再根据垂直的定义得到，再利用角的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·广东江门·开学考试）如图，点在直线上，，若平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出和，再结合角的和差求解即可． 【详解】解： 平分，， ， ， ， ， ． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）如图，已知，垂足为O，若，则_______． 【答案】/121度 【分析】根据，得，又因为，即可求出，再根据求解． 【详解】∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·福建福州·期末）请根据条件进行推理，并在下列解答中填空． 如图，直线，交于点，平分，于点，，求的度数． 解：直线，交于点（已知） （    ） 又平分（已知） _____（    ） （已知） （    ） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，角平分线的定义，垂直的定义，角的和差，解题的关键是掌握以上性质和定义． 根据对顶角相等得出，根据角平分线的定义得出，根据垂直得出直角，最后利用角的和差进行求解即可． 【详解】解：直线，交于点（已知） （对顶角相等） 又平分（已知） （角平分线定义） （已知） （垂直定义） ． 【易错必刷二 垂线段最短】 1．（25-26七年级下·山西临汾·期末）下列生活现象中，能直接体现“垂线段最短”这一基本事实的是（    ） A．工人师傅用墨斗弹墨线时，拉紧的墨线是直的 B．从家到学校，走笔直的公路比走弯曲的小路更近 C．把一根木条固定在墙上，至少需要两颗钉子 D．体育课上，测量同学的跳远成绩时，测量的是落点到起跳线的垂直距离 【答案】D 【分析】本题考查了对几何基本事实的理解． 逐一分析各选项对应的原理，找出体现“垂线段最短”的选项即可． 【详解】解：A选项拉紧的墨线是直的对应几何基本事实两点确定一条直线； B选项走笔直公路比弯曲小路更近对应几何基本事实两点之间，线段最短； C选项至少两颗钉子固定木条对应几何基本事实两点确定一条直线； D选项测量跳远成绩取落点到起跳线的垂直距离，直接体现了垂线段最短这一基本事实； 故选：D． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，为直线外一点，点到直线上的三点，，的距离分别为，，，则点到直线的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离．直线外一点到直线上各点的连线段中，垂线段最短；直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 点到直线的距离即为点到直线的垂线段的长度，是点到直线上各点的连线段中，长度最小的线段，据此解答即可． 【详解】解：由图可知，长度为，是最小的， 则点到直线的距离不大于可以是， 故选：D． 3．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差_____m． 【答案】5 【分析】此题考查了垂线段最短．根据垂线段最短求出的最小值，再根据题意得到的最大值，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，当运动到点E时，根据垂线段最短可知此时取最小值，， 当运动到点C时，根据题意可知此时取最大值，， ∴的最大值与最小值相差， 故答案为：5 4．（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店． (1)在公路l上找一个路口M，使得的值最小； (2)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线（请简要说明作图依据）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查两点之间线段最短、垂线段最短： （1）根据两点之间线段最短，连接交直线l于点M，此时的值最小； （2）根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，只需作于点N即可； 【详解】（1）解：如图所示，点M即为所求： （2）解：如图所示． 【易错必刷三 平行公理的应用】 1．（25-26七年级下·重庆·期末）下列句子，属于定义的是（   ） A．对顶角相等 B．过直线外一点画已知直线的平行线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 【答案】D 【分析】本题考查了定义的理解，定义是描述概念或术语含义的语句，D选项明确规定了数轴的概念，属于定义；其他选项分别为性质、操作和定理，不属于定义． 【详解】解：∵定义是引入新概念或明确术语意义的语句， A项：“对顶角相等”是对顶角的性质，不是定义； B项：“过直线外一点画已知直线的平行线”是作图方法，不是定义； C项：“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”是垂线的性质定理，不是定义； D项：“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴”是数轴的定义， 故选：D． 2．（23-24七年级下·山东临沂·期末）按下列要求画图，只能画出一条直线的是（    ） 过点P画与已知直线l垂直的直线    过点P画与已知直线l相交的直线    过点P画与直线l平行的直线 ①                                  ②                              ③ A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”和“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答． 【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线； 在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线； 在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线； 故选：D． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图所示，已知P是直线l外一点，两条直线，相交于P，且，那么与l的位置关系是_____． 【答案】相交 【分析】根据平行公理解答即可． 【详解】解：P是直线l外一点，两条直线相交于P，且那么与l的位置关系是相交，因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 故答案为：相交． 【点睛】本题考查了平行公理．解题的关键掌握平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 4．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）按要求完成下列问题，其中画图不写作法． (1)画出从点P到水渠边的最短距离，并说明道理． (2)过点P画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？ （1）道理： ． （2）理由： ． 【答案】(1)图形见解析，道理：点到直线，垂线段最短 (2)图形见解析，理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】（1）根据点到直线，垂线段最短，过点P作PD⊥AB于点D，则PD即为所求； （2）根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点P作PD⊥AB于点D，则PD即为所求； 理由：点到直线，垂线段最短； （2）解：过点P作PE∥AB，则PE即为所求． 这样的平行线有1条， 理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，平行线的公理，熟练掌握点到直线，垂线段最短；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题的关键． 【易错必刷四 平面内两直线的位置关系】 1．（24-25七年级下·吉林白城·期中）下列说法正确的有（   ） ①互为补角的两角的平分线互相垂直； ②在同一平面内，两条互相垂直的线段不一定相交，但它们所在的直线一定相交； ③两条直线相交成四个角，如果有一对对顶角互余，那么这两条直线垂直； ④画一条射线的垂线，垂足一定落在这条射线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据所学的相关知识，解答后判定作答即可． 本题考查了垂线，垂直的意义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：①互为补角的两角的平分线不一定互相垂直，如正方形的对角的平分线是一条，故本结论错误； ②在同一平面内，两条互相垂直的线段不一定相交，但它们所在的直线一定相交，正确； ③两条直线相交成四个角，有一对对顶角都是，两角互余，其邻补角为，二线不垂直，故本结论错误； ④画一条射线的垂线，垂足可能落在这条射线上，也可能落在射线的反向延长线上，故本结论错误． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）平行、垂直和相交的关系可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两直线的位置关系，平面内两直线的位置关系有相交和平行两种，所以平行和相交是并列存在的，而垂直是相交的一种特殊情况，所以相交包括垂直． 【详解】解：平面内两直线的位置关系有相交和平行两种， 当两直线相交，夹角是时，两直线互相垂直， 垂直是相交的一种特殊情况， 平行、垂直和相交的关系如下图所示， 故选：D． 3．（24-25七年级下·广东佛山·期中）在同一平面内任意画5条直线，最多可构成______________对对顶角． 【答案】20 【分析】本题考查了平面内两直线的位置关系、对顶角的定义，熟练掌握平面内两直线的位置关系是解题的关键．根据直线的位置关系可知，在同一平面内，若2条直线相交，则可构成2对对顶角；若2条直线平行，则不能构成对顶角，据此即可解答． 【详解】解：在同一平面内，若2条直线相交，则可构成2对对顶角；若2条直线平行，则不能构成对顶角， 在同一平面内任意画5条直线且直线两两相交，能构成最多对对顶角，此时对顶角共有对， 在同一平面内任意画5条直线，最多可构成20对对顶角． 故答案为：20． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）在图中，    (1)分别找出三组互相平行、互相垂直的线段，并用符号表示出来． (2)找出一个锐角、一个直角、一个钝角，将它们表示出来． 【答案】(1)（答案不唯一），（答案不唯一） (2)锐角（答案不唯一），是直角（答案不唯一），是钝角（答案不唯一） 【分析】（1）根据平行线和垂直的定义即可解答； （2）根据角的分类方法进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，（答案不唯一），（答案不唯一）； （2）解：锐角，是直角，是钝角． 【点睛】本题主要考查了平行线的定义，垂线的定义，角的分类，熟知相关知识是解题的关键． 【易错必刷五 平行线的判定】 1．（25-26七年级下·广西南宁·月考）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线判定定理逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A. ，，    能判定，不符合题意； B. ，，能判定，不符合题意； C. ，，能判定，不符合题意； D. ，不能判定，符合题意． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）图1是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性．如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定方法依次判定即可．本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、和是同位角，，则，A选项正确； B、和是对顶角，不能得出，B选项错误； C、和是领补角，不能得出，C选项错误； D、和既不是同位角也不是内错角，不能得出，D选项错误； 故选：A． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·周测）如图，填空． （1）当______时，，理由：____________； （2）当______时，，理由：____________； （3）当______时，，理由：____________． 【答案】 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 【分析】结合图形，依据已知平行线识别“三线八角”模型中的同位角、内错角、同旁内角，再对应匹配平行线的三大判定定理，完成条件与判定依据的填空即可． 【详解】解：（1）当 时，，理由：同位角相等，两直线平行； （2）当 时，，理由：内错角相等，两直线平行； （3）当 时，，理由：同旁内角互补，两直线平行． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，如果于点于点为的平分线，为的平分线，那么．请写出说理过程． 【答案】过程见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定、垂线的定义及角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定、垂线的定义及角平分线的定义是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求解． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂线的定义）， ∵为的平分线，为的平分线（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【易错必刷六 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行】 1．（23-24七年级下·河北石家庄·月考）在作业纸上，要过点P作直线 a 的平行线 b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，ⅠⅠ，下列判断正确的是(    ) 嘉嘉利用直尺和三角尺，作图过程如图1所示 A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ ，Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定方法，熟练应用判定方法是关键，方案Ⅰ是根据同位角相等判定平行，方案Ⅱ是根据垂直于同一直线的两条直线平行得出即可． 【详解】解：由图知：方案Ⅰ是根据同位角相等，判定； 方案Ⅱ是根据垂直于同一直线的两条直线平行，判定； 故选：C． 2．（22-23七年级下·重庆万州·期末）在同一平面内有2022条直线，如果，，，，…那么与的位置关系是（    ）． A．重合 B．平行或重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：∵在同平面内有2022条直线，若，，，…… ∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵…1， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直． 【点睛】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，就可以再找出两条平行线，如图所示， ，这是依据__________________的道理．由此得出推论：在同一平面内，_________________．如图，几何语言表述为：   ∴________． 【答案】 同位角相等，两直线平行 垂直于同一直线的两条直线互相平行 【分析】根据同位角相等，两直线平行以及垂直于同一直线的两条直线互相平行即可得出结果． 【详解】， ，（同位角相等，两直线平行） 由此得出推论： 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行， 几何语言表述为： ， ∴， 故答案为：同位角相等，两直线平行；垂直于同一直线的两条直线互相平行；． 【点睛】本题主要考查了同位角相等，两直线平行以及垂直于同一直线的两条直线互相平行，属于基础题，掌握平行线的判定定理是解题关键． 4．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知．请根据下列语句依次画出图形或解答问题． (1)画出的对顶角； (2)点P为内一点，画出直线交于点N，直线交于点M； (3)若，则 （直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据对顶角的定义，反向延长分别到点C和点D，则即为所求． （2）根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，画图即可． （3）根据平行线的性质解答即可． 本题考查了基本作图，平行线的判定和性质，对顶角的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：反向延长分别到点C和点D， ． 则即为所求． （2）解：根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，画图如下： 则直线交于点N，直线交于点M； 则直线即为所求． （3）解：根据，， 故，， 则， 又， 故． 【易错必刷七 平行线的性质】 1．（2023·七年级下 河北保定）如图，是三位同学证明“三角形内角和是”的三种方案，在证明过程中，没有用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据的是（    ） 方案Ⅰ 方案Ⅱ 方案Ⅲ 过点A作， 则，， ∴． 过点C作， 则，， ∵， ∴． 过点B作， 则，， ∵， ∴． A．方案Ⅰ和方案Ⅱ B．方案Ⅱ和方案Ⅲ C．方案Ⅰ和方案Ⅲ D．都没用到 【答案】C 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：方案Ⅰ，过点A作， 则(两直线平行内错角相等)，(两直线平行同旁内角互补)， ∴； 方案Ⅱ，过点C作， 则(两直线平行内错角相等)，(两直线平行同位角相等)， ∵， ∴； 方案Ⅲ，过点B作， 则(两直线平行内错角相等)，(两直线平行内错角相等)， ∵， ∴． 方案Ⅰ和方案Ⅲ都没用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据，而方案Ⅱ用到了， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补是解题的关键． 2．（25-26七年级下·北京延庆·期末）如图，点F是∠ACE内一点，FDAC，FBEC，点D在射线CE上，点B在射线CA上．下列结论正确的是（    ） ①∠1=∠F；②∠2=∠C；③∠FBC=∠FDC；④∠FBC+∠2 =180° A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由FDAC，可推出：∠1=∠F，∠2=∠C；由FB∥EC，可得∠1=∠C，∠FBC+∠C =180° 从而有∠1=∠2，再由∠2+∠FDC=180°，可得∠FBC=∠FDC，于是可作出判断． 【详解】∵FDAC ∴∠1=∠F，∠2=∠C 即①②正确 ∵FB∥EC ∴∠1=∠C，∠FBC+∠C =180° ∴∠1=∠2，∠FBC+∠2=180° 即④正确 ∵∠2+∠FDC=180°，∠1+∠FBC=180° ∴∠FBC=∠FDC 即③正确 所以正确的结论为：①②③④ 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质并灵活应用是解题的关键． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，直线．点A在直线上，点B、点C在直线上，交直线于点E，平分交于点D，交直线于点F．给出下列结论：①；②；③；④若，则平分．其中正确的是______． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，正确； ②∵， ∴， 但不一定平分， ∴推不出， 即不一定正确； ③∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，正确； ④∵， ∴， ， 又∵， ∴， ∴平分，正确 故正确的有①③④． 故答案为：①③④ ． 4．（22-23七年级下·山西吕梁·期末）综合与探究 数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，如图1，已知直线，直角三角板中，，． (1)如图1，若，则______；（直接写出答案）    (2)“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图，调整三角板的位置，当三角板的直角顶点在直线上，直线与，相交时，他们得出的结论是：，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由； (3)如图，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图的基础上，继续调整三角板的位置，当点不在直线上，直线与，相交时，与有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由． 【答案】(1) (2)正确，理由见解析； (3)，理由见解析 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等即可求解； （2）如图所示，过点作，根据两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质即可求解； （3）如图所示，过点作，根据两直线平行，同位角相等，平角的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． （2）解：结论正确，理由如下： 如图所示，过点作，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图所示，过点作，    ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 【易错必刷八 平行线的性质在生活中的应用】 1．（23-24七年级下·河南商丘·月考）如图1，汽车前灯的反光装置相当于凹面镜，有了它，射出的光可看作平行光．现对此进行逆向分析，如图2，两条平行光线、、通过凹面镜反射后反射光线会聚于焦点F，是过焦点F的一条辅助线，根据图中信息，下列判断错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线再生活中的应用，根据平行光的性质得到，再根据内错角相等即可得到，由平行公理得到，由不一定等于，得到不一定等于． 【详解】解：如图，    由题意得：，故 A正确； ， ，故 B正确； ，故 C正确； 不一定等于， 不一定等于，故D错误； 故选：D． 2．（25-26七年级下·江苏南通·月考）如图，某人骑自行车自A沿正东方向前进，至B处后，右拐15°行驶，若行驶到C处再按正西方向行驶，则他在C处应该（　　） A．左拐15° B．右拐15° C．左拐165° D．右拐165° 【答案】D 【分析】根据题意可得：，由平行线的性质得出，结合图形求解即可得出结果． 【详解】解：如图所示，标注字母如下，根据题意可得：， ∵行走方向为正东与正西方向， ∴， ∴， ∴， 故应右拐即可按照正西方向行驶， 故选：D． 【点睛】题目主要考查平行线的性质及角度的判定，理解题意，作出图形求解是解题关键． 3．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）当光线从水中射向空气中时，要发生折射．在水中平行的光线在空气中也是平行的．如图，一组平行光线从水中射向空气中，已知∠5＝2∠3，2∠2﹣90°＝∠7，则∠4＝_____． 【答案】120°/120度 【分析】根据平行线的性质得到∠4＝∠2，∠5＝∠6，∠7＝∠8，∠4+∠6＝180°，∠3+∠8＝180°，等量代换即可得到结论． 【详解】∵EFABCD，在水中平行的光线在空气中也是平行的． ∴∠4＝∠2，∠5＝∠6，∠7＝∠8，∠4+∠6＝180°，∠3+∠8＝180°， ∴∠4+∠5＝180°，∠8＝180°﹣∠3， ∵∠5＝2∠3，2∠4﹣90°＝∠8， ∴2∠4﹣90°＝180°﹣∠3，∠4+2∠3＝180°， ∴∠3＝90°﹣∠4， ∴2∠4﹣90°＝180°﹣（90°﹣∠4）， ∴∠4＝120°， 故答案为：120°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用． 4．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯的角度分别为和，量得，要保持两次拐弯前后的路线平行，的度数应为多少？为什么？ 【答案】117°，理由：同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据两直线平行同旁内角互补即可得出∠BCD的度数． 【详解】解：根据题意得，ABCD，∠ABC=63° ∴∠BCD=180°-∠ABC=117°， ∴要保持两次拐弯前后的路线平行，∠BCD为117°，理由是同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】题目主要考查平行线的性质，理解题意是解题的关键． 【易错必刷九 根据平行线判定与性质证明】 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，，，在不添加辅助线的情况下，证明的过程中不必用到的依据是（    ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同旁内角互补，两直线平行 C．等量代换 D．等角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质解题的关键是掌握平行线的判定和性质． 利用平行线的性质和判定解决问题即可． 【详解】解：， （两直线平行，同旁内角互补）， ， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）． 故选：D． 2．（23-24七年级下·山西朔州·月考）如图，已知，，，平分交于点G，则下列结论：①；②；③；④与相等的角有2个，正确的有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．利用平行线的判定和性质结合角平分线的定义即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，①正确； ∵平分， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴， ∴，③不正确； ∵， ∴与相等的角有4个，④不正确； 综上，正确的是①②，共2个， 故选：C． 3．（2023·七年级下 河北秦皇岛）如图，将一副直角三角板如图摆放，． （1）与的位置关系是__________； （2）在不标字母的情况下，找出与相等的角是__________． 【答案】 ； 、 【分析】（1）如图，延长交于，结合已知易证，得到，由求出，从而得到，可证明； （2）由（1）可得到结果． 【详解】（1）如图，延长交于， 在直角三角板中， ， 故答案为： （2）由（1）可知，， 故答案为：、． 【点睛】本题考查了角的有关计算，平行线的判定和性质的应用；解题的关键是平行线的判定和性质的应用． 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）如图①，展示了光线反射定律：垂直于镜面于点E，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与法线所夹锐角分别为、，且．证明：． （2）如图②，、表示两面互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，光线经镜面反射后的反射光线为，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】此题考查了角的关系和平行线的判定以及性质，熟练掌握平行线的判定方法以及基本性质是解题的关键． （1）根据等角的余角相等； （2）根据题意，得到，再根据“内错角相等，两直线平行”即可求解． 【详解】证明∶（1）． ． ， ． ． 解：（2） 理由如下： ，，， ，． ， ． ． （内错角相等，两直线平行）． 【易错必刷十 生活中的平移现象】 1．（25-26七年级下·山东威海·月考）为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建甬道，道路的宽忽略不计，若草坪周长为，则道路的总长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了长方形周长公式的应用及图形的平移思想，熟练掌握长方形周长公式并利用平移简化计算是解题的关键． 通过平移道路，将其转化为长方形的长与宽的和，结合长方形周长公式计算道路总长． 【详解】解：设长方形草坪的长为，宽为． 长方形周长公式：， ∴． 平移道路后，道路总长等于． 故答案为：B． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）下列现象：温度计中，液柱的变化；电梯上下运动；钟摆的摆动；小方块在水平地面滑动，属于平移的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平移的定义与性质，熟记平移不改变图形形状与大小是解决问题的关键．根据平移的定义与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：温度计中，液柱的变化：液柱热胀冷缩，长度改变，点之间的相对位置变化，不是平移； 电梯上下运动：电梯整体移动，所有点移动相同距离，是平移； 钟摆的摆动：钟摆沿弧线运动，有旋转，不是平移； 小方块在水平地面滑动：小方块整体滑动，所有点移动相同距离（假设无旋转），是平移． 属于平移的是和， 故选：D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图是小欣利用滑轮把物块M抬高的场景，则物块M上升的过程可以看作数学上的__________运动．    【答案】平移 【详解】解：由题意得，物块M上升的过程可以看作数学上的平移运动 ． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）制作动画片时，经常要用到图形的平移．如图，小鸭子从到，再到，到，这几个过程中，分别进行了怎样的平移？ 【答案】见解析． 【分析】根据平移的性质解答即可． 【详解】解：小鸭子从A处向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度到达B处． 接着从B处向右平移3个单位长度到达C处． 最后从C处向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度到达D处． 【点睛】本题考查了平移的性质，注意仔细欣赏图案，利用平移的定义及性质解答即可． 【易错必刷十一 图形的平移】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列“小旗子”的平移作图中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移不改变图形的形状、大小和方向是解题的关键． 根据平移的性质，逐一判断各选项中小旗子的方向是否改变． 【详解】解：平移变换的核心特征是图形的形状、大小和方向保持不变， 在四个选项中，只有选项C中的“小旗子”方向发生了改变，因此它是错误的平移作图． 故选：C． 2．（25-26七年级下·河北邢台·月考）在直角坐标系中，将坐标的点用线段依次连接起来，形成一个图案．经过下列变化得到的图案，与原图案相比，形状和大小都不变的是（　　） A．四个点的纵坐标不变，横坐标变成原来的 B．四个点的横坐标和纵坐标分别乘以3 C．四个点的纵坐标不变，横坐标分别加2 D．四个点的横坐标不变，纵坐标乘2 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，判断各选项是否属于平移是解题的关键． 平移是横坐标（纵坐标）加上（减去）相同数；坐标扩大（缩小）倍数，不属于平移． 【详解】解：A：四个点的纵坐标不变，横坐标变成原来的，新图案会缩小，故该选项不合题意； B：四个点的横坐标和纵坐标分别乘以，新图案会扩大，故该选项不合题意； C：四个点的纵坐标不变，横坐标分别加，相当于图案向右平移两个单位长度，与原图案相比，形状和大小都不变，故该选项符合题意； D：四个点的横坐标不变，纵坐标乘以，新图案会扩大，故该选项不合题意． 故选：C． 3．（25-26七年级下·北京·期中）在用平移作画的活动中，小辰仿照书上的例子（图1）设计了一幅画（图2）．首先他画出很多边长是5cm的小正方形，然后画出图2中的曲线，并沿着正方形的边向上或者向右平移相应曲线，得到了“飞马”的样子．请你计算一匹“飞马”部分的面积为______ cm2． 【答案】25 【分析】观察图形可得一匹飞马的面积正好是边长是5cm的小正方形的面积． 【详解】解：由平移规律可得，一匹“飞马”部分的面积为(cm2)， 故答案为：25 【点睛】本题考查了图形的平移，认真观察图形的形成过程是解题的关键． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，平移，使点A移动到点D的位置． (1)画出平移后所得的，并写出对应点、对应边、对应角． (2)结合平移的定义，写出是由经过怎样的平移得到的． 【答案】(1)图见解析，点A和点D，点B和点E，点C和点F分别是对应点，线段和线段，线段和线段，线段和线段分别是对应线段，和，和，和是对应角 (2)是由向右平移7个单位长度，向下平移1个单位长度得到的 【分析】本题主要考查了画平移图形，平移图形之间的平移方式，平移的相关概念等等，熟知平移的相关知识是解题的关键． （1）根据点A和点D的位置可确定平移方式，据此确定E、F的位置，顺次连接D、E、F即可；再写出对应角，对应点和对应线段即可； （2）点A和点D的位置可确定平移方式，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 点A和点D，点B和点E，点C和点F分别是对应点， 线段和线段，线段和线段，线段和线段分别是对应线段， 和，和，和是对应角． （2）解：由题意得，是由向右平移7个单位长度，向下平移1个单位长度得到的． 【易错必刷十二 利用平移解决实际问题】 1．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）圭和璋，均为玉器之珍品，因此我们用成语“圭璋之质”比喻人品之高尚．中国的汉字中有些具有平移现象，此成语中的汉字可以看成由平移构成的是（  ） A．圭 B．璋 C．之 D．质 【答案】A 【分析】本题考查了平移的基本性质的运用，熟练掌握平移的性质是解答此题的关键．根据平移的基本性质，汉字只需由两或三个完全相同的部分组成即可． 【详解】解：根据题意，由两或三个完全相同的部分组成的汉字可以通过平移得到， ∴“圭”可以通过平移得到． 故选：A． 2．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）如图，在一块长为am，宽为bm的草地上有两条小路：路I路II．其中路I是弯曲的，路II是直的，且每条小路的右边线都是它的左边线向右平移1m得到的．记两条小路的面积分别为，，则下列判断正解的是（    ） A． B． C． D．无法比较与的大小 【答案】B 【分析】此题主要考查了生活中的平移现象．利用平移道路的方法计算小路的面积，通过比较可以得出答案． 【详解】解：小路I的面积为：； 小路II的面积为：． 所以． 故选：B． 3．（24-25七年级下·山西大同·期中）无人机表演的原理是利用电磁波的发射和接收来控制无人机向上、下、左、右飞行，然后根据表演的需要形成合适的编队．如图，在一次表演中，4架无人机，，，编队飞行，且在飞行过程中队形保持不变，当无人机飞行到的位置时，无人机飞行到的新位置的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．先根据无人机B确定出平移规律，再求出的横坐标与纵坐标即可得解． 【详解】解：∵无人机飞行到的位置时，横坐标加6，纵坐标加2， ∴无人机飞行到的新位置的坐标是，纵坐标为， ∴的坐标是． 故答案为：． 4．（22-23七年级下·上海·假期作业）如图，在一块梯形稻田中间修两条1米宽的路． (1)稻田实际种植的面积是多少平方米？ (2)若每公顷收割水稻千克，这块稻田共能收割水稻多少吨？ 【答案】(1)平方米 (2)吨 【分析】（1）根据图示可知，把剩余稻田部分平移，可以拼成一个上底为米、下底为米、高为25米的梯形，利用梯形面积公式：，求其面积即可． （2）先把平方米化为公顷，再乘每公顷收割水稻千克数，最后把千克数化为吨即可得解． 【详解】（1）解： ＝ ＝（平方米） 答：稻田实际种植的面积是平方米． （2）解：平方米＝公顷 =（千克） 千克＝吨 答：这块稻田共能收割水稻吨． 【点睛】此题的解题关键是把组合图形转化成我们熟悉的梯形，灵活运用梯形的面积公式求解，注意面积、质量单位之间的换算． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7 相交线与平行线易错必刷题型专训（48题12个考点） 【易错必刷一 垂线的定义理解】 1．（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图，点A，O，B在一条直线上，，且，垂足为点O，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东江门·开学考试）如图，点在直线上，，若平分，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）如图，已知，垂足为O，若，则_______． 4．（25-26七年级下·福建福州·期末）请根据条件进行推理，并在下列解答中填空． 如图，直线，交于点，平分，于点，，求的度数． 解：直线，交于点（已知） （    ） 又平分（已知） _____（    ） （已知） （    ） 【易错必刷二 垂线段最短】 1．（25-26七年级下·山西临汾·期末）下列生活现象中，能直接体现“垂线段最短”这一基本事实的是（    ） A．工人师傅用墨斗弹墨线时，拉紧的墨线是直的 B．从家到学校，走笔直的公路比走弯曲的小路更近 C．把一根木条固定在墙上，至少需要两颗钉子 D．体育课上，测量同学的跳远成绩时，测量的是落点到起跳线的垂直距离 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，为直线外一点，点到直线上的三点，，的距离分别为，，，则点到直线的距离可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差_____m． 4．（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店． (1)在公路l上找一个路口M，使得的值最小； (2)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线（请简要说明作图依据）． 【易错必刷三 平行公理的应用】 1．（25-26七年级下·重庆·期末）下列句子，属于定义的是（   ） A．对顶角相等 B．过直线外一点画已知直线的平行线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 2．（23-24七年级下·山东临沂·期末）按下列要求画图，只能画出一条直线的是（    ） 过点P画与已知直线l垂直的直线    过点P画与已知直线l相交的直线    过点P画与直线l平行的直线 ①                                  ②                              ③ A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图所示，已知P是直线l外一点，两条直线，相交于P，且，那么与l的位置关系是_____． 4．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）按要求完成下列问题，其中画图不写作法． (1)画出从点P到水渠边的最短距离，并说明道理． (2)过点P画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？ （1）道理： ． （2）理由： ． 【易错必刷四 平面内两直线的位置关系】 1．（24-25七年级下·吉林白城·期中）下列说法正确的有（   ） ①互为补角的两角的平分线互相垂直； ②在同一平面内，两条互相垂直的线段不一定相交，但它们所在的直线一定相交； ③两条直线相交成四个角，如果有一对对顶角互余，那么这两条直线垂直； ④画一条射线的垂线，垂足一定落在这条射线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）平行、垂直和相交的关系可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东佛山·期中）在同一平面内任意画5条直线，最多可构成______________对对顶角． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）在图中，    (1)分别找出三组互相平行、互相垂直的线段，并用符号表示出来． (2)找出一个锐角、一个直角、一个钝角，将它们表示出来． 【易错必刷五 平行线的判定】 1．（25-26七年级下·广西南宁·月考）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）图1是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性．如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·周测）如图，填空． （1）当______时，，理由：____________； （2）当______时，，理由：____________； （3）当______时，，理由：____________． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，如果于点于点为的平分线，为的平分线，那么．请写出说理过程． 【易错必刷六 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行】 1．（23-24七年级下·河北石家庄·月考）在作业纸上，要过点P作直线 a 的平行线 b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，ⅠⅠ，下列判断正确的是(    ) 嘉嘉利用直尺和三角尺，作图过程如图1所示 A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ ，Ⅱ都不可行 2．（22-23七年级下·重庆万州·期末）在同一平面内有2022条直线，如果，，，，…那么与的位置关系是（    ）． A．重合 B．平行或重合 C．垂直 D．相交但不垂直 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，就可以再找出两条平行线，如图所示， ，这是依据__________________的道理．由此得出推论：在同一平面内，_________________．如图，几何语言表述为：   ∴________． 4．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知．请根据下列语句依次画出图形或解答问题． (1)画出的对顶角； (2)点P为内一点，画出直线交于点N，直线交于点M； (3)若，则 （直接写出答案）． 【易错必刷七 平行线的性质】 1．（2023·七年级下 河北保定）如图，是三位同学证明“三角形内角和是”的三种方案，在证明过程中，没有用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据的是（    ） 方案Ⅰ 方案Ⅱ 方案Ⅲ 过点A作， 则，， ∴． 过点C作， 则，， ∵， ∴． 过点B作， 则，， ∵， ∴． A．方案Ⅰ和方案Ⅱ B．方案Ⅱ和方案Ⅲ C．方案Ⅰ和方案Ⅲ D．都没用到 2．（25-26七年级下·北京延庆·期末）如图，点F是∠ACE内一点，FDAC，FBEC，点D在射线CE上，点B在射线CA上．下列结论正确的是（    ） ①∠1=∠F；②∠2=∠C；③∠FBC=∠FDC；④∠FBC+∠2 =180° A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，直线．点A在直线上，点B、点C在直线上，交直线于点E，平分交于点D，交直线于点F．给出下列结论：①；②；③；④若，则平分．其中正确的是______． 4．（22-23七年级下·山西吕梁·期末）综合与探究 数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，如图1，已知直线，直角三角板中，，． (1)如图1，若，则______；（直接写出答案）    (2)“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图，调整三角板的位置，当三角板的直角顶点在直线上，直线与，相交时，他们得出的结论是：，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由； (3)如图，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图的基础上，继续调整三角板的位置，当点不在直线上，直线与，相交时，与有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由． 【易错必刷八 平行线的性质在生活中的应用】 1．（23-24七年级下·河南商丘·月考）如图1，汽车前灯的反光装置相当于凹面镜，有了它，射出的光可看作平行光．现对此进行逆向分析，如图2，两条平行光线、、通过凹面镜反射后反射光线会聚于焦点F，是过焦点F的一条辅助线，根据图中信息，下列判断错误的是（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏南通·月考）如图，某人骑自行车自A沿正东方向前进，至B处后，右拐15°行驶，若行驶到C处再按正西方向行驶，则他在C处应该（　　） A．左拐15° B．右拐15° C．左拐165° D．右拐165° 3．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）当光线从水中射向空气中时，要发生折射．在水中平行的光线在空气中也是平行的．如图，一组平行光线从水中射向空气中，已知∠5＝2∠3，2∠2﹣90°＝∠7，则∠4＝_____． 4．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯的角度分别为和，量得，要保持两次拐弯前后的路线平行，的度数应为多少？为什么？ 【易错必刷九 根据平行线判定与性质证明】 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，，，在不添加辅助线的情况下，证明的过程中不必用到的依据是（    ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同旁内角互补，两直线平行 C．等量代换 D．等角的补角相等 2．（23-24七年级下·山西朔州·月考）如图，已知，，，平分交于点G，则下列结论：①；②；③；④与相等的角有2个，正确的有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2023·七年级下 河北秦皇岛）如图，将一副直角三角板如图摆放，． （1）与的位置关系是__________； （2）在不标字母的情况下，找出与相等的角是__________． 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）如图①，展示了光线反射定律：垂直于镜面于点E，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与法线所夹锐角分别为、，且．证明：． （2）如图②，、表示两面互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，光线经镜面反射后的反射光线为，试判断与的位置关系，并说明理由． 【易错必刷十 生活中的平移现象】 1．（25-26七年级下·山东威海·月考）为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建甬道，道路的宽忽略不计，若草坪周长为，则道路的总长为（　　） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）下列现象：温度计中，液柱的变化；电梯上下运动；钟摆的摆动；小方块在水平地面滑动，属于平移的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图是小欣利用滑轮把物块M抬高的场景，则物块M上升的过程可以看作数学上的__________运动．    4．（25-26七年级下·全国·课后作业）制作动画片时，经常要用到图形的平移．如图，小鸭子从到，再到，到，这几个过程中，分别进行了怎样的平移？ 【易错必刷十一 图形的平移】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列“小旗子”的平移作图中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北邢台·月考）在直角坐标系中，将坐标的点用线段依次连接起来，形成一个图案．经过下列变化得到的图案，与原图案相比，形状和大小都不变的是（　　） A．四个点的纵坐标不变，横坐标变成原来的 B．四个点的横坐标和纵坐标分别乘以3 C．四个点的纵坐标不变，横坐标分别加2 D．四个点的横坐标不变，纵坐标乘2 3．（25-26七年级下·北京·期中）在用平移作画的活动中，小辰仿照书上的例子（图1）设计了一幅画（图2）．首先他画出很多边长是5cm的小正方形，然后画出图2中的曲线，并沿着正方形的边向上或者向右平移相应曲线，得到了“飞马”的样子．请你计算一匹“飞马”部分的面积为______ cm2． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，平移，使点A移动到点D的位置． (1)画出平移后所得的，并写出对应点、对应边、对应角． (2)结合平移的定义，写出是由经过怎样的平移得到的． 【易错必刷十二 利用平移解决实际问题】 1．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）圭和璋，均为玉器之珍品，因此我们用成语“圭璋之质”比喻人品之高尚．中国的汉字中有些具有平移现象，此成语中的汉字可以看成由平移构成的是（  ） A．圭 B．璋 C．之 D．质 2．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）如图，在一块长为am，宽为bm的草地上有两条小路：路I路II．其中路I是弯曲的，路II是直的，且每条小路的右边线都是它的左边线向右平移1m得到的．记两条小路的面积分别为，，则下列判断正解的是（    ） A． B． C． D．无法比较与的大小 3．（24-25七年级下·山西大同·期中）无人机表演的原理是利用电磁波的发射和接收来控制无人机向上、下、左、右飞行，然后根据表演的需要形成合适的编队．如图，在一次表演中，4架无人机，，，编队飞行，且在飞行过程中队形保持不变，当无人机飞行到的位置时，无人机飞行到的新位置的坐标是________． 4．（22-23七年级下·上海·假期作业）如图，在一块梯形稻田中间修两条1米宽的路． (1)稻田实际种植的面积是多少平方米？ (2)若每公顷收割水稻千克，这块稻田共能收割水稻多少吨？ 学科网（北京）股份有限公司 $