四川省宜宾市第三中学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

宜宾市三中教育集团高2023级高二下三月月考 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1．已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度是（   ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间为（    ） A．​ B．​ C．​ D． 3．从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（    ） A．21 B．210 C． D． 4．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知函数，若方程有两个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投（    ）千元． A． B． C． D． 7．已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 8．已知是自然对数的底数，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，共18分，在每个小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9．下列命题正确的有（    ） A．已知函数在上可导，若，则 B． C．在R上是增函数 D．在处的切线斜率是 10．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则， B．函数既有极大值又有极小值 C．若是的极大值点，则在区间单调递增 D．当时，函数有三个零点时 11、已知函数，若有两个极值点，则下面判断正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12、已知函数在处有极大值，则 13、若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有 个 14、已知定义在上的连续奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15、已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 16．已知函数在处的切线与直线垂直 (1)求a的值； (2)求的单调区间和极值. 17．已知抛物线过点．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点 (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A为线段BM的中点． 18．已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．已知函数 (1)当时，证明：； (2)若在区间单调递增，求实数的取值范围； (3)若且，，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $$宜宾市三中教育集团高2023级高二下三月月考 数学试题答案 单选:DCBA ABCA 多选:BCD ABD ACD 填空:3 52 (#1)(0() 2ar2-2x+1 ) ) 当a=0时,/“(x)-1- 当*0时,令g(x)=2ax-2x+1(az0),则A=4-8; 由题意A>0,且0<x.<x.所以0<a< 1 2 2a 2 :x-10,:0<x<1; 8(x.)-2ax{-2-+1-0,:ax}=-2. 1 #2 对于D,f(x)+f(x)=ax-2x+lnx+ax-2x+lnx=a(x+x)-2axx-2(x.+x)+lnx (x)(x)--1-2-12-12a-1- #)在(0)# 上单调递增,(á)<()-2-1-3,f(x)f(x:)<-3,p正确. 故选:ABD. 四、解答题 15、解:(1)由题意 f$($x)=1-2cos t.f(0)=1-2cos 0=-1 又·f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0.f(0)处的切线方程为y-1=-1(x-0), (2)由题意(x)-1-20oX,0. 由/(x)>0, 3 则/(1)在0 -1. (0)一1 .() - 16. 解:(1)由题意知f'(x)=(x2-ax-1)e{-}+(2x-a)e{~}=(x-ax+2x-a-1je*}. 所以f'(2)-7-3a,又函数f(x)=(x2-ax-1)e*在点(2.f(2)处的切线与直线x+4y=0垂直, (3)由(1)知f(x)=(x-x-1)e^},f(x)=(x2+x-2]e*}=(x+2)(x-1)e~} 令/(x)=0,解得x=-2或x=1, 所以当x<-2或x>1时,/”(x)>0,当-2<x<1时,f(x)<0. 所以/(x)的单调递增区间为(-x,-2)、(1,+x),单调递减区间为(-2.1) 又/f(-2)三.5”,f(!)三.-,所以.(vx).大值为5,极小值为- ...........-.15分 (k0),/与抛物线C的交点为M(x,y),N(x,y). 11-k 1 因为点P的坐标为.1.,1).,所以直线 P的方程为yx,点.A.的坐标为(x,岁....10分 直线ON的方程为y= # .×2) ......................12分 #1+1{+1),-2× Vy.x-2x= yx.+yx-2xx (2$k-2)#(#+) 因为y+ x2 (2k-2)11- #&42#=0,# . # 故A为,.......................5分.. 因为x>0,若l-a0,即a$1时,f(x)在(0.+)上单调递增 ............ #在) 上单调递增, 上单调递减. 综上,当a51时,f(2)在(0.4)上单增:当o时,f(1)在0)上单增,在)上 单调递减........ .....分 (2)因为f[x)=lnx+(1-a)x+1,f(x+1)<e-{a-l)x-2(a-1)恒成立, 所以ln(x+1)+(1-)(x+1)+1< -(-1)-2-(-1),则<-1n(x+1),.-.-0分 令8(x)=e'-1n(x+1)且x>-1,则g(x)=c- 7 又g'(0)=0,所以xe(-1,0)时,g'(x)<0;xe(0,+x)时,g'{x)>0, 所以g(.)在(-1.)上单调递减,在(0.+x)上单调递增,g( x)②g()=-1,...........-16分 所以. .........为...........-1.”分. 当0 x<1时,f’(x)>0,f(x)单调递增,当x>1时,f’(x)<0,f(x)单调递减 所以/................. lnx 在区间(0.1)上恒成立. (2)由题/(x)=二 lnx 令h(x)= #xe(011 h(x)-- .(x)_...........................分 lnx.+1lnx+1 得x(lnx.+1)=x.(lnx.+1),即 x 不妨设x<x,由(1)知,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1.+x)上单调递减,f(x).=f(1)=1; 而 记(×)=f(x)-/(2-x),(1). 则(x)=”(x)+f/(2-x)- n(2-),1n n(2-),1n(x-1)1]_。 (2-x)) _ 所以函数h(2)在()上单调增, 所以(x)h(1)=0,即/(x) f(2-x),于是/f(x)=f(x)<f(2-x). 又/(.).......-..以............5分 所x2}+.2.-) -2--4 +42$. (,-1)22,得 ..........-17”分