专题03 解三角形（知识点串讲）- 2020-2021学年高一下学期数学期末考点大串讲（苏教版2019）

专题03 解三角形（知识点串讲） 知识整合 正弦定理 ＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)． 常用变形： ① a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； ② sin A＝，sin B＝，sin C＝； ③ a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； ④ asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A． 例 1 ．（2021·全国高一课时练习）已知中，，,，角B等于（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】 由正弦定理得，即，得， ,即,且，∴或，均满足题意. 故选：C. 例2、（2021·浙江杭州市·学军中学高一期中）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的解的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【解析】 由题意即正弦定理： 得：， 解得：. 因为，所以 又且B为三角形内角， ∴B的值有两个. 故选：C 例3、在中，若则三角形的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】由已知条件及正弦定理可得，为三角形的内角， ，或，或 ，所以为等腰三角形或直角三角形. 【跟踪练习】 1、已知△ABC，a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　) A．2 B. C．2或 D．均不正确 【答案】：C 【解析】：∵＝，∴sin B＝＝·sin 30°＝.∵b>a，∴B＝60°或120°. 若B＝60°，则C＝90°，∴c＝＝2. 若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c＝. 2、.以下关于正弦定理或其变形正确的有　　 A．在中， B．在中，若，则 C．在中，若 ，则，若，则 都成立 D．在中， 【答案】ACD 【解析】对于，由正弦定理， 可得：，故正确； 对于，由，可得，或，即，或， ，或，故错误； 对于，在中，由正弦定理可得，因此是的充要条件，正确； 对于，由正弦定理， 可得右边左边，故正确． 故选：ACD． 【解题技巧】1. 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可；2.已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意；3.在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响. 知识整合 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC cosA＝，cosB＝，cosC＝． 例 4、（2021·全国高一课时练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝，则内角C＝________. 【答案】 【解析】在ABC中，由余弦定理得，即， 由已知，得，则，即， 由正弦定理，得，化简，得，解得. 故答案为：. 例5、 若，且，那么是( ) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】由题设可得 由题设可得， 即该三角形是等边三角形，应选答案B． 【跟踪练习】 1、【2020届江苏省七市第二次调研考试】在中，已知，，则A的值是______. 【答案】 【解析】，，即， ，，则， ，，，则. 故答案为： 2、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcosC＋ccosB＝2acosA． (1) 求角A的大小； (2) 若·＝，求△ABC的面积． 【解析】：(1) (解法1)在△ABC中，由正弦定理，及bcosC＋ccosB＝2acosA， 得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosA， 即sinA＝2sinAcosA． 因为A∈(0，π)，所以sinA≠0， 所以cosA＝，所以A＝． (解法2)在△ABC中，由余弦定理，及bcosC＋ccosB＝2acosA， 得b＋c＝2a， 所以a2＝b2＋c2－bc，所以cosA＝＝． 因为A∈(0，π)，所以A＝． (2) 由·＝cbcosA＝，得bc＝2， 所以△ABC的面积为S＝bcsinA＝×2×sin60°＝ ． 【解题技巧】(1) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的关键；(2) 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 知识整合 三角形中的常见结论 (1) A＋B＋C＝π． (2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>Ba>bsinA>sinB． (3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4) △ABC的面积公式 ① S