专题11.1 余弦定理与正弦定理重难点题型讲义（3个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

专题11.1 余弦定理与正弦定理重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 余弦定理解三角形 题型二 余弦定理边角互化的应用 题型三 正弦定理解三角形 题型四 正弦定理判定三角形解的个数 题型五 正弦定理求外接圆半径 题型六 正弦定理边角互化的应用 题型七 三角形面积公式及其应用 拓展训练一 余弦定理相关求解 拓展训练二 正弦定理相关求解 知识点一： 余弦定理 1、公式表达： a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 注：余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、推论： cos A＝， cos B＝， cos C＝ 4、余弦定理的推导示例：在中，内角，，所对的边分别为，， 如图，因为， ∴， 即 从而 同理，根据，， 可以得到， 【即时训练】 1．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理求解. 【详解】根据余弦定理得. 故选：C 2．（2024高一下·全国·专题练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 , , ,且满足 ,则 的形状是____________. 【答案】直角三角形 【分析】利用余弦定理、勾股定理逆定理进行求解即可. 【详解】， 所以   是直角三角形. 故答案为：直角三角形 知识点二： 正弦定理 1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 【注意】正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ①， ②， ③，，， ④， ⑤，，（实现边和角的互相转化） 3、正弦定理的推导示例： 当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义， CD＝asinB，CD＝bsinA， 所以asinB＝bsinA，得到＝. 同理，在△ABC中＝. 从以上的讨论和探究可得：＝＝. 【即时训练】 1．（25-26高三上·内蒙古·期末）在中，设角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理可求. 【详解】， 由正弦定理可得即，故， 故选：A. 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，若，，，则______． 【答案】2 【分析】由正弦定理得到方程求解即可. 【详解】由正弦定理知，，即，解得. 知识点三： 三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 【即时训练】 1．（24-25高一下·北京海淀·期中）在中，，，，则的面积为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】应用三角形面积公式求面积即可. 【详解】由题设. 故选：D 2．（2025·湖北黄冈·三模）在三角形ABC中，，设，，则________. 【答案】 【分析】利用三角形面积公式及面积比即可求解. 【详解】记 ，则， 因为，所以，所以 故答案为： 【经典例题一 余弦定理解三角形】 【例1】（25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理可得出关于的方程，即可解得的长. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故. 故选：D. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，，，求． 【答案】 【分析】由余弦定理可得，进而得到． 【详解】由余弦定理， ， 因，则． 1．（2026高一·全国·专题练习）中，，，，为中最大角，为上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意和余弦定理，在中求出AC的长，再求出AD的长，再由余弦定理在中求出BD的长． 【详解】设，由余弦定理得，， 即，整理得，解得或， ∵为中最大角，∴，又∵，∴， 在中，由余弦定理得，， 即，∴. 2．（多选）（24-25高一下·广西河池·期中）为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】AD 【分析】依题意可得，即可判断. 【详解】因为， 所以， 则或， 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：AD 3．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）已知的角对应边长分别为，则__________. 【答案】 【详解】因为， 所以由余弦定理得， ， 又，所以， 所以. 4．（2026·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，，，． (1)求； (2)若为上一点，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理即可求得的值. （2）先利用余弦定理求出的值，再利用余弦定理求出的值，然后利用勾股定理的逆定理求出，再求解. 【详解】（1）中，， 由余弦定理得： ，即， 解得. （2）在中，， 由余弦定理得：. 在中， ，由余弦定理得：. 即，得. 又，所以. 故. 【经典例题二 余弦定理边角互化的应用】 【例1】（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【答案】A 【分析】根据余弦定理计算直接得出结果. 【详解】由， 得， 即， 所以， 又，所以. 故选：A 【例2】（24-25高三上·河南·期中）在锐角中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，利用余弦定理化简求得，求得，即可求解； （2）由余弦定理得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由， 所以， 得， 得， 因为为锐角三角形，所以为锐角，所以， 所以，即， 又因为，可得． （2）解：由余弦定理知， 所以，即， 所以，解得，当且仅当时，等号成立， 所以，即周长的最大值为． 1．（24-25高一下·广东·月考）记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用二倍角公式和余弦定理化简给定条件，最后利用勾股定理逆定理求解即可. 【详解】因为，所以， 则，即， 得到，即， 则，即， 由勾股定理逆定理得为直角三角形，故B正确. 故选：B 2．（多选）（24-25高二下·福建漳州·期末）在中，若，则角的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由余弦定理及同角三角函数的关系可得，根据三角形内角性质即可求角的大小. 【详解】由，显然，故， 又，则为或. 故选：AD 3．（25-26高三上·陕西西安·自主招生）在中，、、分别是、、的对边，且.则________. 【答案】 【分析】先化简所求式子的形式，结合对应的余弦定理结论，替换式子中的部分项，进而得到式子的结果. 【详解】， 由，得，即. 将代入分子，得 分子与分母相等，故. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，若恒成立，求k的取值范围. 【答案】 【分析】由三角形两边之和大于第三边可得即可求解. 【详解】由余弦定理可构造， 使，，，， 则， 同理得，. 由三角形两边之和大于第三边，可得， 即， 所以，即. 【经典例题三 正弦定理解三角形】 【例1】（25-26高三上·云南昭通·期末）已知在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据正弦定理求出. 【详解】根据正弦定理可得：，即，解得. 因为，所以，所以， 故选：B. 【例2】（25-26高二上·云南昭通·期末）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即可. （2）由（1）的结论结合已知，利用正弦定理求解即得. 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 而，所以. （2）由，且，则， 由正弦定理得：，即， 所以. 1．（25-26高三上·广东·月考）在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理可求角A. 【详解】因为， 由正弦定理得：， 由余弦定理，， 又为三角形内角，所以. 故选：D 2．（多选）（24-25高一下·贵州·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（   ） A． B． C．是钝角三角形 D．是锐角三角形 【答案】BD 【分析】根据正弦定理可得即可判断A；再根据三边长可求的余弦值，进一步可判断关系；再根据“大边对大角”可知最大，为锐角，即可判断形状. 【详解】根据正弦定理，则，A错误； 根据正弦定理可知最大，余弦定理，则为锐角，所以是锐角三角形，C错误，D正确. ,为锐角，，因为都为锐角，所以，B正确. 故选：BD. 3．（25-26高三上·上海·月考）在中，若，，，则________. 【答案】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，得， 则，解得. 故答案为：. 4．（24-25高三上·陕西·期中）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解，从而得到角C. （2）由正弦定理即可求解,进而即可得. 【详解】（1）由余弦定理可得，有，有， 由余弦定理得， 因为，所以． （2）由正弦定理，有，即，有，因为，所以，从而有． 【经典例题四 正弦定理判定三角形解的个数】 【例1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·河南郑州·期中）（1）在中，已知，，，求. （2）在中，已知，，，解这个三角形 【答案】（1）（2）答案见解析 【分析】（1）直接由余弦定理即可求解； （2）首先由正弦定理求出或，再结合三角形内角和、余弦定理即可求解. 【详解】（1）由余弦定理有，即，故； （2）由正弦定理有，即，解得， 由可知，，而，，所以， 结合，可知或， 当时，有，由余弦定理有， 即， 解得或（舍去）； 当时，有，由余弦定理有， 即， 解得或（舍去）； 综上所述，或. 1．（24-25高一下·河南南阳·月考）在中，角所对的边分别为，已知，若三角形有两解，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理列出关系式，将的值代入表示出，求得角的范围，要使得三角形有两解确定出的范围，利用正弦函数的值域，即可求解. 【详解】因为在中，， 由正弦定理，可得， 因为，所以， 要使得三角形有两解，可得且，即， 即，解得. 故选：C. 2．（多选）（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【分析】对于A、B、D根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，即，所以， 因为，则, 因为，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确. 故选：ABD. 3．（2025·广东佛山·模拟预测）在中，角所对的边分别为．其中，当__________．（填一个符合条件的答案即可）时，有唯一解． 【答案】（答案不唯一）. 【分析】当或时，有唯一解，求解即可. 【详解】当或时，有唯一解． 则或， 故答案为：（答案不唯一）. 4．（24-25高二下·江西宜春·月考）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)已知，且角有两解，求的范围. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）由正弦定理可得，利用两角和差公式可得，即可得解； （2）由及正弦定理可得，因为角的解有两个，所以角的解也有两个，从而有，，求解即可. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得， 所以， 所以， 因为， 所以； （2）解：将代入正弦定理，得， 所以， 因为，角的解有两个，所以角的解也有两个， 所以， 即， 又， 所以， 解得. 所以的范围为. 【经典例题五 正弦定理求外接圆半径】 【例1】（25-26高二上·重庆·开学考试）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的外接圆半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理公式求解即可 【详解】因为正弦定理 所以 即. 故选： 【例2】（2025·河北·模拟预测）已知在中，为钝角，，且. (1)求； (2)若周长为15，面积为，求外接圆的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦函数的诱导公式可得； （2）由三角形的面积公式，余弦定理和正弦定理可得. 【详解】（1）或， 对于.由知无解， 对于，仅当时有解， 即，. （2）由， 而 ，与联立得：， ， 则外接圆的直径，故， 外接圆的面积为. 1．（25-26高三上·江苏南通·月考）在平面四边形ABCD中，已知，则的外接圆的直径长度为（ ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】在和中，分别利用余弦定理得，结合已知及列方程求出，利用同角三角函数基本关系求得，最后在中利用正弦定理求解即可. 【详解】因为，所以， 得， 在中，， 在中， ， 所以，所以，所以． ，所以， 在中，利用正弦定理得，的外接圆的直径长度为． 故选：D 2．（多选）（24-25高一下·广东佛山·期中）在中，若，下列结论中正确的有（    ） A． B．是钝角三角形 C．的最大内角是最小内角的2倍 D．若，则外接圆的半径为 【答案】ACD 【分析】由，解得，，，结合正弦定理和余弦定理，逐一求解四个选项可得答案. 【详解】由，不妨设，，，解得，，. 对于A选项， 由正弦定理可得，故A正确. 对于B选项，由，，，知最大， 又， ，所以为锐角，最大角为锐角，故B错误. 对于C选项，由，，，知最小，最大， 又，， ， ，，可得，故C正确. 对于D选项，当时，，， ， 在中，， 外接圆的半径为，故D正确. 故选:ACD. 3．（24-25高一下·上海·期中）边长是5、7、9的三角形的外接圆半径等于__________． 【答案】/ 【分析】不妨令的三边、、，利用余弦定理求出，即可求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】不妨令的三边、、， 由余弦定理， 所以， 由正弦定理，所以. 故答案为： 4．（24-25高三下·海南·月考）记的内角，，所对边分别为，，.已知，是边上一点，且. (1)求； (2)若，，求外接圆的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）依题意可得，，利用余弦定理得到，再由及余弦定理得到，即可求出、，再由正弦定理求出外接圆的半径，即可得解. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得：， 整理得：，即， 又因为，所以. （2）因为，， 所以，， 在中，由余弦定理得，① 在与中，因为，所以， 由余弦定理得：， 化简得：② 由①，②解得，. 设外接圆的半径为，由正弦定理得，故， 所以外接圆的面积为. 【经典例题六 正弦定理边角互化的应用】 【例1】（25-26高三上·北京通州·期中）在锐角中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过正弦定理化边为角，结合辅助角公式和锐角三角形的角范围求解. 【详解】由正弦定理（为外接圆半径）， 将，代入， 得：， 因，故，两边同除以，得：， 将左边化为辅助角形式：， 因此：， 因为锐角三角形，，故， 所以. 故选：A 【例2】（24-25高一下·天津武清·月考）在中，角所对的边分别为．向量，，且． (1)求角； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量平行得到，利用正弦定理进行角化边，利用余弦定理得解； （2）利用和得到，利用余弦定理求出的值，从而得到的周长. 【详解】（1），，且， ， （其中为的外接圆的半径）， ， ， ，， ，，，； （2），，， ， ， ， 的周长为. 1．（25-26高二上·浙江·期中）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由，根据正弦定理化简可得，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 在中，，则，即， 又，则， 由余弦定理得，，则， 即，则，则， 所以. 故选：B 2．（多选）（24-25高一下·福建福州·期末）已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．恒成立 C．若，则为锐角三角形 D．若，则是等腰三角形 【答案】AB 【分析】利用正余弦定理对各个选项分析判断即可. 【详解】对于，在中，设外接圆的半径为， 若，则，可得，所以，可知项正确； 对于B，由内角和定理得，故B项正确； 对于C，由得为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故C项错误； 对于D，若，则由正弦定理得，即， 可得或，所以是等腰或直角三角形，故D项错误． 故选：AB． 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则______. 【答案】 【分析】结合题干根据正弦定理化简得，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，则，由正弦定理可得， 又因为，可得，所以，所以， 又因为，可得. 故答案为： 4．（2026·陕西咸阳·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求角； (2)若点在上，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得角的大小； (2)先在中求得，再利用三角恒等变换求得，最后利用正弦定理求得. 【详解】（1）由正弦定理得得， 所以，所以由余弦定理得， 因为，所以． （2）在中，，所以，， 又， 在中，由正弦定理得． 【经典例题七 三角形面积公式及其应用】 【例1】（2026·新疆·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可得，再利用正弦定理可得，根据正弦和角公式得，再利用面积公式求解即可． 【详解】，，， ， ， ， ． 故选：D． 【例2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，. (1)求角； (2)求边. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求角； （2）由三角形面积公式可得，又，利用等式，可求边. 【详解】（1）已知，由余弦定理有， 得 ，故， 又，所以. （2）设边上的高为，则三角形面积， 面积也可表示为， 联立得，即， 由，得， 代入题目条件，得， 将代入上式，得，即， 得，解得. 1．（25-26高三上·广西河池·期末）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，的面积为3，则边的长为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先由题意求出，接着由求出c，再由余弦定理即可计算求解. 【详解】因为，， 则由解得， 所以， 所以由，即. 故选：D 2．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知的面积为且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】运用三角形面积公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可. 【详解】，， 因为， 所以或． 故选：CD 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 【答案】15 【分析】利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，解得，， 而，则，又，因此， 所以的面积是. 4．（2026·四川德阳·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． (1)求角B的大小； (2)若时，求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得. （2）由（1）中信息，结合基本不等式求出的最大值即可得解. 【详解】（1）在中，，而，即， ，由余弦定理得， 所以. （2）由（1）知，，，而，于是， 即，当且仅当时取等号， 因此的面积， 所以当时，面积取得最大值. 【拓展训练一 余弦定理相关求解】 【例1】（25-26高三上·广东湛江·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理结合条件得到关于边的一元二次方程，由有两解可得该方程有两个不等正根，列出关于的不等式组，求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 代入，，可得， 由有两解，可得关于b的方程有两个不等正根， 则， 由①解得．由②可解得，故可得. 故选：C． 【例2】（2024·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为且． (1)证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，即可得证； （2）由（1）得，再利用余弦定理求出，进而可得出答案. 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得， 整理得到； （2）由（1）得， 又因为，所以，则． 在中，由余弦定理得，即， 由，得， 所以（负值舍去）． 1．（25-26高二上·云南曲靖·期中）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是函数的零点，，则（   ） A． B． C．18 D．12 【答案】A 【分析】由题可得,利用余弦定理求解即可. 【详解】因为是函数的零点，所以, 由余弦定理可得：, 则； 故选：A 2．（24-25高一下·广东湛江·期中）设的内角的对边分别为若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用余弦定理求边，再利用等腰三角形求角，即可判断. 【详解】由，得， 由，得．又，，所以． 故选:AD． 3．（2024高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，若，且，则___. 【答案】1 【分析】根据余弦定理得，即可得，进而可求解. 【详解】因为，两边同时乘以得：， 由余弦定理可得，则，所以有， 又，所以，故， 又因为，所以. 故答案为：1 4．（2025高三·全国·专题练习）的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）已知，，求边上的中线的长. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，可求得，进而可得的值． （2）首先利用余弦定理求出，由题意可得，两边平方，利用平面向量数量积的运算即可求解． 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以，， 所以， 所以. （2）因为，由余弦定理，，所以. 因为， 则， 所以. 【拓展训练二 正弦定理相关求解】 【例1】（24-25高一下·江苏南京·月考）在中，已知，是上的点，平分，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过面积之比可得到，然后在中运用正弦定理可得到，然后利用角的关系可求出的值. 【详解】因为，所以. 根据正弦定理可得①，②， 因为， 所以用①除以②得，所以. 因为，所以，所以. 所以，所以. 故选：A. 【例2】（2026·四川宜宾·一模）已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后利用正切函数即可得到答案； （2）利用三角形的面积关系解出即可． 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， ，， ，即， ，又， ； （2） 是的角平分线， 由（1）知，，则， 因为， 则， 因为，，即有， 故． 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】由于，且，所以． 设外接圆的半径为， 因为，所以，可得． 2．（多选）（24-25高一下·浙江·期中）根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【分析】利用正弦定理，结合正弦值求角有两解时，则需要判断角与边的对应关系，即大边对大角是否满足，若两角都满足就两解，若只有一个角满足就一解. 【详解】对于A，由正弦定理得：，解得， 根据，可得：，显然不满足内角和为，故A错误； 对于B，由正弦定理得：，解得， 根据，且，仅存在一个锐角满足，故B正确； 对于C，由正弦定理得：，解得， 根据，可得：，显然满足唯一解，故C正确； 对于D，由正弦定理得：，解得， 根据，且，可得一个锐角和钝角都满足题意，故D错误； 故选：BC. 3．（24-25高一下·山东·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为____________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等腰三角形性质求出底角的正弦，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径即可. 【详解】在中，由，，得，则， 则的外接圆半径，所以的外接圆面积为. 故答案为： 4．（25-26高三上·四川泸州·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)已知为边上的一点，且．若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，根据和角公式以及正切函数的公式，可得答案. （2）利用余弦定理解三角形，根据直角三角函数，可得答案. 【详解】（1）已知，由正弦定理可得， 由，所以，代入上式： ， 化简可得，由，则， 上式两边除以可得：，即， 由，则. （2）在中，已知，，，由余弦定理可得： ， 即，再由余弦定理可得： ， 由，则，即， 可得，在中，. 1．（2026高二·全国·课后作业）中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，三边上的高依次为，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形 【答案】D 【分析】由等面积可知，再用余弦定理即可判定是否存在这样的三角形. 【详解】根据三角形的面积相等可得， 所以不妨设， 由余弦定理得： ， 因为，所以角A不存在， 则不存在这样的三角形. 故选：D. 2．（25-26高三下·北京·开学考试）在 中， 分别是角 的对边， ，则（    ） A．为锐角三角形 B．为直角三角形 C．为钝角三角形 D．以上三个选项都有可能 【答案】C 【分析】先用余弦定理将题干条件转化为，再次用余弦定理推出，进而得解. 【详解】由余弦定理，，则， 整理可得，则， 结合是三角形的内角，则， 即是钝角三角形. 3．（24-25高二上·甘肃陇南·期末）在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据三角形面积为，得到，利用余弦定理得到，最后根据正弦定理求. 【详解】由，得， 因为，，所以. 由余弦定理得，解得， 所以. 故选：C. 4．（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的内角和定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由正弦定理，可得， 则这样的三角形不存在，所以A错误； 对于B中，由，可得， 又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意； 对于C中，由余弦定理，可得， 所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意； 对于D中，由正弦定理，可得， 因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意. 故选：D. 5．（2026·北京延庆·一模）在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理角化边，求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】 根据正弦定理，结合条件，可得： ，即. 又已知，代入得：，因此. 由余弦定理， 代入， ， 因此. 6．（多选）（24-25高三上·云南昆明·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.若三角形有两解，则边c的取值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BC 【分析】由余弦定理以及方程有两个正根，，从而列出关于的不等式即可求解. 【详解】由余弦定理得，即. 因为三角形有两解， 所以方程有两个正根，， 由，，得， 故选：BC. 7．（多选）（24-25高一下·广东云浮·期末）记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．外接圆的面积为 【答案】AC 【分析】对于A，运用余弦定理求解即可；对于B,C,D借助正弦定理求解即可. 【详解】对于A，由，得，解得或（舍去），故A正确. 对于B、C，因为，所以，解得，故B错误，C正确. 对于D，设外接圆的半径为，因为，所以外接圆的面积为，故D错误. 故选：AC. 8．（多选）（24-25高一下·湖南邵阳·期中）已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用三角形的内角和，以及正弦定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，在中，因为，可得，所以A正确； 对于B中，由，可得，所以B不正确； 对于C中，因为，由正弦定理得，所以，所以C正确； 对于D中，因为，可得，由正弦定理得，所以D正确. 故选：ACD. 9．（多选）（25-26高三上·福建宁德·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，如下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若满足条件，的有两个，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据选项中的条件，利用三角形内角范围，正弦定理等结论逐一判断即可. 【详解】对于A，若为直角三角形，，则，故A错误； 对于B，由和正弦定理，，即， 因，则，即，故B正确； 对于C，因的内角只能为锐角、直角或钝角，由可知，在符号上只能是三正或者两负一正， 而三角形中最多只有一个钝角，故三者只能是三正，即都是锐角，故C正确； 对于D，由满足条件，的有两个，可知，即，故D正确. 故选：BCD. 10．（多选）（24-25高二下·贵州毕节·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】利用正余弦定理和三角形面积公式，结合三角形的内角范围逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由，得，因，则，故A正确； 对于B，则，得，因，则或，故B错误； 对于C，由和正弦定理，可得，又，则， 由余弦定理，，因，则，故C正确； 对于D，由正弦定理得，即，解得， 由于，所以，故，故D正确. 故选：ACD． 11．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，则的取值范围为_____________. 【答案】 【分析】根据余弦定理和较小两边大于第三边得到不等式组，解出即可. 【详解】因为为钝角，则最大， 则由题意得，解得. 故答案为： 12．（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角_____. 【答案】 【分析】由已知及余弦边角关系得，再应用余弦定理求角的大小. 【详解】由题设，，则， 所以，，则. 故答案为： 13．（24-25高一下·广东梅州·期末）在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为_____. 【答案】 【分析】作出示意图，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为在中，，，且该三角形有两个解，如下图所示： 则，即，即， 因此，边的长的取值范围为. 故答案为：. 14．（24-25高一下·重庆·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为_________. 【答案】/ 【分析】在中，由余弦定理及题中条件可求得的值，进而求出的值，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可求解. 【详解】在中，由及余弦定理可得： ， ∴. ，. 设外接圆半径为，则由正弦定理可知：，即. ∴外接圆面积为. 故答案为：. 15．（25-26高三上·四川内江·月考）在△ABC中，且（），则__________． 【答案】 【分析】先由正弦定理边化角得到，再由即可求解. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又，所以，所以，即， 所以或，又， 所以，所以为锐角，所以. 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，内角所对的边分别为a，b，c; (1)若， ， ，求; (2)已知，，．求c； 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据余弦定理计算边长即可； （2）由题可得，即，再由余弦定理计算边长即可． 【详解】（1）在中，， ， ， 由余弦定理得，， 所以； （2）∵，∴， ∵，∴， 由余弦定理可得，即， 即，解得（舍去）或， 故． 17．（24-25高一下·福建莆田·期末）设的内角所对的边分别为． (1)证明：； (2)若，，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）直接使用余弦定理即可证明； （2）先得到，然后分情况讨论的取值. 【详解】（1）由余弦定理即得. （2）由已知有，故. 若，则； 若，则，解得或（舍去）. 所以或. 18．（24-25高三上·北京朝阳·期中）在中，，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，并求: (1)的值； (2)的面积. 条件①：；条件②：；条件③：. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理可知条件①不合题意，由条件②和③均可求得. （2）由三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）若选条件①，则，，， 由正弦定理得：，得， 因为，所以，而， 所以在上有两根，不唯一. 若选条件②，，，， 由余弦定理得：， 代入数据解得：或（舍）. 若选条件③：，，， 所以，由正弦定理得：， 代入数据得：， 所以 ， 由余弦定理得：， 代入数据得：，解得或（舍） 综上：. （2）因为，，， 所以. 19．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）如图，在梯形中，，. (1)若，求； (2)若，求外接圆的半径； (3)若，且，证明：只有一解. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）首先求出，再由正弦定理计算可得； （3）首先利用余弦定理求出，再由余弦定理求出，最后利用余弦定理求出. 【详解】（1）在中由正弦定理，即， 所以； （2）因为，所以， 又，设外接圆的半径为，则， 所以，即外接圆的半径为； （3）因为，，且， 在中由余弦定理， 即，解得或（舍去）， 所以， 在中由余弦定理 ， 所以， 所以只有一解. 20．（25-26高三下·山东菏泽·月考）在中，内角的对边分别为，已知，． (1)求的值； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由余弦定理结合，易得，再由与即可解出答案； （2）由正弦定理易得，，再结合的面积即可解出答案. 【详解】（1）法一：由正弦定理，及，得，即． 将，代入，得，得． 代入余弦定理： 法二：由余弦定理，因，故． 因为，所以， 得， 又，故， 展开得，化简得，即． 因，，所以 故． （2）由（1）知，，得． 由正弦定理，得，所以． 又的面积，即 化简得，解得，即． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1 余弦定理与正弦定理重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 余弦定理解三角形 题型二 余弦定理边角互化的应用 题型三 正弦定理解三角形 题型四 正弦定理判定三角形解的个数 题型五 正弦定理求外接圆半径 题型六 正弦定理边角互化的应用 题型七 三角形面积公式及其应用 拓展训练一 余弦定理相关求解 拓展训练二 正弦定理相关求解 知识点一： 余弦定理 1、公式表达： a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 注：余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、推论： cos A＝， cos B＝， cos C＝ 4、余弦定理的推导示例：在中，内角，，所对的边分别为，， 如图，因为， ∴， 即 从而 同理，根据，， 可以得到， 【即时训练】 1．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·全国·专题练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 , , ,且满足 ,则 的形状是____________. 知识点二： 正弦定理 1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 【注意】正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ①， ②， ③，，， ④， ⑤，，（实现边和角的互相转化） 3、正弦定理的推导示例： 当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义， CD＝asinB，CD＝bsinA， 所以asinB＝bsinA，得到＝. 同理，在△ABC中＝. 从以上的讨论和探究可得：＝＝. 【即时训练】 1．（25-26高三上·内蒙古·期末）在中，设角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，若，，，则______． 知识点三： 三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 【即时训练】 1．（24-25高一下·北京海淀·期中）在中，，，，则的面积为（    ） A．6 B． C．3 D． 2．（2025·湖北黄冈·三模）在三角形ABC中，，设，，则________. 【经典例题一 余弦定理解三角形】 【例1】（25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，，，求． 1．（2026高一·全国·专题练习）中，，，，为中最大角，为上一点，，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·广西河池·期中）为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）已知的角对应边长分别为，则__________. 4．（2026·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，，，． (1)求； (2)若为上一点，且，求． 【经典例题二 余弦定理边角互化的应用】 【例1】（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【例2】（24-25高三上·河南·期中）在锐角中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 1．（24-25高一下·广东·月考）记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（多选）（24-25高二下·福建漳州·期末）在中，若，则角的值可以为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·陕西西安·自主招生）在中，、、分别是、、的对边，且.则________. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，若恒成立，求k的取值范围. 【经典例题三 正弦定理解三角形】 【例1】（25-26高三上·云南昭通·期末）已知在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【例2】（25-26高二上·云南昭通·期末）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，，求． 1．（25-26高三上·广东·月考）在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·贵州·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（   ） A． B． C．是钝角三角形 D．是锐角三角形 3．（25-26高三上·上海·月考）在中，若，，，则________. 4．（24-25高三上·陕西·期中）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，，求． 【经典例题四 正弦定理判定三角形解的个数】 【例1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·河南郑州·期中）（1）在中，已知，，，求. （2）在中，已知，，，解这个三角形 1．（24-25高一下·河南南阳·月考）在中，角所对的边分别为，已知，若三角形有两解，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（2025·广东佛山·模拟预测）在中，角所对的边分别为．其中，当__________．（填一个符合条件的答案即可）时，有唯一解． 4．（24-25高二下·江西宜春·月考）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)已知，且角有两解，求的范围. 【经典例题五 正弦定理求外接圆半径】 【例1】（25-26高二上·重庆·开学考试）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的外接圆半径为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·河北·模拟预测）已知在中，为钝角，，且. (1)求； (2)若周长为15，面积为，求外接圆的面积. 1．（25-26高三上·江苏南通·月考）在平面四边形ABCD中，已知，则的外接圆的直径长度为（ ） A．4 B．5 C． D． 2．（多选）（24-25高一下·广东佛山·期中）在中，若，下列结论中正确的有（    ） A． B．是钝角三角形 C．的最大内角是最小内角的2倍 D．若，则外接圆的半径为 3．（24-25高一下·上海·期中）边长是5、7、9的三角形的外接圆半径等于__________． 4．（24-25高三下·海南·月考）记的内角，，所对边分别为，，.已知，是边上一点，且. (1)求； (2)若，，求外接圆的面积. 【经典例题六 正弦定理边角互化的应用】 【例1】（25-26高三上·北京通州·期中）在锐角中，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·天津武清·月考）在中，角所对的边分别为．向量，，且． (1)求角； (2)若，，求的周长． 1．（25-26高二上·浙江·期中）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（多选）（24-25高一下·福建福州·期末）已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．恒成立 C．若，则为锐角三角形 D．若，则是等腰三角形 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则______. 4．（2026·陕西咸阳·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求角； (2)若点在上，，，求． 【经典例题七 三角形面积公式及其应用】 【例1】（2026·新疆·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，. (1)求角； (2)求边. 1．（25-26高三上·广西河池·期末）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，的面积为3，则边的长为（   ） A． B． C．5 D． 2．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知的面积为且，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 4．（2026·四川德阳·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． (1)求角B的大小； (2)若时，求△ABC面积的最大值． 【拓展训练一 余弦定理相关求解】 【例1】（25-26高三上·广东湛江·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为且． (1)证明：； (2)若，求的值． 1．（25-26高二上·云南曲靖·期中）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是函数的零点，，则（   ） A． B． C．18 D．12 2．（24-25高一下·广东湛江·期中）设的内角的对边分别为若，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，若，且，则___. 4．（2025高三·全国·专题练习）的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）已知，，求边上的中线的长. 【拓展训练二 正弦定理相关求解】 【例1】（24-25高一下·江苏南京·月考）在中，已知，是上的点，平分，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·四川宜宾·一模）已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 2．（多选）（24-25高一下·浙江·期中）根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25高一下·山东·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为____________. 4．（25-26高三上·四川泸州·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)已知为边上的一点，且．若，，求． 1．（2026高二·全国·课后作业）中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，三边上的高依次为，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形 2．（25-26高三下·北京·开学考试）在 中， 分别是角 的对边， ，则（    ） A．为锐角三角形 B．为直角三角形 C．为钝角三角形 D．以上三个选项都有可能 3．（24-25高二上·甘肃陇南·期末）在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·北京延庆·一模）在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高三上·云南昆明·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.若三角形有两解，则边c的取值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（多选）（24-25高一下·广东云浮·期末）记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．外接圆的面积为 8．（多选）（24-25高一下·湖南邵阳·期中）已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 9．（多选）（25-26高三上·福建宁德·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，如下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若满足条件，的有两个，则的取值范围为 10．（多选）（24-25高二下·贵州毕节·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 11．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，则的取值范围为_____________. 12．（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角_____. 13．（24-25高一下·广东梅州·期末）在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为_____. 14．（24-25高一下·重庆·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为_________. 15．（25-26高三上·四川内江·月考）在△ABC中，且（），则__________． 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，内角所对的边分别为a，b，c; (1)若， ， ，求; (2)已知，，．求c； 17．（24-25高一下·福建莆田·期末）设的内角所对的边分别为． (1)证明：； (2)若，，，求． 18．（24-25高三上·北京朝阳·期中）在中，，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，并求: (1)的值； (2)的面积. 条件①：；条件②：；条件③：. 19．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）如图，在梯形中，，. (1)若，求； (2)若，求外接圆的半径； (3)若，且，证明：只有一解. 20．（25-26高三下·山东菏泽·月考）在中，内角的对边分别为，已知，． (1)求的值； (2)若的面积为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $