第11章 培优课 三角形中的最值（范围）问题 能力提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦三角形中的最值（范围）问题，涵盖边（周长）、角或三角函数、面积等题型。通过例题导入，如例1先求角A，再结合正弦定理化边为角求b+c范围，搭建从基础到能力提升的学习支架。 其亮点是以“通性通法”为核心，通过化边为角、化角为边等方法培养数学思维，如例2用基本不等式求cosC最小值，体现推理能力。母题探究与跟踪训练结合，引导学生用数学语言表达解题过程，助力学生提升问题解决能力，也为教师提供系统教学资源。

培优课　三角形中的最值（范围）问题 能力提升 1 题型一｜与三角形的边（周长）有关的最值（范围）问题 【例1】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ＝ . （1）求A的大小； 解： 由 ＝ 及已知，得 cos A＝ sin A， ∴tan A＝ ，又A∈（0，π），∴A＝ . 数学·必修第二册（SJ） （2）若a＝6，求b＋c的取值范围. 解： 由a＝6及（1）知 ＝ ＝ ＝4 ， ∴b＝4 sin B，c＝4 sin C. ∵A＝ ，∴B＋C＝ π，∴C＝ π－B， ∴b＋c＝4 sin B＋4 sin ＝4 ［ sin B＋ sin （ π－B）］ ＝12 sin . ∵0＜B＜ π，∴ ＜B＋ ＜ π.∴ ＜ sin ≤1（当且仅当B＝ 时，等号成立）， ∴6＜b＋c≤12，即b＋c的取值范围为（6，12]. 数学·必修第二册（SJ） 【母题探究】 　（变条件，变设问）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b， c，已知C＝ ，c＝ ，求△ABC周长的取值范围. 解：由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2， ∴a＝2 sin A，b＝2 sin B， 则△ABC的周长为l＝a＋b＋c＝2（ sin A＋ sin B）＋ ＝ 2 ＋ 数学·必修第二册（SJ） ＝2 ＋ ＝2（ sin A＋ cos A）＋ ＝2 sin ＋ . ∵0＜A＜ ，∴ ＜A＋ ＜ ，∴ ＜ sin （A＋ ）≤1， ∴2 ＜2 sin ＋ ≤2＋ ， ∴△ABC周长的取值范围是（2 ，2＋ ]. 数学·必修第二册（SJ） 通性通法 　　解决与三角形的边（周长）有关的最值（范围）问题的方法 （1）化边为角：利用三角函数的单调性与有界性求最值（范围）； （2）化角为边：利用基本不等式或二次函数性质求最值（范围）. 数学·必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 cos C＋ cos A cos B＝2 sin A cos B. （1）求 cos B的值； 解： 因为 cos C＋ cos A cos B＝2 sin A cos B， 所以－ cos （A＋B）＋ cos A cos B＝2 sin A cos B， 即 sin A sin B＝2 sin A cos B， 因为 sin A≠0，所以 sin B＝2 cos B＞0， 又因为 sin 2B＋ cos 2B＝1，解得 cos B＝ . 数学·必修第二册（SJ） （2）若a＋c＝2，求b的取值范围. 解： 由a＋c＝2，可得c＝2－a， 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ ac＝a2＋（2－a）2－ a（2－a）＝ （a－1）2＋ ， 因为0＜a＜2，所以 ≤b2＜4，所以 ≤b＜2， 所以b的取值范围为 . 数学·必修第二册（SJ） 题型二｜与三角形的角或角的三角函数有关的最值（范围）问题 【例2】　若△ABC的内角A，B，C满足： sin A＋ sin B＝2 sin C，则 cos C的最小值是 ⁠. 　 解析：由 sin A＋ sin B＝2 sin C，得a＋ b＝2c，∴c＝ ， ∴ cos C＝ ＝ ＝ ＝ ＋ － ≥2 － ＝ ，当且仅当 ＝ 即 a＝ b时等号成立. ∴ cos C的最小值为 . 数学·必修第二册（SJ） 通性通法 　　解决与三角形的角或角的三角函数有关的最值（范围）问题的方法 　　求角或角的三角函数有关的最值（范围）一般是用边表示角（三角函 数式），利用基本不等式求最值（范围）. 数学·必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 　△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ＋ ＝ ，则A的取值范围是 　（0， ］　. （0， ］　 解析：由正弦定理知 ＋ ＝ ＝ ＝ ，∵ sin A＝ sin [π－（B＋C）]＝ sin （B＋C），∴ sin 2A＝ sin C sin B，即a2＝bc，又由余弦定理知 cos A＝ ≥ ＝ ，当且 仅当b＝c时等号成立，∵A∈（0，π），∴ cos A∈ ，则A∈ （0， ］. 数学·必修第二册（SJ） 题型三｜与三角形的面积有关的最值（范围）问题 【例3】　在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝ c，且满足 ＝ .若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ（0＜θ＜ π），OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是（　　） A. B. C. 3 D. √ 数学·必修第二册（SJ） 解析： 　如图，在△ABC中，∵b＝c， ＝ ， ∴ sin B cos A＋ cos B sin A＝ sin A，即 sin （A＋B）＝ sin （π－C）＝ sin C＝ sin A，∴A＝C，又b＝c， 故△ABC为等边三角形.∴S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC＝ ·OA·OB· sin θ＋ ·AB2· sin ＝ ×2×1× sin θ＋ （OA2＋OB2－2OA·OB· cos θ）＝ sin θ－ cos θ＋ ＝2 sin ＋ .∵0＜θ＜π，∴－ ＜θ－ ＜ ，故当θ－ ＝ ，即θ＝ 时， sin 取得最大值1，故S四边形OACB的最大值为2＋ ＝ .故选A. 数学·必修第二册（SJ） 通性通法 　　求解与平面图形有关的面积最值（范围）问题可以先转化为三角形的 面积，用三角形的面积公式表示，进而利用三角函数的有界性、基本不等 式、函数单调性求解. 数学·必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b sin （C＋ ） ＝a＋c. （1）求角B的大小； 解： 由正弦定理得2 sin B sin （C＋ ）＝ sin A＋ sin C， 即2 sin B（ sin C＋ cos C）＝ sin （B＋C）＋ sin C，即 sin B sin C ＝ sin C＋ cos B sin C，又C∈（0，π），所以 sin C≠0， 所以 sin B－ cos B＝1，即 sin （B－ ）＝ ， 又B∈（0，π），B－ ∈（－ ， ）， 所以B－ ＝ ，即B＝ . 数学·必修第二册（SJ） （2）若b＝2，求△ABC的面积的最大值. 解： 在△ABC中， 由余弦定理得22＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac， 所以ac≤4， 当且仅当a＝c＝2时取等号， 所以S△ABC＝ ac sin B＝ ac≤ ， 故△ABC的面积的最大值为 . 数学·必修第二册（SJ） 1. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且B＝60°，b ＝2.若这个三角形有两解，则a的取值范围是（　　） A. （2， ） B. （2， ］ C. （2，＋∞） D. （－∞，2） 解析： 　由题意得a sin B＜b＜a，即a sin 60°＜2＜a，解得2＜a＜ ，故选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 2. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 sin 2A＋ sin 2B ＝2 sin 2C，则 cos C的最小值等于（　　） A. B. C. D. － 解析： 　由正弦定理可得a2＋b2＝2c2，所以 cos C＝ ＝ ，由于a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，所以 ≥ ，故 cos C的最小值等于 .故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 3. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2 ＋ ab，若△ABC的外接圆半径为 ，则△ABC面积的最大值 为 ⁠. 解析：由a2＋b2＝c2＋ ab及余弦定理，得 cos C＝ ＝ ＝ ， ∴ sin C＝ .由△ABC的外接圆半径为 ，得c＝2R sin C＝4，∴a2＋ b2＝16＋ ab≥2ab，∴ab≤12，当且仅当a＝b时等号成立.∴S△ABC＝ ab sin C≤ ×12× ＝4 .即△ABC面积的最大值为4 . 4 　 数学·必修第二册（SJ） 课时作业 课时作业 1. 在△ABC中，BC＝3，AC＝5， ＜B＜π，则边AB的取值范围是 （　　） A. （2，8） B. （1，4） C. （4，＋∞） D. （2，4） 解析： 令△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，依题意，5 －3＜c＜5＋3，即2＜c＜8，由于B为钝角，所以 cos B＝ ＜0， a2＋c2－b2＝9＋c2－25＝c2－16＜0，解得2＜c＜4，所以c的取值范围即 AB的取值范围是（2，4）.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 数学·必修第二册（SJ） 2. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝ ，a＝ 6，1≤b≤4，则 sin A的最大值为（　　） A. B. C. D. 1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 解析： ∵C＝ ，a＝6，1≤b≤4，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab ＝36＋b2－6b＝（b－3）2＋27，∴c2＝（b－3）2＋27∈[27，31]， ∴c∈[3 ， ]，∴由正弦定理 ＝ ，可得 sin A＝ ＝ ＝ ∈［ ，1］，故 sin A的最大值为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 3. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c cos A＋a cos C＝2，AC边上的高为 ，则角B的最大值为 （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 解析： 　由c cos A＋a cos C＝b得b＝2.因为AC边上的高为 ，所以 ×2× ＝ ac sin B，即ac＝ ，又 cos B＝ ≥ ＝1－ ，当且仅当a＝c时取等号，所以 cos B≥1－ sin B，即 sin B＋3 cos B≥3，即 sin ≥ .因为B∈（0，π），所以B＋ ∈ ， 则B＋ ∈（ ， ］，所以B∈（0， ］，故角B的最大值为 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 4. 在△ABC中， sin 2A－ sin 2B－ sin 2C＝ sin B sin C. 若BC＝3，求 △ABC周长的最大值为（　　） A. 2 B. 3 C. 3＋2 D. 3＋3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 解析： 　由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB　①.由余 弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A　②.由①②得 cos A＝－ .因为 0＜A＜π，所以A＝ .由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2 ，从而AC＝ 2 sin B，AB＝2 sin （π－A－B）＝3 cos B－ sin B，故BC＋AC ＋AB＝3＋ sin B＋3 cos B＝3＋2 sin .又0＜B＜ ，所以当B ＝ 时，△ABC周长取得最大值3＋2 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝ ，D 是BC上一点，且BD＝3DC，AD＝3，则△ABC面积的最大值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 解析： 　设CD＝x，∠ADB＝θ，则BD＝3x，在△ACD中，由余弦定 理得b2＝9＋x2＋6x cos θ　①，在△ABD中，由余弦定理得c2＝9＋9x2－ 18x cos θ　②，联立①②，消去 cos θ得3b2＋c2＝36＋12x2　③，在 △ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2　④，联立③④，消去x得144 ＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc（当且仅当3b＝c时，等号成立）， ∴bc≤16，∴S△ABC＝ bc sin ≤ ×16× ＝4 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 6. 〔多选〕△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为 △ABC的面积，且a＝2， · ＝2 S，下列选项正确的是（　　） A. A＝ B. 若b＝3，则△ABC只有一解 C. 若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是（2 ，4） D. 若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2＋ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 解析： 　对于A，根据平面向量数量积公式及三角形面积公式由 · ＝2 S⇒bc cos A＝2 × bc sin A⇒tan A＝ ，因为A∈（0，π），所 以A＝ ，故A错误；对于B，b＝3＞a＝2＞b sin A＝ ，故△ABC有两 解，故B错误；对于C，若△ABC为锐角三角形，则B∈（0， ），且A ＋B＝π－C＞ ⇒ ＋B＞ ⇒B∈（ ， ），即 sin B∈（ ，1），由 正弦定理可知：b＝ ＝4 sin B∈（2 ，4），故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 对于D，若D为BC边上的中点，则 ＝ （ ＋ ）⇒ ＝ （ ＋2 · ＋ ）＝ （b2＋c2＋ bc），由余弦定理知a2＝b2＋c2－ 2bc cos A＝b2＋c2－ bc＝4⇒b2＋c2＝ bc＋4，根据基本不等式有b2 ＋c2＝ bc＋4≥2bc⇒bc≤ ，当且仅当b＝c＝ 时取得等号， 所以 （b2＋c2＋ bc）＝ （4＋2 bc）≤1＋ × ＝7＋4 ， 即AD≤ ＝2＋ ，故D正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 7. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2 sin A sin B cos C＝ sin 2C，则 ＝ ，角C的最大值为 　 　. 解析：∵2 sin A sin B cos C＝ sin 2C，∴2ab cos C＝c2⇒a2＋b2－c2＝ c2⇒ ＝2，∴ cos C＝ ＝ ≥ ，当且仅当a＝b时取等 号.∵0＜C＜π，∴0＜C≤ ，即角C的最大值为 . 2　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 8. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足tan A＋ tan B＋tan C＝ tan Atan B，若c＝2，则a2＋b2的取值范围是 ⁠ ⁠. （4，16＋ 8 ]　 解析：由tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝ tan Atan B，且tan Atan B≠0，得tan C＝ ，∵0＜C＜π，∴C＝ .∵c2＝a2＋b2－2ab cos C，c ＝2，∴4＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ ab≥a2＋b2－ ， ∴a2＋b2≤16＋8 ，当且仅当a＝b时取等号.又a2＋b2＞4，∴a2＋b2的 取值范围是（4，16＋8 ]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 9. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4 cos A＝ sin B＋ sin C. 若△ABC的面积S＝ ，则边a的最小值为 ⁠. 解析：由正弦定理 ＝ ＝ 可得，b sin C＝c sin B，a sin B＝b sin A. 由已知可得，4 bc· cos A＝ac sin B＋ab sin C＝2ac sin B＝2bc sin A，所以 sin A＝2 cos A. 又0＜A＜π，所以0＜A＜ ，所以 cos A＞0， 因为 sin 2A＋ cos 2A＝25 cos 2A＝1，所以 cos A＝ ， sin A＝ .因为 △ABC的面积S＝ bc sin A＝ bc＝ ，所以bc＝ .由余弦定理可得，a2 ＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－2× × ≥2bc－1＝4，当且仅当b＝c＝ 时，等号成立.所以a2≥4，a的最小值为2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 10. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1， ＋ ＝1. （1）求角A； 解： 由 ＋ ＝1，得b2＋c2＋b＋c＝bc＋b＋c＋1，即b2＋c2 ＝bc＋1， 在△ABC中，由余弦定理得 cos A＝ ＝ ＝ ， 又0＜A＜π，所以A＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） （2）求△ABC面积的最大值. 解： 由（1）知，bc＋1＝b2＋c2≥2bc，即bc≤1，当且仅当b＝c ＝1时取等号， 则S△ABC＝ bc sin A＝ bc≤ ， 所以△ABC面积的最大值是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 11. 已知a＝（ sin x，－ cos x），b＝（ cos x， cos x），f（x）＝ a·b. （1）求函数f（x）图象的对称轴方程； 解： 因为a＝（ sin x，－ cos x），b＝（ cos x， cos x）， 所以f（x）＝a·b＝ sin x cos x－ cos 2x＝ sin 2x－ cos 2x－ ＝ sin （2x－ ）－ ， 由2x－ ＝kπ＋ （k∈Z），得x＝ ＋ （k∈Z）， 即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝ ＋ （k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） （2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）＝ 且b＝ ，求a＋c的取值范围. 解： 由f（B）＝ ，得 sin （2B－ ）＝1，又2B－ ∈（－ ， ），即2B－ ＝ . 所以B＝ ，又b＝ ， 由正弦定理 ＝ ＝ ，得a＝2 sin A，c＝2 sin C， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 即a＋c＝2 sin A＋2 sin C＝2 sin A＋2 sin （ －A）＝2 cos （A－ ）， 又0＜A＜ ，所以－ ＜A－ ＜ ， 所以2 cos （A－ ）∈（ ，2 ]. 即a＋c的取值范围为（ ，2 ]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 12. 如图，在△ABD的边BD外侧作△BCD，使得四点A，B，C，D在同 一平面内. （1）若AB＝BC＝CD＝m，AD＝ m，证明： cos ∠BAD－ cos ∠BCD为一个定值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 解： 证明：在△ABD和△BCD中，由余弦定理得BD2 ＝AB2＋AD2－2AB·AD cos ∠BAD＝m2＋3m2－2 m2 cos ∠BAD＝4m2－2 m2 cos ∠BAD， BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD ＝m2＋m2－2×m×m cos ∠BCD＝2m2－2m2 cos ∠BCD， 所以4m2－2 m2 cos ∠BAD＝2m2－2m2 cos ∠BCD， 化简得 cos ∠BAD－ cos ∠BCD＝1， 所以 cos ∠BAD－ cos ∠BCD为一个定值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） （2）若锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋b （b－a）＝4，c＝2，求a－b的取值范围. 解：由a2＋b（b－a）＝4，c＝2，得a2＋b2－ab＝c2， 所以 cos ∠ACB＝ ＝ ，可知∠ACB＝60°. 所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ， 所以a＝ sin ∠BAC，b＝ sin ∠ABC， 所以a－b＝ （ sin ∠BAC－ sin ∠ABC） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） ＝ ＝ ［ sin ∠BAC－（ cos ∠BAC＋ sin ∠BAC）］ ＝ （ sin ∠BAC－ cos ∠BAC） ＝ sin （∠BAC－60°）. 又0°＜∠BAC＜90°，0°＜∠ABC＜90°，∠BAC＋∠ABC＝120°， 则30°＜∠BAC＜90°，得－30°＜∠BAC－60°＜30°， 所以 sin （∠BAC－60°）∈（－ ， ）， 故a－b∈（－ ， ），即a－b的取值范围为（－ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） $