专题02 三角恒等变换（暑假复习讲义）新高二数学苏教版

专题02 三角恒等变换 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 两角和差的正弦公式的应用 题型2 两角和差的余弦公式的应用 题型3 两角和差的正切公式的应用 题型4 二倍角公式、降幂公式、半角公式的应用 题型5 万能公式、辅助角公式的应用 题型6 给角求值 题型7 给值求值 题型8 给值求角 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 两角和差的正弦公式的应用 将非特殊角拆分为特殊角之和或差，正向或逆向使用公式化简求值，常见于求sin75°、sin15°等。 2. 两角和差的余弦公式的应用 用于求的值或证明恒等式，常与诱导公式结合，逆用可合并为单个余弦函数。 3. 两角和差的正切公式的应用 处理问题，注意分母不为零；常与正切恒等式结合（时，）。 4. 二倍角公式、降幂公式、半角公式的应用 二倍角用于升角化简；降幂公式用于降次（如、）；半角公式用于求半角三角函数值，注意符号由象限决定。 5. 万能公式、辅助角公式的应用 万能公式将s统一用表示，适于有理式积分（高中用于证明或化简）；辅助角公式将，用于求最值、周期、单调区间。 6. 给角求值 给定具体角度（非特殊角），通过恒等变换转化为特殊角或可消去项，常见技巧：拆角、互补互余、整体约分。 7. 给值求值 已知某角的正弦、余弦或正切值，求与之相关的和差倍半函数值。关键：确定角度范围，选用适当公式，避免增根。 8. 给值求角 已知若干三角函数值，求指定角的大小。步骤：先求角的某一三角函数值（常选正弦或余弦），再根据范围确定唯一角，注意多解检验。 考情解码：三角恒等变换的核心是灵活运用公式，实现角度与次数的统一。通过和差、倍半、降幂、辅助角等变换，将复杂表达式化为单一函数、标准形式，以便求值、化简或研究性质。解题时需关注角的范围对符号的影响，并熟练掌握拆角、拼角、整体代换等技巧。 知识点一 两角和差的正弦、余弦和正切 1、两角和与差的正余弦与正切公式 ①； ②； ③； 2、两角和与差正余弦公式的逆用 ①； ②； 3、两角和差的正切公式的逆用: 【易错提醒】 1、在运用两角和与差的三角函数公式时，若已知两角各自的正余弦时，则可以直接套用公式计算。 2、注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。 即时即练（多选）（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）（多选）已知，，下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，由同角三角函数的平方关系及角的范围得到；B选项，根据同角三角函数平方关系得到，去掉不合要求的解；C选项，利用凑角法求解；D选项，在C选项的基础上，得到，利用正弦差角公式计算出答案. 【详解】A选项，由，得，故A正确； B选项，因为，所以， 由，得， 又，其中， 假若，则，因在上单调递减，故，得， 这与矛盾，所以，故B错误； C选项， ，故C正确； D选项，由及，得， 故，故D错误． 知识点二 二倍角公式、降幂公式 1、二倍角公式 ①； ②； ③； 2、降幂公式 ； 【易错警示】 统一角度策略：将表达式中不同角度（如 与 ）通过二倍角公式统一为同一角度，优先将高次、复杂角转化为低次、简单角 即时即练（25-26高一下·江苏常州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的关系及条件，可得的值，根据两角和的余弦公式，展开计算，即可得答案. 【详解】由题意， 因为，所以，即， 所以， 则. 知识点三 半角公式、万能公式、辅助角公式 1、半角公式 ①； ②； ③； 2、万能公式 cos 3、辅助角公式 （其中）． 即时即练（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形.则__________. 【答案】/0.4 【分析】利用三角恒等变换得到，数形结合，由三角函数的定义求出答案； 【详解】 ， 由图知：角对应的终边为，因为点的坐标为， 且圆为单位圆，由三角函数定义得． 题型1 两角和差的正弦公式的应用 例1．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到的范围，求出，再根据“凑角法”由两角差的正弦公式进行求解即可. 【详解】 ， ． 例2．（25-26高一下·江苏泰州·期中）已知均为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角差的正弦公式求解即可. 【详解】, 而 故选：B. 【技巧总结】 1、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 2、观察式子结构，匹配的形式，直接逆用公式写出 【变式训练1-1】（25-26高一下·江苏连云港·期中）已知，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切化弦，再结合展开式求出和，最后利用同角三角函数基本关系求解. 【详解】由题意，因为，， 则，解得， 由余弦差角公式：. 因为，所以，即 所以. 【变式训练1-2】（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，则__________. 【答案】 【详解】由，得，即 ① ， 又因为 ②， 由①②得：， 所以. 题型2 两角和差的余弦公式的应用 例1．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，结合三角函数的诱导公式即可求解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以． 例2．（25-26高一下·江苏泰州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 则， ， ． 【技巧总结】 1、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 2、观察式子结构，匹配 的形式，直接逆用公式写出。 【变式训练2-1】（25-26高一下·江苏常州·期中）已知锐角满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得，则， 令，，则，， 由于是锐角，即，又因为， 由，又由， 所以，，则由基本不等式有： ， 当且仅当时取等号，将其代入，解得， 即，， 此时， 因为，，即存在满足条件的锐角，使得等号成立， 所以的最小值为. 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏·期中）已知，则_____． 【答案】 【详解】由， ， 两式相减得，，即. 题型3 两角和差的正切公式的应用 例1．（25-26高一下·江苏南京·期中）若，则__________. 【答案】-3 【详解】由， 则. 例2．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换表示，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，即， ， 要使得取得最大值，不妨设， 则， 当且仅当，即时取等号． 【技巧总结】 1、对于两角和差的正切公式的应用，注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把所求的角拆成两个已知正切值的角，然后套用两角和差的正切公式。 2、对于两角和差的正切公式的逆用以及这个公式的一些变形，尤其是将1替换为  ​ 辅助凑形的变换。 【变式训练2-1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若，则________. 【答案】 【分析】根据正切函数的和角公式，结合已知条件，化简求值即可. 【详解】 . 故答案为： 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由给定条件求出，再由和角的正切公式求解. 【详解】由，得，则， 所以. 题型4 二倍角公式、降幂公式、半角公式的应用 例1．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用余弦差角公式求得，再通过余弦和角公式计算，最后用余弦二倍角公式求出的值. 【详解】由，可得，解得， 由，可得。 所以. 例2．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以. 【技巧总结】 1、化简求值：遇结构，直接展开转化为单角，遇，优先考虑化为 统一角度 2、升幂降次：遇 时，用降幂公式将二次降为一次，遇 时，可根据需求选择不同形式（含或） 3. 统一角度策略：将表达式中不同角度（如 与 ）通过二倍角公式统一为同一角度，优先将高次、复杂角转化为低次、简单角 【变式训练2-1】（25-26高一下·江苏扬州·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，，再结合二倍角公式化简求解即可. 【详解】 因为， 所以，，， 所以 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏扬州·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，进而根据二倍角公式，结合诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以 . 题型5 万能公式、辅助角公式的应用 例1．（25-26高一下·江苏镇江·期中）若对于恒成立，则__________. 【答案】 【分析】利用辅助角公式及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】因为，其中，， 所以. 例2．25-26高一下·江苏南京·阶段检测）函数的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】， 所以函数的最大值是5. 【技巧总结】 1、万能公式：将三角函数统一化为的有理式，适合求值域、解方程 2、辅助角公式：提取 后，构造 用于求最值、单调区间、对称轴时，先化为单一三角函数 【变式训练2-1】（2025高一上·江苏·专题练习）的值域为__________. 【答案】 【分析】对题目条件进行变形处理，利用正弦函数的有界性与辅助角公式计算. 【详解】易知定义域为，由可得， 即， 由辅助角公式可得， （为辅助角）， 则，解得， 故函数的值域为. 故答案为： 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏镇江·阶段检测）已知，则________. 【答案】 【分析】利用辅助角公式整理原式，再将所求角转化为已知角的形式，最后结合诱导公式和二倍角公式求解. 【详解】根据题意得. 由已知得，即， 故 . 题型6 给角求值 例1．（25-26高一下·江苏镇江·阶段检测）（1）已知，，其中，.求角的值. （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系求出的余弦和的正弦，再利用两角差的正弦求出的值，从而可求的值； （2）利用同角三角函数基本关系式可得，再利用辅助角公式和两角差的正弦可求三角函数的值. 【详解】（1）因为，且，，可得， 所以， 则. 因为，，可得， 又因为，， 所以，，可得， 所以，所以. （2）原式 . 例2．（25-26高一下·江苏淮安·期中）（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】 . 【技巧总结】 1、对角进行拆分、尽可能化为同角、特殊角，已知正余弦值的角。 2、通过三角恒等变换公式的应用、逆用、变形对项进行求值 【变式训练2-1】（25-26高一下·江苏扬州·期中）__________.. 【答案】 【分析】根据，结合诱导公式计算求解即可. 【详解】因为， 所以 所以 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏南京·期中）（多选）下列等式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据两角和的余弦公式可判断A，根据二倍角的余弦公式可判断B，根据两角和的正切公式可判断C，根据两角差的正切公式可判断D. 【详解】A，根据两角和的余弦公式：， 代入，可得， 再代入，有，错误； B，根据二倍角的余弦公式：， 代入，可得， 再代入，有，错误； C，根据两角和的正切公式：， 代入，可得， 再代入，有，即， 所以，正确； D，根据两角差的正切公式：， 代入，可得， 再代入，有，正确. 题型7 给值求值 例1．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）（多选）已知，其中为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】选项A，因为为锐角，所以，得，，A错误； 选项B，因为为锐角，所以，， 则， ，B错误； ， 选项C，由B选项可知，C正确； 选项D，由B选项可知，D正确 例2．（25-26高一上·江苏南通·期末）若，则____________________. 【答案】 / 【分析】将条件式两式平方相加，结合平方关系和两角差的余弦公式求得；再由条件式结合平方关系消去，化简求得. 【详解】因为，，两式平方相加得， ， 整理得，即. 由，得，由，得， 所以， 展开化简整理得，即. 故答案为：；. 【技巧总结】 1、利用诱导公式、拆角配角等来转换角度。常见的一些拆角：化简过程利用两角和差公式、二倍角公式，公式正用、逆用等去求值。主要角的范围，在计算值正负性的时候比较重要。 2、弦化切。对于题目中给出的分式恰好是正余弦的一次比一次的齐次式或二次比二次的齐次式，则可以上下同除来构造对于题目中给出的式子每项都是二次式，这时可以用“1 = ”来构造一个二次的分式齐次式，上下同除，从而得到 3、利用平方关系。对通过该关系式可以对与进行互化。遇到式子时，可以考虑平方相加。遇到时，可以考虑构造对偶式,平方相加后求值。 【变式训练2-1】（2026高一下·江苏镇江·专题练习）已知，，则______，若，，则______． 【答案】 / /0.625 【分析】根据两角和与差的余弦公式求出，，利用同角三角函数关系即可求出；对已知条件平方，结合同角三角函数关系及两角和与差的余弦公式即可求出. 【详解】因为，， 所以，， 所以. 已知，， 所以，， 所以， 即，所以. 所以. 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏扬州·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）通过对条件平方，相加即可求解； （2）利用角的变换，结合两角差的正弦公式即可求解； 【详解】（1）将两个已知等式分别两边平方： 两式相加可得： ， 化简得：， 解得； （2）因为， ， 因此； 由得， 又，故， ， 因此， 所以 . 题型8 给值求角 例1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知，，则______． 【答案】 【分析】利用辅助角公式将进行化简，根据角度范围求得． 【详解】根据辅助角公式：， 可得：；则，即； 因为，故时，． 例2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式可求出的值，可得出的取值范围，并求出的取值范围，即可得出的取值范围，利用二倍角的正切公式以及两角差的正切公式求出的值，即可得出的值. 【详解】因为，， 所以， 又因为、，所以，， 则，，所以， 因为， 所以，故. 故选：B. 【技巧总结】 在给值求角的问题时，主要问题在讨论角的象限。这是可以通过正余弦在不同象限的正负性来确定。在讨论角的范围时，结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，尽量缩小角的范围，防止产生增根。 【变式训练2-1】（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角差的余弦公式，结合同角三角函数关系式进行求解即可. 【详解】因为都是锐角， 所以，又因为， 所以， ， 因此 ， 因为是锐角， 所以. 故选：B 【变式训练2-2】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，若，，则_____． 【答案】 【详解】，， ，， ，， ， 又，． 1．（25-26高一下·江苏淮安·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两角差的正切公式求解即可. 【详解】由题意可得 . 2．（25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）已知锐角的终边与单位圆相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，， ，， 3．（多选）（25-26高一上·湖北武汉·期末）（多选）已知，设，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由同角三角函数关系结合条件即可得，则有，经验证，故A正确，对于B，，两边同时乘以，结合二倍角公式即可证明，对于C，使用半角公式可得，其中，结合诱导公式可得，使用和差化积可得，即，进而可求得，故C正确，对于D，由C知，，且，则有，进而可解得，故D正确. 【详解】对于A，， ， 因为，即，即， 即，则有， 当时，，在内无解， 当时，，令，，故A正确； 对于B，， 两边同时乘以得 ， 即，故B错误； 对于C，， 代入，， 故 因为， 所以， 故，故C正确； 对于D，由C知，即， 即，且， 则有， 即，故D正确， 故选：ACD. 4．（2026·江苏无锡·三模）若，且为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弦化切可得出关于的方程，结合可解得的值. 【详解】因为为锐角，则，，， ， 整理可得， 即，解得或， 因为，故. 5．（25-26高一下·江苏盐城·期中）已知函数，，若，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意与二倍角公式求出，即，可得，再结合与图象的对称性求解即可. 【详解】令，得， 则，即，则或. 若，得，由， 则，即，则， 与矛盾，不符合题意； 若，结合，得， 即，则， 由于，的最小正周期均为，故只需考虑区间即可，如图作出图象， 由图可知，，则， 所以． 6．（25-26高一下·江苏扬州·期中）函数的值域是__________． 【答案】 【分析】由诱导公式和余弦二倍角公式，通过换元转换成二次函数求值域即可. 【详解】利用诱导公式 ，二倍角公式 ， 代入原函数得： 换元转化为二次函数： 令 ， 由余弦函数性质得 ，函数转化为：， 该二次函数开口向上，对称轴为 ​， 因此二次函数在 上单调递减， 当 时，取最小值 ， 当 时，取最大值 ， 因此 的值域为. 7．（2026高一下·全国·专题练习）设，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和差的正弦公式和正切公式以及正弦函数的单调性对进行比较即可. 【详解】， ， 又，且函数在上单调递增， 所以，故. . 故选：D. 8．（25-26高一上·江苏盐城·期末）下列四个选项中，计算结果是的选项为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数诱导公式与和差角公式，逐一计算即可. 【详解】对于A：， 故A错误； 对于B：， 故B错误； 对于C：， 故C错误； 对于D：由， 代入得：， . 故D正确. 故选：D 9．（25-26高一下·江苏镇江·期中）已知为锐角，. (1)求的值： (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式和同角三角函数基本关系式，化简求解； （2）利用同角三角函数基本关系求出和，再利用正切的差角公式求出的值，进而利用正切的和角公式求得的值. 【详解】（1）已知为锐角，，由同角三角函数关系可得：， 由，代入得： 解得（为锐角，舍去），故， 由二倍角公式：. （2）因为为锐角，所以，由得： ， 因此. 由，代入，： ，解得. 所以. 10．（25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）已知，则______. 【答案】 【分析】将，转化为，再利用两角和与差的余弦公式和商数关系求解. 【详解】因为， 所以 ， ， 所以． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角恒等变换 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 两角和差的正弦公式的应用 题型2 两角和差的余弦公式的应用 题型3 两角和差的正切公式的应用 题型4 二倍角公式、降幂公式、半角公式的应用 题型5 万能公式、辅助角公式的应用 题型6 给角求值 题型7 给值求值 题型8 给值求角 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 两角和差的正弦公式的应用 将非特殊角拆分为特殊角之和或差，正向或逆向使用公式化简求值，常见于求sin75°、sin15°等。 2. 两角和差的余弦公式的应用 用于求的值或证明恒等式，常与诱导公式结合，逆用可合并为单个余弦函数。 3. 两角和差的正切公式的应用 处理问题，注意分母不为零；常与正切恒等式结合（时，）。 4. 二倍角公式、降幂公式、半角公式的应用 二倍角用于升角化简；降幂公式用于降次（如、）；半角公式用于求半角三角函数值，注意符号由象限决定。 5. 万能公式、辅助角公式的应用 万能公式将s统一用表示，适于有理式积分（高中用于证明或化简）；辅助角公式将，用于求最值、周期、单调区间。 6. 给角求值 给定具体角度（非特殊角），通过恒等变换转化为特殊角或可消去项，常见技巧：拆角、互补互余、整体约分。 7. 给值求值 已知某角的正弦、余弦或正切值，求与之相关的和差倍半函数值。关键：确定角度范围，选用适当公式，避免增根。 8. 给值求角 已知若干三角函数值，求指定角的大小。步骤：先求角的某一三角函数值（常选正弦或余弦），再根据范围确定唯一角，注意多解检验。 考情解码：三角恒等变换的核心是灵活运用公式，实现角度与次数的统一。通过和差、倍半、降幂、辅助角等变换，将复杂表达式化为单一函数、标准形式，以便求值、化简或研究性质。解题时需关注角的范围对符号的影响，并熟练掌握拆角、拼角、整体代换等技巧。 知识点一 两角和差的正弦、余弦和正切 1、两角和与差的正余弦与正切公式 ①； ②； ③； 2、两角和与差正余弦公式的逆用 ①； ②； 3、两角和差的正切公式的逆用: 【易错提醒】 1、在运用两角和与差的三角函数公式时，若已知两角各自的正余弦时，则可以直接套用公式计算。 2、注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。 即时即练（多选）（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）（多选）已知，，下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 知识点二 二倍角公式、降幂公式 1、二倍角公式 ①； ②； ③； 2、降幂公式 ； 【易错警示】 统一角度策略：将表达式中不同角度（如 与 ）通过二倍角公式统一为同一角度，优先将高次、复杂角转化为低次、简单角 即时即练（25-26高一下·江苏常州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点三 半角公式、万能公式、辅助角公式 1、半角公式 ①； ②； ③； 2、万能公式 cos 3、辅助角公式 （其中）． 即时即练（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形.则__________. 题型1 两角和差的正弦公式的应用 例1．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·江苏泰州·期中）已知均为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 2、观察式子结构，匹配的形式，直接逆用公式写出 【变式训练1-1】（25-26高一下·江苏连云港·期中）已知，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，则__________. 题型2 两角和差的余弦公式的应用 例1．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·江苏泰州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 2、观察式子结构，匹配 的形式，直接逆用公式写出。 【变式训练2-1】（25-26高一下·江苏常州·期中）已知锐角满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏·期中）已知，则_____． 题型3 两角和差的正切公式的应用 例1．（25-26高一下·江苏南京·期中）若，则__________. 例2．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1、对于两角和差的正切公式的应用，注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把所求的角拆成两个已知正切值的角，然后套用两角和差的正切公式。 2、对于两角和差的正切公式的逆用以及这个公式的一些变形，尤其是将1替换为  ​ 辅助凑形的变换。 【变式训练2-1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若，则________. 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型4 二倍角公式、降幂公式、半角公式的应用 例1．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1、化简求值：遇结构，直接展开转化为单角，遇，优先考虑化为 统一角度 2、升幂降次：遇 时，用降幂公式将二次降为一次，遇 时，可根据需求选择不同形式（含或） 3. 统一角度策略：将表达式中不同角度（如 与 ）通过二倍角公式统一为同一角度，优先将高次、复杂角转化为低次、简单角 【变式训练2-1】（25-26高一下·江苏扬州·期中）（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏扬州·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 题型5 万能公式、辅助角公式的应用 例1．（25-26高一下·江苏镇江·期中）若对于恒成立，则__________. 例2．25-26高一下·江苏南京·阶段检测）函数的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【技巧总结】 1、万能公式：将三角函数统一化为的有理式，适合求值域、解方程 2、辅助角公式：提取 后，构造 用于求最值、单调区间、对称轴时，先化为单一三角函数 【变式训练2-1】（2025高一上·江苏·专题练习）的值域为__________. 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏镇江·阶段检测）已知，则________. 题型6 给角求值 例1．（25-26高一下·江苏镇江·阶段检测）（1）已知，，其中，.求角的值. （2）化简：. 例2．（25-26高一下·江苏淮安·期中）（    ） A．0 B． C．2 D． 【技巧总结】 1、对角进行拆分、尽可能化为同角、特殊角，已知正余弦值的角。 2、通过三角恒等变换公式的应用、逆用、变形对项进行求值 【变式训练2-1】（25-26高一下·江苏扬州·期中）__________.. 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏南京·期中）（多选）下列等式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型7 给值求值 例1．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）（多选）已知，其中为锐角，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·江苏南通·期末）若，则____________________. 【技巧总结】 1、利用诱导公式、拆角配角等来转换角度。常见的一些拆角：化简过程利用两角和差公式、二倍角公式，公式正用、逆用等去求值。主要角的范围，在计算值正负性的时候比较重要。 2、弦化切。对于题目中给出的分式恰好是正余弦的一次比一次的齐次式或二次比二次的齐次式，则可以上下同除来构造对于题目中给出的式子每项都是二次式，这时可以用“1 = ”来构造一个二次的分式齐次式，上下同除，从而得到 3、利用平方关系。对通过该关系式可以对与进行互化。遇到式子时，可以考虑平方相加。遇到时，可以考虑构造对偶式,平方相加后求值。 【变式训练2-1】（2026高一下·江苏镇江·专题练习）已知，，则______，若，，则______． 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏扬州·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 题型8 给值求角 例1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知，，则______． 例2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 在给值求角的问题时，主要问题在讨论角的象限。这是可以通过正余弦在不同象限的正负性来确定。在讨论角的范围时，结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，尽量缩小角的范围，防止产生增根。 【变式训练2-1】（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，若，，则_____． 1．（25-26高一下·江苏淮安·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）已知锐角的终边与单位圆相交于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·湖北武汉·期末）（多选）已知，设，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏无锡·三模）若，且为锐角，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·江苏盐城·期中）已知函数，，若，满足，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·江苏扬州·期中）函数的值域是__________． 7．（2026高一下·全国·专题练习）设，则有（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏盐城·期末）下列四个选项中，计算结果是的选项为（） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·江苏镇江·期中）已知为锐角，. (1)求的值： (2)求的值. 10．（25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）已知，则______. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $