专题02 三角恒等变换（十大题型+思维导图+知识清单+课后作业）（暑假复习举一反三讲义）高一数学苏教版必修第二册

专题02 三角恒等变换（暑假复习讲义） 【苏教版】 【知识清单1 两角和与差的余弦】 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有. 此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 公式的结构特征 3．两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. (1)“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； (2)“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”. 【注意】两角和与差的余弦公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式. 【知识清单2 两角和与差的正弦】 1．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和的正弦公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. (3)两角差的正弦公式：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. (4)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”，两角差时用“-”. 【注意】两角和与差的正弦公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式. 【知识清单3 两角和与差的正切】 1．两角和与差的正切公式 (1)两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. (2)两角和的正切公式：. (3)两角差的正切公式：. 2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 【知识清单4 二倍角公式】 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①S2α：，，. ②C2α：. ③T2α：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【知识清单5 几个三角恒等式】 1．积化和差公式 这组公式中，每个等式左边为三角函数乘积的形式，而等式右边为三角函数和与差的形式，通常称之为三角函数的积化和差公式. 【注意】将三角函数的乘积化成和差，便于计算，在计算的时候要小心不要漏掉系数，另外要注意符号.把积化成和差，关键在角度合并后会是特殊角方便计算. 2．和差化积公式 这组公式中，每个等式左边为三角函数和与差的形式，而等式右边为三角函数乘积的形式，通常称之为三角函数的和差化积公式. 【注意】应用和差化积公式时，和差的两个函数名得一致；一般在合并后会出现特殊角能求出值，从而实现合并化简. 3．半角公式 当所在的象限能够确定时，这三个公式中根号前的符号可以确定.一般情况，应保留“±”.这组公式通常称为三角函数的半角公式. 【注意】半角公式：主要用于角度减半、降幂、去平方，利用半角公式求值的时候注意角的象限. 4．辅助角公式 通过应用公式[或将形如asinα+bcosα (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【知识清单6 三角恒等变换思想】 1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换 (1)角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出. 常用的角的代换形式： ①α=(α+β)-β； ②α=β-(β-α)； ③； ④； ⑤； ⑥. (2)常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换. 【题型1 两角和与差的三角函数】 【例1】（24-25高一下·北京顺义·期末）已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据同角三角函数关系结合角的象限计算得出，最后应用两角和正弦公式计算求解. 【解答过程】因为为第二象限角，且， 所以， 则. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知角均为锐角，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用同角三角函数的关系求出，再利用两角和的余弦公式可求得结果. 【解答过程】因为角均为锐角，所以， 因为， 所以，， 所以 . 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一下·四川广安·阶段检测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用两角和的正切公式求解即可. 【解答过程】. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高三上·河北秦皇岛·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用三角函数的基本关系式和两角差的余弦公式，准确运算，即可求解. 【解答过程】由，可得，则， 又由，所以， 所以 ． 故选：C． 【题型2 逆用两角和与差的三角函数】 【例2】（24-25高一下·北京顺义·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】逆用差角余弦公式化简求值即可. 【解答过程】由. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一下·广东汕尾·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】逆用差角的正弦公式求解. 【解答过程】. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一下·江西上饶·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】逆用两角差的正切公式，即可求得答案. 【解答过程】． 故选：A. 【变式2-3】（24-25高一下·广东茂名·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】逆用和角余弦公式化简求值即可. 【解答过程】. 故选：A. 【题型3 二倍角公式】 【例3】（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦的二倍角公式即可求解. 【解答过程】. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【解答过程】由二倍角公式得. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一上·全国·单元测试）下列计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由倍角公式计算即可. 【解答过程】，A错误； ，B错误； ，C错误； 正确． 故选：D. 【变式3-3】（24-25高一下·贵州·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由正弦的和差角公式代入计算，即可得到的值，然后结合正切函数的二倍角公式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由可得， 即，即， 则，所以. 故选：B. 【题型4 积化和差与和差化积公式】 【例4】（24-25高一下·全国·课堂例题）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用积化和差可求三角函数式的值. 【解答过程】原式． 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用积化和差公式得到，代入求值即可. 【解答过程】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用和差化积公式，即可求值. 【解答过程】． 故选：A. 【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得. 【解答过程】依题意，，则， 又，则 所以. 故选：B. 【题型5 利用三角恒等变换化简、求值】 【例5】（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二倍角正弦公式计算结合弦化切计算求出，再结合两角和正切公式计算求解. 【解答过程】因为且，， 则，所以， ，所以， 则． 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一下·青海海南·期末）已知，则（    ） A． B．2 C． D．2或 【答案】B 【解题思路】由两角差正切公式可得，再由同角三角函数基本关系及二倍角公式化简求解. 【解答过程】由，得，解得， 而. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，均为锐角，且，． (1)求和值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据，均为锐角，得到，从而利用同角基本关系式即可求出值；根据二倍角的正弦公式及同角基本关系式即可求出值； （2）结合（1）及两角和的正切公式得到，再根据的取值范围即可求得答案． 【解答过程】（1）依题意可得，，则， 又，则，所以， 又， 所以． （2）结合（1）可得， 又，，则， 所以． 【变式5-3】（24-25高一下·上海虹口·阶段检测）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用同角三角函数平方关系求，由，利用两角差的正弦公式即可求解； （2）由（1）得，进而求，利用二倍角公式求，最后利用诱导公式和两角和的余弦公式即可求解. 【解答过程】（1）由有，又，所以， 所以 ； （2）由（1）有，，所以， 所以， 所以， 所以. 【题型6 辅助角公式的应用】 【例6】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用辅助公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【解答过程】依题意，，解得， 所以． 故选：C. 【变式6-1】（24-25高一下·辽宁锦州·期末）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（   ） A． B．函数在上为减函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．点是函数图象的一个对称中心 【答案】D 【解题思路】根据二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数解析式，结合正弦型函数的周期公式、单调性、对称性逐一判断即可. 【解答过程】. A：因为，所以由，因此本选项说法不正确； B：由上可知：， 当时，， 因此函数在上为增函数，所以本选项说法不正确； C：因为， 所以直线不是函数图象的一条对称轴，因此本选项说法不正确； D：因为， 所以点是函数图象的一个对称中心，因此本选项说法正确， 故选：D. 【变式6-2】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知函数． (1)求函数的周期和其图像的对称轴方程； (2)当时，求的值域． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴为 (2) 【解题思路】(1)由辅助角公式可得，根据得周期，正弦函数的对称轴为，整体代入可求对称轴方程. (2)代入的取值得到，整体代入可得函数值域. 【解答过程】（1）， 所以； 令，解得． （2）因为，所以， 从而可知， 因此，故所求值域为． 【变式6-3】（24-25高一下·广东佛山·期中）设函数； (1)写出函数的单调递增区间； (2)若，求函数的最值及对应的的值； (3)若不等式在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)最小值为，对应，最大值为0，对应 (3). 【解题思路】（1）利二倍角公式及辅助角公式化简，再由正弦函数单调性求出单调递增区间. （2）根据的范围求出相位的范围，再利用正弦函数的最值及取得最值的条件求解. （3）等价变形不等式，并借助（2）的结论求得的范围. 【解答过程】（1）依题意，， 由，得， 所以的单调递增区间为. （2）由（1）知，当时，， 则当，即时，； 当，即时，， 所以函数的最小值为，对应，最大值为0，对应. （3）不等式， 由（2）知，当时，，， 依题意，当时，恒成立， 因此且，解得， 所以的取值范围为. 【题型7 给值求值型问题】 【例7】（24-25高一下·湖北黄冈·阶段检测）已知锐角满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据同角三角函数的关系得，由弦切互化可得，即可由和差角公式求解. 【解答过程】由得， 由于为锐角，所以，故， 故， 又所以， 故选：D. 【变式7-1】（24-25高一下·浙江·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用同角三角函数的基本关系式以及诱导公式、二倍角公式，计算求解. 【解答过程】解法一：因为，所以. 因为， 所以. 解法二：令，则，， 所以. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由同角三角函数关系得到，再利用二倍角公式进行计算； （2）凑角法，结合正弦和角公式进行计算. 【解答过程】（1）由，得． ． 则． （2）由，得， 所以． 所以 ． 【变式7-3】（24-25高一下·广东佛山·阶段检测）已知，其中 (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可． （2）根据，利用倍角公式算出代入即可求解． 【解答过程】（1）由题意得： ，， ； （2），， ， . 【题型8 给值求角型问题】 【例8】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【解答过程】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C. 【变式8-1】（24-25高一下·四川内江·期中）已知，，且、是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据韦达定理，结合两角和的正切公式，即可求解，结合角的范围，即可求解. 【解答过程】由条件可知，，，且， 所以不妨设，则，，则 ，所以. 故选：C. 【变式8-2】（24-25高一上·福建福州·期末）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，以及结合角的范围，诱导公式，即可求解. 【解答过程】， 因为，所以， 所以，得. 故选：D. 【变式8-3】（24-25高一下·上海黄浦·期末）若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出的正切值及的取值范围，即可得出的值. 【解答过程】因为，，则， 又因为，则， 由二倍角正切公式可得， 所以，， 因为，，则，即， 因此，. 故选：B. 【题型9 三角恒等变换的化简问题】 【例9】（24-25高二下·浙江舟山·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由三角恒等变换化简得出，由求出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组，结合可求得的取值范围. 【解答过程】， 因为，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以， 即，解得， 由可得，又因为，，故，则. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式9-1】（24-25高一下·山东威海·期中）已知函数，则（    ） A． B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】D 【解题思路】利用两角和的正弦公式与二倍角公式将函数化为，即可判断选项A，B；利用对称轴公式即可判断C；利用正弦函数的单调性即可判断选项D； 【解答过程】 对于选项A：由上边推导知选项A错误； 对于选项B：由以上推导得到最大值为，故选项B错误； 对于选项C：令，不存在整数k使得，故选项C错误； 对于选项D:当时，，正弦函数在区间上单调递增，故选项D正确； 故选：D. 【变式9-2】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知函数． (1)求的严格增区间； (2)求在闭区间上的最大值和最小值及此时x的值． 【答案】(1) (2)答案见详解 【解题思路】（1）根据三角恒等变换整理可得，以为整体，结合三角函数的单调性运算求解即可； （2）以为整体，结合三角函数的有界性运算求解即可. 【解答过程】（1）由题意可得： ， 令，解得， 所以函数的严格增区间为. （2）由（1）知 因为，可得， 当时，即，函数取得最大值，最大值为； 当或时，即或，函数取得最小值，最小值为2. 【变式9-3】（2025高一上·湖北随州·专题练习）已知函数 ，的最小正周期为． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)，，， (3) 【解题思路】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用整体代入法可得函数的单调性； （2）利用整体代入法可得值域，即可得解； （3）根据三角函数的性质解不等式即可. 【解答过程】（1）由题意 ， 又函数的最小正周期为，则，，所以， 即， 当，即，时，单调递减， 的单调递减区间是，； （2），则，故， ，此时，即， ，此时，即； （3）由已知，即， 所以或，， 即或，， 所以不等式的解集为． 【题型10 三角恒等式的证明】 【例10】（24-25高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化简即可； （2）先将正切化弦，通分得到原式，再用辅助角公式，最后利用二倍角公式，即可证明. 【解答过程】（1）. （2）左边 , 原式得证. 【变式10-1】（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【解答过程】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 【变式10-2】（24-25高一·全国·课后作业）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】由已知条件化简得出，利用积化和差公式化简可证得结论成立. 【解答过程】证明：因为，所以， 于是， 因为 ， 所以，， 同理可得， 所以，从而， 所以． 【变式10-3】（24-25高一下·甘肃甘南·期中）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）首先通分，再应用辅助角公式、倍角正弦公式化简分子、分母即可证结论； （2）应用商数关系、倍角正余弦及和角余弦公式化简分子、分母即可证结论. 【解答过程】（1） ； （2） . 一、单选题 1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由诱导公式及二倍角公式进行求解． 【解答过程】 ． 故选：B. 2．（24-25高一上·福建莆田·期末）的值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】利用辅助角公式求解即可. 【解答过程】 . 故选：D. 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用二倍角公式求出的值，再利用诱导公式将转化为与有关的形式. 【解答过程】因为， 所以. 故选：B. 4．（24-25高一下·江苏·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由余弦的倍角公式，结合条件，可得，再由三角函数的同角关系和商数关系，即可求解. 【解答过程】因为， 解得或，又，则， 所以，则． 故选：C. 5．（24-25高一下·四川广安·阶段检测）已知，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【解题思路】利用二倍角的余弦公式可求得，结合同角三角函数的平方关系求得，进而利用同角三角函数的商数关系可求的值. 【解答过程】因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C. 6．（24-25高一下·四川广安·阶段检测）已知函数，当时函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用辅助角公式得，其中，由题意可得，进而可求得，利用两角差的正弦公式可求值. 【解答过程】，其中， 当时函数取得最大值，则， 所以，所以， 所以，所以， ， 所以. 故选：C. 7．（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据正弦与余弦的两角和与两角差，以及余弦的二倍角公式。 【解答过程】由，得， 由，得， 联立解得，， 因为， 所以， 故选：A. 8．（25-26高三上·天津·阶段检测）关于函数的四个结论： ①最大值为； ②将的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到； ③在单调递增； ④图象的对称中心为，其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【解题思路】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的有界性可判断①；利用三角函数图象变换可判断②；利用正弦型函数的单调性可判断③；利用正弦型函数的对称性可判断④. 【解答过程】对于①， ， 所以，①错； 对于②，将的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， 可得到函数的图象，②错； 对于③，当时，， 所以函数在上单调递增，③对； 对于④，由可得， 因此函数的图象的对称中心为，④错. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·海南三亚·阶段检测）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解题思路】对A，由两角差的正弦公式求解判断；对B，由正弦的二倍角公式求解判断；对C，由两角和的正切公式求解判断；对D，由余弦的二倍角公式求解判断. 【解答过程】对于A：，A错误； 对于B：，B错误； 对于C：，C正确； 对于D：，D正确； 故选：CD. 10．（25-26高三上·山东济宁·期中）设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据已知条件结合两角和的余弦公式，两角差的余弦公式，同角三角函数关系，两角和的正切公式依次判断每个选项即可. 【解答过程】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设函数，则下列结论正确的有（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点对称 C．的图象过点 D．的图象的对称轴是， 【答案】ACD 【解题思路】利用辅助角公式、正弦和余弦的二倍角公式把函数的解析式化成正弦型函数解析式形式，再结合正弦型函数的最小正周期公式、对称性、特殊角的正弦值逐一判断即可. 【解答过程】 . A：的最小正周期是，所以本选项结论正确； B：因为， 所以的图象关于点对称，因此本选项结论不正确； C：因为， 所以本选项结论正确； D：令， 所以本选项结论正确， 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一下·江西吉安·期末）__________． 【答案】 【解题思路】利用诱导公式与和差公式计算即可. 【解答过程】原式 . 故答案为：． 13．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）若，则__________． 【答案】 【解题思路】利用两角和与差的余弦公式进行求解. 【解答过程】因为，所以， 所以， 所以 ， 故答案为：. 14．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）若，则___________． 【答案】 【解题思路】由两角差的余弦公式和二倍角公式计算. 【解答过程】由题意得， 由二倍角的余弦公式得. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知. (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1)，； (2) 【解题思路】（1）根据同角三角函数关系计算可得结果； （2）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式直接计算可得结果. 【解答过程】（1）∵，，∴， 可得，； （2）易知，， ∴. 16．（24-25高一下·上海·期中）已知都是锐角，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用二倍角的正切公式进行求解； （2）利用同角三角函数的基本关系式分别求出，，的值，再利用两角和的余弦公式进行求解即可. 【解答过程】（1），； （2）都是锐角，，， 又，，， ，，， ， ，. 17．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由三角恒等变换得，再整体代换求解即可； （2）由时，，整体代换求解函数的值域即可. 【解答过程】（1）化简函数 ， 所以， 令, 得， 所以的单调递增区间为. （2）当时，， 因此， 故在区间上的值域为. 18．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）已知，且. (1)求的值； (2)求角； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据已知条件求出的值，再根据两角差的余弦公式求出； （2）根据已知条件求出的值，再根据两角和的公式求出，进一步求出； （3）根据二倍角公式求出和的值，再根据两角和的正弦公式求出. 【解答过程】（1）因为，，则， 所以. （2）由(1)可得，，，则， 因为，所以，解得， 又因为，所以. （3）因为，，， 所以， ，， 所以. 19．（24-25高一下·江苏南京·阶段检测）已知函数. (1)求的图象的对称轴、单调递增区间； (2)当时，求的最值，以及取得最值时的取值； (3)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)对称轴，增区间为； (2)当时，取最小值，当时，取最大值2； (3). 【解题思路】（1）根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质求解. （2）由，确定，结合正弦函数的最值求解. （3）化简，参变分离，可得，换元，即令，则求在上的最小值，即可求得答案. 【解答过程】（1）依题意， ， 令，解得， 所以函数的对称轴方程为； 由，得， 所以的单调递增区间为. （2）当时，，则， 当，即时，函数取得最小值； 当，即时，函数取得最大值2， 所以当时，取最小值；当时，取最大值2. （3）依题意，当时，有解， 而，即当时，有解， ，当时，令， 函数在上单调递减，当时，，即，而， 所以实数的取值范围是. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角恒等变换（暑假复习讲义） 【苏教版】 【知识清单1 两角和与差的余弦】 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有. 此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 公式的结构特征 3．两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. (1)“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； (2)“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”. 【注意】两角和与差的余弦公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式. 【知识清单2 两角和与差的正弦】 1．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和的正弦公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. (3)两角差的正弦公式：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. (4)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”，两角差时用“-”. 【注意】两角和与差的正弦公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式. 【知识清单3 两角和与差的正切】 1．两角和与差的正切公式 (1)两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. (2)两角和的正切公式：. (3)两角差的正切公式：. 2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 【知识清单4 二倍角公式】 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①S2α：，，. ②C2α：. ③T2α：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【知识清单5 几个三角恒等式】 1．积化和差公式 这组公式中，每个等式左边为三角函数乘积的形式，而等式右边为三角函数和与差的形式，通常称之为三角函数的积化和差公式. 【注意】将三角函数的乘积化成和差，便于计算，在计算的时候要小心不要漏掉系数，另外要注意符号.把积化成和差，关键在角度合并后会是特殊角方便计算. 2．和差化积公式 这组公式中，每个等式左边为三角函数和与差的形式，而等式右边为三角函数乘积的形式，通常称之为三角函数的和差化积公式. 【注意】应用和差化积公式时，和差的两个函数名得一致；一般在合并后会出现特殊角能求出值，从而实现合并化简. 3．半角公式 当所在的象限能够确定时，这三个公式中根号前的符号可以确定.一般情况，应保留“±”.这组公式通常称为三角函数的半角公式. 【注意】半角公式：主要用于角度减半、降幂、去平方，利用半角公式求值的时候注意角的象限. 4．辅助角公式 通过应用公式[或将形如asinα+bcosα (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【知识清单6 三角恒等变换思想】 1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换 (1)角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出. 常用的角的代换形式： ①α=(α+β)-β； ②α=β-(β-α)； ③； ④； ⑤； ⑥. (2)常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换. 【题型1 两角和与差的三角函数】 【例1】（24-25高一下·北京顺义·期末）已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知角均为锐角，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·四川广安·阶段检测）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高三上·河北秦皇岛·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 逆用两角和与差的三角函数】 【例2】（24-25高一下·北京顺义·期中）（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·广东汕尾·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·江西上饶·期中）（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·广东茂名·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 二倍角公式】 【例3】（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·全国·单元测试）下列计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·贵州·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 积化和差与和差化积公式】 【例4】（24-25高一下·全国·课堂例题）等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D．1 【题型5 利用三角恒等变换化简、求值】 【例5】（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一下·青海海南·期末）已知，则（    ） A． B．2 C． D．2或 【变式5-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，均为锐角，且，． (1)求和值； (2)求的值． 【变式5-3】（24-25高一下·上海虹口·阶段检测）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【题型6 辅助角公式的应用】 【例6】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·辽宁锦州·期末）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（   ） A． B．函数在上为减函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．点是函数图象的一个对称中心 【变式6-2】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知函数． (1)求函数的周期和其图像的对称轴方程； (2)当时，求的值域． 【变式6-3】（24-25高一下·广东佛山·期中）设函数； (1)写出函数的单调递增区间； (2)若，求函数的最值及对应的的值； (3)若不等式在恒成立，求实数的取值范围. 【题型7 给值求值型问题】 【例7】（24-25高一下·湖北黄冈·阶段检测）已知锐角满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一下·浙江·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 【变式7-3】（24-25高一下·广东佛山·阶段检测）已知，其中 (1)求； (2)求． 【题型8 给值求角型问题】 【例8】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一下·四川内江·期中）已知，，且、是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·福建福州·期末）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高一下·上海黄浦·期末）若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型9 三角恒等变换的化简问题】 【例9】（24-25高二下·浙江舟山·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一下·山东威海·期中）已知函数，则（    ） A． B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【变式9-2】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知函数． (1)求的严格增区间； (2)求在闭区间上的最大值和最小值及此时x的值． 【变式9-3】（2025高一上·湖北随州·专题练习）已知函数 ，的最小正周期为． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； (3)求不等式的解集． 【题型10 三角恒等式的证明】 【例10】（24-25高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2). 【变式10-1】（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【变式10-2】（24-25高一·全国·课后作业）已知，求证：． 【变式10-3】（24-25高一下·甘肃甘南·期中）求证： (1)； (2)． 一、单选题 1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建莆田·期末）的值为（ ） A．1 B． C． D．2 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川广安·阶段检测）已知，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 6．（24-25高一下·四川广安·阶段检测）已知函数，当时函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）已知，则（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·天津·阶段检测）关于函数的四个结论： ①最大值为； ②将的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到； ③在单调递增； ④图象的对称中心为，其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、多选题 9．（24-25高一下·海南三亚·阶段检测）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·山东济宁·期中）设，，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设函数，则下列结论正确的有（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点对称 C．的图象过点 D．的图象的对称轴是， 三、填空题 12．（24-25高一下·江西吉安·期末）__________． 13．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）若，则__________． 14．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）若，则___________． 四、解答题 15．（24-25高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知. (1)求的值； (2)求的值 16．（24-25高一下·上海·期中）已知都是锐角，且，. (1)求的值； (2)求的值. 17．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的值域. 18．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）已知，且. (1)求的值； (2)求角； (3)求的值. 19．（24-25高一下·江苏南京·阶段检测）已知函数. (1)求的图象的对称轴、单调递增区间； (2)当时，求的最值，以及取得最值时的取值； (3)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $