8.1一元二次方程学案2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

8.1一元二次方程学案 一、学习目标 1. 理解一元二次方程的概念，能准确识别一元二次方程，掌握一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化为一般形式，并准确指出各项系数。 2. 了解一元二次方程根的概念，会判断一个数是否为一元二次方程的根，初步体会方程建模的思想。 3. 通过实际问题抽象出一元二次方程的过程，培养数学抽象和逻辑推理能力，感受数学与生活的紧密联系。 二、学习重难点 · 重点：一元二次方程的概念、一般形式及各项系数的确定。 · 难点：从实际问题中建立一元二次方程模型，准确理解一元二次方程二次项系数不为0的条件。 三、预习导学 （一）知识回顾 1. 只含有______个未知数，且未知数的最高次数是______的______方程，叫做一元一次方程，其一般形式为______。 2. 方程的解是______。 3. 列方程解应用题的关键是______。 （二）问题探究 阅读下列实际问题，尝试列出方程： 1. 有一块面积为的正方形铁片，求它的边长。设边长为，可列方程：______。 2. 一个矩形的长比宽多，面积是，求矩形的宽。设宽为，则长为______，可列方程：______。 3. 某校组织一次篮球联赛，每两队之间都赛一场，共赛场，求参赛队伍的数量。设共有支队伍参赛，可列方程：______。 思考：以上列出的方程和一元一次方程有什么不同？ 四、新知探究 （一）一元二次方程的概念 1. 定义：只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是______的______方程，叫做一元二次方程。 2. 满足条件： · 整式方程（分母不含未知数，根号下不含未知数）； · 只含有一个未知数； · 未知数的最高次数是2。 即时判断：下列方程哪些是一元二次方程？（是的打“√”，不是的打“×”） ① （） ② （） ③ （） ④ （） ⑤ （） ⑥ （） （二）一元二次方程的一般形式 1. 一般形式：（，、、为常数）。 · 其中，叫做______，叫做______； · 叫做______，叫做______； · 叫做______。 2. 注意：一元二次方程的一般形式中，二次项系数不能为0，若，方程就变为一元一次方程；、可以为0。 例题1：将方程化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 解：去括号，得：______ 移项、合并同类项，得：______ ∴二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______。 （三）一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边______的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 例题2：判断是否为方程的根。 解：把代入方程左边，得：左边=______ 右边=______ ∵左边______右边 ∴______该方程的根。 五、典例精析 类型一：识别一元二次方程 例1 下列方程中，属于一元二次方程的是（） A. B. C. D. 思路点拨：紧扣一元二次方程的三个条件，逐一分析选项，排除不符合的即可。 类型二：化一般形式并确定系数 例2 把方程整理成的形式后，若二次项系数为2，则一次项系数是多少？ 思路点拨：先利用多项式乘法展开方程，再通过移项、合并同类项化为一般形式，最后根据二次项系数为2调整，确定一次项系数。 类型三：根据一元二次方程定义求参数 例3 若方程是关于的一元二次方程，求的值。 思路点拨：根据一元二次方程定义，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，列方程和不等式求解。 六、课堂练习 1. 选择题 （1）下列方程是一元二次方程的是（） A. B. C. D. （2）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 填空题 （1）方程的根是______。 （2）若是方程的一个根，则______。 （3）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是______。 3. 解答题 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出各项系数： （1） （2） 七、课堂小结 1. 本节课学习了一元二次方程的______、和。 2. 一元二次方程的一般形式是______，注意______0。 3. 判断一元二次方程的关键：、、______。 八、课后作业 基础题 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 2. 把方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 若是方程的根，则______。 提升题 1. 已知关于的方程是一元二次方程，求的值。 2. 一个长方形的周长是，面积是，设长为，列出关于的一元二次方程，并化为一般形式。 拓展题 已知方程的两根为和，求、的值。 九、预习思考 下节课我们将学习一元二次方程的解法，请思考：如何求解形如的方程？ 学科网（北京）股份有限公司 $