2025-2026学年北师大版八年级数学下册第一次学情检测评估试卷（培优卷）（ 测试范围：第1章三角形的证明及其应用+第2章不等式与不等式组）

八年级数学下册第一次学情检测评估试卷（培优卷） 【新教材北师大版】 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：第一章三角形的证明及其应用+第二章不等式与不等式组 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 1．下列变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式性质逐一判断各选项变形即可． 【详解】解： A：∵ ，不等式两边同乘，不等号方向改变，∴ ，故A变形错误． B：∵ ，不等式两边同乘，不等号方向改变，∴ ，故B变形错误． C：∵ ，当时，，因此可得，故C变形错误． D：∵ ，可推出，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，∴ ，故D变形正确． 2．如图，点、分别在、上．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再在中利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：在中， ，， ． 在中， ， ． 故选：B． 3．学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式，解决本题的关键是总时间小于8分钟． 根据题意，总时间由步行时间和小跑时间组成，且总时间小于8分钟，据此列出不等式即可． 【详解】解：∵步行距离为米， ∴剩余距离为米，即小跑时间为分钟， ∴总时间为分钟， 又∵在之前到达，即总时间小于8分钟， ∴根据题意列出的不等式为． 故选：A． 4．如图，从光源点发出一束光，过凸透镜焦点的光线，经凸透镜折射后平行于主光轴（即：）射出，过光心的光线，不改变方向．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两直线平行同位角相等、三角形外角性质列式计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，， ， ∵是的一个外角， ∴， ． 5．如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记相关性质并准确识图是解题的关键．先根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可． 【详解】解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ． 故选：B． 6．如图，在中，，过点作交于点，过点作于点，若平分，则图中度数为的角共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】根据平行线的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 综上，图中度数为的角共有5个． 7．如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图方法，角平分线定义以及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的尺规作图方法是解题的关键．先在中，运用，，结合三角形内角和定理，求出，再根据图中尺规作图痕迹可知，为的角平分线，最后运用角平分线的定义求得的度数． 【详解】解： ∵在中，， ∴， ∵在中， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由图中尺规作图痕迹可知，为的角平分线， ∴． 故选：C． 8．关于x的不等式组的整数解的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集范围内的整数，计算整数解的和即可． 【详解】解∶解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为， ∴该解集范围内的整数解只有， ∴整数解的和为． 9．已知关于的不等式组有三个整数解，则(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别解出两个一元一次不等式的解集，进而得到不等式组的公共解集；再根据“不等式组有三个整数解”这一条件，找出对应的三个整数解，最后通过分析边界情况确定的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组有三个整数解，即，，， ∴： 若，则不等式组的整数解会包含，此时共有四个整数解，不符合题意；若，则不等式组的整数解少于三个，也不符合题意． 故选：B． 10．如图，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且有下列结论：①；②；③；④其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】由，，，得，则，所以，可判断①正确；延长交于点Q，由于点M，得，可证明，进而证明≌，则，，，可判断②正确；再证明≌，得，则，所以，由，得，则，可判断③错误；再证明≌，得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：、分别是的高和角平分线，平分交于E， ，，， ， ， ， ， 故①正确； 延长交于点Q， 于点M， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，，， 故②正确； 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 是钝角， ， ， ， 故③错误； ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 故④正确 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，，点D为中点，如果，，则______ 【答案】20 【分析】先推导出，，进而求出，则，即可解答． 【详解】解：在中，D为中点，，，， ，， ∴， 又， ， ． 12．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是：_____（写出它的逆命题，不用判断它的真假） 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】本题考查逆命题的知识，属于基础题，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，从而得到原命题的逆命题． 【详解】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”． 故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 13．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是_____． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后等量代换得到的周长为，进而可得的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ，， 的周长为：， 的周长为：． 14．如图中，，平分，于，给出下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确的是______． 【答案】 ①②④⑤ 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点，证明是解此题的关键；根据角平分线的性质即可判断①；证明得到② ， 即可判断②，根据即可判断④，根据同角的余角相等即可判断⑤，并得到③错误． 【详解】解：∵，平分，， ∴，故①正确； 在和中， ∴， ∴ ， ∴平分，故②正确 ，故④正确； ∵ ∴，故⑤正确； ∵，而， ∴， ∴平分错误，故③错误； 综上所述，正确的有①②④⑤． 15．若不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式组无解的判定规则，列出关于a的一元一次不等式，求解即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 移项得， 合并同类项得， 解得． 16．新定义：我们知道，一次函数的图象是直线．观察坐标系中多条直线，从正上方（y轴正方向）看下去，它们的轮廓会形成一条由“最上方”的部分连接成的折线．基于此，我们定义：对于两个一次函数，，称“顶函数”为这两个函数在每一个x处的最大值，即． （1）当时，________； （2）若直线与函数的图象有2个交点，则k的取值范围是________． 【答案】 3 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，两直线的交点问题等知识， 分情况讨论是解题的关键． （1）将代入两个一次函数求出函数值，取最大值即可； （2）先联立两一次函数求出交点，确定“顶函数”的分段图象，再分析直线过定点的特性，通过讨论直线与顶函数两段图象的交点所在区间，解不等式确定k的取值范围． 【详解】（1）解：当时，，，因为，所以， （2）解：联立，解得， 即两直线交点为． 当 时，，故； 当时，，故； 当时，； 直线整理为，可知其过定点． ① 联立，得， 当时，，要求， 解不等式， 解得或． ② 联立，得， 当时，， 要求，解不等式，通分变形得， 解得． 要使直线与顶函数图象有2个交点，需直线与两段图象各有一个交点且不重合（时直线过交点，仅1个交点），取两个解集公共部分得． 即k的取值范围是． 三、解答题（8小题，共72分） 17．按要求完成下列计算： (1)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)求不等式组的整数解． 【答案】(1)，数轴上表示解集见解析 (2)不等式组的整数解为． 【分析】（1）根据解不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，分别得出不等式的解集，再根据求公共解集的技巧得原不等式组的解集，最后，将解集在数轴上表示即可； （2）根据解不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，分别得出不等式的解集，再根据求公共解集的技巧得原不等式组的解集，最后，求出不等式组的公共整数解即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如图所示： （2）解：原不等式组可化为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 18．如图，，平分，交于点D． (1)作图：作于点E，交于点F； (2)作图后，小明猜想，请完成下面的证明． 证明：， ∴ （ ）， （ ）． ∵平分， ∴ ， ∴． 【答案】(1)见解析 (2)；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；2． 【分析】（1）过点D作的垂线可得，作可得； （2）根据题干证明思路，结合平行线的性质和角平分线的定义可得答案． 【详解】（1）解：如图，，即为所求． （2）证明：， ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）． ∵平分， ∴， ∴． 19．如图，在 中，，是上一点，且． (1)尺规作图：作的角平分线交于点，连接．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）先证明，得出，，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，即可证明，利用线段的和差关系即可得结论． 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）证明：∵平分， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 20．2026年是红军长征胜利90周年，某校初三年级开展红色研学，筹备甲、乙两种研学包，其中甲包含1张长征路线图和3枚纪念章，乙包含2张长征路线图和2枚纪念章． (1)若学校有100张长征路线图，200枚纪念章，恰好能搭配甲、乙两种研学包各多少个？ (2)若计划共搭配90个研学包，且乙包数量不低于甲包的一半，至少需要准备多少张长征路线图？ 【答案】(1)恰好能搭配甲种研学包50个，乙种研学包25个； (2)至少需要准备120张长征路线图． 【分析】（1）设搭配甲种研学包x个，乙种研学包y个，根据题意，列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设搭配甲种研学包m个，则乙种研学包个，根据“乙包数量不低于甲包的一半”，可得不等式求得m的范围，再根据题意得到，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设搭配甲种研学包x个，乙种研学包y个， 根据题意，得， 解得， 答：恰好能搭配甲种研学包50个，乙种研学包25个； （2）解：设搭配甲种研学包m个，则乙种研学包个， 由题意得， 解得， 设需要准备的长征路线图总数为w张， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当m取最大值60时，w有最小值，最小值为． 答：至少需要准备120张长征路线图． 21．如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可知，，利用可证； （2）根据全等三角形的性质可得，，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据含角的直角三角形的性质可知． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中，， ； （2）解：由（1）可知：， ，， ，， ， 又， ， ， ． 22．一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 【答案】(1)； (2)点的坐标是；的值是． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （）根据函数图象和题意可以直接写出不等式的解集； （）由题意可以求得的值，然后将代入即可求得点的坐标； 根据点也在函数的图象上，从而可以求得的值． 【详解】（1）解：由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：∵，在一次函数上， ∴， 解得：， ∴一次函数， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标是， 当时，， ∴点的坐标是； ∵， ∴，解得， 即的值是． 23．阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：_____（直接填写序号； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】（1）先解方程，再求出各个不等式（组）的解集，然后根据其解集进行判断即可； （2）解方程组求出，，再代入不等式，求出的取值范围； （3）解方程组，用含有的代数式表示，，再根据已知条件列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ①， 解得：， ∴不是此不等式的解； ②， 解得：， ∴是此不等式的解； ③， 解得：， ∴是此不等式组的解； ∴方程的解是此方程与②③的“理想解”， 故答案为：②③； （2）解：∵是方程组与不等式的“理想解”， ∴，， 解方程组，得：， ∴， ∴， 即的取值范围为； （3）解：解方程组，得：， ∵关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数）， ∴， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 解不等式③，得：， ∴不等式组的解集为， 即的取值范围． 【点睛】本题考查解一元一次方程、二元一次方程组和解一元一次不等式（组），解题关键是熟练掌握解一元一次方程、二元一次方程组和解一元一次不等式（组）的一般步骤． 24．如图，在中，，，射线交线段于点，作点关于射线的对称点．直线与直线交于点，与射线交于点，连接交于点． (1)如图，当点位于直线上时，______（用含的代数式表示）； (2)如图，当时，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图，当时，连接，若，，则______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）设，根据轴对称的性质得出，从而得出，根据等边对等角得，由列出方程，求解可得答案； （2）证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）在上截取，连接，证明，得，根据勾股定理得出的值，进而再根据勾股定理得出结果． 【详解】（1）解：设， ∵点与点关于射线对称，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 理由：由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图， 在上截取，连接， ∵点与点关于射线对称，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下册第一次学情检测评估试卷（培优卷） 【新教材北师大版】 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：第一章三角形的证明及其应用+第二章不等式与不等式组 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．下列变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．如图，点、分别在、上．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 4．如图，从光源点发出一束光，过凸透镜焦点的光线，经凸透镜折射后平行于主光轴（即：）射出，过光心的光线，不改变方向．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，过点作交于点，过点作于点，若平分，则图中度数为的角共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 7．如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（   ） A． B． C． D． 8．关于x的不等式组的整数解的和为（   ） A． B． C． D． 9．已知关于的不等式组有三个整数解，则(　　) A． B． C． D． 10．如图，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且有下列结论：①；②；③；④其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，，点D为中点，如果，，则______ 12．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是：_____（写出它的逆命题，不用判断它的真假） 13．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是_____． 14．如图中，，平分，于，给出下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确的是______． 15．若不等式组无解，则的取值范围是______． 16．新定义：我们知道，一次函数的图象是直线．观察坐标系中多条直线，从正上方（y轴正方向）看下去，它们的轮廓会形成一条由“最上方”的部分连接成的折线．基于此，我们定义：对于两个一次函数，，称“顶函数”为这两个函数在每一个x处的最大值，即． （1）当时，________； （2）若直线与函数的图象有2个交点，则k的取值范围是________． 三、解答题（8小题，共72分） 17．按要求完成下列计算： (1)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)求不等式组的整数解． 18．如图，，平分，交于点D． (1)作图：作于点E，交于点F； (2)作图后，小明猜想，请完成下面的证明． 证明：， ∴ （ ）， （ ）． ∵平分， ∴ ， ∴． 19．如图，在 中，，是上一点，且． (1)尺规作图：作的角平分线交于点，连接．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (2)求证：． 20．2026年是红军长征胜利90周年，某校初三年级开展红色研学，筹备甲、乙两种研学包，其中甲包含1张长征路线图和3枚纪念章，乙包含2张长征路线图和2枚纪念章． (1)若学校有100张长征路线图，200枚纪念章，恰好能搭配甲、乙两种研学包各多少个？ (2)若计划共搭配90个研学包，且乙包数量不低于甲包的一半，至少需要准备多少张长征路线图？ 21．如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 22．一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 23．阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：_____（直接填写序号； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 24．如图，在中，，，射线交线段于点，作点关于射线的对称点．直线与直线交于点，与射线交于点，连接交于点． (1)如图，当点位于直线上时，______（用含的代数式表示）； (2)如图，当时，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图，当时，连接，若，，则______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $