专题03 一元二次方程17大题型（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材北京版

专题03 一元二次方程（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 一元二次方程的定义 题型02 化成一元二次方程的一般式 题型03 由一元二次方程的定义求参数 题型04 一元二次方程解的估算 题型05 用合适的方法解一元二次方程 题型06 配方法的应用 题型07 根的判别式 题型08 根据一元二次方程根的情况求参数 题型09 换元法解一元二次方程 题型10 一元二次方程根与系数的关系 题型11 传播问题 题型12 增长率问题 题型13 与图形有关的问题 题型14 营销问题 题型15 动态几何问题 题型16 行程问题 题型17 一元二次方程新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的定义 掌握一元二次方程定义，识别各项系数，区分不同整式方程，会判断方程类型 基础考点，小题考查，2分 解一元二次方程 熟练掌握四种解法，能按需选简便方法，规范计算并检验方程根 常考点，计算题型考查，5分左右 配方法 理解配方原理，熟练配方步骤，能用配方法解方程、求最值 重要考点，小题考查，2分 根的判别式 熟记判别式符号意义，利用其判断根情况，求解参数取值范围 重要考点，解答题考查，3分 换元法 掌握换元思路，巧设整体简化方程，规范代换回代，准确求解分式高次方程 重要考点，小题考查，3分 根据一元二次方程根的情况求参数 借助判别式结合二次项系数不为零，准确求出参数取值范围并检验 核心考点，小题考查，2分 一元二次方程根与系数的关系 牢记韦达定理，会求两根和积，整体代换求值，结合判别式检验参数 核心考点，一般解答题考查，5分左右 一元二次方程的实际应用 能分析等量关系列方程，求解并检验根，解决增长率、面积等实际问题 核心考点，一般解答题考查，8分左右 知识点01 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 知识点02 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 知识点03 一元二次方程的解 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 知识点04 直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1.形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 知识点05 用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1.对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3.配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 知识点06 用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 知识点07 用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. 1.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点08 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根分别为、，则方程的两个根与各系数a、b、c之间具有以下关系：. 1.一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2.韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即； 3.当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为. 一元二次方程根与系数的关系应用 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 知识点09 列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 知识点10 一元二次方程解决问题 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 题型一 一元二次方程的定义 1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为____________． 题型二 化成一元二次方程的一般式 4．将一元二次方程化为一般形式是（   ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 题型三 由一元二次方程的定义求参数 7．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 8．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 9．已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 题型四 一元二次方程解的估算 10．根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 11．小明用“试根法”探索关于x的一元二次方程的解，当x的值分别取0，1，2，3时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如表所示，则该方程的解为_______． x的值 … 0 1 2 3 … 等号左边的值 … 0 4 9 15 … 等号右边的值 … 1 4 7 10 … 12．观察表格，一元二次方程的最精确的一个近似根是______． 题型五 用合适的方法解一元二次方程 13．解方程： (1)； (2)． 14．用适当的方法解下列方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）； (3)（配方法）． 15．解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六 配方法的应用 16．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 17．已知整式，其中为自然数，，，，…，为正整数，且． （1）若，则满足条件的所有整式的和为___； （2）满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有___个． 18．【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 题型七 根的判别式 19．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 20．已知关于的方程．若原方程有两个互为相反数的实数根，则的值是___________． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 22．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 23．已知一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值． (2)若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 24．已知m为实数，关于x的两个方程分别为和． (1)求证：方程一定有两个不相等的实数根； (2)当方程有实数根时，求m的取值范围； (3)当方程和有公共的实数根时，求m的值． 题型九 换元法解一元二次方程 25．已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 26．关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 27．【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______； (3)参照上面解题的思想方法解方程： ． 题型十 一元二次方程根与系数的关系 28．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 29．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 30．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根； (2)已知，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 题型十一 传播问题 31．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 32．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 33．近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 题型十二 增长率问题 34．某社区便民生活服务中心9月份的服务收入为4万元，随着居民消费需求提升，服务项目不断拓展，11月份的服务收入达到5.76万元． (1)求该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率； (2)若收入还保持相同的月平均增长率，则该服务中心12月份的服务收入是多少万元？ 35． 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． 问题解决 (1)求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． (2)根据素材2，为尽可能多的售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． (3)根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 36．为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． (1)若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； (2)该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 题型十三 与图形有关的问题 37．如图，有一块矩形硬纸板，，，在它的四个角上剪去四个全等的小长方形，然后按内部虚线折起，和两边恰好重合且无重叠部分．就能制作成一个长方体收纳盒，其底面矩形的面积为，设矩形的宽，长． (1)用含的式子表示； (2)求矩形的长和宽． 38．根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过6米，且不小于2.5米．    素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天．    素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值．方法如下：，由，得；∴代数式的最大值是7． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． (1)若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润=总销售额−收购总成本−冷库总费用） (2)该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ (3)请写出此次收购的草莓一次性出售的最大利润为__________元． 39．如图，为宣传旅游资源，我县一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形封皮． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为，卡片必须与封皮边平行放置（不折叠、不裁剪、不超出封皮）． (1)通过计算判断正方形卡片能否以常规方式装入长方形封皮，并说明理由； (2)若能装入，求该封皮在不折叠、不裁剪条件下可容纳的最大正方形卡片边长；若不能装入，请在不改变封皮长宽比的前提下，通过调整正方形面积或封皮面积，提出一种使卡片可装入的方案． 题型十四 营销问题 40．近年来，公园露营成为市民休闲的新方式．每逢周末，在各大公园总能见到成片的帐篷．某户外用品店看准商机，决定采购星空帐篷和普通帐篷两种产品进行销售．已知每顶星空帐篷的进价是每顶普通帐篷的2倍，4月份该店用5000元采购普通帐篷，8000元采购星空帐篷，结果普通帐篷的数量比星空帐篷的数量多5顶． (1)求每顶普通帐篷和星空帐篷的进价分别为多少元？ (2)4月份帐篷销售火爆，库存告急，5月份该店决定再次采购两种帐篷．其中普通帐篷的采购数量与上月相同，每顶的进价比上月降低了；星空帐篷的采购数量比上月增加了顶，每顶的进价比上月降低了，结果5月份采购这两种帐篷一共用了12000元，求m的值． 41．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 (1)任务1：求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． (2)任务2：为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 42．APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． (1)求帆布袋与染料的单价； (2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 题型十五 动态几何问题 43．如图，在直角梯形中，，，，．点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点P运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当四边形为平行四边形时，求四边形的周长； (3)在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 44．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 45．如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)两动点运动几秒时，四边形的面积是长方形面积的？ (2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 题型十六 行程问题 46．如图，某海军基地位于处，在其正南方向20海里处有一重要目标，在的正西方向20海里处有一重要目标，小岛位于的中点，岛上有一补给码头；一艘军舰从出发，经到匀速直线巡航． (1)为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处，求军舰原来的速度是多少？ (2)在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰航行的总路程是补给船的3倍，军舰在由到的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里？ 47．如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 48．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 题型十七 一元二次方程新定义问题 49．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的伴随方程，其中a，b，c为常数（且a，）．根据此定义解决下列问题： (1)若是一元二次方程的伴随方程的一个根，求出c的值． (2)若m，n为一元二次方程的两个根，且． （ⅰ）若，，求一元二次方程的伴随方程． （ⅱ）求证：一元二次方程的伴随方程的两个根分别为，． 50．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 51．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”． (1)根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级下·全国·期末）若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 3．（2026·北京平谷·二模）关于的方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 4．（2026·北京顺义·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏宿迁·二模）已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·北京顺义·期中）若关于的方程是一元二次方程，则应满足的条件是__________． 7．（25-26八年级下·北京·期中）用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 8．（2025·吉林·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 9．（25-26八年级下·北京·课后作业）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥．一元二次方程共有 _______个． 10．（25-26九年级上·江西赣州·期末）有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为______． 11．（25-26八年级下·北京·期中）解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 12．（25-26八年级下·浙江·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 13．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求实数k应满足的条件． (2)当k取最大整数时，求的值． 14．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求的值和它的另一个根． 15．（25-26九年级上·北京丰台·期末）近年来，人工智能技术飞速发展，作为其硬件核心的芯片的算力（通常以为单位衡量）也在持续提升．某科技公司在2023年底发布了一款新型训练芯片“玄光Ⅰ代”，其单芯片峰值算力为（）．在2025年底，其新一代芯片“玄光Ⅲ代”的单芯片峰值算力达到．求该公司这款芯片的单芯片峰值算力的年平均增长率． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 16．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 17．（2026·江苏宿迁·二模）设是方程的两个根，则代数式的值等于（    ） A． B．4 C． D．12 18．（2022九年级上·湖南湘西·竞赛）关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． 19．（2026·北京·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·河南南阳·一模）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D．0 21．（2026九年级下·北京·专题练习）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 22．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）若m是方程的一个根，则的值为___________． 23．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为_____________． 24．（2025九年级下·北京·专题练习）学生会举办摄影展览，在每张长和宽分别为厘米和厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸(如图)．经试验彩纸面积为相片面积的时较美观，则彩纸条的宽为_____． 25．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知是关于的方程（为有理数，且）的一个根，则该方程的另外两个根分别是_____，_____． 26．（25-26九年级上·陕西西安·期末）解方程：． 27．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明解答过程开始出错的是_______； (2)写出此题正确的解答过程． 28．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根． (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 29．（2026八年级下·北京·专题练习）2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成A，B两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），A礼盒中有个肉松青团，B礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，A，B两种礼盒的销量分别为盒、盒，A，B两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 30．（25-26八年级下·北京·期末）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（门不用栅栏，处使用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米． (1)的长为 米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 31．（25-26八年级下·北京·期中）若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若实数、满足，且，则的值是（    ） A． B．3 C．1 D． 33．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 34．（25-26九年级上·广东广州·期末）形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为和的矩形，围成一个边长为的大正方形（四个矩形彼此不重叠）．得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．羊羊同学按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为，则图2所示的大正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 35．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（      ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 36．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为______________． 37．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图），所围成花圃面积为平方米；设花圃垂直于墙的边长为x米．则可列方程_______．（不用化简） 38．（25-26九年级上·四川凉山·期末）若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为______． 39．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ____________________ ． 40．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为_____． 41．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 42．（25-26八年级下·浙江台州·期中）根据以下素材，完成任务． 素材一 文创小店推出定制纪念徽章，2月份售出40枚，4月份售出90枚，该徽章的月销售量呈持续增长趋势． 素材二 已知该徽章的单件进货成本为10元，小店制定批量购买规则：一次购买该徽章不超过60枚，按单件25元销售；若一次购买超过60枚，每多购买1枚，所购全部徽章的单件售价均降低0．2元，且单件售价不低于24元． 问题解决 问题解决： (1)任务一：求该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率； (2)任务二：若顾客批量购买该徽章，小店恰好获利910元，求该顾客此次购买的徽章数量及对应的单件销售价． 43．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程有两个实数根为． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 44．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图,矩形中，，，点P从A点出发沿方向匀速运动,速度为；同时点Q从B点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为（），解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 45．（25-26八年级下·浙江·期中）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为、，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：（，），特征数对； 方程②：（，），特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”． 解答下列问题： (1)【概念辨析与计算】已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”． ①则该方程的两根分别为 ， ； ②若其特征数对为，求k的值． (2)【关联探究与推理】若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为，和，．请用含a，b的代数式表示p，q． (3)【验证与拓展】某同学利用工具生成了“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 一元二次方程的定义 题型02 化成一元二次方程的一般式 题型03 由一元二次方程的定义求参数 题型04 一元二次方程解的估算 题型05 用合适的方法解一元二次方程 题型06 配方法的应用 题型07 根的判别式 题型08 根据一元二次方程根的情况求参数 题型09 换元法解一元二次方程 题型10 一元二次方程根与系数的关系 题型11 传播问题 题型12 增长率问题 题型13 与图形有关的问题 题型14 营销问题 题型15 动态几何问题 题型16 行程问题 题型17 一元二次方程新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的定义 掌握一元二次方程定义，识别各项系数，区分不同整式方程，会判断方程类型 基础考点，小题考查，2分 解一元二次方程 熟练掌握四种解法，能按需选简便方法，规范计算并检验方程根 常考点，计算题型考查，5分左右 配方法 理解配方原理，熟练配方步骤，能用配方法解方程、求最值 重要考点，小题考查，2分 根的判别式 熟记判别式符号意义，利用其判断根情况，求解参数取值范围 重要考点，解答题考查，3分 换元法 掌握换元思路，巧设整体简化方程，规范代换回代，准确求解分式高次方程 重要考点，小题考查，3分 根据一元二次方程根的情况求参数 借助判别式结合二次项系数不为零，准确求出参数取值范围并检验 核心考点，小题考查，2分 一元二次方程根与系数的关系 牢记韦达定理，会求两根和积，整体代换求值，结合判别式检验参数 核心考点，一般解答题考查，5分左右 一元二次方程的实际应用 能分析等量关系列方程，求解并检验根，解决增长率、面积等实际问题 核心考点，一般解答题考查，8分左右 知识点01 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 知识点02 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 知识点03 一元二次方程的解 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 知识点04 直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1.形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 知识点05 用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1.对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3.配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 知识点06 用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 知识点07 用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. 1.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点08 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根分别为、，则方程的两个根与各系数a、b、c之间具有以下关系：. 1.一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2.韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即； 3.当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为. 一元二次方程根与系数的关系应用 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 知识点09 列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 知识点10 一元二次方程解决问题 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 题型一 一元二次方程的定义 1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此逐一验证即可． 【详解】解：选项A：中未说明，当时方程不是一元二次方程， ∴A错误； 选项B：分母含有未知数，是分式方程，且含有两个未知数， ∴B错误； 选项C：整理得，未知数最高次数为3， ∴C错误； 选项D：整理得，符合一元二次方程的定义， ∴D正确． 2．下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ②中当时，它不是一元二次方程， ③整理得，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个． 3．若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为____________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，因此令，求解的值． 【详解】解：依题意，， ∴ ， 故答案为：4． 题型二 化成一元二次方程的一般式 4．将一元二次方程化为一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将原方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式，即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ， 先去括号，可得 ， 将所有项移到等号左侧，移项变号得 ， 合并同类项得 ． 5．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的知识，先将一元二次方程整理为一般形式，一元二次方程的一般形式为 （），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.排除二次项系数为的错误选项，即可得到结果． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式：原方程为 移项得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 6．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 【答案】(1)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (2)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义． （1）移项，将方程化为一般形式，即可求解； （2）去括号，移项，合并同类项，将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 题型三 由一元二次方程的定义求参数 7．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， 解得． 8．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】∵方程是关于的一元二次方程. ∴，解得：， ∴． 9．已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， 则且． 解得； （2）解：方程是一元二次方程， 则， 解得． 题型四 一元二次方程解的估算 10．根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了估计一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解定义． 方程的解是使的值为的值，需从表格中找到在两侧的相邻的取值范围． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴使成立的的范围为， 故选：D． 11．小明用“试根法”探索关于x的一元二次方程的解，当x的值分别取0，1，2，3时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如表所示，则该方程的解为_______． x的值 … 0 1 2 3 … 等号左边的值 … 0 4 9 15 … 等号右边的值 … 1 4 7 10 … 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程解的定义，解一元二次方程，解三元一次方程组，通过表格数据，设等式左边与x的关系为，代入对于的数值求出a、b、c的值得出；由表可知，x的值每增加1，等号右边的值增加3，则等式右边与x的关系为，则方程为，然后解方程即可． 【详解】解：由表可知， 设等式左边与x的关系为， 则， 解得， ∴； 当时，，符合题意； 由表可知，x的值每增加1，等号右边的值增加3， ∴等式右边与x的关系为 ∴方程为， 化简得， 解方程，， 故答案为：，． 12．观察表格，一元二次方程的最精确的一个近似根是______． 【答案】1.7 【分析】本题考查用表格法求一元二次方程的近似根，解题的关键是观察表格中函数值的变化，找到函数值由负变正的区间，从而确定近似根． 通过观察表格中对应的的值，找到函数值最接近0时对应的，即为方程的近似根． 【详解】解：我们观察表格中的数据： 当时，， 当时，， 可以看到，当时，的值更接近0， 所以一元二次方程最精确的一个近似根是1.7． 故答案为：1.7． 题型五 用合适的方法解一元二次方程 13．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解的方法解方程即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或. （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：或. 14．用适当的方法解下列方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）； (3)（配方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： ，， ∴ 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 解得，． 15．解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，掌握直接开平方法，因式分解法以及公式法是解题的关键． （1）根据直接开平方法求解一元二次方程即可； （2）先移项，再提取公因式求解即可； （3）利用公式法求解一元二次方程即可； （4）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，； （3）解：， ， ，，， ， ， 解得，； （4）解：， ，，， ， ， 解得，． 题型六 配方法的应用 16．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用完全平方公式对二次代数式配方，再根据平方数的非负性即可求出最小值． 【详解】解：∵ ， 又∵ 对任意实数都有， ∴ 当 时，代数式取得最小值，最小值为． 17．已知整式，其中为自然数，，，，…，为正整数，且． （1）若，则满足条件的所有整式的和为___； （2）满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有___个． 【答案】 3 【分析】根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：（1）当时，则， 当时，， ∴的解为，，， ∴对应的整式为，，， 当时，， ∴的解为， ∴对应的整式为， ∵，，均为正整数， ∴， 而当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， ∴满足条件的所有整式的和为； （2）多项式为二次三项式， ， ， ∵多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则只有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， ∴其值一定为非负数的整式M共有3个． 18．【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用配方法和非负性进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴ ； ∴代数式的最小值是2； （3）解：， ， ， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 题型七 根的判别式 19．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，先计算判别式的值，再根据判别式与0的大小关系得出结论． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∵， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 20．已知关于的方程．若原方程有两个互为相反数的实数根，则的值是___________． 【答案】 【分析】原方程有两个实数根，故为一元二次方程，二次项系数不为，由两根互为相反数得两根之和为，利用根与系数的关系求出，再验证判别式大于，即可得到的值． 【详解】解：原方程有两个互为相反数的实数根， 原方程为一元二次方程，即； 设方程的两根为，由两根互为相反数得， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系得 ， ． ， ，解得 由， 将代入得，满足方程有两个实数根的条件，符合题意． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】(1)证明：由题意得：， 则：， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等的实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 22．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于，代入方程系数计算即可得到的取值范围． 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得． 23．已知一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值． (2)若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把代入，化简即可得到答案； （2）由得到，代入根的判别式，化简得，解关于b的方程即可证得结论． 【详解】（1）解：∵若是方程的一个根， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵方程有两个相同的实数根， ∴， 解得， ∴b的值为或． 24．已知m为实数，关于x的两个方程分别为和． (1)求证：方程一定有两个不相等的实数根； (2)当方程有实数根时，求m的取值范围； (3)当方程和有公共的实数根时，求m的值． 【答案】(1)证明：对于方程的判别式为， ∴方程一定有两个不相等的实数根； (2) (3)m的值为1或5 【分析】（1）证明即可； （2）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； （3）设两个方程的公共根为t，则①，②，两方程相减可求出或，然后把代入方程①求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：方程的判别式为， ∵方程一定有实数根， ∴， ∴； （3）解：设两个方程的公共根为t，则①，②， ①－②得，即或， 当时，即，解得， 当，时，均在的范围，即两个方程均有实数根， 综上，m的值为1或5． 题型九 换元法解一元二次方程 25．已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 【答案】B 【分析】本题利用换元法将看作整体求解，再根据平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】设， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴， 原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去， 即． 26．关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程变形为，对照已知方程及其根得出或，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的根是， ∴关于的方程，即满足或， 解得：． 27．【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______； (3)参照上面解题的思想方法解方程： ． 【答案】(1) ，， (2) (3) 【分析】（）直接代入得关于的方程，即可得到结果； （）设，则原方程可转化为，的方程得出，即可求解； （）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于的方程，然后解关于的分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，代入原方程直接替换，得转化后的方程：， 因式分解得， 解得； 时，，即， 因式分解得， 解得或， 时，， 判别式，无实根， ∴原方程的根为； （2）解：设，由平方非负性得， 原方程可化为， 展开得， ， 结合得，即； （3）解：设， 原方程转化为：， ， 解得， ∴， 两边乘得， 解得， 检验：时分母， ∴是原方程的解． 题型十 一元二次方程根与系数的关系 28．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， 即， ∵是方程 的两根， ∴， ∴ ． 29．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 30．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根； (2)已知，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴无论m取何实数，这个方程总有实数根． (2)或． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再将变形得：，最后建立关于m的方程，解方程即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴或． 题型十一 传播问题 31．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人 【分析】设每轮传染中平均每人传染人，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 32．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 33．近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均一人传染4人 (2)三轮后共有125人被感染 【分析】（1）设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据经过两轮传播后，共有25人感染，列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：每轮感染中平均一人传染4人． （2）解：人 答：三轮后共有125人被感染． 题型十二 增长率问题 34．某社区便民生活服务中心9月份的服务收入为4万元，随着居民消费需求提升，服务项目不断拓展，11月份的服务收入达到5.76万元． (1)求该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率； (2)若收入还保持相同的月平均增长率，则该服务中心12月份的服务收入是多少万元？ 【答案】(1)该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率为 (2)该服务中心12月份的收入是6.912万元 【分析】（1）设该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率为，根据“服务中心9月份的服务收入为4万元，11月份的服务收入达到5.76万元”列出方程，求解即可； （2）根据（1）中计算的增长率，即可求解． 【详解】（1）解：设该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得（舍去）． 答：该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率为． （2）解：由（1）可知该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率为． （万元）． 答：该服务中心12月份的收入是6.912万元． 35． 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． 问题解决 (1)求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． (2)根据素材2，为尽可能多的售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． (3)根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)30元 (3)能；10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x，根据正月初一的客运收入为5万元，正月初三的客运收入达到7.2万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设降价m元，则下调后定价为元，销售量为份，根据使平均每天的销售利润达到1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售价为元，销售量为份，根据平均每天能否获利1600元，列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 即从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为； （2）解：设降价m元，则下调后定价为元，销售量为份， 由题意得，， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 则， 即下调后每份套餐的售价是30元； （3）解：设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售价为元，销售量为份， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴原方程有两个相等的实数根， 解得， 则该店平均每天能获利1600元，每份套餐应降价10元． 36．为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． (1)若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； (2)该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售价应定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（增长率问题），以及销售利润问题的实际应用． （1）设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为，根据两次增长后的销售量列方程并解方程即可. （2）设该品牌边刷套装的销售价应定为元，根据涨价后的销售利润列方程并解方程, 并根据尽可能让顾客得到实惠选择最优解即可. 【详解】（1）解：设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为； （2）解：设该品牌边刷套装的销售价应定为元，则每套的销售利润为元，月均销售量为套， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又要尽可能让顾客得到实惠， 取， 答：该品牌边刷套装的销售价应定为元． 题型十三 与图形有关的问题 37．如图，有一块矩形硬纸板，，，在它的四个角上剪去四个全等的小长方形，然后按内部虚线折起，和两边恰好重合且无重叠部分．就能制作成一个长方体收纳盒，其底面矩形的面积为，设矩形的宽，长． (1)用含的式子表示； (2)求矩形的长和宽． 【答案】(1) (2)矩形的长为，宽为 【分析】(1) 根据矩形纸板的长和宽，结合剪去的四个全等小长方形的边长关系，利用折叠后与重合的几何约束建立等式，从而用表示． (2) 根据底面矩形的面积公式建立关于的方程，求解得到矩形的长和宽． 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ， ， 由折叠可知， ，， ， 由折叠性质及与两边恰好重合且无重叠部分可知， ，， ，， 且， ， ． （2）解：底面矩形的面积为， ， 即， 将代入得， ， ，， 当时，，不合题意，舍去， 当时，， 此时，，符合题意， 矩形的宽，长 38．根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过6米，且不小于2.5米．    素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天．    素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值．方法如下：，由，得；∴代数式的最大值是7． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． (1)若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润=总销售额−收购总成本−冷库总费用） (2)该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ (3)请写出此次收购的草莓一次性出售的最大利润为__________元． 【答案】(1)米时，符合要求 (2)在第10天出售 (3)900元 【分析】（1）根据题意列出关于的一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案； （2）设在第天出售，根据题意列出关于的一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案； （3）设草莓存放天，总利润为，则，利用配方法可得，然后确定最大利润即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得， 整理可得， 解得， 又∵， ∴当时，不符合题意，当米时，符合题意， ∴米时，符合要求； （2）设在第天出售，根据题意，可得 ， 整理可得， 解得（超出最大保存期限，舍去）， ∴在第10天出售； （3）设草莓存放天，总利润为， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为900元． 39．如图，为宣传旅游资源，我县一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形封皮． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为，卡片必须与封皮边平行放置（不折叠、不裁剪、不超出封皮）． (1)通过计算判断正方形卡片能否以常规方式装入长方形封皮，并说明理由； (2)若能装入，求该封皮在不折叠、不裁剪条件下可容纳的最大正方形卡片边长；若不能装入，请在不改变封皮长宽比的前提下，通过调整正方形面积或封皮面积，提出一种使卡片可装入的方案． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)保持封皮长、宽和面积不变，将正方形卡片面积调整为即可装入 【分析】（1）先求出正方形卡片和长方形封皮的边长，再将正方形卡片的边长与长方形封皮的宽进行比较即可； （2）根据题意可知，可容纳的最大正方形边长等于封皮宽，据此调整即可． 【详解】（1）解：不能，理由如下： 设长方形的长为、宽为， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 长方形的长为、宽为， 正方形卡片的面积为， 正方形卡片的边长为， ， 正方形卡片不能装入封皮； （2）解：由（1）知，封皮的宽为，可容纳的最大正方形边长等于封皮宽， 此时正方形面积为， 因此方案为：保持封皮长、宽和面积不变，将正方形卡片面积调整为即可装入． 题型十四 营销问题 40．近年来，公园露营成为市民休闲的新方式．每逢周末，在各大公园总能见到成片的帐篷．某户外用品店看准商机，决定采购星空帐篷和普通帐篷两种产品进行销售．已知每顶星空帐篷的进价是每顶普通帐篷的2倍，4月份该店用5000元采购普通帐篷，8000元采购星空帐篷，结果普通帐篷的数量比星空帐篷的数量多5顶． (1)求每顶普通帐篷和星空帐篷的进价分别为多少元？ (2)4月份帐篷销售火爆，库存告急，5月份该店决定再次采购两种帐篷．其中普通帐篷的采购数量与上月相同，每顶的进价比上月降低了；星空帐篷的采购数量比上月增加了顶，每顶的进价比上月降低了，结果5月份采购这两种帐篷一共用了12000元，求m的值． 【答案】(1)每顶普通帐篷进价元，每顶星空帐篷进价元 (2) 【分析】（1）设每顶普通帐篷的进价为元，由题意得每顶星空帐篷进价为元， 根据普通帐篷数量比星空帐篷多5顶列方程求解即可； （2）根据普通帐篷总费用为元，星空帐篷数量为顶，新进价为元，由总采购费为12000元，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设每顶普通帐篷的进价为元，由题意得每顶星空帐篷进价为元， 根据普通帐篷数量比星空帐篷多5顶 列分式方程： 化简得：，解得 经检验，是原方程的解， 因此 即普通帐篷进价200元，星空帐篷进价400元； （2）解：4月份采购数量： 普通帐篷数量：顶，星空帐篷数量：顶， 5月份采购条件：普通帐篷：数量25顶，新进价为元，总费用：元； 星空帐篷：数量为顶，新进价为元， 由总采购费为12000元，列方程： 化简整理得： 因为， 所以 41．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 (1)任务1：求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． (2)任务2：为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)75元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意，得出1月份的销售量3月份销售量，列出方程求解即可； （2）设每件售价为元，根据单件利润销售量总利润，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为； （2）解：设每件售价为元， 依题意，得， 解得：，； ∵为了尽快减少库存 ， 答：每件售价应为75元． 42．APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． (1)求帆布袋与染料的单价； (2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 【答案】(1)每个帆布袋单价为 16 元，每套染料单价为 20 元 (2)售价应定为 35 元 【分析】（1）设未知数建立方程组求解帆布袋与染料的单价即可； （2）根据利润公式建立方程求解售价即可． 【详解】（1）解：设每个帆布袋单价为x元，每套染料单价为y元． 根据题意列二元一次方程组， 解得， 答：每个帆布袋单价为16元，每套染料单价为20元； （2）解：每套染料可制作5个帆布袋，单个帆布袋分摊染料成本（元）， 单个成品帆布袋总成本：（元）， 设单个售价上涨m元， 则由题意可列方程， 解得， 此时售价：（元）， 答：售价应定为35元． 题型十五 动态几何问题 43．如图，在直角梯形中，，，，．点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点P运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当四边形为平行四边形时，求四边形的周长； (3)在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16 (2) (3)存在，满足条件的的值为秒或秒 【分析】（1）过点作于，根据题意证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质以及勾股定理可得结果； （2）当四边形是平行四边形，则点在上，点在上，则，，根据平行四边形的性质可得，求解得出平行四边形的各边长，求其周长即可； （3）分两种情况进行讨论：①当点在线段上时；②当点在线段上时；根据三角形面积列方程计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ，， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， 在中，， ∴根据勾股定理得，， ； （2）解：当四边形是平行四边形， 则点在上，点在上， 如图， 由运动知，，， ， ， 此时，，，根据勾股定理得，； 四边形的周长为； （3）解：①当点在线段上时，即：时， 如图， ， ； ②当点在线段上时，即：时， 如图， ，， ， 或（舍）， 即：满足条件的的值为秒或秒． 44．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或4时，的面积为 【分析】（1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或4时，的面积为． 45．如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)两动点运动几秒时，四边形的面积是长方形面积的？ (2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)存在，或 【分析】（1）要使四边形的面积是长方形面积的，此时点P应在上，才能构成四边形．根据路程速度时间，分别用t的代数式表示、的长，再根据梯形的面积公式列方程求解； （2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑． 【详解】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形的面积是长方形面积的． 根据题意，得，，， 长方形的面积， ， ， 解得：， 所以，两动点运动秒时，四边形的面积是长方形面积的． （2）解：存在，理由如下： 设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为． 点P到达B时，；点P到达C时，，      ①当时，如图①，过点作于点， 四边形是长方形， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：，； ②当时，如图②， ， 由勾股定理得：， ， ， 此时，此方程无解． 综上所述，当两点运动时间为或时，点P与点Q之间的距离为． 题型十六 行程问题 46．如图，某海军基地位于处，在其正南方向20海里处有一重要目标，在的正西方向20海里处有一重要目标，小岛位于的中点，岛上有一补给码头；一艘军舰从出发，经到匀速直线巡航． (1)为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处，求军舰原来的速度是多少？ (2)在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰航行的总路程是补给船的3倍，军舰在由到的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里？ 【答案】(1)军舰原来的速度是海里； (2)补给船航行了海里． 【分析】（1）设原来的速度为v海里，则调整后的速度为海里，先求出总路程，再根据题意列分式方程求解即可； （2）连接交中点于F，则是的中位线，可知海里，海里，，设相遇时补给船航行了海里，则海里，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设原来的速度为v海里，则调整后的速度为海里， 由题意可知海里，海里， 则总路程为（海里）， ∵军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴军舰原来的速度是海里； （2）解：取的中点，连接， 则是的中位线， ∴海里，海里，， 设相遇时补给船航行了海里，即海里， ∵军舰航行的总路程是补给船的3倍， ∴军舰路程为海里， 则海里， ∴海里， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 当时，与重合，为正南方向，不符合“南偏东”的条件，舍去， ∴补给船航行了海里． 47．如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 48．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【答案】(1)2， (2)4秒 【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公式．解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过列方程求解；解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均数）以及路程公式即的应用；易错点是在求解时间时，忽略小球停止运动的时间限制（5秒），导致误选不符合实际的解． （1）根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少量；再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式． （2）先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即建立关于时间t的一元二次方程，求解后结合小球停止时间的限制，舍去不符合实际的解，得到最终时间． 【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：（米/秒）． 从开始滚动t秒后，速度减少了米/秒，所以此时速度为：（米/秒）． 故答案为：2，． （2）根据题意，平均速度． 因为运动路程即，且米， 解得，． 因为小球5秒后停止运动，不符合实际情况，舍去． 答：小球滚动24米用了4秒． 题型十七 一元二次方程新定义问题 49．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的伴随方程，其中a，b，c为常数（且a，）．根据此定义解决下列问题： (1)若是一元二次方程的伴随方程的一个根，求出c的值． (2)若m，n为一元二次方程的两个根，且． （ⅰ）若，，求一元二次方程的伴随方程． （ⅱ）求证：一元二次方程的伴随方程的两个根分别为，． 【答案】(1) (2)（i）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）由题意得出一元二次方程的伴随方程为，将代入求解即可； （2）（ⅰ）根据一元二次方程根与系数关系得出，结合，求出．结合，即可得，．根据一元二次方程根与系数关系得出，即可求出，得出一元二次方程的伴随方程； （ⅱ）根据一元二次方程根与系数关系得出，．再根据题意得出一元二次方程的伴随方程为，设的两个根为，，根据一元二次方程根与系数关系得出，．又，，即，，即可证明； 【详解】（1）解：由题意可知一元二次方程的伴随方程为， 将代入中，得，解得． （2）解：（ⅰ）∵m，n为一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ， 解得． ， ，． ，， ， 解得， 一元二次方程的伴随方程为． （ⅱ）证明：，n为一元二次方程的两个根， ，． 一元二次方程的伴随方程为， ∴设的两个根为，，则，． ，， ，， 一元二次方程的伴随方程的两个根分别为，． 50．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 51．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”． (1)根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2)1或 (3)1或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程，新定义“同一根方程”． （1）分别求出三个方程的解，根据“同一根方程”的定义进行判断即可； （2）先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同一根方程”，分情况求解即可； （3）一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， ∴ 可得：，； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同一根方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同一根方程”， 或， 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根1，符合题意； 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根，符合题意。 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级下·全国·期末）若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 2．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足四个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：方程中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故A错误； 对于选项B：方程中未说明，当时，方程不是二次方程，故B错误； 对于选项C：整理，得，符合一元二次方程的定义，故C正确； 对于选项D：整理，得，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，故D错误． 3．（2026·北京平谷·二模）关于的方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】根据即可判断． 【详解】解：， ， ， 可得，即， 方程无实数根． 4．（2026·北京顺义·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当方程有两个不相等的实数根时，判别式，代入系数列不等式即可求解． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得 ， 解得 ． 5．（2026·江苏宿迁·二模）已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，对作差结果配方后，利用平方数的非负性判断差的符号，即可得到与的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴， 去括号整理得：， 即：， ∵为实数，任意实数的平方非负，可得， ∴，即， ∴． 6．（25-26八年级下·北京顺义·期中）若关于的方程是一元二次方程，则应满足的条件是__________． 【答案】 【分析】一元二次方程的定义，未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列出等式与不等式求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解 ，得， 即， 又都满足， 故． 7．（25-26八年级下·北京·期中）用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 【答案】 12 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题关键，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行计算即可. 【详解】解：方程，两边加上，得 ， 即. 8．（2025·吉林·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解不等式得， 即的取值范围是． 9．（25-26八年级下·北京·课后作业）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥．一元二次方程共有 _______个． 【答案】3 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足三个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，方程为整式方程． 【详解】解：①满足概念，是一元二次方程； ②满足概念，是一元二次方程； ③含有分式，不满足概念，不是一元二次方程； ④满足概念，是一元二次方程； ⑤含有两个变量，不满足概念，不是一元二次方程； ⑥，化简后为，不含二次项，不满足概念，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有3个． 10．（25-26九年级上·江西赣州·期末）有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得体验区为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得，． 故答案为：． 11．（25-26八年级下·北京·期中）解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次方程即可； （2）利用直接开平方法求解一元二次方程即可； （3）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解：， ， ∴，， 解得，； （3）解：， ，，, ， ∴， 解得，． 12．（25-26八年级下·浙江·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)，． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 则或， 解得：，． 13．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求实数k应满足的条件． (2)当k取最大整数时，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知其判别式大于0，据此列出关于k的不等式，求解不等式即可得到k的取值范围； （2）先根据（1）中k的取值范围确定k的最大整数值，再将其代入原方程，最后利用根与系数的关系求出的值． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得． （2）解：的最大整数为， ， ∴，， 则． 14．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求的值和它的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)当时，方程的另一个根为；当时，方程的另一个根为 【分析】（1）根据证明即可． （2）利用一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵一元二次方程，且 ∴ ， 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：设是方程的两个根， 则，， 不妨设， ∴把代入方程得：， 故， 整理，得， 或， 当时，， 解得，此时方程的另一个根为； 当时， 解得， 此时方程的另一个根为． 15．（25-26九年级上·北京丰台·期末）近年来，人工智能技术飞速发展，作为其硬件核心的芯片的算力（通常以为单位衡量）也在持续提升．某科技公司在2023年底发布了一款新型训练芯片“玄光Ⅰ代”，其单芯片峰值算力为（）．在2025年底，其新一代芯片“玄光Ⅲ代”的单芯片峰值算力达到．求该公司这款芯片的单芯片峰值算力的年平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设年平均增长率为x，根据题意列出方程，然后求解方程得到x的值即可． 【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得：， 解得：（舍），， ∴年平均增长率为． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 16．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系求出的可能取值，再根据方程有两个实数根的要求，通过判别式检验舍去不符合的解，得到最终结果． 【详解】解：将原方程整理为一般形式， 对于一元二次方程，可得， ∵ 一元二次方程两根之和满足，且已知， ∴， 解得或， ∵方程有两个实数根， ∴ 判别式， 代入得， 当时，，符合要求， 当时，，不存在两个实数根，舍去， ∴． 17．（2026·江苏宿迁·二模）设是方程的两个根，则代数式的值等于（    ） A． B．4 C． D．12 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，得到，，，然后通过将高次项降次后得到，然后代入求值． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，，， ∴，， ∵， ∴原式 ． 18．（2022九年级上·湖南湘西·竞赛）关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题需要结合一元二次方程定义，二次根式有意义的条件，根的判别式和根同号的要求，列出不等式组求解即可． 【详解】解：原方程是关于的一元二次方程，且含二次根式， 且， 解得：且， 方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 两个根同号，同号两数乘积为正，两根乘积为， ，即， 综上所述，可得：． 19．（2026·北京·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等的实数根时，判别式，代入方程系数即可求解的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 其中，，，代入得：， 整理得， 解得． 20．（2026·河南南阳·一模）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据新运算定义整理得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，再选出符合条件的选项即可． 【详解】解：由新运算定义可得， 因此方程可化为， 整理得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 化简得， 解得， 观察选项，仅有D选项的满足． 21．（2026九年级下·北京·专题练习）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有实数根，结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴根的判别式，其中，，， 即， 整理得 ， 解得 ． 22．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）若m是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】由m是方程的一个根，可得，再进一步代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 23．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为_____________． 【答案】/ 【分析】对所求一元二次方程整理变形后，利用换元法得到与已知方程形式一致的方程，结合已知方程的根求出所求方程的根即可． 【详解】解：将方程变形为， 设，则可得， ∵一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 即， 解得， ∴一元二次方程必有一根为． 24．（2025九年级下·北京·专题练习）学生会举办摄影展览，在每张长和宽分别为厘米和厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸(如图)．经试验彩纸面积为相片面积的时较美观，则彩纸条的宽为_____． 【答案】厘米 【分析】本题考查一元二次方程在面积问题中的实际应用，关键是结合彩纸与相片面积的数量关系建立方程求解．首先设彩纸宽为厘米，分析得出镶彩纸后大长方形的长和宽；然后根据“彩纸面积=大长方形面积-相片面积”列出一元二次方程；最后解方程并舍去不符合实际的负根，得到彩纸的宽． 【详解】解：设彩纸条的宽为厘米． 镶上彩纸后，大长方形的长为厘米，宽为厘米，其面积为平方厘米； 由彩纸面积=大长方形面积-相片面积，可列方程： ， 化简整理得：， 因式分解得：， 解得：，(舍去)； 故答案为：厘米． 25．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知是关于的方程（为有理数，且）的一个根，则该方程的另外两个根分别是_____，_____． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，由方程可得或，即得或，进而根据是方程的一个根即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或，即， ∵是关于的方程的一个根，为有理数， ∴，的一个值是， ∴是方程的另外一个根， ∴该方程的另外两个根分别是和， 故答案为：，． 26．（25-26九年级上·陕西西安·期末）解方程：． 【答案】 【分析】方程运用公式法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， 即． 27．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明解答过程开始出错的是_______； (2)写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)第三步 (2)见解析 【分析】（1）将方程化为一般形式，再根据公式法解一元二次方程的步骤进行判断即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：小明的解答是从第三步开始出错的； （2）解：方程化为一般式为， ， ， ， ． 28．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根． (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 ． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）先解方程得出，，再分两种情况：当时，当时，分别列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：， 该方程总有两个实数根； （2）解：∵， ， 解得：，， 方程的一个根是另一个根的3倍， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或 ． 29．（2026八年级下·北京·专题练习）2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成A，B两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），A礼盒中有个肉松青团，B礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，A，B两种礼盒的销量分别为盒、盒，A，B两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 【答案】(1)每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元 (2)6 【分析】（1）设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元，根据“6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元”列方程求解即可； （2）降价后，肉松青团单价为元，红豆青团单价为元，则每盒A礼盒有个肉松、个红豆，单盒价格为；每盒B礼盒有个红豆、个肉松，单盒价格为；根据“A，B两种礼盒的销售总额为4100元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元， 由题意得： 解得， ∴每个红豆青团的价格为（元）， 答：每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元； （2）解：由题意得，降价后，肉松青团单价为（元），红豆青团单价为（元）， 则每盒A礼盒：个肉松、个红豆，单盒价格为； 每盒B礼盒：个红豆、个肉松，单盒价格为； 根据题意，得 解得，（不符合实际，舍去）， 即m的值为6． 30．（25-26八年级下·北京·期末）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（门不用栅栏，处使用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米． (1)的长为 米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【答案】(1) (2)或 (3)解：假设该实验田的面积能为240平方米， ∴， ∴， ∴， 方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 【分析】（1）直接根据建造要求计算即可； （2）根据“面积为180平方米”求出x的值，再根据墙长求出x的取值范围，进而可知x的值； （3）假设该实验田的面积能为240平方米，列出方程，根据根的判别式判断即可． 【详解】（1）解：由题意得：米； （2）解：由题意得：， 解得：， 又∵， ∴， ∴或； （3）略． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 31．（25-26八年级下·北京·期中）若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求方程整理变形，使其与原方程结构一致，通过换元利用已知方程的解求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为 ∴ 整理所求方程 移项得 提取公因式得 令，则方程变为，与原方程结构完全相同，故该方程的一个解为 即 解得 因此所求方程必有一解为 32．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若实数、满足，且，则的值是（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】整理等式确定是同一个一元二次方程的两个不相等的实根，再利用根与系数的关系求出和，最后通分计算目标代数式即可． 【详解】解：实数，满足， ，且， 整理第二个等式得， 和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系，可得，， ． 33．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】D 【分析】根据“伙伴方程”的定义可得可以变形，展开成一般式后根据系数相等列方程解得，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵与是伙伴方程， ∴可以变形， 即， ∴，， 解得，， ∴， ∴代数式能取的最大值是． 34．（25-26九年级上·广东广州·期末）形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为和的矩形，围成一个边长为的大正方形（四个矩形彼此不重叠）．得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．羊羊同学按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为，则图2所示的大正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法的几何意义与方程求解，先利用方程的解求出参数的值，再根据几何构造的面积关系求出大正方形的面积． 【详解】解：将方程的正数解代入方程，得， 展开化简：，解得． 根据图2的构造，大正方形的边长为， 代入、，得边长为， 因此大正方形的面积为； 故选：D． 35．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（      ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 设运动时间为，则，，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 设运动时间为，则，， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 36．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为______________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，由一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据整数，是正整数，可得出或，然后分情况求出c的值，再验证即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和， ∴， ∵， ∴， 即可得出：，， ∵整数，是正整数， ∴或， 根据题意可知：， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 综上：或． 故答案为：或． 37．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图），所围成花圃面积为平方米；设花圃垂直于墙的边长为x米．则可列方程_______．（不用化简） 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用表示出的长是解答本题的关键． 用篱笆的总长减去段垂直于墙的边长，然后加上两个门的长可表示出的长，然后再根据长方形面积公式列一元二次方程即可． 【详解】解：设花圃垂直于墙的边长为x米， 则， 根据题意可得， 故答案为：． 38．（25-26九年级上·四川凉山·期末）若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为______． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，由题可得m、n是的两个根，整理得到，从而得到，的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵m、n是两个不相等的实数，且满足，， ∴m、n是，即的两个根， 根据根与系数的关系，得，， ∴ ， 故答案为：6． 39．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ____________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根等知识，通过变形的方程，得到满足与相同的二次方程，从而利用根与系数的关系求出与 的和与积，进而代入表达式求值． 【详解】解：由，且（因为若，代入方程得，矛盾）， 两边除以，得， 又， 所以和是方程的两个根， 根据根与系数的关系，有，，即， 所以， 代入原式：， 将代入， 分子为， 分母为． 由，得， 代入分子：， 分母：， 所以原式． 故答案为：． 40．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根及配方法求代数式的最小值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据“和美方程”的定义，将代入方程得到与的关系式，再代入所求表达式，通过配方法求最小值． 【详解】方程是“和美方程”， 是它的一个根， 将代入方程得：， 即， ， 配方得：， 由于， 当时，取得最小值， 故答案为：． 41．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)的取值范围是； (2)． 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后由，再代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴即， 解得：， ∴的取值范围是； （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∴ ， ∴， 解得：，， ∵， ∴舍去， ∴． 42．（25-26八年级下·浙江台州·期中）根据以下素材，完成任务． 素材一 文创小店推出定制纪念徽章，2月份售出40枚，4月份售出90枚，该徽章的月销售量呈持续增长趋势． 素材二 已知该徽章的单件进货成本为10元，小店制定批量购买规则：一次购买该徽章不超过60枚，按单件25元销售；若一次购买超过60枚，每多购买1枚，所购全部徽章的单件售价均降低0．2元，且单件售价不低于24元． 问题解决 问题解决： (1)任务一：求该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率； (2)任务二：若顾客批量购买该徽章，小店恰好获利910元，求该顾客此次购买的徽章数量及对应的单件销售价． 【答案】(1)月平均增长率为 (2)该顾客此次购买徽章枚，对应单件销售价为元 【分析】（1）设月平均增长率为，利用初始销量和增长两个月后的销量关系列一元二次方程，舍去不符合题意的负根得到结果； （2）先确定购买数量的范围，判断获利元时购买数量一定超过枚，再结合单件售价的限制，根据总利润公式列一元二次方程求解，舍去不符合限制条件的解得到最终结果． 【详解】（1）解：设该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率为， 根据题意可得 ， 解得 ，（增长率为负不符合题意，舍去）， 答：该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率为； （2）解：设该顾客此次购买徽章枚. 根据单件售价不低于元可得， 解得， 当时，获利（元）， ∵， ∴， 根据题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，单价为（元）， 答：该顾客此次购买徽章枚，对应单件销售价为元． 43．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程有两个实数根为． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据方程的系数结合，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于k的方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由根与系数的关系可得出，，， ， ， 解得或， 由（1）知，不满足，舍去；满足所有条件， 故存在实数． 44．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图,矩形中，，，点P从A点出发沿方向匀速运动,速度为；同时点Q从B点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为（），解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)当时,四边形的面积为 (2)时, (3)时, 【分析】（1）根据列方程求解即可； （2）根据勾股定理得，再列方程求解即可； （3）根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， 由题意，得，，，， ， ， 整理，得， ，（舍去）， 当时，四边形的面积为． （2）解：由勾股定理，得，， 当时，， 所以， 即， 解得，（舍去）， 时，． （3）解：连接， 若， ， ∴， 即， 解得， 时，． 45．（25-26八年级下·浙江·期中）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为、，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：（，），特征数对； 方程②：（，），特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”． 解答下列问题： (1)【概念辨析与计算】已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”． ①则该方程的两根分别为 ， ； ②若其特征数对为，求k的值． (2)【关联探究与推理】若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为，和，．请用含a，b的代数式表示p，q． (3)【验证与拓展】某同学利用工具生成了“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值． 【答案】(1)①，；②1 (2)； (3) 【分析】（1）①解方程，得或，因此两根为和； ②根据方程的特征数对为，得出 ，， 根据韦达定理得出，，则，求解即可． （2）根据方程的根为，由韦达定理得，，根据方程的根为，由韦达定理得：，即，代入得，整理得．两根积：，得． （3）解方程，得出，得出方程B的特征数对，．对方程A：，由韦达定理得，，则，，根据“关联全整根方程”定义得出，结合，得，求出，根据方程A是“全整根方程”，得出是非负完全平方数，即可解答． 【详解】（1）解：①， ∴， 解得：或， 因此两根为和； ②∵其特征数对为， ∴ ，， ∵，， ∴， 由第二个方程得， 代入第一个方程验证：时，，符合要求； 时，舍去，因此． （2）解：∵方程的根为， 由韦达定理得，， ∵方程的根为， 由韦达定理得：，即， 代入得， 整理得． 两根积：，展开得， 代入，得， 因此． （3）解：， ∴，解得：， ∴方程B的特征数对：，． 对方程A：， 由韦达定理得，， ∴（），， ∵“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程A：是“全整根方程”， ∴是非负完全平方数， ∴时，，符合，此时； 时，，符合，此时； 其余n均不满足为非负完全平方数，因此的最大值为9． 1 / 4 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