17.面积法 讲义-2026届高三数学二轮专题

专题17 面积法 【练】 1. 正月十六登高是“中国石刻艺术之乡”“中国民间文化艺术之乡”四川省巴中市沿袭千年的独特民俗.登高节前夕，李大伯在家门前的树上挂了两串喜庆彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过秒的概率是（    ） A． B． C． D． 2. 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；⑤四向倾斜.记三种盖法是屋顶面积分别为、、，若屋顶倾斜面与水平面所成的角都是，则（ ） A． B． C． D． 3. 已知椭圆的左､右焦点为，左､右顶点为，上､下顶点为，若四边形的面积是四边形的面积的2倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4. 已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形（如图所示），则顶点对应的点到轴的距离是（    ） A． B． C． D． 5. 在三角形ABC中，，设，，则 . 6. 已知椭圆，和是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若的内切圆半径为，，，则椭圆离心率为 ． 1. 在中，内角所对的边分别为，若，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 2. 在中，角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①若，则一定为等腰三角形 ②若，则一定为锐角三角形 ③若，，则面积的最大值为 A．0 B．1 C．2 D．3 3. 如图，已知椭圆的左､右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则的值为（    ）    A． B．2 C． D． 4. 设抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上（    ） A．若直线经过焦点且满足，则若直线的倾斜角为或； B．若直线不经过焦点且交轴于点，且抛物线过点，则与的面积之比是； C．若为准线上任意一点，且直线均为抛物线的切线，则直线必过焦点； D．若直线不经过焦点且交轴于点， 连并延长交抛物线于另一点，连并延长交抛物线于另一点，则． 5. 如图，在单位正四面体中，、、分别在棱、、上，满足，.则面与面所夹锐角的余弦值为 . 6. 在中，角所对的边分别为的平分线交于点，且，则满足的方程关系为 ；的最小值为 . 1. 设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，与抛物线的准线相交于点 ， ，则 与 的面积之比 等于 A． B． C． D． 2. 已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3. 已知在直角坐标系中，抛物线（为参数）的焦点为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线交于、两点，与轴相交于点，，则与的面积之比 ． 4. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ． 5. 疫情期间，某校使用视频会议的方式上网课． (1)调查知前7天能完成全部网课的班级数y如下表所示： 第t天 1 2 3 4 5 6 7 y 3 4 3 4 7 6 8 已知y与t具有线性相关关系，求y关于t的线性回归方程；（t的系数精确到0.01） (2)假定某天老师甲和学生乙两人需要在本班视频会议中见面，且两人在上午9时至11时的时间段中随机进入本班的视频会议中，求这两人等待不超过0.5小时的概率． 参考公式：在线性回归方程中，， 参考数据：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 面积法 【练】 1. 正月十六登高是“中国石刻艺术之乡”“中国民间文化艺术之乡”四川省巴中市沿袭千年的独特民俗.登高节前夕，李大伯在家门前的树上挂了两串喜庆彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过秒的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为、，由题意可得，，要满足条件，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案. 【详解】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为、， 由题意可得，， 它们第一次闪亮的时刻相差不超过秒，则， 所以全部基本事件构成的区域为， 符合题意的区域为如图所示， 由几何概型可知，所求概率为， 故选：D 2. 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；⑤四向倾斜.记三种盖法是屋顶面积分别为、、，若屋顶倾斜面与水平面所成的角都是，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都相等，且三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积均相等，由面积射影公式影=侧，知屋顶面积、、，均相等． 【详解】∵三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都是，三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积都相同，射影面积可设为， 则由面积射影公式，得： ∴． 故选:D． 3. 已知椭圆的左､右焦点为，左､右顶点为，上､下顶点为，若四边形的面积是四边形的面积的2倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，计算即可. 【详解】由题意可得，整理得，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 4. 已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形（如图所示），则顶点对应的点到轴的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴交轴于点，由三角形的面积公式求出正三角形的边长，利用正弦定理求出的长，即可得出顶点对应的点到轴的距离是，即可得解. 【详解】过点作轴交轴于点，如下图所示： 设正三角形的边长为，则，解得， 在中，，， ， 由正弦定理，即， 可得， 因此，顶点对应的点到轴的距离是. 故选：D. 5. 在三角形ABC中，，设，，则 . 【答案】 【分析】利用三角形面积公式及面积比即可求解. 【详解】记 ，则， 因为，所以，所以 故答案为： 6. 已知椭圆，和是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若的内切圆半径为，，，则椭圆离心率为 ． 【答案】 【详解】设周长为，则，又，则，又，则，故填：. 1. 在中，内角所对的边分别为，若，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用三角函数的基本关系化简得，再结合余弦定理以及基本不等式知识得，则三角形面积的最大值可求. 【详解】对进行化简， 通分可得， 即，又，解得； 已知，由余弦定理，可得， 根据基本不等式（当且仅当时取等号）， 则，可得， 三角形面积，当且仅当时等号成立, 故选：A. 2. 在中，角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①若，则一定为等腰三角形 ②若，则一定为锐角三角形 ③若，，则面积的最大值为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】①根据正弦定理及二倍角公式化解可得或，进而判断即可；②结合平面向量的定义可得，即可得到为锐角，进而判断即可；③根据余弦定理及基本不等式可得，进而结合三角形的面积公式求解判断即可. 【详解】①由，根据正弦定理得， 则，所以或， 则或，所以为等腰三角形或直角三角形，故①错误； ②由，则，所以为锐角， 此时不一定为锐角三角形，故②错误； ③由余弦定理得， 则，当且仅当时等号成立， 则，故③正确. 故选：B. 3. 如图，已知椭圆的左､右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则的值为（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据等面积法，由此可求出所求的值. 【详解】由题意知的内切圆的半径为， 又， 所以的面积， 因为， 所以. 故选：D 4. 设抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上（    ） A．若直线经过焦点且满足，则若直线的倾斜角为或； B．若直线不经过焦点且交轴于点，且抛物线过点，则与的面积之比是； C．若为准线上任意一点，且直线均为抛物线的切线，则直线必过焦点； D．若直线不经过焦点且交轴于点， 连并延长交抛物线于另一点，连并延长交抛物线于另一点，则． 【答案】ABC 【分析】设，对于A，根据向量的关系，分别求得点的坐标，从而求得斜率和倾斜角；对于B，由条件写出抛物线方程，与若分别选择BC和AC作底，因为E点到AC的距离与到BC的距离相等，则高相等，则与的面积之比即，然后由抛物线定义证得结论；对于C，设，设出过M点的抛物线的切线方程，与抛物线联立，判别式等于0，并求得，从而求得坐标，写出直线的方程，验证是否过定点即可；对于D，取，，直线AB的方程为，从而与抛物线联立，结合焦点弦的性质，求得四个点的坐标，从而求得直线的斜率，与直线AB的斜率比较即可. 【详解】设， 对于A，若，则，从而， 由抛物线定义知，，解得，， ，或，， ，或， 则直线的倾斜角为或，故A正确； 对于B，由抛物线过点知，抛物线方程为， 由平行线的性质及抛物线定义知， 与若分别选择BC和AC作底， 因为E点到AC的距离与到BC的距离相等，则高相等， 则与的面积之比即，故B正确； 对于C，设，过M点的抛物线的切线方程为， 设，， 联立，化简得，① 由相切关系知，， 则，②，且，，③， 此时解得①方程的解为，，④ 则直线AB的斜率，结合③④知， ， 则直线AB的方程为，代入④及，化简得： ，由②知， 则AB的方程为，易知其过定点，即抛物线焦点，故C正确； 对于D，由于题干未要求N点在x轴上的位置，也未对直线斜率作要求， 故设，，直线AB的方程为，如图所示， 联立，化简得，解得，， 故，，则由抛物线的焦点弦性质知，，， 此时直线的斜率为， 此时相交，故D错误； 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：过定点问题，需要求得动直线的方程，求解过程中需要设方程，与圆锥曲线联立，从而求得直线方程中的参数间关系，从而证明是否过定点. 5. 如图，在单位正四面体中，、、分别在棱、、上，满足，.则面与面所夹锐角的余弦值为 . 【答案】 【详解】如图，记与交于点，并设面与面所成的锐角大小为. 作面于点.延长交于点.易知是的中心.则，. 又，，因此，、 、三点共线，是的中点.由，知面. 故在面上的投影为.由面积射影定理得 6. 在中，角所对的边分别为的平分线交于点，且，则满足的方程关系为 ；的最小值为 . 【答案】 a＋c＝ac 9 【分析】空1：根据面积关系，结合三角形面积公式化简整理即可；空2：由可得，利用“乘1法”结合基本不等式运算求解. 【详解】空1：∵，则 即，整理得 空2：∵，则 ，当且仅当时等号成立 ∴的是小值为9 故答案为：；9. 【点睛】利用基本不等式破解三角形中的最值问题时，当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值. 1. 设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，与抛物线的准线相交于点 ， ，则 与 的面积之比 等于 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图过作准线的垂线，垂足分别为 又 由拋物线定义 由 知， 把 代入上式，求得 故 故选A． 2. 已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设条件，利用表示，根据平面向量基本定理得出系数间的关系式，利用三角形面积公式得出所求比值为，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 如图，延长交于点，因为为的重心，所以点是的中点， 则， 因为三点共线，所以可设， 设，则， 所以，即， 又因为为的重心，所以， 所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 3. 已知在直角坐标系中，抛物线（为参数）的焦点为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线交于、两点，与轴相交于点，，则与的面积之比 ． 【答案】 【分析】将化为普通方程，化为直角坐标方程，利用求得，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可求得且，利用两点间距离公式可求得和，根据求得结果. 【详解】由参数方程可得其普通方程为：，则 直线的直角坐标方程为：，即     设，，则     由得： ，     ，解得： 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程，极坐标与直角坐标的互化.解决本题的关键是能够将问题转化为线段长度的比值. 4. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出． 【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式 由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即， 因此 当且仅当时取等号，则的最小值为. 故答案为：. ［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式 由三角形内角平分线性质得向量式． 因为，所以，化简得，即，亦即， 所以， 当且仅当，即时取等号． ［方法三］：解析法＋基本不等式 如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以． 下同方法一． ［方法四］：角平分线定理＋基本不等式 在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一． ［方法五］：正弦定理＋基本不等式 在与中，由正弦定理得． 在中，由正弦定理得． 所以，由正弦定理得，即，下同方法一． ［方法六］： 相似＋基本不等式 如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则． 由，得，即，从而．下同方法一． 【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解； 方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大； 方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值； 方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大； 方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多； 方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单． 5. 疫情期间，某校使用视频会议的方式上网课． (1)调查知前7天能完成全部网课的班级数y如下表所示： 第t天 1 2 3 4 5 6 7 y 3 4 3 4 7 6 8 已知y与t具有线性相关关系，求y关于t的线性回归方程；（t的系数精确到0.01） (2)假定某天老师甲和学生乙两人需要在本班视频会议中见面，且两人在上午9时至11时的时间段中随机进入本班的视频会议中，求这两人等待不超过0.5小时的概率． 参考公式：在线性回归方程中，， 参考数据：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由公式计算线性回归方程； （2）数形结合，求面积型几何概型. 【详解】（1）由题可知，， ，，，， 所以， ，所以关于的线性回归方程为． （2）记9时为0时，11时为2时，设老师甲进入的时间为x，学生乙进入的时间为y， 则，其对应的区域如图中正方形所示， 若这两人等待不超过0.5小时，则，其对应的区域如图中阴影部分所示． 记“这两人等待不超过0.5小时”为事件A， 则． 故这两人等待不超过0.5小时的概率为． 6. 在中，内角的对边分别为，设的面积为，分别以为边长的正三角形的面积依次为且． (1)求； (2)设的平分线交于点，若，，求的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用三角形面积公式化简，结合余弦定理及三角形面积公式求， （2）法一：由（1）及三角形的面积公式及的大小得到，结合余弦定理求，进而求；法二：由（1）得，边角关系得，进而求. 【详解】（1）由题意，，，则． 由余弦定理得，所以，又， 所以，则，又，所以． （2）法一：由（1）知，又， 所以，所以，所以． 由余弦定理可得，得，， 所以，所以， 在中． 法二：由（1）知，，整理得， 由正弦定理得，又，所以， 因为，所以， 由，，得． 在中，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17　面积法 【讲】 面积法，就是在图形的变换过程中，以同一面积的不同表示为基础，以面积相等或比例关系为纽带，实现图形之间或几何与代数之间相互转化的方法． 类型一 解三角形、立体几何、平面向量中的面积法 【典例1】在中，内角的对边分别为，已知，求： （1）的周长的取值范围； （2）边上的中线长的取值范围； （3）的内切圆半径的取值范围． 【方法引导】 因为，由平面几何知识知点的轨迹为圆弧，当点运动时，的形状与大小随之发生变化，可借助图形直观地解决问题． 【详细解析】 （1）由知，即，说明周长随面积同步变化． 由题意，点的轨迹为圆弧，由对称性，取其中一半考虑． 如图，设的中垂线与圆弧交于点，则为直径的一个端点．结合图形可知，当点由点（或）沿圆弧运动到点时，的高逐渐变大，逐渐变大．所以当点无限靠近点（或）时，的周长趋向于2；当点位于点处时，的周长的最大值为3．所以． （2）取的中点，则边上的中线为，根据平行四边形的性质有，即， 则，说明中线的长随面积同步变化． 当点无限靠近点（或）时，趋向于；当点位于点处时，．所以． （3）由，得， 因为，所以， 又，所以． 【方法反思】 在中，若已知一边，如，则从形式上看，与三角形的面积对应，与三角形的周长对应，与三角形的中线长对应，内切圆半径可以用表示．又，说明三者可以相互转化，则关于周长、中线长、内切圆半径的问题均可转化为面积来考虑． 【典例2】如图，正六边形的边长为1，对角线与过点的直线分别相交于点，若，则的值是（ ）． A． B． C． D．1 【方法引导】 正六边形的对角线的长为定值，，则与有关，进而可转化为面积之比来解决． 【详细解析】 设，则， 设，则，， 又，， ， 由，得，而，解得． 再由，得，故选D． 【方法反思】 与线段之比有关．先把线段之比转化为面积之比，再利用面积分割建立关于的方程，求出的值，也就得到了的值． 【举一反三】 1. 已知袋子中放有大小和形状相同，标号分别是0，1，2的小球，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球1个.从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的球标号为b. 记“”为事件A． (1)求事件A的概率； (2)在区间内任取2个实数x，y，求事件“”恒成立的概率. 2. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 3. 已知三角形内角对边分别为，向量，且. (1)求角； (2)若，三角形边上有一点，求的长； (3)角的平分线交于点，且，求面积最小值. 类型二 解析几何中的面积法 【典例1】如图，设椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，则＝_______． 【方法引导】 的周长为定值，又可算出三角形的内切圆半径，则可算出的面积，将面积用铅垂高乘水平宽表示，即可算出． 【详细解析】 椭圆的左、右焦点分别为， 的内切圆的面积为，则的内切圆半径． 的面积． 又，所以． 【方法反思】 本题利用面积转换，即，简捷地计算出． 在中，内角所对的边分别为，三角形的外接圆半径为，内切圆半径为，边上的高为，记，则有： ． 三角形的面积有多种表示形式，解题时可根据题目条件灵活使用． 【典例2】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）． A． B． C． D． 【方法引导】 观察与的几何特征，发现两个三角形同底不同高，可知，据此得出结论. 【详细解析】 ，故选A． 【方法反思】 几何转化：利用点 共线及与同底 ，将与的面积比简化为线段比 抛物线性质：结合焦点公式 ，将线段比转化为坐标比进而求出比值 . 核心技巧：紧扣共线条件和定义，避免复杂计算，直接关联几何与代数表达式。 【举一反三】 1.已知椭圆的左右焦点分别为，，过右焦点作直线交椭圆于，，其中，，、的重心分别为、． （1）若坐标为，求椭圆的方程； （2）设和的面积为和，且，求实数的取值范围． 2. 已知椭圆，其中为左、右焦点，O为坐标原点.直线l与椭圆交于两个不同点.当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为时，原点O到直线l的距离为.又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为. （1）求椭圆C的方程； （2）以OP，OQ为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形OQNP面积为时，求平行四边形OQNP的对角线之积的最大值； （3）若抛物线为焦点，在抛物线C2上任取一点S（S不是原点O），以OS为直径作圆，交抛物线C2于另一点R，求该圆面积最小时点S的坐标. 3. 已知双曲线的左、右顶点分别是，，点在双曲线上，且直线，的斜率之积为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，分别是双曲线的左、右焦点，点G是圆上的动点，若K是双曲线左支上一动点，求的最小值； (3)已知两平行直线和，直线过点交双曲线的右支于A，B两点，直线过点交双曲线的右支于C，D两点，记AB，CD的中点分别为P，Q，过点Q作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N．求四边形PMQN面积的取值范围． 1. 比利时数学家旦德林发现：两个不相切的球与一个圆锥面都相切，若一个平面在圆锥内部与两个球都相切，则平面与圆锥面的交线是以切点为焦点的椭圆．如图所示，这个结论在圆柱中也适用．用平行光源照射一个放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影区域内（含边界）有一点，若平行光与桌面夹角为，球的半径为，则点到球与桌面切点距离的最大值为（    ）      A． B． C． D． 2. 设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（    ） A． B． C． D． 3. 在中，角､､所对的边分别为､､，，的平分线交于点，且，则的最小值为 . 4. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求角A的大小； (2)设D是边上一点，平分，，证明：． 5. 已知抛物线的焦点到x轴的距离为，过点的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为和，已知与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：点P在定直线上； (3)若的面积为，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17　面积法 【讲】 面积法，就是在图形的变换过程中，以同一面积的不同表示为基础，以面积相等或比例关系为纽带，实现图形之间或几何与代数之间相互转化的方法． 类型一 解三角形、立体几何、平面向量中的面积法 【典例1】在中，内角的对边分别为，已知，求： （1）的周长的取值范围； （2）边上的中线长的取值范围； （3）的内切圆半径的取值范围． 【方法引导】 因为，由平面几何知识知点的轨迹为圆弧，当点运动时，的形状与大小随之发生变化，可借助图形直观地解决问题． 【详细解析】 （1）由知，即，说明周长随面积同步变化． 由题意，点的轨迹为圆弧，由对称性，取其中一半考虑． 如图，设的中垂线与圆弧交于点，则为直径的一个端点．结合图形可知，当点由点（或）沿圆弧运动到点时，的高逐渐变大，逐渐变大．所以当点无限靠近点（或）时，的周长趋向于2；当点位于点处时，的周长的最大值为3．所以． （2）取的中点，则边上的中线为，根据平行四边形的性质有，即， 则，说明中线的长随面积同步变化． 当点无限靠近点（或）时，趋向于；当点位于点处时，．所以． （3）由，得， 因为，所以， 又，所以． 【方法反思】 在中，若已知一边，如，则从形式上看，与三角形的面积对应，与三角形的周长对应，与三角形的中线长对应，内切圆半径可以用表示．又，说明三者可以相互转化，则关于周长、中线长、内切圆半径的问题均可转化为面积来考虑． 【典例2】如图，正六边形的边长为1，对角线与过点的直线分别相交于点，若，则的值是（ ）． A． B． C． D．1 【方法引导】 正六边形的对角线的长为定值，，则与有关，进而可转化为面积之比来解决． 【详细解析】 设，则， 设，则，， 又，， ， 由，得，而，解得． 再由，得，故选D． 【方法反思】 与线段之比有关．先把线段之比转化为面积之比，再利用面积分割建立关于的方程，求出的值，也就得到了的值． 【举一反三】 1. 已知袋子中放有大小和形状相同，标号分别是0，1，2的小球，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球1个.从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的球标号为b. 记“”为事件A． (1)求事件A的概率； (2)在区间内任取2个实数x，y，求事件“”恒成立的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将标号为0的小球记为0，标号为1的小球记为，标号为2的小球记为2，再用坐标表示取球情况，可得取球总情况数，则； （2）设事件“恒成立”为事件B，由题可得事件B等价于“恒成立”，又全部结果构成区域为，事件B所构成的区域，则所求概率为两区域面积之比. 【详解】（1）将标号为0的小球记为0，标号为1的小球记为，标号为2的小球记为2，则从袋子中两次不放回地随机抽取2个小球可能的结果：， ，，，共12种.其中满足“”的有，共4种. 故； （2）设事件“恒成立”为事件B，因，故事件B等价于恒成立.又全部结果构成区域，事件B所构成的区域，如下图所示. 则. 2. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案； 【详解】（1）[方法一]：几何法 因为，所以． 又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示， 过E作的平行线分别与交于其中点，连接， 因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点， 易证，则． 又因为，所以． 又因为，所以平面． 又因为平面，所以． [方法二] 【最优解】：向量法 因为三棱柱是直三棱柱，底面， ，，，又，平面．所以两两垂直． 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． ，． 由题设（）． 因为， 所以，所以． [方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以． （2）[方法一]【最优解】：向量法 设平面的法向量为， 因为， 所以，即． 令，则 因为平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为， 则． 当时，取最小值为， 此时取最大值为． 所以，此时． [方法二] ：几何法 如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面． 作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角． 设，过作交于点G． 由得． 又，即，所以． 又，即，所以． 所以． 则， 所以，当时，． [方法三]：投影法 如图，联结， 在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则． 设，在中，． 在中，，过D作的平行线交于点Q． 在中，． 在中，由余弦定理得，，， ，， 当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为． 3. 已知三角形内角对边分别为，向量，且. (1)求角； (2)若，三角形边上有一点，求的长； (3)角的平分线交于点，且，求面积最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量垂直得到方程，结合正弦定理得到，求出； （2）根据向量基本定理得到，两边平方，得到，求出模长； （3）由和三角形面积公式得到方程，求出，由基本不等式求出，得到三角形面积最小值. 【详解】（1）由得，， 由正弦定理得，， ，所以，所以， 故，又，所以 （2）因为点在上，， 故， 所以 ， 所以； （3），由， 即，得， 于是，解得，当且仅当时取等号， 故. 类型二 解析几何中的面积法 【典例1】如图，设椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，则＝_______． 【方法引导】 的周长为定值，又可算出三角形的内切圆半径，则可算出的面积，将面积用铅垂高乘水平宽表示，即可算出． 【详细解析】 椭圆的左、右焦点分别为， 的内切圆的面积为，则的内切圆半径． 的面积． 又，所以． 【方法反思】 本题利用面积转换，即，简捷地计算出． 在中，内角所对的边分别为，三角形的外接圆半径为，内切圆半径为，边上的高为，记，则有： ． 三角形的面积有多种表示形式，解题时可根据题目条件灵活使用． 【典例2】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）． A． B． C． D． 【方法引导】 观察与的几何特征，发现两个三角形同底不同高，可知，据此得出结论. 【详细解析】 ，故选A． 【方法反思】 几何转化：利用点 共线及与同底 ，将与的面积比简化为线段比 抛物线性质：结合焦点公式 ，将线段比转化为坐标比进而求出比值 . 核心技巧：紧扣共线条件和定义，避免复杂计算，直接关联几何与代数表达式。 【举一反三】 1.已知椭圆的左右焦点分别为，，过右焦点作直线交椭圆于，，其中，，、的重心分别为、． （1）若坐标为，求椭圆的方程； （2）设和的面积为和，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据重心的定义，求出点的坐标，再代入椭圆方程得出，进而得出椭圆的方程； （2）结合图象，将三角形面积进行拆分，然后利用面积关系即可得出实数的取值范围． 【详解】（1）连接，由重心的性质可知 设，则，即，故， 椭圆的方程为． （2）设，，则 ， ， 则，得， 设，联立椭圆方程，得， 由韦达定理得， 则 ，对恒成立 故，． 【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于将三角形的面积进行拆分得出，进而结合韦达定理以及不等式的恒成立问题求出实数的取值范围． 2. 已知椭圆，其中为左、右焦点，O为坐标原点.直线l与椭圆交于两个不同点.当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为时，原点O到直线l的距离为.又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为. （1）求椭圆C的方程； （2）以OP，OQ为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形OQNP面积为时，求平行四边形OQNP的对角线之积的最大值； （3）若抛物线为焦点，在抛物线C2上任取一点S（S不是原点O），以OS为直径作圆，交抛物线C2于另一点R，求该圆面积最小时点S的坐标. 【答案】（1）；（2）5；（3）（16，±8）. 【分析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出点斜式的直线的方程，再结合椭圆的离心率解出a，b，c，从而写出椭圆的方程；第二问，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，当斜率不存在时，可数形结合得到结论，当斜率存在时需直线与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理两点间距离公式，代入到面积公式中，找出k与m的关系，再计算，利用基本不等式求最值；第三问，数形结合得，利用向量的数量积转化为坐标的关系，利用基本不等式求S点纵坐标的取值范围，代入到中，利用配方法求函数的最值. 【详解】（1）直线的倾斜角为，，直线的方程， ，，为椭圆上任一点， ==≥，， 当时，，，， 椭圆的方程 .. 5分 （2）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则， 由在椭圆上，则，而，则， 知=. 当直线的斜率存在时，设直线为，代入可得， 即，，即， ， ， ，， 化为，， ， 得到，，则，满足， 由前知，， 设M是ON与PQ的交点，则 ， ， ，当且仅当， 即时等号成立， 综上可知的最大值为. =2的最大值为5. 10分 （3）因为以为直径的圆与相交于点，所以∠ORS = 90°，即 ， 设S （，），R（，），＝（-，-），=（，）， 所以， 因为，，化简得 ， 所以， 当且仅当即＝16，y2＝±4时等号成立. 圆的直径|OS|=， 因为≥64，所以当＝64即=±8时，， 所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）        14分 考点：椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式. 3. 已知双曲线的左、右顶点分别是，，点在双曲线上，且直线，的斜率之积为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，分别是双曲线的左、右焦点，点G是圆上的动点，若K是双曲线左支上一动点，求的最小值； (3)已知两平行直线和，直线过点交双曲线的右支于A，B两点，直线过点交双曲线的右支于C，D两点，记AB，CD的中点分别为P，Q，过点Q作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N．求四边形PMQN面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由求得，把点代入双曲线方程求得即可； （2）结合双曲线定义、圆的性质以及三角形两边之和大于第三边即可求解； （3）求得面积表达式，结合，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，， 则直线的斜率，直线的斜率． 因为直线，的斜率之积为1，所以，解得． 因为点在双曲线上，所以，解得． 故双曲线的标准方程为． （2）设点G所在圆的圆心为H，则， 由双曲线的定义可得，， 所以，因为， 所以当K，G，三点共线且K位于点G和之间时，取得最小值， 又因为的最小值为，所以的最小值是． （3）由题意可知直线和直线斜率若存在，则斜率大于1或小于，且双曲线的渐近线方程为，故可分别设直线和直线的方程为和，且， 联立，得，则， 设，，则，， 故， 因为P是AB的中点，所以，即， 同理可得， 所以P到双曲线的两渐近线的距离分别为， ， Q到双曲线的两渐近线的距离分别为， ， 由上知双曲线的两渐近线垂直，故四边形OMQN是矩形，连接OP， 则四边形PMQN面积为 ， 因为，所以，所以， 所以四边形PMQN面积的取值范围为． 1. 比利时数学家旦德林发现：两个不相切的球与一个圆锥面都相切，若一个平面在圆锥内部与两个球都相切，则平面与圆锥面的交线是以切点为焦点的椭圆．如图所示，这个结论在圆柱中也适用．用平行光源照射一个放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影区域内（含边界）有一点，若平行光与桌面夹角为，球的半径为，则点到球与桌面切点距离的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用平行投影作出图象求解. 【详解】解：由题意，如图所示， 则， 所以到球与桌面切点距离的最大值为： ， ， ， 故选：D 2. 设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线焦半径公式得到B点横坐标，进而利用抛物线方程求出B点纵坐标，直线AB的方程，求出C点坐标，联立直线与抛物线，求出A点纵坐标，利用求出答案. 【详解】如图，过点B作BD垂直准线于点D，则由抛物线定义可知：， 设直线AB为， ，，，不妨设，则， 所以，解得：，则，解得：，则， 所以，解得：，则直线AB为， 所以当时，即，解得：，则， 联立与得：，则， 所以，其中. 故选：C 3. 在中，角､､所对的边分别为､､，，的平分线交于点，且，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】先根据三角形面积公式得出，再利用基本不等式求最值. 【详解】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得，即， 因此 当且仅当，即时取等号，即的最小值为. 故答案为：9 4. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求角A的大小； (2)设D是边上一点，平分，，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知和正弦定理得，再由余弦定理和的范围可得答案； （2）又平分得．利用， 可得，等式两边再同除以可得答案． 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 由余弦定理知，， 因为，所以． （2）证明：因为平分，所以， 因为， 所以． 即，所以，即． 5. 已知抛物线的焦点到x轴的距离为，过点的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为和，已知与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：点P在定直线上； (3)若的面积为，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由抛物线的焦点到x轴的距离为，求出，即可得出答案. （2）根据题意，由导数的几何意义求出直线和方程，联立直线方程可得点的坐标，分析可得答案； （3）根据题意，由三角形面积公式可得的值，由此计算可得答案. 【详解】（1）因为抛物线的焦点坐标为，且焦点到x轴的距离为， 所以，所以， 所以抛物线E的标准方程为. （2）由，得，， 设，，， 则和的斜率分别为， 所以方程为：，整理得：， 同理可得，方程为：， 联立与的方程，解得：，， 因为点T在抛物线内部，可知直线的斜率存在，且与抛物线必相交， 设直线的方程为， 与抛物线方程联立得：， 故，， 所以，，可知， 所以点P在定直线上. （3）在，的方程中，令，得，， 由（2）知，，，， 所以面积， 故， 化简可得， 由于，则， 从而，故或， 所以点P的坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $