精品解析：甘肃兰州第一中学2025-2026学年第二学期高一3月月考数学试题

兰州一中2025-2026-2学期3月月考试题 高一数学 命题：贺润坤 审题：张海忠 说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解兰州白兰瓜的甜度情况 B. 了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C. 了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 【答案】D 【解析】 【详解】切开白兰瓜具有破坏性，故A不符合题意； 测试续航能力通常需要将电池完全放电，具有破坏性，故B不符合题意； 兰州市中学生人数众多，全面调查工作量巨大，故C不符合题意； 航空母舰中的每个零件的质量都至关重要，因此需要对其进行全面检查，故D符合题意. 2. 已知三点共线，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】依题意，，且，则， 所以. 故选：A 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出向量，再根据向量垂直的坐标关系列式求解即可. 【详解】因为向量，，所以， 因为，所以，即，解得， 所以. 4. 某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 最高气温的极差范围 B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温 C. 最低气温低于0℃的月份有4个 D. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 【答案】C 【解析】 【分析】根据折线图对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，最高气温最低的月为月，最高气温最高的月为月， 观察图象可知，最高气温的极差范围，A选项正确. B选项，通过观察折线图可知，10月的最高气温不低于5月的最高气温，B选项正确. C选项，最低气温低于0℃的月份有个，C选项错误. D选项，通过观察折线图可知，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，D选项正确. 故选：C 5. 已知，，，的平均数为3，标准差为2，则，，，的（ ） A. 平均数为15，标准差为10 B. 平均数为15，标准差为50 C. 平均数为17，标准差为10 D. 平均数为17，标准差为50 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和标准差的定义计算即可判断. 【详解】设的平均数为，标准差为，则，， 即，. 所以，，，的平均数为 ； ，，，的方差为 ，故其标准差为10. 故选：C. 6. 如图，已知在中，为的中点，与相交于点.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的线性运算得，，再由平面向量基本定理，可得，即可求解. 【详解】， 则， 又三点共线，， 又为的中点，，又，所以， 又三点共线，， 由平面向量基本定理知，，解得，所以， 即，所以， 故选：D. 7. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 【答案】A 【解析】 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 8. 已知，，，若点满足，则的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定在上，再表示出，将转化为到点的距离，最后利用圆的性质求解即可. 【详解】设，则，而， 可得，而，，， 则，得到， 即表示到点的距离， 而由两点间距离公式得点到圆心的距离为， 得到的最大值为，故D正确. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 对于平面向量，下列命题不正确的是（ ） A. 若向量与不相等，则 B. 若，则向量 C. 若向量与不共线，则与都是非零向量 D. 若向量与共线，向量与共线，则向量与也共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量的基本概念及共线向量的概念逐项判断即可； 【详解】对于A，当向量与互为相反向量时，两向量的模长相等，故该命题不正确； 对于B，向量的模长有大小关系，但向量之间无大小关系，该命题不正确； 对于C，由于零向量与任意向量共线，向量与不共线，则与都是非零向量，该命题正确； 对于D,与共线，与共线时，与也共线，当时命题不一定成立，该命题不正确， 故选：ABD. 10. 为了了解苗圃中树苗的生长情况，林业部门从一个苗圃中的10000棵树苗中随机抽取了棵，按照树苗的高度进行了分组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，已知高度在内的树苗有10棵，将样本频率当做概率，则以下结论正确的是（ ） A. ， B. 这棵树苗高度的中位数的估计值为114 C. 在这10000棵树苗中，高度在100cm以下的约有2000棵 D. 若采用按比例分层抽样的方法从这棵树苗中抽取40棵，则高度在内的有5棵 【答案】BC 【解析】 【分析】根据频率之和为1以及频率计算公式可判断A，根据中位数的计算方法可判断B，根据频率的计算可判断C，根据抽样比可判断D. 【详解】对于A，，解得， 高度在内树苗的频率为，则（棵），故A错误； 对于B，设中位数为，中位数左边和右边的频率分布直方图的面积相等，都为0.5， 前三个矩形的面积和为， 对应的矩形面积为， 因为，所以中位数在内， 则，解得， 所以这棵树苗高度的中位数的估计值为114，故B正确； 对于C，高度在100cm以下的树苗的频率为， 在这10000棵树苗中，高度在100cm以下的约有（棵），故C正确； 对于D，高度在内的树苗的频率为， 故若采用按比例分层抽样的方法从这棵树苗中抽取40棵，则高度在内的有（棵），故D错误. 故选：BC. 11. 定义平面向量的“Rickie变换”，记作“”.对任意平面向量，规定变换后的向量，对向量连续进行次变换所得的向量记作.设，为平面内的非零向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则一定存在，使得 B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若存在两素数，使得，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：设，利用平面向量共线定理及所给定义计算即可得；对B：举出反例即可得；对C：设，，利用三角函数性质及所给定义计算即可得；对D：找出对向量连续进行次变换所得的向量规律，再分与进行讨论即可得. 【详解】对A：设，， 由，则存在，使得， 则，又， 故，故A正确； 对B：取，，， 则，，，， 故，， 此时，故B错误； 对C：设，， 则，， 故， ， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为，故C正确； 对D：设，当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 若，则有以下四种可能： 1.，，且， 则； 2. ，，且， 则； 3. ，，且， 则； 4.，，且， 则； 故时，不合题意； 若，则，有以下两种可能： 1.，则； 2.，则； 即时，符合题意； 综上：若存在两素数，使得，则，故D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 样本数据1，3，7，10，14，19，21，25，35，67的第70百分位数为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用百分位数的概念即可求解. 【详解】因为， 所以个数的第70百分位数为， 故答案为： 13. 已知为正六边形的中心，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由正六边形结构性质得、和即可由数量积定义计算得解. 【详解】由正六边形性质可知，为正三角形，且， 所以，， 所以. 故答案为： 14. 若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与的夹角为钝角，得到，注意排除与反向共线这种情况，进而即可求出答案． 【详解】由，，则， 又与的夹角为钝角， 则，即，解得， 当与反向共线时，，解得，此时夹角不是钝角， 综上所述，k的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，，设，，. （1）求； （2）若，求实数，的值； （3）若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算结合模长公式求解即可. （2）根据向量的坐标运算与表示，求得，结合，列出方程组，即可求解； （3）根据题意，得到，设，列出方程组，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 由模长公式得. 【小问2详解】 因为，且， 所以，所以， 因为，所以可得，解得. 【小问3详解】 因为线段的三等分点为（点靠近点）， 所以，设，即， 得到，解得，即点的坐标为. 16. 某校有3名百米短跑运动员甲、乙、丙，已知甲最近10次百米短跑的时间（单位：s）的数据如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 时间/s 12 12.4 12 12.5 12 11.8 12.2 11.5 11.6 12 （1）计算甲这10次百米短跑的时间的平均数与方差； （2）经过计算，乙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12，0.08，丙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12.4，0.08，若要从甲、乙、丙三人中选一人代表学校参加市区的百米短跑比赛，请判断该选择谁，说明你的理由． 【答案】（1）平均数为12，方差为0.09； （2）选乙，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由平均数和方差的公式求解即可； （2）由平均数和方差的意义比较甲、乙的平均数和方差即可得出答案. 【小问1详解】 甲这10次百米短跑的时间的平均数为， 方差为 ． 【小问2详解】 因为百米短跑的时间越短，成绩越好， 所以从数据的平均水平看，甲与乙的成绩更好． 因为方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小，所以从数据的波动情况看， 甲的成绩波动最大，乙和丙的波动水平相当，所以应该选乙参加市区的百米短跑比赛． 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数和平均数 （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 【答案】（1） （2）第75百分位数为84，平均数为 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据百分位数和平均数的计算公式即可求解， （3）借助分层抽样的平均数与方差计算公式计算即可得. 【小问1详解】 由每组小矩形的面积之和为1得，， 所以. 【小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第75百分位数，由， 解得，所以第75百分位数为84. 平均数约为 ； 【小问3详解】 由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故， ， 所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23． 18. 如图，在梯形中，，且，设，． （1）试用和表示； （2）若点满足，且，，三点共线，求实数的值． （3）若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量三角形法则可得：，，，化简整理即可得出； （2），，三点共线，可得存在实数使得，又，，可得，又，可得，再利用向量基本定理即可得出． （3）由向量的线性运算得，，然后结合数量积的运算律得，利用二次函数性质即可求解最值. 【小问1详解】 因为，，， 所以，化简为． 【小问2详解】 因为，，三点共线，所以， 因为，，所以， 又， 所以， 所以解得． 【小问3详解】 因为点E是线段AC上的动点，设，因为， 所以， 所以，， 所以， 故当时，取到最小值． 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，，分别是与轴、轴同方向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做在仿射坐标系中的斜坐标. （1）若，，，求； （2）若，，，求在上的投影向量的斜坐标； （3）若，，，，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出向量，根据共线定理即可求出； （2）写出向量，再根据投影向量的公式计算，最后结合斜坐标定义即可； （3）设夹角为，利用表示，，根据求出的范围，再求出的范围即可求出的最大值. 【小问1详解】 由题意得，， 因为，则存在实数使得，即， 因为，不共线，所以，得； 【小问2详解】 由题意得，，且， 则， ， 则在上的投影向量为， 故在上的投影向量的斜坐标为； 【小问3详解】 由题意得，， 设夹角为，则， 则， ， ， ， 则 因为，所以，得，则， 则，因为， 所以，则， 则的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州一中2025-2026-2学期3月月考试题 高一数学 命题：贺润坤 审题：张海忠 说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解兰州白兰瓜的甜度情况 B. 了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C. 了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 2. 已知三点共线，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 最高气温的极差范围 B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温 C. 最低气温低于0℃的月份有4个 D. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 5. 已知，，，的平均数为3，标准差为2，则，，，的（ ） A. 平均数为15，标准差为10 B. 平均数为15，标准差为50 C. 平均数为17，标准差为10 D. 平均数为17，标准差为50 6. 如图，已知在中，为的中点，与相交于点.若，则（ ） A. B. C. D. 7. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 8. 已知，，，若点满足，则的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 对于平面向量，下列命题不正确的是（ ） A. 若向量与不相等，则 B. 若，则向量 C. 若向量与不共线，则与都是非零向量 D. 若向量与共线，向量与共线，则向量与也共线 10. 为了了解苗圃中树苗的生长情况，林业部门从一个苗圃中的10000棵树苗中随机抽取了棵，按照树苗的高度进行了分组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，已知高度在内的树苗有10棵，将样本频率当做概率，则以下结论正确的是（ ） A. ， B. 这棵树苗高度的中位数的估计值为114 C. 在这10000棵树苗中，高度在100cm以下的约有2000棵 D. 若采用按比例分层抽样的方法从这棵树苗中抽取40棵，则高度在内的有5棵 11. 定义平面向量的“Rickie变换”，记作“”.对任意平面向量，规定变换后的向量，对向量连续进行次变换所得的向量记作.设，为平面内的非零向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则一定存在，使得 B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若存在两素数，使得，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 样本数据1，3，7，10，14，19，21，25，35，67的第70百分位数为______. 13. 已知为正六边形的中心，且，则__________. 14. 若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，，设，，. （1）求； （2）若，求实数，的值； （3）若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标. 16. 某校有3名百米短跑运动员甲、乙、丙，已知甲最近10次百米短跑的时间（单位：s）的数据如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 时间/s 12 12.4 12 12.5 12 11.8 12.2 11.5 11.6 12 （1）计算甲这10次百米短跑的时间的平均数与方差； （2）经过计算，乙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12，0.08，丙最近10次百米短跑的时间的平均数和方差分别为12.4，0.08，若要从甲、乙、丙三人中选一人代表学校参加市区的百米短跑比赛，请判断该选择谁，说明你的理由． 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数和平均数 （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 18. 如图，在梯形中，，且，设，． （1）试用和表示； （2）若点满足，且，，三点共线，求实数的值． （3）若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，，分别是与轴、轴同方向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做在仿射坐标系中的斜坐标. （1）若，，，求； （2）若，，，求在上的投影向量的斜坐标； （3）若，，，，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $