11.5线段的垂直平分线（题型专练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

11.5 线段的垂直平分线 题型一 利用性质求线段长 1．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，，则的长为（   ） A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，，是的中垂线，，，则 ． 3．（25-26八年级上·山西吕梁·月考）如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，分别交，于点，，若，，则 ． 4．（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图所示，点在的内部，点分别是点关于直线的对称点，线段交，于点，．若的周长是，则线段的长是 ． 题型二 利用性质求三角形周长 1．（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·吉林·期末）如图，中，，的垂直平分线交于E，连接，，则的周长是 ． 3．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，直线m是线段的垂直平分线，点P是直线m上的一个动点，连接、，若，，则周长的最小值是 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长是 ． 5．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，是的垂直平分线，交于，交于，连接，已知，的周长为，则的周长是 ． 6．（22-23八年级下·广西北海·期中）如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是 ． 题型一 利用性质求线段和的最小值 1．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，的面积为21，的垂直平分线分别交、于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，连接，，则．的最小值为 ． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，是边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ． 3．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，平分，交于点，点，分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 4．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，在中，，点为边上的定点，，，，，是线段上的动点，交于点，则的最小值是 ． 题型二 求当三角形周长最小时角的度数 1．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点．连接，，若，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，若，为内一定点，点在上，点在上，当的周长取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 题型三 线段垂直平分线的判定与性质综合 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，点E是线段上任意一点，连接，．求证：． 2．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 3．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，于点，交于点． (1)若，，求的周长． (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为______； (2)判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 5．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，相交于点，连接，． (1)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由 (2)若，求的度数． 6．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图1，，与相交于点，． (1)如图1，求证：垂直平分； (2)如图2，在图1的基础上，过点作交的延长线于点，如果，求证：是等边三角形； 题型四 线段垂直平分线（尺规作图） 1．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，已知等边边长为，点是边上一点，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧分别交于点和点，作直线交于点，则的周长等于 ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线及外一点P．求作：经过点P且垂直于的直线． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，． (1)作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 5．（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点不写作法，保留作图痕迹； (2)在的条件下，若，求的度数． 6．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，在数学活动课上，小明剪了一张的纸片，其中，他将折叠压平使点落在点处，折痕，在上，在上． (1)请作出折痕；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） (2)连接，若，的周长为，求的周长． 7．（25-26八年级上·广东湛江·月考）操作与探究：三角形边与角的不等关系 【问题提出】我们知道：在一个三角形中，等边对等角，等角对等边．那么在一个三角形中，大边对大角，大角也会对大边吗？ 【探究一】在一个三角形中，大边对大角． （1）已知：如图，在中，．求证：． 小亮的研究思路是利用轴对称的性质，把研究两个量之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，具体做法如下：作的角平分线，交于点D，在边上截取，连接．请在图中用无刻度的直尺和圆规作出以上辅助线（保留作图痕迹，不写作法）并写出证明过程． 【探究二】在一个三角形中，大角对大边． （2）已知：如图，在中，．求证：． 类比小亮的研究思路，在图中用无刻度的直尺和圆规添加辅助线（保留作图痕迹，不写作法）并写出证明过程． 题型一 线段垂直平分线的综合应用 1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接、，则线段的长等于 ． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图中，，，为边的中点，点和点分别为边和上的动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． 4．（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在中，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (2)如图2，在邻余四边形中，（和均为钝角），为的中点，，，时，求的长． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.5 线段的垂直平分线 题型一 利用性质求线段长 1．【答案】B 2．【答案】 3．【答案】6 4．【答案】 题型二 利用性质求三角形周长 1．【答案】D 2．【答案】6 3．【答案】12 4．【答案】16 5．【答案】12 6．【答案】7 题型一 利用性质求线段和的最小值 1．【答案】 2．【答案】9.6 3．【答案】 4．【答案】 题型二 求当三角形周长最小时角的度数 1．【答案】B 2．【答案】A 题型三 线段垂直平分线的判定与性质综合 1． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 连接，证得是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质证得即可． 【详解】证明：连接， ，， 在线段的垂直平分线上，B在线段的垂直平分线上， 即是线段的垂直平分线， 在上， ． 2． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． （2）首先求出，再证明，，然后根据面积法进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． （2）解：∵的周长为18，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 3． 【答案】(1)的周长为 (2)证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，利用线段垂直平分线的性质得到线段相等是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质得，将的周长转化为即可得出； （2）先由得出，再结合利用余角性质得到，利用对顶角相等得，进而得，由等角对等边得，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得证． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长； （2）证明：由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 4． 【答案】(1) (2)点O在的垂直平分线上，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； 故答案为：； （2）解：点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （3）解：∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴ ∴． 5． 【答案】(1)点在的垂直平分线上，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，然后利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答； （2）因为，根据“等边对等角”得，， 则可得，由三角形内角和可得的度数． 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 连接，如图． ，分别是，的垂直平分线， 根据线段垂直平分线的性质可得，，， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：， ，， ， ， ， ， ， ， 即， ， 即． 6． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定、三角形外角的性质、直角三角形的性质以及等边三角形的判定． （1）根据等角对等边可求，，再运用垂直平分线的判定定理和两点确定一条直线即可证明垂直平分． （2）根据等腰三角形性质和三角形外角性质可知，再通过平行线性质和直角三角形性质可求，利用三角形内角和求，最后通过等边三角形的判定定理即可求证． 【详解】（1）证明：，， ，， 在的垂直平分线上，， 在的垂直平分线上， 垂直平分． （2）证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， 即解得， ， 又， 是等边三角形． 题型四 线段垂直平分线（尺规作图） 1．【答案】C 2．【答案】 3． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作垂线(尺规作图) ，解题关键是掌握作垂线(尺规作图)． 以P为圆心大到P到的距离为半径作圆弧，交于两点，以这两点为圆心，同样长度为半径，在下方作圆弧，两圆弧交于点C，连线，，以此求解． 【详解】解：如图，，直线即为所求作． 4． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质及其画法、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、含30度角的直角三角形的性质，正确画出线段垂直平分线是解答的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图步骤画图即可； （2）先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，根据线段垂直平分线的性质得到，则，，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线就是所求． （2）解：连接， 因为，且， 所以， 因为是线段的垂直平分线，， 所以， 所以， 则， 在中，， 所以． 5． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形内角和、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 利用基本作图作的垂直平分线即可； 先根据线段垂直平分线的性质得到，由于，所以，再根据等腰三角形的性质得到，所以为等腰直角三角形，从而得到的度数． 【详解】（1）解：如图，点为所作； （2）解：的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 6． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识点；熟练掌握翻折变换的性质、证明三角形是等边三角形是解题的关键． （1）如图：作的垂直平分线，垂足为D，交于E，即为所求； （2）由线段垂直平分线的性质得出，由可证是等边三角形，则；进而得到得出，由等边三角形的性质得出，即可得出的周长． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）证明：由题意知:垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， 的周长为12， ， ， ， ， 的周长为． 7． 【答案】（1）图和证明过程见详解；（2）图和证明过程见详解 【分析】本题主要考查角平分线与线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定、三角形外角的性质及三角形三边关系，熟练掌握角平分线与线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定、三角形外角的性质及三角形三边关系是解题的关键； （1）根据角平分线的尺规作图及线段的尺规作图进行作图，然后可得，则有，进而根据三角形外角的性质可进行求解； （2）作线段的垂直平分线，交线段于点F，由题意易得，则有，然后根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：（1）作的角平分线，交于点D，在边上截取，连接，如图所示： ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）作线段的垂直平分线，交线段于点F，如图所示： ∴， ∵， ∴， 在中，根据三角形三边关系可知：， ∴． 题型一 线段垂直平分线的综合应用 1．【答案】D 2．【答案】 3．【答案】/ 4． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先结合垂直平分线的性质，得，再结合，，运用勾股逆定理得是直角三角形，则根据直角三角形的两个锐角互余，得是直角三角形，即可作答． （2）先理解题意，运用倍长中线法证明，根据邻余四边形的定义，得出，根据勾股定理，得，又因为，证明，即可作答． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵垂直平分交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是邻余四边形； （2）解：延长至点，使得，连接 ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵四边形是邻余四边形，且和均为钝角， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股逆定理，新定义，垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.5线段的垂直平分线 题型一 利用性质求线段长 1．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，，则的长为（   ） A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，则． 【详解】解：∵直线为的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，，是的中垂线，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求得的长． 【详解】解：在中，，， ， 是的中垂线， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山西吕梁·月考）如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，分别交，于点，，若，，则 ． 【答案】6 【分析】由尺规作图判断出是的垂直平分线，则，，进一步得到．由，结合三角形内角和定理，可证出，得到答案． 【详解】解：根据题意可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查垂直平分线的尺规作图，垂直平分线定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握好尺规作图的操作规范是解题关键． 4．（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图所示，点在的内部，点分别是点关于直线的对称点，线段交，于点，．若的周长是，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．根据题意，可得和分别是线段和线段的垂直平分线，然后根据“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，即可得到，，结合“的周长是”，由，即可获得答案. 【详解】解：∵、关于对称，、关于对称， ∴和分别是线段和线段的垂直平分线， ∴，， 又∵的周长是，即， ∴． 故答案为：． 题型二 利用性质求三角形周长 1．（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据是的垂直平分线，得到，再根据，即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ，， 的周长为． 故选：D． 2．（25-26八年级上·吉林·期末）如图，中，，的垂直平分线交于E，连接，，则的周长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 由题意知，根据的周长为，通过线段的等量关系，得，计算求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， 又∵ ∴的周长为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，直线m是线段的垂直平分线，点P是直线m上的一个动点，连接、，若，，则周长的最小值是 【答案】12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，掌握相关知识点的应用是解题的关键． 连接，由直线是线段的垂直平分线，则，又周长为，则当点三点共线时，周长最小，为，然后代入即可求解． 【详解】解：连接， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴周长为， 则当点三点共线时，周长最小， ∴周长的最小值为， 故选：． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质推出的周长为，进行求解即可． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ，， 的周长 故答案为： 5．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，是的垂直平分线，交于，交于，连接，已知，的周长为，则的周长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端距离相等． 根据垂直平分线的性质得出，，进而得出，即可解答． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴的周长， 故答案为：12． 6．（22-23八年级下·广西北海·期中）如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据中垂线的性质，得到，进而得到，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在中，，于点D， ∴， 连接，如图， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，当且仅当点为与的交点时取等号， ∵，，的面积为， ∴， 解得：， ∴的周长 故答案为： 7． 题型一 利用性质求线段和的最小值 1．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，的面积为21，的垂直平分线分别交、于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，连接，，则．的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短． 连接，，设中边上的高为h，利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接，，设中边上的高为h， ∵面积为，， ∴， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴此时， 的最小值为， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，是边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】9.6 【分析】本题考查三线合一，中垂线的性质，垂线段最短，等积法求线段的长，连接，三线合一，推出，进而得到，根据垂线段最短，得到当时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵是边上的中线， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， 又∵E是边上的动点， ∴当时，最小，此时，即， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，平分，交于点，点，分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，过点作于，由等腰三角形的性质可得垂直平分，即得，即得到，可知当三点共线且时，的值最小，最小值即为的长，再利用三角形的面积求出的值即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当三点共线且时，的值最小，最小值即为的长， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，在中，，点为边上的定点，，，，，是线段上的动点，交于点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，等面积法求三角形的高，推导出的最小值即为中边上的高是解题的关键． 先根据垂直平分线的判定与性质可得，再根据垂线段最短得出的最小值即为中边上的高，利用勾股定理计算出，即可得到的长，再运用等面积法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当、、三点共线，且时，的值最小，最小值为， ∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型二 求当三角形周长最小时角的度数 1．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点．连接，，若，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，根据垂直平分线的性质和等边对等角可得，，即，代入中，即可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分，垂直平分， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，若，为内一定点，点在上，点在上，当的周长取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，垂直平分线的性质作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，得到，，，，的周长，当点、在线段上时，的周长取得最小值，证明，得到，同理可得，，再证明，得到，最后根据求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∴的周长， ∴当点、在线段上时，的周长取得最小值， ∵，， ∴，， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 题型三 线段垂直平分线的判定与性质综合 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，点E是线段上任意一点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 连接，证得是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质证得即可． 【详解】证明：连接， ，， 在线段的垂直平分线上，B在线段的垂直平分线上， 即是线段的垂直平分线， 在上， ． 2．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． （2）首先求出，再证明，，然后根据面积法进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． （2）解：∵的周长为18，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，于点，交于点． (1)若，，求的周长． (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1)的周长为 (2)证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，利用线段垂直平分线的性质得到线段相等是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质得，将的周长转化为即可得出； （2）先由得出，再结合利用余角性质得到，利用对顶角相等得，进而得，由等角对等边得，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得证． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长； （2）证明：由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为______； (2)判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)点O在的垂直平分线上，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； 故答案为：； （2）解：点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （3）解：∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴ ∴． 5．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，相交于点，连接，． (1)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由 (2)若，求的度数． 【答案】(1)点在的垂直平分线上，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，然后利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答； （2）因为，根据“等边对等角”得，， 则可得，由三角形内角和可得的度数． 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 连接，如图． ，分别是，的垂直平分线， 根据线段垂直平分线的性质可得，，， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：， ，， ， ， ， ， ， ， 即， ， 即． 6．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图1，，与相交于点，． (1)如图1，求证：垂直平分； (2)如图2，在图1的基础上，过点作交的延长线于点，如果，求证：是等边三角形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定、三角形外角的性质、直角三角形的性质以及等边三角形的判定． （1）根据等角对等边可求，，再运用垂直平分线的判定定理和两点确定一条直线即可证明垂直平分． （2）根据等腰三角形性质和三角形外角性质可知，再通过平行线性质和直角三角形性质可求，利用三角形内角和求，最后通过等边三角形的判定定理即可求证． 【详解】（1）证明：，， ，， 在的垂直平分线上，， 在的垂直平分线上， 垂直平分． （2）证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， 即解得， ， 又， 是等边三角形． 题型四 线段垂直平分线（尺规作图） 1．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查垂线与角平分线的尺规作图及直角三角形的性质，熟练掌握垂线与角平分线的尺规作图及直角三角形的性质是解题的关键；由作图可知：平分，，由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由作图可知：平分，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 2．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，已知等边边长为，点是边上一点，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧分别交于点和点，作直线交于点，则的周长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息． 证明，证明的周长，可得结论． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线段， ， 等边边长为， ， 以点为圆心，的长为半径画弧交于点， ， ， 的周长； 故答案是：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线及外一点P．求作：经过点P且垂直于的直线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作垂线(尺规作图) ，解题关键是掌握作垂线(尺规作图)． 以P为圆心大到P到的距离为半径作圆弧，交于两点，以这两点为圆心，同样长度为半径，在下方作圆弧，两圆弧交于点C，连线，，以此求解． 【详解】解：如图，，直线即为所求作． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，． (1)作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质及其画法、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、含30度角的直角三角形的性质，正确画出线段垂直平分线是解答的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图步骤画图即可； （2）先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，根据线段垂直平分线的性质得到，则，，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线就是所求． （2）解：连接， 因为，且， 所以， 因为是线段的垂直平分线，， 所以， 所以， 则， 在中，， 所以． 5．（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点不写作法，保留作图痕迹； (2)在的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形内角和、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 利用基本作图作的垂直平分线即可； 先根据线段垂直平分线的性质得到，由于，所以，再根据等腰三角形的性质得到，所以为等腰直角三角形，从而得到的度数． 【详解】（1）解：如图，点为所作； （2）解：的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 6．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，在数学活动课上，小明剪了一张的纸片，其中，他将折叠压平使点落在点处，折痕，在上，在上． (1)请作出折痕；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） (2)连接，若，的周长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识点；熟练掌握翻折变换的性质、证明三角形是等边三角形是解题的关键． （1）如图：作的垂直平分线，垂足为D，交于E，即为所求； （2）由线段垂直平分线的性质得出，由可证是等边三角形，则；进而得到得出，由等边三角形的性质得出，即可得出的周长． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）证明：由题意知:垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， 的周长为12， ， ， ， ， 的周长为． 7．（25-26八年级上·广东湛江·月考）操作与探究：三角形边与角的不等关系 【问题提出】我们知道：在一个三角形中，等边对等角，等角对等边．那么在一个三角形中，大边对大角，大角也会对大边吗？ 【探究一】在一个三角形中，大边对大角． （1）已知：如图，在中，．求证：． 小亮的研究思路是利用轴对称的性质，把研究两个量之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，具体做法如下：作的角平分线，交于点D，在边上截取，连接．请在图中用无刻度的直尺和圆规作出以上辅助线（保留作图痕迹，不写作法）并写出证明过程． 【探究二】在一个三角形中，大角对大边． （2）已知：如图，在中，．求证：． 类比小亮的研究思路，在图中用无刻度的直尺和圆规添加辅助线（保留作图痕迹，不写作法）并写出证明过程． 【答案】（1）图和证明过程见详解；（2）图和证明过程见详解 【分析】本题主要考查角平分线与线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定、三角形外角的性质及三角形三边关系，熟练掌握角平分线与线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定、三角形外角的性质及三角形三边关系是解题的关键； （1）根据角平分线的尺规作图及线段的尺规作图进行作图，然后可得，则有，进而根据三角形外角的性质可进行求解； （2）作线段的垂直平分线，交线段于点F，由题意易得，则有，然后根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：（1）作的角平分线，交于点D，在边上截取，连接，如图所示： ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）作线段的垂直平分线，交线段于点F，如图所示： ∴， ∵， ∴， 在中，根据三角形三边关系可知：， ∴． 题型一 线段垂直平分线的综合应用 1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质．连接，过作点C的对称点O，连接，过点F作于点N，作于点P，利用对称的性质当点C，E，F，N，P共线时，取得最小值，设，交于点Q，证明，求得的值，再进一步证得为等边三角形，从而得到的值，由于C，O关于对称，可求出的值，最终利用三角形面积公式求得结果． 【详解】解：如图，连接，作点C关于的对称点O，连接，过点F作于点N，作于点P， 由对称可知，，， ∵，，点D为中点， ∴，即垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，垂线段最短， ∴当点C，E，F，N，P共线时，取得最小值，此时点P与点N重合， 如图，设，交于点Q， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵C，O关于对称， ∴，， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接、，则线段的长等于 ． 【答案】 【分析】如图，延长交于点，由勾股定理求得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由翻折的性质可知，，，可得是的垂直平分线，得到， ，设，则，在和中，由勾股定理得，即得到，解得，得到，，由，得到，，进而得到，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 在中，由勾股定理得， ∵为的中点， ∴， 由翻折的性质可知，，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图中，，，为边的中点，点和点分别为边和上的动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过点C作于点G，过点D作于点H，连接，，，，，，证明，得出，证明，得出，根据两点之间线段最短，得出当F、H、B三点共线时，最小，即最小，且最小值为，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点C作于点G，过点D作于点H，连接，，，，，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当F、H、B三点共线时，最小，即最小，且最小值为， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 4．（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在中，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (2)如图2，在邻余四边形中，（和均为钝角），为的中点，，，时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先结合垂直平分线的性质，得，再结合，，运用勾股逆定理得是直角三角形，则根据直角三角形的两个锐角互余，得是直角三角形，即可作答． （2）先理解题意，运用倍长中线法证明，根据邻余四边形的定义，得出，根据勾股定理，得，又因为，证明，即可作答． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵垂直平分交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是邻余四边形； （2）解：延长至点，使得，连接 ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵四边形是邻余四边形，且和均为钝角， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股逆定理，新定义，垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $