11.3等腰三角形（题型专练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

11.3 等腰三角形 题型一 等边对等角 1．（25-26八年级上·全国·期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的底角相等，结合给定角可能是顶角或底角，分类讨论进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 等腰三角形有两个相等的底角，且三角形内角和为， ∴ 若为底角，则底角为； 若为顶角，则底角为． ∴底角为或． 故选：D. 2．（25-26八年级上·天津西青·月考）等腰三角形有一个角是，则它的底角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质． 根据等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和定理，判断角为顶角，进而计算底角． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，且内角和为， 又∵角若为底角，则两底角之和为，不符合题意， ∴角为顶角， ∴两底角之和为， ∴每个底角为． 故选A． 3．（25-26八年级上·安徽马鞍山·月考）如图，若相交于点E，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点D在上，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】/28度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理；设，由三角形外角的性质得，由等腰三角形的性质得，结合，即可求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）如图，在中，，沿直线翻折，使得点与点重合，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角，由三角形内角和定理求出，由折叠的性质可得，再由等边对等角可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵沿直线翻折，使得点A与点B重合， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，等腰三角形中，，在上取一点，使，过点作交于点，过点作交于点E，交于点．若，则 °． 【答案】62 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角， 先求出，进而求出，再根据等边对等角得，即可得然后根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． 故答案为：62． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点为边的中点，连接，为上一点，连接．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一性质，可求得． 【详解】， ． ，点为边的中点， 平分， ． 题型二 三线合一 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，根据，是边上的中线，得，故，即可作答． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， 即， 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三线合一，由题可得点是的中点，即可求解 【详解】解：∵于点D， ∴ 故选：B. 3．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，D是的中点，，则的大小为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三线合一性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得，，再根据三角形内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵，是的中点，， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在四边形中，，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形的全等证明、等腰三角形的性质，余角的性质，垂线定义理解，掌握相关知识并正确画出辅助线是解题的关键． 作，由，，证，再结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在五边形中，，，，点是的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的证明以及等腰三角形三线合一， 连接，，由题中已知条件可证明，即可得到，则为等腰三角形，又因为F为中点，根据三线合一可得. 【详解】证明：连接，， 在和中， , ． ． 点是的中点， ． 6．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：； (2)求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角的和差． （1）先由得是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论； （2）先由已知得，则，再根据计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵，即， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”．（要求：画出图形，写出已知、求证，并证明） 已知：如图，在中，______． 求证：______． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确画出图形、写出已知和求证是解题的关键． 先根据题意画出图形，再根据图形写出已知和求证；证明：连接，根据等腰三角形的性质以及证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】已知：如图，在中，，是的中点，于，于． 求证：． 证明：连接， ，是中点， 为的平分线（三线合一的性质）， 又，， ∴， ∵， ， ． 题型三 等边三角形的性质 1．（24-25七年级下·全国·期末）如图，将边长为的等边沿边向右平移得到，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，理解平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵将边长为的等边沿边向右平移得到， ∴， ∴四边形的周长 ， 故选B． 2．（25-26八年级上·天津滨海新·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，图中能够表示的最小值的是下列哪条线段的长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵是等边三角形， 是边上的高， ∴，，即垂直平分， ∴， ， ∴此时最小，即就是的最小值， 是等边三角形， ， 故选：B． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起，于是我们得到一个等边三角形，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质是关键．求出，得到，由，根据三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵两个含角的全等的三角尺摆放在一起，于是我们得到一个等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故答案为： 4．（25-26八年级上·广东·期末）等边三角形的面积为，则其边长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据等边三角形性质，设等边的边长为，过点作于点，由勾股定理得到，结合面积公式和题意即可求解． 【详解】解：如图所示，设等边的边长为，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 解得，（负值舍去）， ∴该等边三角形的边长为4． 故答案为：4． 5．（25-26八年级上·天津津南·月考）如图，等边三角形，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质得到，根据三角形外角的性质得到，又由已知即可证明，即可得到结论． 【详解】证明：∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，点D，E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F． (1)求证． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质． （1）根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）由（1）知，推出，再利用三角形外角的性质结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明∶∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）知， ∴， ∵，是等边三角形， ∴， ∴． 题型四 反证法证明中的假设 1．（25-26九年级上·福建福州·月考）用反证法证明：中，，则，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反证法：反证法的第一步是假设结论的否定． 【详解】解：∵结论是， ∴反证法第一步应假设． 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反证法，反证法需假设结论的反面成立，即假设． 【详解】解：∵要证明， ∴用反证法时，应假设 故选C． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了反证法，理解反证法的解题方法是解题的关键．反证法证明命题时，首先提出与命题的结论相反的假设． 【详解】解：∵ 原命题结论为， ∴ 其相反的假设为， 首先应假设， 故选：B． 4．（25-26九年级上·江西南昌·月考）用反证法证明“同弧所对的圆心角相等”时，首先应假设（   ） A．同弧所对的圆周角不相等 B．同弧所对的圆心角互余 C．同弧所对的圆心角互补 D．同弧所对的圆心角不相等 【答案】D 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的第一步是假设原命题的结论不成立是解题的关键． 根据反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即可求解． 【详解】解：反证法的第一步是假设原命题的结论不成立， 用反证法证明“同弧所对的圆心角相等”时，首先应假设“同弧所对的圆心角不相等”． 故选：D． 5．（25-26八年级上·河南南阳·月考）用反证法证明命题“若，则”时应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查命题，解题关键在于根据反证法定义即可求得答案．了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原命题成立． 【详解】解：∵反证法需假设结论的否定， ∴假设， 故选：B． 6．（25-26九年级上·江西宜春·月考）用反证法证明“若的半径为r，点P到圆心的距离，则点P在的内部”时，首先应假设（    ） A． B．点P在内部 C．点P在上 D．点P在上或点P在外部 【答案】D 【分析】本题考查了反证法的定义，反证法需假设原命题结论的否定，原结论为“点P在内部”，其否定为“点P不在内部”，即“点P在上或点P在外部”． 【详解】解：∵反证法首先假设命题结论不成立， ∴应假设“点P不在内部”，即“点P在上或点P在外部”． 故选：D． 7．（25-26八年级上·河南周口·月考）用反证法证明“已知，，则”时，应假设： ． 【答案】 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此应假设． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·山西朔州·月考）牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精良的武器之一”．如图，用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设 ． 【答案】 【分析】本题考查反证法，熟记反证法的解题步骤是解决问题的关键． 根据反证法的解题步骤，首先要否定结论，结合题目所给结论直接否定即可得到答案． 【详解】解：用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设， 故答案为：． 题型五 用反证法证明命题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则， ； ③假设不成立，所以一个三角形中 含有两个直角．（填“能”或“不能”） 【答案】 这与三角形内角和定理矛盾 不能 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 反证法通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原命题成立．本题假设三角形有两个直角，导致内角和大于，与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立． 【详解】解：假设中和都是直角， 则，，． 又， 则， 这与三角形内角和定理矛盾， 故假设不成立， 所以一个三角形中不能含有两个直角． 故步骤②填“这与三角形内角和定理矛盾”，步骤③填“不能”． 故答案为：这与三角形内角和定理矛盾，不能． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行公理的应用，同位角相等两直线平行，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 假设 ．过点 G作直线 ，使 ，推得，得出与平行公理矛盾，从而假设 不成立，得出结论成立． 【详解】证明：假设 ． 过点 G作直线 ， 使 ． 因为， 由平行线判定定理（同位角相等，两直线平行）， 可知 ． 又已知 ，则过 G有两条直线和都平行于， 这与平行公理（过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行）矛盾． 因此假设 不成立， 所以 ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：一个三角形中最大的内角不小于． 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法的应用及三角形内角和定理，解题的关键是通过假设与三角形内角和定理产生矛盾，从而证明原命题成立． 先假设原命题的反面成立（三角形最大内角小于），再结合三角形内角和定理推出矛盾，进而证明原命题正确． 【详解】证明：假设三角形中最大的内角小于， 那么三角形的三个内角都小于， 所以三个内角的和． 但根据三角形内角和定理，三角形的内角和为，这与上述结论矛盾． 故假设错误， 因此，一个三角形中最大的内角不小于． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，熟知反证法有如下三个步骤：（1）提出反证，（2）推出矛盾，（3）肯定结论．本题第一步先假设两直线不平行，则两直线相交，进而推出与垂直公理相矛盾，从而肯定原结论正确． 【详解】已知：直线，直线， 求证：． 证明：假设a与b不平行，则a与b相交于点M， ∵，， ∴过点M有两条直线a和b都垂直于直线c， 但根据垂直公理，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 这就产生了矛盾， ∴假设错误，故． 即在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 5．（25-26八年级上·山东聊城·月考）用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 【答案】详见解析 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【详解】证明：假设，都不大于零， 即，， 因为两个非正数相加还是非正数， 所以， 这与已知条件矛盾， 所以假设不成立． 所以，中至少有一个大于零． 6．（25-26八年级上·福建泉州·期中）华东师大版八年级上册数学课本第12—13页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，由的意义可得，即______．① 显然，是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①，得______． 显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【方法类比】类比上述说理过程，推理说明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证：． 证明：假设______________． 在中，， ∴______． ∵______， ∴______， ∴______， ∴与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立，即． (3)【迁移与应用】小明有一张长方形彩纸，面积为，长与宽之比为．他想用这张彩纸剪出一个半径为的圆形卡片作为生日贺卡，他能做到吗？ 【答案】(1)， (2)，，，， (3)不能做到，理由见解析 【分析】本题考查反证法，算术平方根的应用，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）按照步骤作答即可； （2）利用反证法证明即可； （3）设长方形的长为，宽为，根据面积为求出长方形的长和宽，与圆的直径进行比较即可． 【详解】（1）假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，由的意义可得，即．① 显然，是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①，得． 显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （2）证明：假设． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立，即． （3）不能做到，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴宽为， ∵圆的半径为， ∴圆的直径为； ∵， ∴不能做到． 题型一 根据等角对等边证明边相等 1．（25-26七年级上·湖南·期末）如图，平行四边形中，平分交边于点，则线段的长度分别为（　　） A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关几何性质进行求解． 先由平行四边形性质得到，结合平行线性质、角平分线定义得到，进而由等腰三角形的性质得到，再数形结合得到，代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江西赣州·月考）如图，已知平分，平分，且，设，，，则的周长是 ． 【答案】24 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定：等角对等边，平行线的性质等知识；由角平分线的性质及平行线的性质得：，则有，从而得的周长为，由此即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴的周长为： ， 故答案为：24． 3．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，将三等分，点D，在上． (1)求的度数； (2)写出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1) (2)、、，、 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形内角和定理，关键是掌握等角对等边． （1）由三角形内角和定理求出，，求出，由三角形的外角性质得到； （2）由等角对等边推出，，，，． 【详解】（1）解：， ，， ，将三等分， ， ； （2）解：，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中所有的等腰三角形是、、，、． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的外角． (1)尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的作法、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，掌握等角对等边和平行线的性质是解题的关键． （1）根据作角平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）运用角平分线的定义和平行线的性质推导，从而得到，继而得解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求的作角平分线； （2）证明：∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． 5．（25-26八年级上·全国·期中）如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据即可证明； （2）由全等三角形得到，再由等角对等边即可证明． 【详解】（1）证明： ， ， 即 在和中， （2）证明：由（1）可知，≌， ， ， 是等腰三角形． 6．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等边对等角、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由等边对等角可得，进而得到，由等角对等边可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 7．（25-26八年级上·云南红河·期中）如图，是的角平分线，交于点，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边证明等腰三角形，根据角平分线的定义以及平行线的性质得出，根据等角对等边即可得证． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 8．（25-26八年级上·河北衡水·期中）在中，D是边上的一点，，，． (1)求的度数； (2)若，，试用a、b表示的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等角对等边，掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）利用外角性质用表示出，由三角形内角和定理得出的度数，由此得出结论． （2）先求出，利用等角对等边求出，即可求出的周长． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：． 题型二 格点图中画等腰三角形 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据网格结构，分别以A、B为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有5个． 故答案为：5． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有 个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，掌握分类讨论思想是解题关键． 分类讨论为腰和为底的情况，结合网格特征逐一寻找符合条件的格点． 【详解】解： 等腰三角形的情况，可分类讨论： 当为腰时：如图，分别以、为圆心，长为半径画弧，可与个格点相交，则图中点可作为点； 当为底边时：如图，作的垂直平分线，可与个格点相交，则图中点可作为点． 综上，满足条件的点有个． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位． (1)请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为8个平方单位的等腰三角形； (2)请你在图2中画一个以格点为顶点，一条斜边长为的直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）找一个的正方形，正方形的面积为，其一半即为8，以此求解； （2）先作出斜边，再确定三角形． 【详解】（1）解：如图找一个的正方形，连结一条对角线，另两边为正方形的边，这样所构成的三角形为等腰三角形，面积即可为8个平方单位，即为所求（答案不唯一）； （2）如图，，，即为所求(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，格点图中画等腰三角形，在网格中判断直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 4．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图在网格中，点，为格点，按要求画出格点三角形． (1)在图①中画出以为腰的等腰三角形，则你画的等腰三角形的周长为______． (2)在图②中画出以为底的等腰三角形，则你画的等腰三角形的面积为______． 【答案】(1)画图见详解，周长：或或或（答案不唯一） (2)画图见详解，面积： 【分析】本题考查等腰三角形的作图和相关计算，掌握等腰三角形的定义和计算公式，正确画图是解题的关键． （1）根据题意作以为腰的等腰格点三角形，共有8种情况，再根据勾股定理分别计算即可求得周长； （2）根据题意作以为底的等腰格点三角形，共有2种情况，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）如图①中，即为所求，共8种情况． 第一种情况： 如上图中，即为所求， ，， 所画三角形的周长为； 同理可求出其他情况的周长分别为，，，，，，， 故答案为：或或或（答案不唯一）； （2）如图②中，即为所求，共2种情况． 第一种情况： 如上图中，即为所求， 是以为底的等腰三角形， ， ， ，即是直角三角形， 则面积为； 同理可得第二种情况的面积为； 故答案为：． 5．（25-26八年级上·广东江门·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，画轴对称图形，熟知等腰三角形的定义和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （2）如图所示，取格点D，连接，由网格的特点可得，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求（画出其中一个即可）； （2）解：如图所示，即为所求； 6．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、E、H均在格点上．只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中，以为边画一个三角形，使； (3)在图③中，画的高线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了网格中画等腰三角形，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （2）如图所示，取格点F，连接，根据网格的特点可得，则； （3）如图所示，取格点F，连接并延长交于D，可证明得到，则可证明，即． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 题型三 找出图中的等腰三角形 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和及外角性质定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理． 根据角平分线的定义、三角形内角和及外角性质定理确定各个角的度数，根据有两个相等内角的三角形是等腰三角形进行判断即可． 【详解】解析:∵， ∴ ∵是角平分线， ∴， ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴等腰三角形有，共8个． 故选：A． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 【答案】是等腰三角形，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识点，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可 【详解】解：是等腰三角形， 证明：平分， ， ， ， ， ， 即是等腰三角形 4．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点B为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】(1)、 (2)、 (3)等腰三角形有、；等边三角形有：． 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行解答即可； （3）根据等腰三角形定义和等边三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：以点B为顶点的三角形有：、； （2）解：以为边的三角形有：、； （3）解：，， ∴等腰三角形有、； ， ∴等边三角形有：． 5．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 【答案】(1)图中有6个三角形，分别是和 (2)直角三角形有和；等腰三角形有 【分析】本题考查三角形的个数，三角形的分类，熟练掌握三角形的基本概念，分类是解题的关键： （1）写出图中三角形，即可得出结果； （2）根据等腰三角形和直角三角形的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：图中有6个三角形，分别是和； （2）∵， ∴， ∴直角三角形有和， ∵， ∴是等腰三角形． 6．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)5，， (2)， 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据等腰三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：图中三角形有，，，，，共5个， 以点 C为顶点的三角形是，． （2）解：∵， ∴，是等腰三角形． 题型四 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 1．（25-26八年级上·湖北荆门·期中）平面直角坐标系中，已知点和，若动点在轴上运动，则使为等腰三角形的点有（   ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定，关键是分类讨论不同情况； 由三边两两相等需分三种情况讨论，又点在轴上，设坐标为，计算满足条件的值，并排除与点重合的情况． 【详解】解：设点 ∵ ， ， ， ， 当时， ， 解得：（舍）， ∴； 当时， ， ， ∴； 当时， ， 解得：， ∴ ； 综上，共4个． 故选：B 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知AOB，在x轴上确定点C，使ABC为等腰三角形，若，则符合条件的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、等边三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据等腰三角形的判定分类讨论即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 当为三角形的腰时，或均符合题意； 时，， ∴为等边三角形； 当为三角形的底时，作线段的垂直平分线与轴交于，此时， ∵， ∴为等边三角形，此时与重合； 故有两个点符合题意． 故选：B ． 3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，，若点P为直线上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．依据点为直线上一点，且为等腰三角形，需要分三种情况进行讨论，即①，②，③，据此通过画图即可得出点的位置． 【详解】解：∵， ∴， 如图所示，分别以为圆心，为半径作圆，交于点，作的垂直平分线，交于点， ∴为等腰三角形，则符合条件的点P有4个． 故选：D． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 根据题意三种情况：，，，作图解答即可． 【详解】解：由题意可分三种情况：，，， 作图可得： 由图可得点一共有个， 故选：A． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有 个． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；分类讨论是解决本题的关键． 根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点，即可得解． 【详解】解：要使为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，作线段的垂直平分线，与直线的交点为，此时有个； ②当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ③当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ∴这样的点有（个）， 故答案为：． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有 个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有 个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【详解】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下： 当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为：． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在直线上能否找到点A，使以为一边的是等腰三角形，如果能的话，试着把它找出，并把它画出来． 【答案】见解析 【分析】本题考查作等腰三角形，根据“两圆一线”作图即可，分别以、为圆心，长为半径画圆与直线的交点以及作的垂直平分线与的交点即为点A，使以为一边的是等腰三角形． 【详解】解：所有满足条件的点A如图所示： 题型五 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点C在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．5个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主考查了等腰三角形的判定以及分类讨论思想的运用，分三种情况分别讨论是解题的关键．先求出，分类讨论时，时，时，再分别求在轴上或轴上，可以借助圆规画圆与坐标轴的交点个数得出结论． 【详解】解：∵， ， 当时，以点为圆心以为半径画圆，与轴有两个交点，其中有一个三点共线，所以只有一个点； 当时，以点为圆心以为半径画圆，与轴有两个交点，其中有一个三点共线，所以只有一个点； 当时，作的垂直平分线过原点； 综合得，共有 3 个交点， 故选：B．    2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 3．（21-22八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】①以B为圆心，长为半径画弧，交于点D，就是等腰三角形； ②以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，就是等腰三角形； ③以C为圆心，长为半径画弧，交于点F，就是等腰三角形； ④作的垂直平分线交于点H，就是等腰三角形； ⑤作的垂直平分线交于G，则是等腰三角形； ⑥作的垂直平分线交于I，则和都是等腰三角形． ⑦作的垂直平分线交于M，则和都是等腰三角形． 【详解】解：作图如下 故选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用；解题的关键是理解能力和动手操作能力． 4．（24-25八年级上·全国·期中）点是等边三角形所在平面上一点，若和的三个顶点所组成的、、都是等腰三角形，则这样的点的个数为 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定及等边三角形的性质，线段垂直平分线性质等知识点的综合运用，解题时注意分类思想的运用，根据题意画出图形，即可求解． 【详解】解：①以为圆心，为半径画弧交的垂直平分线于点，两点；以为圆心，为半径弧交的垂直平分线于点，这样在的垂直平分线上有三点， ②同样在，的垂直平分线上也分别有三点； ③还有一点就是，，三条边的垂直平分线的交点； 共点． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．      (1)请画出关于轴对称的 (2)直接写出，，三点的坐标； (3)在轴上找出点，使得点到点、点的距离之和最短（保留作图痕迹） (4)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，符合条件的点有 个． 【答案】(1)见解析 (2)， ， (3)见解析 (4) 【分析】（1）由点的对称性，作出图形即可； （2）关于轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求； （4）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解． 【详解】（1）如图1：即为所求，    （2）由图可知，， 点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为， ， ， （3）如图2：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求；    ∴， 此时值最小； （4）如图：以为圆心，长为半径做圆，此圆与坐标轴有个交点， 以为圆心，长为半径做圆，此圆与坐标轴有个交点，    作线段的垂直平分线，此线与坐标轴有个交点， ∴是等腰三角形时，点坐标有个， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称作图，图形与坐标，熟练掌握轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键． 6．（22-23八年级上·湖北鄂州·期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称 (1)画出△A1B1C1和△A2B2C2； (2)在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）； (3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则 这样的Q点有　 　个. 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)7 【分析】（1）利用平移的性质以及轴对称的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）利用轴对称求最短路线的方法得出点位置； （3）利用等腰三角形的性质进而得出符合题意的答案． 【详解】（1）如图所示：和即为所求, （2）(2)如上图所示：作的对称点，连接和与轴的交点即可，点即为所求； （3）如图所示：即为所求，共个点 故答案为. 【点睛】本题主要考查了根据平移的性质、轴对称的性质来画图，利用轴对称求最短路径问题，利用等腰三角形的性质来找点，能够理解并且运用这些性质是解题的关键． 题型六 等腰三角形的性质与判定 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若线段，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查平行线的性质，等角对等边，熟练掌握平行线的性质，等角对等边是解题的关键．根据平行线的性质，结合角平分线的定义，推出，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6． 2．（25-26八年级上·山东德州·期中）已知：如图，在中，点、在边上，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是本题的关键． （1）作于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到，相减后即可得到正确的结论． （2）根据等边三角形的判定得到是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． 【详解】（1）证明：作于点， ， ， ， ， 即． （2）， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，D是的中点，E、F分别在上，且． (1)求证： (2)若，求的长 (3)求证： 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题意得，证明 ，即可求证； （2）由（1）得 ，，再根据勾股定理即可求解； （3）由（1）得，即可知，可推出，即可求解. 【详解】（1）证明：连接 ∵ ，D是中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， （3）∵ ∴ ∴ ∵ D是中点 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，面积求解等相关知识点，解题关键在于熟悉各个知识点，并能综合运用. 4．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在四边形中，，平分，且，过点作于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求四边形面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据角平分线定义得出，进而根据，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）在中，勾股定理得出，根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图，，， ． 平分， ． 在和中， ． ． ． ． （2）解：在中，，，， ． 由（1），知：， ． 四边形的面积． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）由得是直角三角形，结合，利用直角三角形两锐角互余，求出，依据是等腰三角形，由等腰三角形中若有一个内角为，则该三角形为等边三角形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）∵于点D， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得为等腰三角形； ∴为等边三角形 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1，，， (1)求证：； (2)若，设，求的值； (3)如图2，若，延长交于，设，，猜想，满足的关系式并证明． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)，证明见解析 【分析】（1）利用“角角边”证明，即可； （2）根据全等三角形的性质可得，再由，可得，从而得到，即可求解； （3）根据，可得，证明为等腰直角三角形，可 ，，再由是等腰直角三角形，以及，可得，，从而得到，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键． 题型七 等边三角形的性质与判定 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D为边上一点，连接，，过点C在的右侧作，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，证明是等边三角形是解题的关键． 由得，由得，进而可得，证明是等边三角形，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 又， ， 是等边三角形， ， ， 故选：A． 2．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）如图，在中，，，．将沿BC所在直线向右平移得到，连接．若，则线段的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平移的性质、等边三角形的判定，解题的关键是利用平移性质得到相等线段，结合角度条件分析三角形形状并计算． 求出，结合证明为等边三角形即可求解． 【详解】解：∵，， ， ，， 是等边三角形， ∴， 故答案为：5． 3．（25-26八年级上·天津·月考）如图，在中，，，点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，由题意可得，，作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，，从而可得，当、、三点共线且时，的值最小，即此时最小，证明、、三点共线，求出，再由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴为等边三角形， ∴，， 如图，作点关于的对称点，连接， ， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当、、三点共线且时，的值最小，即此时最小， ∵， ∴、、三点共线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，，，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． 延长、交于点，可得是等边三角形，设，则，．在中，，那么，即可建立方程求解． 【详解】解：延长、交于点． ， ． ，， ， 是等边三角形． 设， ，． ∵在中，， ， ， 解得， ． 5．（25-26八年级上·天津西青·月考）如图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角．已知，牧民赶着羊从地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地． （1）能否求出整个过程所走的最短路程？ ．（用“能”或“否”填空）； （2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由 【答案】 能 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质． （1）根据“两点之间，线段最短”即轴对称的性质可知能求出整个过程所走的最短路程； （2）作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交直线，于点B，C，连接，即为放牧所走的最短路线．连接，根据轴对称的性质可知，，，，，即，，进而根据等边三角形的判定和性质作答即可． 【详解】解：（1）根据“两点之间，线段最短”即轴对称的性质可知能求出整个过程所走的最短路程； 故答案为：能； （2）如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交直线，于点B，C，连接，即为放牧所走的最短路线． 连接， ∵作点关于的对称点，作点关于的对称点， ∴，，，，， 即，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是等边三角形，D是延长线上一点，平分，且． 求证：是等边三角形． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质定理和判定定理，三角形全等的判定定理和性质定理，并熟练应用． 根据等边三角形的性质和角平分线的定义，先证，得，，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可得答案． 【详解】证明：是等边三角形 ， ， 平分， ， ， 在和中 ， ，， ， 是等边三角形． 7．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）如图，在中，，，点是外一点，且，过点作分别交，于点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)5 【分析】本题主要考查的等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）由，，得是等边三角形，根据平行线的性质及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，交于点，由，，得是线段的垂直平分线，根据等边三角形三线合一得，再根据平行线的性质得，根据等角对等边得，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ，， 是等边三角形． ． ， ，． ． 是等边三角形． （2）如图，连接，交于点， ，， 是线段的垂直平分线． ． 又， ． ， ． ． ． ． 由（1）知是等边三角形， ． ． 8．（25-26八年级上·天津·月考）如图，等腰中，，，，点D在线段上运动（不与，重合），将与分别沿直线，翻折得到与． (1)的长度为_______； (2)求的度数； (3)当点D是的中点时，判断是何种三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质即可得出结果； （2）由折叠的性质可得，，结合题意求出，即可得出结果； （3）由折叠的性质可得，，证明为等边三角形，得出，，同理可得是等边三角形，得出，，求出，结合题意得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵将与分别沿直线，翻折得到与， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵将与分别沿直线，翻折得到与， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下： ∵将与分别沿直线，翻折得到与， ∴，， ∵等腰中，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 同理可得：是等边三角形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 题型八 含30°角的直角三角形 1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识点．先根据直角三角形两锐角互余得到，再由外角结合等腰三角形的判定得到，最后由含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质与角平分线的定义，通过角度计算得到线段的等量关系是解题关键． 根据，，平分，可得，，再由，可得，根据可得长度． 【详解】解：，， ， BD平分， ， ， ， ， ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·福建泉州·月考）如图，在中，，是边上的高，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查含角的直角三角形，解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．由角的直角三角形的性质推出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴ ∴的长为． 故答案为： ． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为等边三角形，过点B作，过点A作，垂足为D，已知的周长是24，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形及等边三角形的性质，难度适中，关键是掌握30度角所对的直角边为斜边的一半． 首先求出，，然后得到，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】∵为等边三角形，的周长是24， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 故答案为：4． 5．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，．点是边上的一个动点，当时，则的度数为 ． 【答案】75°/75度 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线间距离相等．直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；等腰三角形的两底角相等．掌握直角三角形和等腰三角形的性质是解题的关键． 过点作，由，则有，根据，可计算出，在中，，则有，所以，根据等腰三角形性质即可计算出． 【详解】解：过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，则有， ∴， ∴为等腰三角形， ∴． 故答案为：． 6．（2026九年级·全国·专题练习）如图，运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得米，仰角为，3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米/秒，参考数据：） 【答案】火箭从A到B处的平均速度约为335米/秒 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，解一元一次方程，解题的关键是掌握以上性质． 设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，表示出相关线段的长度，利用勾股定理和含角的直角三角形的性质，求出相关线段的长度，利用等腰直角三角形的判定和性质得出，然后利用线段相等列出方程求解即可． 【详解】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知，， 在中，，米， 米， ∴由勾股定理得（米）． 米， （米）， 在中，， ． ， ， 解得． 答：火箭从A到B处的平均速度约为335米/秒． 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是等边三角形，是边上一点，以为一边向上作等边，连接． (1)求证： (2)若，求的度数 (3)在（2）的条件下，若，求的长 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质和即可证明结论； （2）求出的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案； （3）根据（2）所求，结合等边三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴． 8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质； （1）根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解； （2）根据含度角的直角三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，即可得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴， ∴． 题型一 等腰三角形的综合应用 1．（25-26八年级上·山西忻州·月考）高效路径规划中的转化策略 在数学与实际问题解决中，我们常常通过转化，将陌生情境转化为熟悉模型．“最短路径”问题便是经典范例，其核心思想在物流规划、电路设计、交通优化等领域有着广泛应用． 情境导入 某新建社区计划在主干道上设立一个便民配送中心，用于同时服务位于同侧的居民区和商业区．为保证配送效率，需确定点的位置，使得从到，再从到的总路程最短．该问题可抽象为以下几何模型： 问题一：基础模型构建 （1）如图1，已知直线外有两点和位于异侧．请你在直线上确定一个点，使最短（保留作图痕迹，不写作法），这其中的道理是_____________． 问题二：实际应用作图 （2）已知直线及同侧两点A，B的位置如图2所示．请使用尺规作图，在上标出使最短的点的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 问题三：拓展情境探究 （3）如图3，该社区进一步优化服务，在两条交叉的道路与旁分别设立了“智能快递柜”与“便民缴费点”．居民王阿姨需要从家出发，先到道路上的快递柜取件，再到道路上的缴费点办理业务，最后回到家． ①请分别在边，上各找一点E，F，使得走过的路程最短．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示） ②若，，求的周长的最小值． 【答案】（1）见解析，两点之间，线段最短；（2）见解析；（3）①见解析；②10 【分析】（1）利用两点之间，线段最短求解； （2）作点关于直线的对称点，连接，利用两点之间，线段最短求解； （3）①分别作点关于、的对称点、，连接分别交、于点、即可求解； ②先得出垂直平分，从而可得，，，于是有，从而可证明，根据全等三角形的性质可得，，再证明，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，然后证明是等边三角形，从而可得，，进而求得，即可得出的周长的最小值为10． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． 这其中的道理是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短； （2）解：如图2，点即为所求； （3）①解：如图3，点，点即为所求； ②解：连接，，， 由题意得：垂直平分 ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为10． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短，全等的性质和综合，等边三角形的判定和性质，根据成轴对称图形的特征进行求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 2．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）在和中，，射线相交于点． (1)如图1，当时，则与的数量关系为：___________，____________； (2)如图2，当时，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)如图3，当时，连接，当三点刚好在同一直线上时，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，； （2）仿照（1）可证，根据全等三角形的性质可得，，根据三角形外角的性质可以求出； （3）可证，根据全等三角形的性质可得，根据对顶角相等可得，根据三角形内角和定理可得． 【详解】（1）解：， ， ， 又，， 在和中，， ， ，， ，， ， ； 故答案为：，； （2）解：，， 理由如下： ， ， ， 又，， 在和中，， ， ，， ，， ， 是的外角， ， ，， ； （3）解：如下图所示， ， ， ， 又，， 在和中，， ， ， 又， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和定理和三角形外角的性质找角之间的关系． 3．（25-26八年级上·北京海淀·月考）如图，是等边三角形，D，E两点是边和上的动点（点D不与点B重合），满足，与交于点F． (1)直接写出的度数； (2)作点B关于直线的对称点M，连接，点N为的中点，连接． ①依题意补全图形： ②请写出一个k的值，使得对于满足上述条件的任意一点F，总有成立，并证明． ③设等边三角形的边长为2，直接写出周长的最小值为__________． 【答案】(1) (2)①见解析；②当时，，证明见解析；③6 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，则可证明，得到，再根据三角形外角的性质可得答案； （2）①根据题意画出图形即可；②延长到Q，使得，连接，可证明，得到，，则可证明，得到；延长到P，使得，连接，则是等边三角形，证明，得到，则可证明是等边三角形，据此可得结论；③作点M关于直线的对称点T，连接，可证明的周长，则当D、C、T三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长加上2；证明是等边三角形，得到，则，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：①依题意补全图形如图所示； ②当时，，证明如下： 由（1）知， 如图所示，延长到Q，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴； 由轴对称的性质可得； ∵点N为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图所示，延长到P，使得，连接，则是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ③如图所示，作点M关于直线的对称点T，连接， ∵等边的边长为2， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∵点M为定点， ∴点T为定点， ∵， ∴当D、C、T三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长加上2； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图1，在等边三角形中，于D，于E，与相交于点O． (1)求证：； (2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：； (3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：、、三条线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）利用等边三角形的“三线合一”性质，结合“直角三角形角所对的直角边是斜边的一半”进行证明． （2）是等边三角形的中垂线，可得，再通过角的计算推导角的关系，结合全等三角形证明线段相等． （3）通过构造全等三角形，将、转化为的组成部分，进而推导线段的和差关系． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 又，， 平分，平分， ，， ，， 又在中，，， ， ． （2）证明：，， ，， ， 又平分， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （3） 证明如下： 如图，连接，在上截取，连接， ，， ，， ，， 又，等边三角形． ，， ，， ， 在和中， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义．紧扣等边三角形的性质，通过证明全等三角形，将线段、角的关系进行转化是解题关键． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3等腰三角形 题型一 等边对等角 1．（25-26八年级上·全国·期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26八年级上·天津西青·月考）等腰三角形有一个角是，则它的底角是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽马鞍山·月考）如图，若相交于点E，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点D在上，连接，若，，则的度数为 ． 5．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）如图，在中，，沿直线翻折，使得点与点重合，若，则的度数是 ． 6．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，等腰三角形中，，在上取一点，使，过点作交于点，过点作交于点E，交于点．若，则 °． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点为边的中点，连接，为上一点，连接．若，，求的度数． 题型二 三线合一 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，D是的中点，，则的大小为 ． 4．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在四边形中，，若，则的长为 ． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在五边形中，，，，点是的中点，求证：． 6．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：； (2)求的大小． 7．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”．（要求：画出图形，写出已知、求证，并证明） 已知：如图，在中，______． 求证：______． 题型三 等边三角形的性质 1．（24-25七年级下·全国·期末）如图，将边长为的等边沿边向右平移得到，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·天津滨海新·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，图中能够表示的最小值的是下列哪条线段的长（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起，于是我们得到一个等边三角形，，则的面积为 ． 4．（25-26八年级上·广东·期末）等边三角形的面积为，则其边长为 ． 5．（25-26八年级上·天津津南·月考）如图，等边三角形，，，求证：． 6．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，点D，E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F． (1)求证． (2)求的度数． 题型四 反证法证明中的假设 1．（25-26九年级上·福建福州·月考）用反证法证明：中，，则，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（    ） A． B． C．且 D．且 4．（25-26九年级上·江西南昌·月考）用反证法证明“同弧所对的圆心角相等”时，首先应假设（   ） A．同弧所对的圆周角不相等 B．同弧所对的圆心角互余 C．同弧所对的圆心角互补 D．同弧所对的圆心角不相等 5．（25-26八年级上·河南南阳·月考）用反证法证明命题“若，则”时应先假设（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江西宜春·月考）用反证法证明“若的半径为r，点P到圆心的距离，则点P在的内部”时，首先应假设（    ） A． B．点P在内部 C．点P在上 D．点P在上或点P在外部 7．（25-26八年级上·河南周口·月考）用反证法证明“已知，，则”时，应假设： ． 8．（25-26九年级上·山西朔州·月考）牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精良的武器之一”．如图，用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设 ． 题型五 用反证法证明命题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则， ； ③假设不成立，所以一个三角形中 含有两个直角．（填“能”或“不能”） 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：一个三角形中最大的内角不小于． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 5．（25-26八年级上·山东聊城·月考）用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 6．（25-26八年级上·福建泉州·期中）华东师大版八年级上册数学课本第12—13页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，由的意义可得，即______．① 显然，是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①，得______． 显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【方法类比】类比上述说理过程，推理说明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证：． 证明：假设______________． 在中，， ∴______． ∵______， ∴______， ∴______， ∴与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立，即． (3)【迁移与应用】小明有一张长方形彩纸，面积为，长与宽之比为．他想用这张彩纸剪出一个半径为的圆形卡片作为生日贺卡，他能做到吗？ 题型一 根据等角对等边证明边相等 1．（25-26七年级上·湖南·期末）如图，平行四边形中，平分交边于点，则线段的长度分别为（　　） A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 2．（25-26八年级上·江西赣州·月考）如图，已知平分，平分，且，设，，，则的周长是 ． 3．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，将三等分，点D，在上． (1)求的度数； (2)写出图中所有的等腰三角形． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的外角． (1)尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形． 5．（25-26八年级上·全国·期中）如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 6．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 7．（25-26八年级上·云南红河·期中）如图，是的角平分线，交于点，求证：是等腰三角形． 8．（25-26八年级上·河北衡水·期中）在中，D是边上的一点，，，． (1)求的度数； (2)若，，试用a、b表示的周长． 题型二 格点图中画等腰三角形 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有 个． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位． (1)请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为8个平方单位的等腰三角形； (2)请你在图2中画一个以格点为顶点，一条斜边长为的直角三角形． 4．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图在网格中，点，为格点，按要求画出格点三角形． (1)在图①中画出以为腰的等腰三角形，则你画的等腰三角形的周长为______． (2)在图②中画出以为底的等腰三角形，则你画的等腰三角形的面积为______． 5．（25-26八年级上·广东江门·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 6．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、E、H均在格点上．只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中，以为边画一个三角形，使； (3)在图③中，画的高线． 题型三 找出图中的等腰三角形 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 4．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点B为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 5．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 6．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 题型四 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 1．（25-26八年级上·湖北荆门·期中）平面直角坐标系中，已知点和，若动点在轴上运动，则使为等腰三角形的点有（   ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知AOB，在x轴上确定点C，使ABC为等腰三角形，若，则符合条件的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，，若点P为直线上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有 个． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有 个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有 个． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在直线上能否找到点A，使以为一边的是等腰三角形，如果能的话，试着把它找出，并把它画出来． 题型五 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点C在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．5个 D．7个 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（21-22八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（24-25八年级上·全国·期中）点是等边三角形所在平面上一点，若和的三个顶点所组成的、、都是等腰三角形，则这样的点的个数为 5．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．      (1)请画出关于轴对称的 (2)直接写出，，三点的坐标； (3)在轴上找出点，使得点到点、点的距离之和最短（保留作图痕迹） (4)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，符合条件的点有 个． 6．（22-23八年级上·湖北鄂州·期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称 (1)画出△A1B1C1和△A2B2C2； (2)在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）； (3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则 这样的Q点有　 　个. 题型六 等腰三角形的性质与判定 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若线段，则 ． 2．（25-26八年级上·山东德州·期中）已知：如图，在中，点、在边上，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，D是的中点，E、F分别在上，且． (1)求证： (2)若，求的长 (3)求证： 4．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在四边形中，，平分，且，过点作于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求四边形面积． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1，，， (1)求证：； (2)若，设，求的值； (3)如图2，若，延长交于，设，，猜想，满足的关系式并证明． 题型七 等边三角形的性质与判定 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D为边上一点，连接，，过点C在的右侧作，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）如图，在中，，，．将沿BC所在直线向右平移得到，连接．若，则线段的长为 ． 3．（25-26八年级上·天津·月考）如图，在中，，，点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，则 ． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，，，若，，求的长． 5．（25-26八年级上·天津西青·月考）如图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角．已知，牧民赶着羊从地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地． （1）能否求出整个过程所走的最短路程？ ．（用“能”或“否”填空）； （2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是等边三角形，D是延长线上一点，平分，且． 求证：是等边三角形． 7．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）如图，在中，，，点是外一点，且，过点作分别交，于点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 8．（25-26八年级上·天津·月考）如图，等腰中，，，，点D在线段上运动（不与，重合），将与分别沿直线，翻折得到与． (1)的长度为_______； (2)求的度数； (3)当点D是的中点时，判断是何种三角形，并说明理由． 题型八 含30°角的直角三角形 1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是（    ） A． B．2 C．1 D． 3．（25-26九年级上·福建泉州·月考）如图，在中，，是边上的高，，，则的长为 ． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为等边三角形，过点B作，过点A作，垂足为D，已知的周长是24，则的长为 ． 5．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，．点是边上的一个动点，当时，则的度数为 ． 6．（2026九年级·全国·专题练习）如图，运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得米，仰角为，3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米/秒，参考数据：） 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是等边三角形，是边上一点，以为一边向上作等边，连接． (1)求证： (2)若，求的度数 (3)在（2）的条件下，若，求的长 8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； (1)求的度数； (2)若，求的长． 题型一 等腰三角形的综合应用 1．（25-26八年级上·山西忻州·月考）高效路径规划中的转化策略 在数学与实际问题解决中，我们常常通过转化，将陌生情境转化为熟悉模型．“最短路径”问题便是经典范例，其核心思想在物流规划、电路设计、交通优化等领域有着广泛应用． 情境导入 某新建社区计划在主干道上设立一个便民配送中心，用于同时服务位于同侧的居民区和商业区．为保证配送效率，需确定点的位置，使得从到，再从到的总路程最短．该问题可抽象为以下几何模型： 问题一：基础模型构建 （1）如图1，已知直线外有两点和位于异侧．请你在直线上确定一个点，使最短（保留作图痕迹，不写作法），这其中的道理是_____________． 问题二：实际应用作图 （2）已知直线及同侧两点A，B的位置如图2所示．请使用尺规作图，在上标出使最短的点的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 问题三：拓展情境探究 （3）如图3，该社区进一步优化服务，在两条交叉的道路与旁分别设立了“智能快递柜”与“便民缴费点”．居民王阿姨需要从家出发，先到道路上的快递柜取件，再到道路上的缴费点办理业务，最后回到家． ①请分别在边，上各找一点E，F，使得走过的路程最短．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示） ②若，，求的周长的最小值． 2．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）在和中，，射线相交于点． (1)如图1，当时，则与的数量关系为：___________，____________； (2)如图2，当时，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)如图3，当时，连接，当三点刚好在同一直线上时，请直接写出的度数． 3．（25-26八年级上·北京海淀·月考）如图，是等边三角形，D，E两点是边和上的动点（点D不与点B重合），满足，与交于点F． (1)直接写出的度数； (2)作点B关于直线的对称点M，连接，点N为的中点，连接． ①依题意补全图形： ②请写出一个k的值，使得对于满足上述条件的任意一点F，总有成立，并证明． ③设等边三角形的边长为2，直接写出周长的最小值为__________． 4．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图1，在等边三角形中，于D，于E，与相交于点O． (1)求证：； (2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：； (3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：、、三条线段之间的数量关系，并证明． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 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