2026届高考数学模拟卷（一）（全国适用）

2026届高考数学终极押题卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A B. C. D. 3. 小胡同学测得连续10天的最低气温分别为（单位：），则这组数据的分位数为（ ） A. 8 B. 8.5 C. 12 D. 13 4. 已知向量，，设，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且AB边上的高等于，则 （ ） A. B. C. D. 7. 把6名技术员分到3个车间工作，分到3个车间的人数各不相同，每个车间至少1人，则不同的分配方案共有（　　） A. 270种 B. 540种 C. 720种 D. 360种 8. 已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（　　） A. B. 2 C. D. 2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，且在方向的投影向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知正方体的棱长为2，，分别是棱的中点，动点满足，其中，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则平面平面 B. 若，则与所成角的取值范围为 C. 若，则平面 D. 若，则线段长度的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为________. 13. 正整数满足，则的最大值为_______． 14. 英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有__________种（用数字作答）. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%． （1）在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望； （2）设输入问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，且不与和重合，平面交棱于点． （1）求证：； （2）若为棱的中点，求二面角的正弦值； （3）记点到平面的距离分别为，求的最大值． 17. 已知双曲线经过点，离心率为． （1）求的方程． （2）已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点． ①若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程； ②若经过点，且，求的方程． 18. 已知函数，函数是定义在的可导函数，其导数为，满足. （1）令函数，求证：在上是减函数； （2）若在上单调递减，求实数取值范围； （3）对任意正数，试比较与的大小. 19. 对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中； （1）数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列？请说明理由. （2）正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值； （3）设为数列的一阶差分数列，令，其中，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学终极押题卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合里面的不等式解集，然后根据集合交集的概念求出结果即可. 【详解】因为集合，所以， 所以，所以. 因为集合，解得， 所以. 所以. 故选：C. 2. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，再利用复数模的定义即可求得的值. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3. 小胡同学测得连续10天的最低气温分别为（单位：），则这组数据的分位数为（ ） A. 8 B. 8.5 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】利用百分位数定义即可得解. 【详解】将这组数据从小到大排列为：， 又，所以这组数据的分位数为13. 故选：D. 4. 已知向量，，设，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合向量坐标运算公式求，，再求，，，再结合向量夹角公式求结论. 【详解】因为，， 所以， ， 所以，， ， 设与的夹角为， 则，又， 所以，即与的夹角为. 故选：C. 5. 若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角公式可得，根据齐次式可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且AB边上的高等于，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据余弦定理求，再结合图形，通过所设边长，结合正弦定理，即可求解. 【详解】由题意得，． 设，垂足为D，易知点D在AB的延长线上，如图所示， 不妨设，则，，则，，， 由，解得． 故选：D 7. 把6名技术员分到3个车间工作，分到3个车间的人数各不相同，每个车间至少1人，则不同的分配方案共有（　　） A. 270种 B. 540种 C. 720种 D. 360种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分组分配法，即利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】每个车间至少分配一名技术员且人数各不相同,故三个车间分配到技术员的人数为1，2，3， 故共有种不同的分配方案. 故选：D. 8. 已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（　　） A. B. 2 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件，使用正弦定理转化为，代入计算出最大值，再使用余弦定理计算出，从而得出，使用面积公式计算出面积的最大值. 【详解】已知，由正弦定理化简得：， 代入得： ，当且仅当“”时取等， 由余弦定理可得：，， 由同角三角函数关系可得：， 则面积. 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将指数式化为对数式，利用函数的单调性可得A正确；再利用函数的运算性质得B正确；利用不等式放缩可得C正确，D正确. 【详解】由得, 对于选项A：因为函数在单调递增，所以，即，故A正确 对于选项B：，故B错误 对于选项C:因为，，所以，由B得，即， 故C正确 对于选项D：由B得，所以， 即，故D正确 故选：ACD 10. 已知向量，且在方向的投影向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由向量共线的坐标形式求解后可判断正误；对于B， 由向量垂直的坐标形式求解后可判断正误，对于CD，利用投影向量公式计算后可判断正误. 【详解】对于A，因为，故，故，故A错误； 对于B，因为，故，整理得， 故，故，故B正确； 对于C，由题设有在方向的投影向量为，故， 故即，故C错误， 对于D，由C的分析可得，故，故D成立. 故选：BD. 11. 已知正方体的棱长为2，，分别是棱的中点，动点满足，其中，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则平面平面 B. 若，则与所成角的取值范围为 C 若，则平面 D. 若，则线段长度的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由的取值确定动点所在线段，A项先证明线面垂直，再证面面垂直即可；BD项建系，利用向量方法分别求解线线角与长度可得；C项由线线平行得线面平行，再得面面平行，由此线面平行得证. 【详解】A项，如图，取线段的中点Q，连接AQ、DE. ，， 若，则， 则三点共线，即点P在线段AQ（不包含点）上运动； 由分别是线段的中点，则与全等， 则，， 所以. 由平面，， 得平面，平面，所以， 又平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以平面平面，故A正确； B项，， 若，则， 则三点共线，即点P在线段AC（不包含点）上运动； 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 由， 则 又， 所以， ， 因为，则，， ，因为与所成角锐角或直角， 故与所成角的取值范围为，故B错误； C项， 如图，过作，交于，则为中点. 延长至，使，连接. 取的中点，连接，交于，则为中点，连接. 由，且， 得四边形为平行四边形，则， 由，则，则四点共面. 由，所以， 平面，平面， 则平面，同理，平面， 又平面，平面，， 故平面平面. 若，由，可得， ，， 则三点共线，即点P在线段MN（不包含点）上运动； 又平面， 故平面，故C正确； D项，如图，连接. 若，由，可得， ，， 与C项同理可得，点P在线段NG上运动. 连接，同选项B建系， 则有， 则， ，所以， 则， 故当时，线段长度的最小值为，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛，应用向量加减法的几何意义（平行四边形法则与三角形法则）确定动点的轨迹是解决此类题型的关键所在. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据渐近线方程，可得，根据以及离心率公式可得答案. 【详解】因为渐近线方程， 所以，则，， 故离心率为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程和离心率公式，属于基础题. 13. 正整数满足，则的最大值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】当取最小的正整数时，所求最大. 【详解】，要使其最大，则都最小即可， 因为，且为正整数，故取， 此时， 故答案为： 14. 英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有__________种（用数字作答）. 【答案】216 【解析】 【分析】如图，将6个行政区标上序号，根据分步乘法计数原理，按照一定的顺序对各个区域进行涂色，同时考虑相邻区域颜色不同的限制条件即可求解. 【详解】如图，将6个行政区标上序号， 区域1有4种颜色可选，共4种方法； 区域2与区域1相邻，不能与区域1同色，有3种颜色可选，共3种方法； 区域3与区域1、2相邻，不能与区域1、2同色，有2种颜色可选，共2种方法； ①若区域4与区域2同色，有1种颜色可选，此时区域5与区域2不同色且有2种涂色方法，此时区域6有2种涂色方法； ②若区域4与区域2不同色，有1种颜色可选，此时若区域5与区域2同色，有1种涂色方法，区域6有3种涂色方法， 若区域5与区域2不同色，有1种涂色方法，区域6有2种涂色方法， 所以一共有种方法. 故答案为：216. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%． （1）在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望； （2）设输入问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值． 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）由题知X的所有取值为1，2，3，4，求出对应的概率，可得其分布列与数学期望； （2）利用全概率公式表示出回答被采纳的概率，结合条件代入可得关于的方程，解方程即可. 【小问1详解】 由题可知X的所有取值为1，2，3，4， ， ， ， ， 故X的分布列为： X 1 2 3 4 P 则． 【小问2详解】 记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“回答被采纳”为事件C， 由已知得，，，，，， 所以由全概率公式得， 解得． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，且不与和重合，平面交棱于点． （1）求证：； （2）若为棱的中点，求二面角的正弦值； （3）记点到平面的距离分别为，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题干易得平面，又平面平面，所以； （2）取的中点，可证明以且，由此可建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，即可求出二面角的正弦值； （3）设，求出此时平面的法向量，由此可算得，得到的解析式，利用导数求得其最大值. 【小问1详解】 因为，且平面平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以； 【小问2详解】 取的中点，连接，则，又， 所以四边形为平行四边形， 因为平面平面，所以，故四边形为矩形， 在中，，又， 所以在中，，所以． 因为平面平面，所以， 又因为平面，且，所以平面， 以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． ， 设平面的法向量为，则， 即，可取． 设平面的法向量为，则， 即，可取． 设二面角的大小为， 则 则二面角的正弦值为； 【小问3详解】 设，则， 设平面的法向量为， 则，即，可取． 因为， 所以， 故，设，则， 令，得，解得（舍去），， 故时，时，， 所以， 故的最大值为． 17. 已知双曲线经过点，离心率为． （1）求的方程． （2）已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点． ①若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程； ②若经过点，且，求的方程． 【答案】（1） （2）①；②或或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）①设点、，设点，设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，进而可得出点的轨迹方程； ②分三种情况讨论，与轴重合、轴、直线的斜率存在且不为零，前两种情况直接验证即可；在第三种情况下，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线方程联立，求出线段的中点，分析可知，结合斜率关系可求出的值，综合可得出直线的方程. 小问1详解】 由题意可得，解得，故双曲线的方程为. 小问2详解】 ①设点、，设点， 设直线的方程为，联立可得， 则， 由韦达定理可得，可得， 则，即点的轨迹方程为； ②易知点、，若直线与轴重合，则、为双曲线的顶点， 显然，不合乎题意； 若直线轴，由对称性可知， 点、关于轴对称，则； 当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 设点、， 联立可得， 由题意可得，解得， 由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为， 若，则，，， 所以，，解得. 综上所述，直线的方程为或或. 18. 已知函数，函数是定义在的可导函数，其导数为，满足. （1）令函数，求证：在上是减函数； （2）若在上单调递减，求实数取值范围； （3）对任意正数，试比较与的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意对函数求导，即可判断出单调性； （2）由已知函数单调性可得不等式，参变分离转化为最值问题，求导，根据单调性即可求得； （3）根据第一问的单调性并结合作商法以及不等式的性质来证明. 【小问1详解】 依题意，得. ，又 在上恒成立，在上是减函数. 【小问2详解】 在上单调递减，恒成立， 又由， 令， ， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以 ，根据均值不等式， 当且仅当时等号成立，此时， ， 又因为，所以. 【小问3详解】 ，由（1）知在上是减函数： 所以，即， 要想比较与的大小. 考虑，根据可得 令，则， 因为， 则， . 19. 对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中； （1）数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列？请说明理由. （2）正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值； （3）设为数列的一阶差分数列，令，其中，证明：. 【答案】（1）不是，是，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据数列的通项公式求出的通项公式，利用等差数列的定义，结合特例法判断即可. （2）由存在，使得，可得，由，可得，分类讨论可求的值； （3）由一阶差分数列的定义可得，则，先证明中，利用分组求和，结合等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 所以不是等差数列 ，则 所以是首项为6，公差为6等差数列 【小问2详解】 由题意 又 即 ，则 若，即，解得（舍去） 即当时， 当时，则，对，不存在 综上所述， 【小问3详解】 所以，从而 从而，所以 【点睛】方法点睛：关于新定义问题的常见思路为： （1）理解新定义，明确新定义中的条件、原理、方法与结论等； （2）新定义问题要与平时所学知识相结合运用，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 学科网（北京）股份有限公司 $