2026届高考数学模拟卷（三）（全国适用）

2026届高考数学终极押题卷（三） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求解集合和集合，再根据并集的定义求出与的并集. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得到复数的代数式，再利用复数的除法运算即可. 【详解】由题意，，则. 所以复数的虚部是 故选：A. 3. 已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，，由得，进而可得. 【详解】由题可得，，， 因为，，且， 所以， ，解得. 故选：B 4. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得图象变换后的函数解析式，根据对称性求得正确答案. 【详解】， 将函数的图象向右平移个单位得 ， 由该函数为奇函数可知， 即，所以的最小正值为. 故选：A 5. 已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且周长为16，则的取值范围为（　　） A. （8，12） B. （8，16） C. （4，6） D. （4，8） 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，然后结合结合椭圆的性质，代入计算可得. 【详解】已知的周长为16，而的周长， 其中，因此： 椭圆中满足，将代入可得： ，解得。 因此a的取值范围是(4,8). 故选：D. 6. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则正整数的值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式以及等差数列的性质求出，再结合已知条件列出关于的方程，进而求出的值. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 所以，又，所以. 故选：B. 7. 已知一件艺术品由外层一个大正四面体，内层一个小正方体构成，外层正四面体的棱长为2，在该大正四面体内放置一个棱长为的小正方体，并且小正方体在大正四面体内可以任意转动，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用当这个小正方体可以在大正四面体内部任意转动且小正方体的棱长最大时，小正方体的外接球的半径等于该大正四面体的内切球的半径.先求出正四面体的内切球的 半径，再利用正方体的外接球的半径即可求得结果. 【详解】如图，正四面体底面的中心记为点，连接，. 由正四面体的性质可得：面.因为正四面体棱长为2， 所以底面三角形的高为，则， 所以正四面体的高. 设正四面体内切球的半径为，球心为. 由等体积法可得：， 即，解得：， 所以正四面体的内切球的半径， 因为正方体的棱长为， 所以正方体的外接球的半径，因此. 故选：C 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析函数的正负性，进而得出，再构造函数，研究其最小值即可. 【详解】令，则， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 由，知，所以， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在当上单调递增， 所以，故的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，均为模是1的复数，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为5 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题设，复数和均为模是1的复数，意味着它们在复平面上表示的点位于单位圆上，利用这一性质，可以对各选项进行分析，从而找出正确的选项． 【详解】对于A，设，，则，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，设，， 则， 所以，， ，所以，故C正确； 对于D，的几何意义为复平面内以为圆心的单位圆上的点到的距离， 因为圆心到点的距离为5，则最大值为6，故D错误． 故选：BC． 10. 已知函数，则（ ） A. B. 对任意实数 C. D. 若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入化简即可求解ABC，根据函数的单调性可大致判断函数和的图象，且为偶函数，结合图象可判断，且，再解不等式即可判断D. 【详解】对A，，故A正确； 对B，，而，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，令，得， 当时，单调递增；当时，单调递减. 所以在处取得极小值1， 当时，；当时，. 恒成立，所以在上单调递增， 当；当. 所以函数的大致图象如图所示， 不妨设，由为偶函数可得， 直线与和的图象有三个交点，显然， 令，整理得， 解得或（舍去）， 所以，即， 又因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 若数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 存在数列，使得对任意正整数．都满足 B. 存在数列，使得对任意正整数，都满足 C. 存在数列，使得对任意正整数，都满足 D. 存在数列，使得对任意正整数，都满足 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，找到合适的数列满足递推关系或举反例否定，即可得到答案. 【详解】对于A，令，且，则有，，所以，故A正确； 对于B，由，得， 令，则时，，，， ，， 所以，所以，故B正确； 对于C，由，令，得， 所以，，， 令，得， 所以，，则，所以，所以， 与矛盾，故C错误； 对于D，令，则，，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数满足，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数式的定义，利用对数的运算律与换底公式，可得答案. 【详解】由可知， 所以，即，所以. 故答案为：. 13. 已知函数，且的最小值为，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】先化简函数得，再根据题意可得函数的最小正周期，再根据正弦函数的周期性即可得解. 【详解】因 ， 又，且的最小值为， 所以函数的最小正周期，由， 所以. 故答案为：1. 14. 已知P为抛物线上一点，过点P作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于两点，若直线的斜率为，则点P的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，设出动点的坐标，表示出直线的斜率，由题意建立方程，可得答案. 【详解】 由题意设直线的方程为， 联立，消去，可得， 由， 设，，则，， 设， 则直线的斜率， 直线的斜率， 由题意可得，化简可得，则，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且． （1）求； （2）若，求外接圆的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角的正弦公式化简得出的值，结合角的范围即得； （2）利用正弦定理求出外接圆的半径，结合圆的面积公式可求. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 即，即， 因为、，所以，，，则有，故. 【小问2详解】 设外接圆的半径为，由正弦定理，，故， 因此，外接圆的面积为. 16. 2008年北京奥运会乒乓球赛事精彩纷呈，推动了乒乓球运动在国内的进一步普及.如今有小周､小吴､小郑三人进行乒乓球比赛，规则是：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，按此规则循环进行.通过抽签确定小周､小吴先上场比赛，小郑做裁判.依据过往比赛数据统计：小周与小吴比赛小周获胜的概率为，小郑与小吴比赛小吴获胜的概率为，小郑与小周比赛小郑获胜的概率为. （1）比赛完3局时，求三人各胜1局的概率； （2）比赛完4局时，设小郑做裁判的次数为，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）依据相互独立事件的概率乘法公式计算；（2）由题意可知，Y的取值为：1，2，求概率即可求得均值. 【小问1详解】 比赛完3局时，求三人各胜1局的概率 设小周与小吴比赛，小周获胜，记为事件A， 小郑与小吴比赛，小吴获胜，记为事件B， 小郑与小周比赛，小郑获胜，记为事件C， 且A，B，C相互独立. 则 设“比赛完3局时，三人各胜1局”记为事件，则 ； 【小问2详解】 Y的取值为：1，2 . 则Y的分布列为： 1 2 17. 已知数列是公差大于0的等差数列，数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设. （i）试写出，，的值； （ii）求数列的前20项和. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）408 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可根据通项公式求解， （2）根据题意可得则，，即可利用分组求和，结合等差和等比数列的求和公式求解. 【小问1详解】 设的公差为， 令，得，故即， 令，得，故，即， 由于，则解得， 故， 【小问2详解】 （i）当，故， 时，， 所以， （ii）由题意可知：， 当时，，则， 当，，则，， 当，，则，， 所以 , 因此 18. 如图，在斜三棱锥中，，，，是的中点． （1）求证：平面平面： （2）若底面，且直线与底面所成角为，是棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，由题意可证，，进而可证平面，然后利用面面垂直判定定理可证结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 连接，，因为，是的中点，所以， 又因为，，， 所以与全等，所以， 又是的中点，所以，又，、平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 由题意可得，，则，， 若底面，又底面，所以， 因为底面，所以是直线在平面内的射影， 所以为直线与底面所成的角，所以， 所以，所以， 以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，，， 所以， ， 设平面的一个法向量为， ，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 因为底面，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为 19. 定义“下凸函数”在区间上，对任意、、、，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． （1）若是上的“下凸函数”，求的取值范围． （2）①证明：函数在上为“下凸函数”． ②证明：当时，． （3）已知正实数、、、满足，求的最小值（用的代数式表示）． 【答案】（1） （2）①证明见解析 ；②证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“下凸函数”的定义，可得出对任意的恒成立，结合参变量分离法可得出实数的取值范围； （2）①证明出对任意的恒成立，结合“下凸函数”的定义可证得结论成立； ②化简得出，由得，令，可得出，构造函数，，利用导数证明出即可； （3）令，可得出，推导出函数为上的“下凸函数”，结合“下凸函数”的定义可求出与对数函数的单调性可求出的最小值. 【小问1详解】 由，可得，则， 因为是上的“下凸函数”，所以对任意的恒成立， 即恒成立，所以在上恒成立， 令，则函数在上单调递减，所以， 所以，所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 ①由，可得，， 当时，， 根据“下凸函数”的充要条件可知函数在上为“下凸函数”． ②因为 ， 所以． 令，因为，所以，则， 令，，则， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即． 【小问3详解】 令，则， 考虑函数，求导得， 则， 当时，，则， 故在上为“下凸函数”， 所以， 即， 即， 即， 当且仅当时，等号成立， 因此的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学终极押题卷（三） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且周长为16，则的取值范围为（　　） A. （8，12） B. （8，16） C. （4，6） D. （4，8） 6. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则正整数的值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 7. 已知一件艺术品由外层一个大正四面体，内层一个小正方体构成，外层正四面体的棱长为2，在该大正四面体内放置一个棱长为的小正方体，并且小正方体在大正四面体内可以任意转动，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，均为模是1的复数，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为5 10. 已知函数，则（ ） A. B. 对任意实数 C. D. 若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，则 11. 若数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 存在数列，使得对任意正整数．都满足 B. 存在数列，使得对任意正整数，都满足 C. 存在数列，使得对任意正整数，都满足 D. 存在数列，使得对任意正整数，都满足 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数满足，且，则__________. 13. 已知函数，且的最小值为，则__________. 14. 已知P为抛物线上一点，过点P作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于两点，若直线的斜率为，则点P的坐标为_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且． （1）求； （2）若，求外接圆的面积． 16. 2008年北京奥运会乒乓球赛事精彩纷呈，推动了乒乓球运动在国内的进一步普及.如今有小周､小吴､小郑三人进行乒乓球比赛，规则是：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，按此规则循环进行.通过抽签确定小周､小吴先上场比赛，小郑做裁判.依据过往比赛数据统计：小周与小吴比赛小周获胜的概率为，小郑与小吴比赛小吴获胜的概率为，小郑与小周比赛小郑获胜的概率为. （1）比赛完3局时，求三人各胜1局的概率； （2）比赛完4局时，设小郑做裁判的次数为，求的分布列和期望. 17. 已知数列是公差大于0的等差数列，数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设. （i）试写出，，的值； （ii）求数列的前20项和. 18. 如图，在斜三棱锥中，，，，是的中点． （1）求证：平面平面： （2）若底面，且直线与底面所成角为，是棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 定义“下凸函数”在区间上，对任意、、、，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． （1）若是上的“下凸函数”，求的取值范围． （2）①证明：函数在上为“下凸函数”． ②证明：当时，． （3）已知正实数、、、满足，求的最小值（用的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $