2026届高考数学模拟卷（二）（全国适用）

2026届高考数学终极押题卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤寡老人”爱心志愿活动，若每家养老院安排2名同学，且每名同学只前往一家养老院，则共有安排方法（ ） A. 30种 B. 60种 C. 90种 D. 120种 5. 已知，则下列四个点中，在角的终边上的可以是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量分别表示位移“向北偏东方向”“向东偏南方向”，则向量表示位移（　　） A. 向正北方向 B. 向正南方向 C. 向西北方向 D. 向东南方向 7. 已知过点的直线与抛物线交于点A，B两点，若A，B的纵坐标分别为，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 0 D. 2 8. 已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于随机变量的期望与方差，以下说法正确的是（ ） A. 设为随机变量，为常数，则 B. 若，则与试验次数无关 C. 若，则 D. 两点分布中，时，方差最大 10. 设函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 11. 下列四棱锥的所有棱长都相等，，，，，是四棱锥的顶点或所在棱的中点，则直线不与平面垂直的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，的系数为_______． 13.数列满足，则使得的最小正整数的值为__________. 14. 柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， （1）证明：数列是等差数列； （2）设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由． 16. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，输的一方在下一局当裁判．已知各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第一局丙当裁判． （1）若比赛进行三局，求第三局甲不当裁判的概率； （2）若有人获胜两局，则比赛结束，用表示比赛结束时比赛局数，求的分布列与数学期望． 17. 如图，在直三棱柱中，，平面平面，点分别是棱的中点，点是线段上的一点 （1）求证：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 18. 已知函数的最小正周期与函数的最小正周期相等，的图象与函数的图象重合． （1）求； （2）求函数在上的值域． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为．且椭圆过点，椭圆的下顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于，两点（点在点的上方），与轴交于点（点在点的下方），点为点关于原点的对称点，交轴于点，设的面积分别为． ①若直线l的斜率为2，求的值； ②是否存在直线，使，，，四点共圆？若存在，试判断直线的条数；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学终极押题卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，然后利用列出方程即可得出答案. 【详解】， 又，所以，得. 故选：C. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求得，根据共轭复数概念得到对应点坐标，即可判定象限. 【详解】因为复数满足，所以， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选A. 3. 若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】通过特例说明不能推出，，共面，即充分性不成立；再由平面几何知识得出同一平面内的直线不平行必相交，推出一定成立，即必要条件成立，两者综合即可得出结果. 【详解】 如图所示：满足，，且，但是， 所以可知是，，共面的不充分条件； 当，，共面时，由平面几何知识可知同一平面内的直线不平行必相交， 又因为，，所以必然有， 即是，，共面的必要条件， 综上可知是，，共面的必要不充分条件. 故选：B. 4. 现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤寡老人”爱心志愿活动，若每家养老院安排2名同学，且每名同学只前往一家养老院，则共有安排方法（ ） A. 30种 B. 60种 C. 90种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理即可求得结果. 【详解】设3家养老院的编号依次为1、2、3，首先安排1号养老院，有（种）， 再安排2号养老院，有（种），最后安排3号养老院，有（种）， 根据分步乘法计数原理，因此共有安排方法（种）. 故选：C 5. 已知，则下列四个点中，在角的终边上的可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】由题结合倍角公式可得，可得，据此可判断选项正误. 【详解】由倍角公式得， 解得或 （舍去）， 设角的终边经过的点，则，即. 对于A，对于B，；对于C，；对于D，. 故选：C． 6. 已知向量分别表示位移“向北偏东方向”“向东偏南方向”，则向量表示位移（　　） A. 向正北方向 B. 向正南方向 C. 向西北方向 D. 向东南方向 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，得进行求解即可． 【详解】建立平面直角坐标系： 则，得， 则向量表示位移：向正北方向． 故选：A 7. 已知过点的直线与抛物线交于点A，B两点，若A，B的纵坐标分别为，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意设，联立抛物线并应用韦达定理求目标式的值. 【详解】由题设，令，联立抛物线得， 所以，则，， 所以. 故选：B 8. 已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数是定义在上的偶函数得，再求导得，结合函数也是偶函数，得，从而得导函数的解析式，最后利用导函数研究函数的单调性即可解出实数的范围. 【详解】由题意，是定义在上的偶函数，则，所以， 即，又也是偶函数，所以， 所以，即， 因为函数是R上的减函数，也是减函数， 所以函数是R上的减函数； 令，即，解得， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，，此时函数在上单调递减， 又函数是上的偶函数， 所以由，可得，解得， 因此，实数范围是， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据，求导得，进而得导函数的解析式，再利用导函数研究函数的单调性. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于随机变量的期望与方差，以下说法正确的是（ ） A. 设为随机变量，为常数，则 B. 若，则与试验次数无关 C. 若，则 D. 两点分布中，时，方差最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据期望和方差的性质即可判断；对于B：根据二项分布的期望和方差公式直接判断即可；对于C：根据正态分布的期望和方差公式直接判断即可；对于D：根据两点分别的方差公式结合基本不等式即可判断. 【详解】对于选项A：根据期望和方差的性质可知：，故A正确； 对于选项B：若，则，与试验次数无关，故B正确； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：设成功的概率为， 则方差， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，方差最大，故D正确； 故选：ABD. 10. 设函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法推导可得数列的特性，计算判断AB；取，再取，结合奇函数定义判断C；由选项C的结论，结合等差数列求和判断D. 【详解】函数的定义域为，且， 对于AB，取，则， 因此数列是以为首项，公差为1的等差数列，， 则，，AB正确； 对于C，由，得，取，得， 取，得，即，因此，是奇函数，C正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC 11. 下列四棱锥的所有棱长都相等，，，，，是四棱锥的顶点或所在棱的中点，则直线不与平面垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定，结合向量说明线线的不垂直，逐个判断即可. 【详解】由条件可知四棱锥为正四棱锥， 对于A： 设的交点为，由正四棱锥的结构特征可知：面， 易知：，又，为平面内两条相交直线， 所以直线与平面垂直； 对于B： 取的中点为，连接， 有中位线性质可知：，， 所以四边形为平行四边形，所以， 可证直线平行平面； 对于C： 设棱长为2，， 所以， 所以与不垂直，所以直线不与平面垂直； 对于D： 设棱长为2，，， 所以 所以与不垂直，所以直线不与平面垂直； 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，的系数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将其看作关于与的二项式展开，再对进行展开，最后找出的系数. 【详解】把变形为，可得：  要得到，则的展开式中的次数与的次数之和为，即，解得.  当时，. 再根据二项式定理展开，要得到，则，此时该项系数为. 因为中展开式中的系数为，所以展开式中的系数为.  故答案为:. 13.数列满足，则使得的最小正整数的值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】将条件变形，然后取对数，得出为以为首项，2为公比的等比数列，然后得出，即可得出答案. 【详解】因为，所以，则， 又，所以为以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以，则使得， 计算得最小正整数值为6， 故答案为：6. 14. 柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为__________. 【答案】10 【解析】 【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到a与b的关系，然后对所求式子进行变形，利用均值不等式来求解最小值. 【详解】由，所以，设切点为，则，故， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值为10. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， （1）证明：数列是等差数列； （2）设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在；或或或或或 【解析】 【分析】（1）化简题干信息即可求得，结合等差数列的定义即可判断； （2）求出数列的通项公式，再利用等比数列化简得出，结合均为正整数的条件即可求出所有值. 【小问1详解】 由，得， 又数列的各项均为正数，则，所以， 又，所以数列是以3为首项，以3为公差的等差数列． 【小问2详解】 由（1）得，于是， 假设存在正整数，使得成等比数列，则， 即， 即，整理得， 因为均为正整数且， 所以的正整数解为： 或或或或或 所以存在正整数，使得成等比数列． 16. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，输的一方在下一局当裁判．已知各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第一局丙当裁判． （1）若比赛进行三局，求第三局甲不当裁判的概率； （2）若有人获胜两局，则比赛结束，用表示比赛结束时比赛局数，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列答案见解析， 【解析】 【分析】（1）若比赛进行三局，第三局甲不当裁判，则第二局甲赢，第一局甲也赢，或者第一局甲输，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 若比赛进行三局，第三局甲不当裁判，则第二局甲赢，第一局甲也赢， 或者第一局甲输，则甲第三局必定参加比赛，故所求概率为. 【小问2详解】 由题意可知，的可能取值有、、， 若，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以，， 若，则第二、三局均为丙赢，所以，， 若，则前三局没有人累计胜两局，必须进行第四局，第四局后无论胜负都有人累计获胜两局， 所以，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 因此，. 17. 如图，在直三棱柱中，，平面平面，点分别是棱的中点，点是线段上的一点 （1）求证：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明，由条件结合面面垂直的性质定理证明平面，由此可证，再结合，根据线面垂直判定定理证明平面，取的中点，证明，通过证明结论，完成证明； （2）建立空间直角坐标系，设，求直线的方向向量与平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值，列方程求可得结论； 【小问1详解】 连接，如图所示：在直三棱柱中，平面， 又，平面，所以，， 又，所以四边形是正方形，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 取的中点，连接，， 如图所示.因为是的中点，是的中点， 所以，， 又是棱的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以，又，所以. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又，，所以以为坐标原点，，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示. 所以，，，，，， 所以，，所以， 设（）， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以， 令，解得，， 所以平面的一个法向量为. 又，设直线与平面所成角的大小为， 所以， 化简可得， 解得或（舍），所以. 18. 已知函数的最小正周期与函数的最小正周期相等，的图象与函数的图象重合． （1）求； （2）求函数在上的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由正切函数的最小正周期求得，然后由利用诱导公式求得； （2）代入（1）中结论，利用辅助角公式化简函数解析式，然后求得值域. 【小问1详解】 函数的最小正周期为， ∴函数的最小正周期，即， 又因为的图象与函数的图象重合， 所以，又， 所以，又， 所以. 【小问2详解】 ， 当时，， ∴ 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为．且椭圆过点，椭圆的下顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于，两点（点在点的上方），与轴交于点（点在点的下方），点为点关于原点的对称点，交轴于点，设的面积分别为． ①若直线l的斜率为2，求的值； ②是否存在直线，使，，，四点共圆？若存在，试判断直线的条数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①，②存在直线，条数为1条. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义可求得的值，利用焦点求出，再由椭圆关系即可求出椭圆方程； （2）①写出直线的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理代入运算得解；②设直线的方程为与椭圆方程联立得，延长交轴于点，若四点共圆，则，得，又，代入运算得，令，，利用导数判断的零点个数即可. 【小问1详解】 因为椭圆的左、右焦点分别为，， 且过点， ， ，， 可得椭圆方程为. 【小问2详解】 ①直线的方程为，设，， 联立，消去，得， 则，，又，， 所以， ②假设存在直线，设直线的方程为， 联立，消去，得，， 所以，， ， 如图，延长交轴于点，若四点共圆， 所以，而， 所以， ，， 又， 所以， 由，， 所以， ， ，即， 由点在点的下方得，即， 记，， ， 所以函数在上单调递增，又，， 所以函数在上只有唯一零点，即存在唯一， 使得成立， 所以存在直线，条数为1条. 学科网（北京）股份有限公司 $